ОГЛАВЛЕНИЕ

Финансовый анализ в экономике страхования.

В данном параграфе изучаются вопросы платежеспособности страховой компании на основе синтеза методов современной актуарной и финансовой математики, как в случае дискретного, так и непрерывного времени.
При этом нас будут интересовать указанные вопросы в контексте инвестиционной активности страховой компании на финансовом рынке. Проведение финансового анализа такой инвестиционной структуры как страховая фирма еще не нашел адекватного отражения в соответствующей литературе в силу того, что является "пограничным" между финансовой экономикой и страхованием.
Договор страхования предполагает, что за определенную плату, называемую премией, страховая компания (страховщик) берет на себя
обязательство возместить возможные потери клиента (страхователя). Основанием для оплаты указанных потерь, часто отождествляемых с рисками, является полис страхования. Страховаться может достаточно широкий круг возможных рисков: автомобиль на случай кражи или аварии, имущество на случай пожара или стихийного бедствия, здоровье и жизнь. В структуре деятельности страховой фирмы важное место занимают юридические и экономические вопросы. При этом адекватное решение ее экономических проблем невозможно без применения количественных расчетов: от моделирования сроков и размеров предъявляемых компании исков, до адекватного расчета премий и резервов. Например, если премия будет слишком высокой, клиенты обратятся к услугам компаний-конкурентов, слишком низкой – значительно увеличится риск неплатежеспособности.
Применение математических методов анализа финансовой состоятельности страховой компании имеет достаточно долгую историю. Например, в страховании жизни ключевым параметром, уже встречавшимся нам ранее, является остаточная продолжительность жизни – вероятность того, что индивид возраста проживет по меньшей мере еще лет. Определяя "силу смертности" равенством , можно предложить следующие ее модели:
закон де Муавра (1721):
,
где – "максимально возможный" возраст, обычно полагаемый равным 100-120 лет;
закон Гомпертца (1824):

закон Мэйкхема (1860):

В последнем случае

что хорошо согласуется даже с современными реальными данными. Эти законы о виде остаточного распределения жизни находят свое естественное применение и в работе пенсионных фондов.
В имущественном страховании используется два основных типа моделей: модель индивидуального и коллективного риска. В модели индивидуального риска рассматривается полисов с независимыми выплатами . Ее характерными чертами являются сравнительно короткий промежуток времени для адекватного применения модели, а также фиксированное и неслучайное количество договоров . В модели коллективного риска по одному полису допускается более одной выплаты, количество подаваемых исков заранее неизвестно, а рассматриваемая модель носит динамический характер, когда процесс подачи исков "растянут" во времени.
Зададим некоторое вероятностное пространство и введем следующие понятия:
– начальный капитал страховой компании.
Неубывающая последовательность случайных величин – моменты наступления отдельных исков от клиентов, – время между наступлениями исков.
Общее количество поданных исков к моменту времени : , при этом .
Последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин определяет возможный размер исков в момент с функцией распределения , .
Процесс риска определяет суммарные выплаты по искам к моменту , , если .
– величина всех премий, полученных к моменту времени .
определяет капитал компании к моменту .
Процессы и считаются независимыми. Если , то говорят о страховых моделях дискретного времени, если – о моделях непрерывного времени.
Согласно актуарной традиции мерой платежеспособности, или финансовой состоятельности компании, выбирается вероятность неразорения (соответственно, на бесконечном и конечном промежутке времени):


Поскольку договор страхования предполагает передачу того или
иного риска от клиента к компании, то гарантировать исполнение своих обязательств компания может лишь в случае, когда в среднем поступающие премии больше средних выплат по искам:

Данное соотношение предполагается выполненным для всех рассматриваемых ниже моделей. Распространенным принципом начисления премий является принцип математического ожидания, когда выбирается некоторое число , называемое коэффициентом нагрузки, и полагается .
Введенные выше вероятности зависят не только от временного промежутка функционирования страховой компании и начального капитала, но и от "внутренних" параметров процессов и . Тем не менее, ключевой является зависимость именно от времени и начального капитала . По этим параметрам удается получать уравнения интегрального (разностного) и интегро-дифференциального типа для нахождения вероятностей неразорения, что позволяет производить количественный финансовый анализ экономической деятельности страховой фирмы.
Часто поиск явного аналитического выражения для решения представляет существенные технические трудности, а получаемые при этом формулы неудобны для дальнейшего анализа. В такой ситуации оказывается полезным иметь адекватные апроксимации для вероятности неразорения.
Рассмотрим сначала биномиальную модель:
– биномиальный процесс, т. е. представим как сумма бернуллиевских случайных величин с некоторой вероятностью успеха ;
(детерминированные премии);
– сложный биномиальный процесс.
В качестве процесса премий может рассматриваться независимый от другой сложный биномиальный процесс . Тогда капитал компании имеет вид

Это означает, что в каждый момент времени независимым от прошлого образом с некоторой вероятностью компания получает, вообще говоря, случайную премию , и с некоторой вероятностью вынуждена выплачивать величину .
В случае целочисленных процессов для вероятностей неразорения могут быть получены разностные уравнения, которые удается разрешить аналитически для некоторых типов распределений премий и исков. В общем случае оценивание вероятности неразорения может проводиться с помощью техники мартингалов дискретного времени:
если – положительное решение характеристического уравнения

(в терминах функций распределения и случайных величин и это уравнение переписывается в виде

то – мартингал и .
Далее, широко известная модель Крамера-Лундберга определяется следующими процессами:
– пуассоновский процесс с интенсивностью ;
– линейная функция времени;
– сложный пуассоновский процесс.
Рассмотрим в качестве процесса премий независимый от сложный пуассоновский процесс . Тогда капитал компании имеет вид

Для вероятности неразорения могут быть получены интегральные уравнения, которые в случае экспоненциальных распределений размеров премий и исков удается решить аналитически. В общем случае оценка вероятности неразорения проводится с помощью техники мартингалов непрерывного аргумента:
если – положительное решение характеристического уравнения


или, что эквивалентно,

то – мартингал и .
Поскольку страховая компания в целях повышения своей конкурентоспособности инвестирует свои средства на финансовом рынке, то весьма актуальным является проведение финансового анализа ее платежеспособности с учетом этого обстоятельства, как правило, не освещаемого надлежащим образом в актуарной науке. Такой анализ осуществляется ниже сначала для биномиальной, а затем для диффузионной моделей рынка.
Сначала рассмотрим в качестве объекта инвестирования биномиальный рынок, или модель Кокса-Росса-Рубинштейна.
Пусть задан финансовый рынок ( -рынок), состоящий из двух активов (безрискового, банковский счет) и (рискового, акции), цены которых эволюционируют согласно разностным уравнениям:


где , – последовательность независмых бернуллиевских величин, .
На данном рынке работает страховая компания, формирующая свой капитал следующим образом. В момент времени , имея начальный капитал , компания инвестирует его на данном рынке, распределяя доступные средства в количестве в банковский счет и в количестве в акции. Соответственно,

В момент времени изменяются цены активов рынка, компания получает премии и оплачивает иски клиентов. Процесс премий и исков будем считать сложными биномиальными процессами. Соответственно изменится и капитал:

В случае имеем разорение в момент времени , иначе компания вновь перераспределяет капитал между активами и ожидает следующего момента изменения цен:

Приращение капитала запишем в следующем виде:

Таким образом, для произвольного изменение капитала можно представить в такой форме:

Данное уравнение означает, что изменение капитала происходит как за счет изменения самих цен активов, так и за счет потребления и инвестирования. Последовательность , как мы знаем из предыдущего, называют портфелем компании. Естественно считать, что выбор компонент портфеля происходит на основе информации, доступной к моменту времени информации . В данной модели имеем ограничение

которое в отсутствии страховой составляющей приводит к классу самофинансируемых стратегий финансового рынка:

Возвращаясь к исследованию платежеспособности страховой компании, естественно предполагать стохастическую независимость страховой и финансовой составляющих модели.
При инвестировании всего капитала в банковский счет, что соответствует стратегии , динамика капитала описывается уравнением:

Примерами нахождения явных формул для вероятностей неразорения при инвестировании только в банковский счет являются следующие теоремы:
I. Пусть , тогда для
вероятности неразорения имеем интегральное уравнение

решение которого записывается в виде:



где

Напомним, что функция является вероятностью неразорения на отрезке времени.
II. Пусть , тогда вероятности неразорения связаны рекуррентным интегральным уравнением

Если при этом – решение характеристического уравнения

то , где

Доказательство проведем только для второй теоремы. Рекуррентное соотношение на следует из формулы полной вероятности. Далее, рассуждая по индукции, будем искать оценку в виде .
База индукции: . Предположим, что , подставим данное соотношение в уравнение, фигурирующее в формулировке:




Последнее выражение должно быть больше или равно, чем , что выполнено при выборе из формулировки теоремы. Для этого следует учесть, что – решение характеристического уравнения, и значение в формулировке записано в более компактной форме.
При инвестировании всего капитала в акции, что соответствует стратегии , динамика капитала описывается уравнением

и имеет место следующая теорема:
III. Пусть все , тогда при инвестировании в акции вероятности неразорения удовлетворяют рекуррентному интегральному уравнению



Если при этом – решение характеристического уравнения

то , где

Доказательство проводится совершенно аналогично предыдущим теоремам и опускается.
Теперь рассмотрим в качестве инвестиционного пространства страховой компании модель Блэка-Шоулса. Пусть задана пара активов – безрискового (банковский счет) и – рискового (акция), цены на которые эволюционируют согласно стохастическим дифференциальным уравнениям

где – стандартный винеровский процесс.
На данном рынке работает страховая компания с начальным капиталом . По аналогии со случаем дискретного времени финансовую активность компании характеризует пара случайных процессов , "согласованных" с рыночной информацией , компонента – количество "единиц банковского счета" в портфеле компании, – количество акций, а капитал портфеля равен

Для эволюции капитала во времени имеем уравнение

Выражение представляет собой изменение капитала за счет изменения цен на финансовом рынке. Второе выражение характеризует изменение капитала за счет изменения средств в портфеле. Установим естественное ограничение на класс используемых стратегий, проистекающее из страховой специфики компании с учетом вида процесса премий и выплат (см. модель Крамера-Лундберга и ее обобщение):

Это означает, что перераспределение средств в портфеле может происходить лишь за счет излишков страховой составляющей.
Пусть сначала весь капитал инвестируется в банковский счет. Тогда динамика капитала описывается уравнением

решение которого имеет вид

где – скачки , – скачки .
Введем случайную величину , являющуюся моментом разорения. Тогда вероятность неразорения

характеризируется следующей теоремой:
В случае инвестирования капитала в банковский счет вероятность неразорения удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению

где и – интенсивности пуассоновских процессов и , а и – функции распределения и .
Доказательство. Поскольку при фиксированном дальнейшее развитие процесса не зависит от предыстории и , пользуясь указанным выше уравнением динамики , для малого промежутка времени запишем:

По формуле Тейлора . Поэтому при делении на и предельном переходе при получим нужное утверждение теоремы.
Для оценок вероятности неразорения на конечном интервале времени рассмотрим дисконтированный капитал . Очевидно, для дисконтированного капитала и процесса имеем совпадение вероятностей неразорения на всяком конечном промежутке:


поскольку указанные процессы отличаются лишь положительным сомножителем.
Соответствующая оценка снизу вероятности неразорения дается следующей теоремой:
для всякого такого, что

для всех , процесс – мартингал и

Доказательство. Обозначим и вычислим :

Отсюда следует интегро-дифференциальное уравнение:

Будем искать решение данного уравнения в виде , что приводит к уравнению на :

с начальным условием , или .
Далее можем записать, что

где последнее равенство справедливо в силу того, что имеет независимые приращения. Заметим, что функции распределения случайных величин и совпадают.
Отсюда

и поэтому процесс – мартингал.
Далее с помощью техники мартингалов для момента разорения можем записать цепочку неравенств:

откуда следует утверждение теоремы.
Пусть теперь весь капитал вкладывается в акции, эволюционирующие согласно модели Блэка-Шоулса (что соответствует стратегии ). В этом случае капитал компании удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению:

Вероятность неразорения в этом случае характеризируется теоремой:
В случае инвестирования капитала в акции вероятность неразорения удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению

которое в случае экспоненциального распределения выплат и премий , может быть сведено к обыкновенному дифференциальному уравнению третьей степени и для имеем асимптотику
.
Доказательство.
Поскольку при фиксированном дальнейшее развитие процесса не зависит от предыстории и , то, пользуясь указанной выше динамикой , для малого промежутка времени можем записать

При помощи формулы Колмогорова-Ито данное соотношение может быть переписано в виде

откуда при получаем нужное интегро-дифференциальное уравнение для .
Далее исследуем случай экспоненциального распределения размеров премий и исков , . Тогда интегро-дифференциальное уравнение для вероятности неразорения имеет вид:

где

при этом

Дифференцирование рассматриваемого интегро-дифференциального уравнения дает:

или

Дальнейшее дифференцирование этого уравнения дает:

или

К последнему уравнению прибавим предыдущие уравнения умноженные на и соответственно. В результате получим:

Заменой запишем уравнение в виде

Далее будем искать асимптотику решения данного уравнения при
согласно стандартной методике.
Для этого сделаем замену , выбирая коэффициент таким образом, чтобы свободный член в коэффициенте при остался равным нулю. Получим уравнение на :

откуда . Значение отбрасывается, поскольку – ограниченная функция. Рассмотрим случай , тогда уравнение не изменится. Далее делаем замену , чтобы новый коэффициент при был равен нулю. Уравнение для имеет вид

Данная замена позволяет найти решение в виде ряда , который формально может расходиться, но дает асимптотику
.
В этом случае
.
Рассмотрение случая приводит к асимптотике
.
Заметим, что полученная теорема содержит в себе то принципиальное заключение, что при инвестировании страховой компании в рисковые активы финансового рынка вероятность неразорения уже может не иметь обычной экспоненциальной асимптотики, как в обычной модели Крамера-Лундберга.



ОГЛАВЛЕНИЕ