ОГЛАВЛЕНИЕ

Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка.
Формула и уравнение Блэка-Шоулса.

В рассмотренных выше моделях рынков изменения в ценах происходили через единичные интервалы времени. Можно представить, что временной горизонт рынка не является целым числом, и мы с необходимостью должны изучать рынки, в которых дискретность по времени (или, как говорят, тики) происходят кратно некоторому положительному числу . Такую модель будем называть -рынком:

где – стохастическая последовательность доходностей, порождающая фильтрацию

Существует стандартный путь распространения такого дискретного рынка на весь отрезок : для

так что все объекты оказываются определенными для всех . В этом случае стохастические последовательности превращаются в случайные процессы, а сама модель – в формально непрерывную модель рынка.
Вполне естественно рассмотреть, например, платежное обязательство как выплаты по (европейскому) опциону покупателя на описанном выше -рынке. Соответствующую цену опциона обозначим . Варьируя параметр дискретности , мы получаем целое семейство -рынков. Хотелось, чтобы при такие ключевые величины как имели некоторые пределы.
Предположим, что последовательность образуется независимыми случайными величинами, принимающими два значения с вероятностями и . Пусть и представим в следующей форме:

где .
В соответствии с этим исходный -рынок переписывается в виде: для

где
и процесс имеет независимые приращения ввиду независимости .
Найденная форма -рынка приводит нас к совершенно естественной предельной модели : для

в которой дифференциалы являются формальными пределами .
Из теории вероятностей известно, что с испытаниями Бернулли связаны два "предельных" распределения – Гауссовское и Пуассоновское. Поэтому в данной ситуации разумно считать, что предельный процесс обладает свойствами:

а его независимые приращения либо гауссовские, либо пуассоновские. В первом случае этот процесс называется винеровским (или броуновским движением), а соответствующая модель -рынка моделью Блэка-Шоулса. Во втором – это (центрированный) процесс Пуассона, а модель – модель Мертона.
Для определенности остановимся на первом случае. Параметры называют процентной ставкой, нормой возврата и волатильностью. Достаточно ясно, что опцион покупателя также можно рассмотреть на этом непрерывном рынке и соответствующее обязательство будет иметь вид . Обозначим премию по этому опциону и найдем, чему равна эта премия, предельным переходом:

Пусть параметры -рынка и его предполагаемого "предела" связаны соотношениями

Применяя формулу Кокса-Росса-Рубинштейна, имеем, что

где
,

В соответствии с предельной теоремой Муавра-Лапласа при имеем следующие соотношения

Далее, при
,
Прямым подсчетом убеждаемся, что при
,
,

и приходим к соотношениям

Таким образом получаем следующую знаменитую формулу Блэка-Шоулса

Можно воспроизвести ту же процедуру предельного перехода на отрезке и получить аналогичную формула Блэка и Шоулса для указанного временного интервала, при этом происходит замена на и на . Соответствующую цену опциона обозначим как функцию цены акции . Предположим, что – дважды непрерывно дифференцируема по и один раз по ( ). Оказывается, удовлетворяет дифференциальному уравнению Блэка-Шоулса:

Приведем соображения, объясняющие происхождение указанного уравнения.
Рассмотрим -рынок с параметрами

Для мартингальной вероятности в этом случае получаем, очевидно, такую асимптотическую формулу: при

Поскольку цены акций на -рынке принимают только два значения, то

Далее, применяя формулу Тейлора, получаем при , что

и, значит,

Делением обеих частей на достигается нужное утверждение о виде уравнения Блэка и Шоулса.



ОГЛАВЛЕНИЕ