стр. 1
(из 2 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Задачи

1. Найти все значения , при которых существует риск-нейтральная вероятность в следующей модели - рынка: .

Решение. Для нахождения риск-нейтральной вероятности выпишем равенство:
.
По условию задачи вероятностное пространство состоит из трех элементарных исходов , поэтому выписанное выше равенство перепишем в виде

С учетом нормировки имеем

откуда .
Каждое из указанных в условии значение цены акции в момент времени 1 предполагается имеющим ненулевую (положительную) вероятность, поэтому эти же свойством должные обладать и риск-нейтральные вероятности. В этом случае

Область значений как функции двух переменных и при указанных выше ограничениях на эти переменные есть интервал от –1/4 до 1/4.
Ответ: риск-нейтральная вероятность существует при .

2. В биномиальной модели - рынка известны значения параметров

Найти справедливую цену и минимальный хедж стандартного опциона call с последействием (look back call option) европейского типа с платежным обязательством: , где .
Решение. Риск-нейтральная вероятность равна:

Составим таблицу для возможных значений цен акций и платежного обязательства в зависимости от поведения доходности в моменты времени 1 и 2. Всего возможны 4 случая:

СЛУЧАЙ
ВЕРОЯТНОСТЬ








0,16
-0,4
-0,4
200
120
72
72
0

0.24
-0,4
0,6
200
120
192
120
72

0,24
0,6
-0,4
200
320
192
192
0

0,36
0,6
0,6
200
320
512
200
312

Найдем справедливую цену данного платежного обязательства:

Теперь построим минимальный хедж . В данном случае это значит найти стратегию , обладающую свойствами самофинансируемости и реплицируемости. Строить такую стратегию удобно "с конца".
Рассмотрим момент времени 1. В этот момент становится известным значение доходности и на этой основе строится пара . Из условия реплицируемости имеем для капитала такой стратегии в момент времени 2

По условию задачи вероятностное пространство состоит из четырех элементарных исходов , поэтому выписанное выше равенство перепишем в виде системы

Пара – случайные величины, т. к. зависят от , но по определению они не зависят от , поэтому

Подставим в систему числовые значения из условия задачи:

откуда

Пара выбирается в момент времени 0 и не зависит от поведения цен акций. Условие самофинансируемости позволяет записать систему

Подставим в систему числовые значения из условия задачи и уже найденные величины:

откуда

Заметим, что начальный капитал найденной хеджирующей стратегии по определению есть , что совпадает со справедливой ценой платежного обязательства.
Ответ: справедливая цена равна 90, начальные количества рискового и безрискового активов равны соответственно 0,6 и -30. В случае понижения цены акции их следует оставить такими же, в случае повышения цены акции сделать равными -130 и 39/40.

3. Пусть процентная ставка , а цены акции изменяются по следующему правилу:





















Найти риск-нейтральную вероятность.
Найти область значений процентной ставки , для которых существует риск-нейтральная вероятность.
Для Американского опциона: , , с крайней датой исполнения при найти справедливую цену, минимальный хедж Американского типа и рациональный (разумный) момент исполнения данного опциона.

Решение.
1) Для нахождения риск-нейтральной вероятности выпишем следующие равенства:

По условию задачи вероятностное пространство состоит из четырех элементов . Подставляя числовые значения из условия задачи и учитывая требование нормировки, получаем систему:

Решая эту систему, получаем

2) Каждое из указанных в условии значение цены акции в момент времени 2 предполагается имеющим ненулевую (положительную) вероятность, поэтому условие положительности найденных вероятностей накладывает ограничение на процентную ставку . Решая систему неравенств

методом интервалов, находим, что
3) Риск-нейтральная вероятность при равна . Составим таблицу для возможных значений цен акций и платежного обязательства:

СЛУЧАЙ
ВЕРОЯТНОСТЬ







4/15
10
1
12
3
15
5

2/5
10
1
12
3
10
0

1/7
10
1
6
0
10
0

4/21
10
1
6
0
3
0

Найдем справедливую цену и минимальный хедж данного опциона Американского типа. Справедливая цена находится методом "максимальных прогнозов". Пусть капитал минимального хеджа в момент . Имеем


В соответствии с этим

Далее, и
, откуда справедливая цена данного опциона Американского типа равна . Построим теперь минимальный хедж . Для этого определим рациональные (разумные) моменты исполнения:
, откуда
В силу равенства можем записать
или

Решая систему, находим:
Заметим, что , что совпадает с ранее найденным значением справедливой цены.
Ответ: риск-нейтральная вероятность существует при , при этом

Справедливая цена равна 2, безрисковая и рисковая компоненты минимального хеджа равны -3 и 0,5 соответственно.

4. Рассмотрим биномиальный одношаговый -рынок с начальными ценами и процентной ставкой . Цена акции в момент времени 1 принимает значения: с вероятностью 0,6 и с вероятностью 0,4. Задана функция полезности: . Для начального значения найти оптимальную стратегию в задаче максимизации средней логарифмической полезности.
Решение. Найдем параметры -рынка:

Относительно исходной вероятности среднее значение доходности актива равно:

Тогда пропорция рисковой части во всем капитале стратегии равна:

По определению пропорции

откуда находим рисковую компоненту оптимальной стратегии

безрисковую компоненту оптимальной стратегии найдем из условия самофинансируемости:

Ответ: оптимальная стратегия имеет вид .

5. Дать расчет опциона покупателя и продавца с учетом дивидендов, выплачиваемых пропорционально стоимости акции с коэффициентом пропорциональности и .
Решение. В модели Блэка-Шоулса в дивидендами справедливая цена опциона продавца вычисляется по формуле

для опциона покупателя .
Далее рассмотрим 4 случая.
Случай :

Ниже в таблице приведены значения этих вспомогательных переменных



0,1
0,8
80
2,946 и 2,87
0,67 и 0,56
100
0,038 и -0,038
0,307 и -0,307

В следующей таблице приведены справедливые цены опциона покупателя и продавца соответственно


0,1
0,8
80
18,86 и 0
31,18 и 12,32
100
12,02 и 12,02
29,89 и 29,89

Случай :

Ниже в таблице приведены значения этих вспомогательных переменных


0,1
0,8
80
3,713 и 3,637
0,766 и 0,152
100
0,806 и 0,729
0,403 и –0,211

В следующей таблице приведены справедливые цены опциона покупателя и продавца соответственно


0,1
0,8
80
23,17 и 0
35,51 и 10,34
100
19,92 и 14,53
32,29 и 26,89

Случай :


Ниже в таблице приведены значения этих вспомогательных переменных


0,1
0,8

стр. 1
(из 2 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>