<< Предыдущая

стр. 2
(из 2 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

80
2,718 и 2,101
0,574 и –0,04
100
-0,729 и –0,806
0,211 и –0,403

В следующей таблице приведены справедливые цены опциона покупателя и продавца соответственно


0,1
0,8
80
13,5 и 0,04
27,22 и 13,76
100
4,87 и 10,25
25,96 и 32,36

Случай :


Ниже в таблице приведены значения этих вспомогательных переменных


0,1
0,8
80
2,946 и 2,87
0,67 и 0,56
100
0,038 и -0,038
0,307 и -0,307

В следующей таблице приведены справедливые цены опциона покупателя и продавца соответственно


0,1
0,8
80
17,78 и 0
29,40 и 11,62
100
11,34 и 11,34
28,18 и 28,18

Заметим, что справедливая цена опциона продавца в модели с дивидендами связана со справедливой ценой в модели без дивидендов следующим образом:

что дает возможность сравнить результаты вычислений для с результатами вычислений для без инвестирования. Имеем: , и умножая данные соответствующей таблицы на полученное число, убеждаемся в совпадении результатов.

6. Привести аргументацию с примером, подтверждающим или опровергающим совпадение стратегий минимального хеджирования и оптимального инвестирования в модели Блэка-Шоулса.

Решение. Для стратегии оптимального инвестирования (в смысле максимизации среднего функции полезности ) доля рискового актива в портфеле есть постоянная величина , в случае равная нулю, поэтому и рисковая компонента в этом случае окажется равной нулю. Для стратегии минимального хеджирования (платежного обязательства ) рисковая компонента стратегии есть и в случае получаем , поэтому указанные выше стратегии не совпадают.

7. Провести расчет стоимости одно- и двух-годовых страховых полисов "чистого" дожития с гарантией и 100 на -рынке Блэка-Шоулса, , с волатильностью и 0,8 при процентной ставке и 0,2.
Для расчетов взять возраст лет, вероятности дожития (берутся из так называемых таблиц продолжительности жизни) и , а число торговых дней в году положить равным 215.
Решение. Поскольку , то аналогично биномиальной модели (см. параграф 3) стоимость годового полиса , где определяется формулой Блэка-Шоулса:

В результате постановки численных значений параметров приходим к таблицам стоимостей этого полиса для и 0,2 соответственно при различных и :


0,1
0,8


0,1
0,8
80
99,87
110,78
и
80
99,88
109,01
100
115,26
128,35

100
116,62
125,53

Аналогично разбирается случай двухгодичного полиса.

8. Аналогично задаче 7 сделать расчет для биномиальной модели с независимыми доходностями
в случае и 2,
Решение. Рассмотрим случай . Найдем риск-нейтральную вероятность:

Далее,

поэтому справедливая цена такого контракта есть

Теперь рассмотрим случай . В этом случае . Далее,

поэтому справедливая цена контракта есть

Ответ: справедливые цены контрактов для и приблизительно равны 109,23 и 87,63 соответственно.

9. Аналогично задаче 7 сделать расчет для дискретной гауссовской модели (использовать числовые значения задачи 5).
Решение. Для дискретной гауссовской модели справедливая цена контракта на дожитие с выплатами есть

Снова будем считать, что возраст застрахованного равен 30 годам, и тогда вероятность дожития до исполнения контракта приблизительно равна 0,9987. Подставим в данные соотношения численные значения из условия задачи.
Случай :


Ниже в таблице приведены значения этих вспомогательных переменных


0,1
0,8
80
3,677 и 3
0,762 и 0,148
100
0,77 и 0,69
0,398 и -0,216

В следующей таблице приведены справедливые цены описанного выше контракта


0,1
0,8
80
99,87
110,92
100
100,88
120,67

Случай :


Ниже в таблице приведены значения этих вспомогательных переменных


0,1
0,8
80
4,345 и 4,268
0,845 и 0,231
100
1,438 и 1,361
0,482 и -0,132

В следующей таблице приведены справедливые цены описанного выше контракта


0,1
0,8
80
99,87
109,32
100
100,14
117,98

<< Предыдущая

стр. 2
(из 2 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ