стр. 1
(из 2 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Модель Блэка-Шоулса. "Греческие" параметры риск-менеджмента, хеджирование при бюджетных ограничениях и с учетом дивидендов. Оптимальное инвестирование.

Данный параграф посвящен всестороннему изучению модели Блэка-Шоулса, с которой мы познакомились вначале на эвристическом уровне строгости, а затем "обнаружили" ее появление как предела последовательности биномиальных моделей. Для формального введения -рынка Блэка и Шоулса с временным горизонтом будем считать заданным стохастический базис . Фильтрация представляет собой непрерыно накапливающийся поток рыночной информации, "занумерованный" действительным временным параметром . На этом базисе считаем заданным винеровский процесс (броуновское движение) :
,
случайные величины и – независимы при
.
При этом предполагается, что "вся случайность" порождена этим процессом и, следовательно, . Случайный процесс – это функция двух переменных: элементарного исхода и времени . Если фиксируется , то функция называется траекторией, которая для винеровского процесса является непрерывной функцией .
Далее, если отрезок разбить на частей: и определить функцию

с помощью квадратично-интегрируемых случайных величин , полностью определяемых набором событий , то определен стохастический интеграл относительно (ср. со стохастическим интегралом с дискретным временем):

Этот интеграл обладает такими естественными свойствами (для функций и указанного выше вида и постоянных и ):



Если теперь рассмотреть согласованные с фильтрацией случайные функции такие, что
,
то стохастический интеграл оказывается корректно определенным как предел (в среднем квадратическом) стохастических интегралов функций указанного выше вида. При этом сохраняются его свойства 1)-3).
Следовательно, наряду с винеровским процессом естественно изучать и построенные на его базе случайные процессы вида

где – это "обычный" интеграл, а – стохастический интеграл. Отметим используемую также запись в эквивалентной дифференциальной форме:

Если задана функция , то с ее помощью процесс преобразуется в новый процесс того же вида. Это вытекает из следующей важнейшей для стохастического анализа формулы Колмогорова-Ито:

Мартингалом (субмартингалом, супермартингалом) на называется случайный процесс , удовлетворяющий условиям: для всех
и п.н.
Относительно фильтрации , порожденной винеровским процессом , все мартингалы имеют следующее представление:

где – некоторая согласованная с случайная функция, "стохастически" интегрируемая относительно .
После приведенных предварительных понятий и результатов стохастического исчисления мы в состоянии перейти к формально строгому изложению финансового анализа, связанного с моделью Блэка-Шоулса.
Пусть на заданы два неотрицательных процесса и , имеющие вид

где .
Представляя и как цены безрискового и рискового активов, мы приходим к непрерывной модели -рынка, называемой моделью Блэка-Шоулса. Применяя к указанным экспонентам формулу Колмогорова-Ито, получим следующее дифференциальное представление этой модели:

Параметры и называются процентной ставкой, нормой доходности и волатильностью -рынка.
Если и – случайные процессы, согласованные с рыночной информацией , то называют портфелем, или стратегией, на -рынке. Капитал стратегии определяется суммой:

Платежное обязательство – это функция (случайная величина), полностью идентифицируемая рыночной информацией . Определяя самофинансируемую стратегию равенством

приходим к понятию совершенного хеджа как самофинансируемой стратегии , удовлетворяющей свойству: (п.н.)

Реплицируемость, или воспроизводимость, означает, что

Минимальность хеджа :
(п.н.) для всех
для любого другого хеджа .
Ценой платежного обязательства называется величина

для нахождения которой воспроизведем здесь методологию расчетов в полных рынках.
В данном случае мартингальность вероятности означает, что относительно отношение является мартингалом. Вероятность идентифицируется своей плотностью , которая имеет вид

знакомый нам по случаю дискретного гауссовского рынка. Только в данном случае теорема Гирсанова сводится к утверждению, что новый процесс

является винеровским относительно той же фильтрации , но относительно новой вероятности . Отсюда с учетом равенства

находим, что

где и – функции распределения случайной величины относительно и соответственно.
Следовательно,

Из общей методологии известно, что

для произвольного платежного обязательства .
Рассматривая , находим

где .
Замечая, что
,
приходим к формуле Блэка и Шоулса:

где .
Найденная формула дает (справедливую, безарбитражную) цену опциона покупателя. Как и в случае биномиального рынка имеет место паритет цен опциона покупателя и продавца :

который приводит нас к нахождению (без громоздких вычислений) :

Из приведенных формул видна зависимость и от : Далее, если в тождестве

обе части разделить на и усреднить по риск-нейтральной вероятности , то

Из этого равенства с использованием формулы Блэка и Шоулса получаем, что



Это так называемая дуальность цен опционов покупателя и продавца.
Если вместо промежутка для целей инвестирования рассмотреть отрезок , то в силу независимости приращений с помощью изложенных выше соображений приходим к следующей формуле цены обязательства в момент времени :

где .
Вид этой формулы приводит к следующей конструкции (ср. с моделью Кокса-Росса-Рубинштейна) минимального хеджа :

Рассматривая цену опциона как функцию времени , цены акции , процентной ставки и волатильности , приходим к следующим общепринятым в практическом риск-менеджменте греческим параметрам:
тета:
дельта:
ро:
вега:
где .
Замечание.
В связи с введенными параметрами , инженерия финансового анализа представляется следующим образом. Для модели Блэка-Шоулса и опционов покупателя и продавца они вычисляются непосредственно. Однако такая модель может быть далека от реальности, а опционы могут быть совершенно произвольными. Поэтому в практике риск-менеджмента стремятся поступать проще, в то же время заботясь о об иммунизации портфеля от малых изменений цен рискового актива . Так возникает -нейтральный портфель, когда приравнивается к нулю. Стремление же учесть влияние на цену опциона изменяющейся цены рискового актива приводят на практике к дискретной перебалансировке портфеля ( -хеджа), когда пересчитывается шаг за шагом до момента исполнения опциона с покупкой (продажей) на каждом шаге единиц рискового актива .
Обозначим дисконтированный капитал портфеля через .
Тогда по формуле Колмогорова-Ито имеем, что

где – стандартный винеровский процесс относительно вероятности .
Множеством успешного хеджирования обязательства при использовании стратегии с начальным капиталом назовем

Только что изложенная теория совершенного хеджирования позволяет найти совершенный хедж с начальным капиталом и . Однако начальный бюджет инвестора, отвечающего по обязательству , может быть меньше начального капитала , необходимого для совершенного хеджирования. В таком случае возникает следующая задача:
среди всех допустимых стратегий выбрать ту, что максимизирует вероятность того, что капитал портфеля на момент исполнения платежного обязательства был не меньше, чем выплата по этому обязательству:

при бюджетном ограничении

где – начальный капитал, которым располагает инвестор.
Приведенные соотношения представляют математическую формулировку задачи квантильного хеджирования, а ключ к ее решению дается следующей леммой.
Лемма Пусть есть решение задачи

Тогда совершенный хедж с начальным капиталом для платежного обязательства является решением задачи квантильного хеджирования, а множество успешного хеджирования совпадает с .
Доказательство 1) Рассмотрим произвольную допустимую стратегию с начальным капиталом . Ее дисконтированный капитал

является (относительно ) неотрицательным супермартингалом. Для множества успешного хеджирования получаем:
п.н.
Следовательно,

и с учетом условия Леммы для имеем, что .
2) Пусть теперь стратегия является совершенным хеджем для платежного обязательства , начальный капитал которого удовлетворяет неравенству

Покажем, что стратегия оптимальна для указанной выше задачи квантильного хеджирования. Поскольку

то стратегия является допустимой.
Обозначим через

множество успешного хеджирования для . Ввиду "совершенности" для платежного обязательства получаем, что

и, значит, .
3) Из определения множеств с учетом пунктов 1) и 2) имеем, что п.н.) Но – множество успешного хеджирования для стратегии , поэтому является оптимальной стратегией.
Ввиду Леммы для построения максимального множества успеха естественно обратиться к фундаментальной лемме Неймана-Пирсона, которая дает возможность построения наиболее мощного критерия для задачи различения двух простых гипотез при ограничении на ошибку первого рода.
Будем предполагать, что гипотезе соответствует некоторое распределение , а гипотезе – распределение . Пусть – ошибка первого рода, – мощность критерия, соответствующая критической функции . Критерий Неймана-Пирсона, имеющий следующую структуру

является наиболее мощным, т. е. максимизирует при условии, что ошибка первого рода не превосходит заданного уровня . Здесь c – некоторая константа, а значение 1 или 0 критической функции показывает, какую из гипотез или следует принять.
Вероятность введем соотношением

Тогда ограничение в Лемме преобразуется к виду

а решением соответствующей оптимизационной задачи является множество

где .
Доказательство этого утверждения следует из фундаментальной леммы Неймана-Пирсона ввиду равенств , .
В результате получаем следующую теорему.
Теорема. Оптимальная стратегия для задачи квантильного хеджирования является совершенным хеджем для платежного обязательства , где максимальное множество успеха определено выше из фундаментальной леммы Неймана-Пирсона.
Рассмотрим теперь задачу квантильного хеджирования стандартного опциона покупателя с функцией выплаты . Начальный капитал совершенного хеджа в этом случае равен

Предположим, инвестор имеет начальный капитал . По доказанной выше Теореме оптимальная стратегия в задаче квантильного хеджирования совпадает с совершенным хеджем платежного обязательства , где множество имеет вид:

Используя вид плотности

можно переписать максимальное множество успешного хеджирования в форме

Рассмотрим два возможных случая, когда и .
В первом случае множество можно записать в виде

с некоторыми постоянными и при ограничении

Из вышеприведенной формулы для с учетом того, что

получаем

При этом постоянная находится из условия

где

которое приводит к

Во втором случае множество имеет вид
с постоянными
и решение задачи квантильного хеджирования приводит к

При этом и находятся из условия

где

которое, как и ранее, приводит к

Рассмотрим теперь случай, когда владение акцией приносит получение дивидендов. При этом капитал обладателя акции с ценой , по которой выплачиваются пропорциональные дивиденды, эволюционирует согласно уравнению

Используя и

находим, что

Теперь очевидна аналогия
с
с ,
которая приводит к построению новой вероятности
с плотностью ,
относительно которой является винеровским (Теорема Гирсанова). В связи с этим, как и ранее, для функций распределения имеем, что
и

Все эти замечания приводят к нахождению цены опциона покупателя в ситуации акции с дивидендами:

При изучении финансовых расчетов на биномиальном рынке с учетом трансакционных издержек было установлено, что при равенстве покупки и продажи акций в терминальный момент времени всегда можно построить единственную реплицирующую опцион покупателя стратегию. Для нахождения такой стратегии согласно теореме Бойля-Ворста следует рассмотреть биномиальный рынок без трансакционных издержек, но с увеличенными определенным образом значениями доходности, а значит, с увеличенной волатильностью.
В случае модели Блэка-Шоулса сходный в этом плане результат получен Леландом. Дадим краткое его описание, считая для простоты, .
Пусть перебалансировка портфеля производится в дискретные моменты времени . Полагая капитал портфеля равным , введем ограничение в виде пропорциональных трансакционных издержек с коэффициентом :

Рассмотрим опцион покупателя, который следует хеджировать в этом редуцированном классе стратегий. Обозначим для каждого момента рехеджирования , капитал стратегии Блэка-Шоулса через . Тогда в качестве подходящей хеджирующей стратегии может быть выбрана стратегия с капиталом , таким, что

и с точностью до малых большего порядка малости

где параметр выполняет роль новой волатильности. В сущности, расчет опциона покупателя с учетом указанного типа издержек осуществляется по формулам Блэка-Шоулса, но с увеличенной указанным образом волатильностью.
Рассмотрим теперь в рамках модели Блэка-Шоулса инвестиционную проблему, где оптимальность стратегии определяется из соотношения (см. параграф 5):

Воспроизведем схему решения аналогичной задачи для дискретного времени, когда исходная задача оптимального инвестирования сводится к

где – множество положительных мартингалов относительно , стартующих из точки .
Положим в качестве оптимального мартингала

где
– плотность единственной мартингальной вероятности относительно исходной вероятности .
Аналогично параграфу 5 устанавливается, что

Используя мартингальную характеризацию самофинансируемых стратегий, находим, что

для некоторой самофинансируемой стратегии .
Обозначим "рисковую" пропорцию в капитале портфеля .
По формуле Колмогорова-Ито

и, следовательно,

С другой стороны

Сравнение полученных формул приводит к формуле для оптимальной пропорции

называемой часто точкой Мертона.
Рассмотренное до сих пор касалось расчетов, основанных исключительно на финансовой информации , доставляемой ценами к моменту времени . Стремление учесть неоднородность рынка приводит к предположению, что части рыночных игроков может быть доступна и бoльшая информация для осуществления их финансового анализа. Это обстоятельство математически может выражаться, например, в том, что известно терминальное значение или то, что оно попадает в некоторый интервал и т.д.
Рассуждая более абстрактно, рассмотрим некоторую случайную величину , с помощью которой "расширим" рыночную информацию до . Это случай получения игроком так называемой инсайдерской информации, и интересно знать, насколько бoльшую полезность может извлечь игрок, базируясь на этой расширенной информации.
Полагая для простоты , используя формулу для точки Мертона и мартингальность стохастического интеграла относительно получаем, что ожидаемая полезность (на основе ) равна

При использовании инсайдерской информации уже нельзя считать процесс винеровским. Разумно, тем не менее, предполагать, как это делалось в теореме Гирсанова, что существует согласованный с процесс такой, что (п.н.)

а процесс

является винеровским относительно .
В этом случае есть надежда выразить дополнительную полезность через указанный выше информационный снос .
Действительно, для самофинансируемой стратегии , формулируемой на базе , терминальный капитал можно записать в виде

Замечая, что

находим ожидаемую полезность на основе инсайдерской информации :

В результате приходим к следующей величине дополнительной полезности

которую можно вычислять при тех или иных предположениях о .
В заключение приведем пример расчета цены опциона покупателя и продавца на рынке Блэка и Шоулса с процентной ставкой равной 10% годовых, , руб., руб., , .
По формуле Блэка-Шоулса имеем, что

Относительно нахождения цены опциона продавца воспользуемся паритетным соотношением

При увеличении процентной ставки вдвое соответствующие цены равны

Отметим, что увеличение волатильности до 0,8 приводит к увеличению цен опционов
при и
при
При добавлении в модель дивидендов с коэффициентом заметим сначала, что

Применяя эти соотношения в рамках рассматриваемого примера приходим к следующим ценам опционов:

a) :


при



стр. 1
(из 2 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>