<< Предыдущая

стр. 6
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Дисконтированный чистый приток (стр.9?стр.11)
352,6
304,6
262,9
226,6
228,9
13
NPV
1375,7




Таким образом, эффект собственника от продолжения эксплуатации аттракциона составит 1376. Эффект от его продажи зависит от стоимости и условий продажи.
Рассмотрим один из возможных вариантов продажи. В этом варианте стоимость продажи составляет 1450, расходы по организации продажи — 2% от стоимости, т.е. 29, чистая выручка от продажи — 1450-29=1421. Налогооблагаемый доход от продажи при этом будет равен 1421-1250=171, налог на прибыль — 0,24?171=41,0. Поэтому чистый доход продавца составит 1421-41=1380>1376. Поэтому в данном случае собственник был бы согласен на продажу. Путем подбора можно убедиться, что минимальная выгодная ему цена (валовая стоимость реализации) здесь составит примерно 1444.
Но устроит ли такая цена покупателей? Для ответа на этот вопрос возьмем одного из потенциальных покупателей. Для упрощения расчетов допустим, что его ставка дисконта постоянна во времени и составляет 10%. Расчет NPV (здесь он совпадает с DEI) от использования аттракциона, купленного за 1450, предполагая, что выбранный вариант его использования является наилучшим, а трансакционные издержки покупателя — нулевые, представлен в табл.3.
Таблица 3

Показатели
годы
строки

1
2
3
4
5
1
Остаточная стоимость
1450
1160
870
580
290
2
Ликвидационный доход
0
0
0
0
70
3
Выручка
600
575
550
525
500
4
Чистые издержки эксплуатации
190
185
180
175
170
5
Амортизация
290
290
290
290
290
6
Налог на имущество (2%)
29,0
23,2
17,4
11,6
5,8
7
Налогооблагаемая прибыль (стр.2+стр.3-стр.4-стр.5-стр.6)
91,0
76,8
62,6
48,4
104,2
8
Налог на прибыль (24%)
21,8
18,4
15,0
11,6
25,0
9
Чистый денежный приток (стр.2+стр.3-стр.4-стр.6-стр.8)
359,2
348,4
337,6
326,8
369,2
10
Ставка дисконта
10%
10%
10%
10%
10%
11
Коэффициент дисконтирования
1,000
0,9091
0,8264
0,7513
0,6830
12
Дисконтированный чистый приток (стр.9 ? стр.11)
359,2
316,7
279,0
245,5
252,2
13
NPV от использования
1452,5




14
NPV от покупки (стр.13 за вычетом стоимости покупки)
2,5




Итак, при данной стоимости покупатель, вероятно, найдется. Зависимости NPV покупателя и продавца от стоимости C при разных ставках дисконта покупателя (E) представлены на рис. 2.1.

Рис. 2.1. NPV продавца и покупателя при разной стоимости продажи
Как видим, при E=11% купля-продажа невозможна при любой стоимости, с уменьшением E диапазон допустимых значений стоимости расширяется. Так, при E=10% аттракцион может быть продан по стоимости в пределах примерно от 1445 до 1455, тогда как при E=8% — от 1445 до 1516. Разумеется, стоимость 1445 здесь можно было бы назвать “рыночной”, однако нет никаких гарантий, что на рынке найдутся покупатели со ставкой дисконта 10,5% или меньшей. С другой стороны, если у “замыкающего” покупателя ставка дисконта — 8%, то рыночная стоимость покупки аттракциона составит 1516. n
Рассмотрение примера позволяет увидеть любопытную особенность расчетов стоимости имущества. Действительно, обычно требование оценивать имущество по NPV от его использования понимается буквально: чтобы оценить имущество, надо вначале рассчитать NPV (это хорошо видно из примера расчета в [32, c. 388-411]). Между тем, такой порядок расчетов не учитывает, что денежные потоки от использования имущества (например, суммы начисляемой амортизации и налога на прибыль) зависят от цены покупки. Поэтому схема оценки должна быть иной: вначале задается “приближенная” стоимость имущества, исходя из этого рассчитываются денежные потоки, связанные с дальнейшим использованием имущества, и NPV. После этого “приближенная” стоимость имущества варьируется до тех пор, пока она не совпадет с NPV. Аналогичная ситуация имеет место и при затратном подходе к оценке имущества (здесь надо учитывать связанные с продажей расходы и налоги, не включаемые в рыночную стоимость, но зависящие от нее).

Говоря выше о стоимостях покупки и продажи имущества, мы неявно предполагали, что покупка имущества должна быть эффективной для покупателя, а продажа — эффективной для продавца. Однако на практике это предположение иногда не выполняется. Посмотрим, что в этих случаях происходит.
Если продажа имущества обусловлена какими-то ранее принятыми решениями или постановлениями государственных органов, то здесь интересы продавца учитываться не должны. Стоимость продажи здесь будет определяться чистой стоимостью покупки, максимальной из приемлемых для покупателей. Однако считать подобную стоимость “рыночной” при данных условиях продажи нельзя.
Другой вариант: продажа имущества происходит, потому что продавцу срочно понадобились денежные средства. Эта ситуация вполне реальна, однако в этом случае у продавца изменяется оценка денег, а значит, и ставка дисконта. В этом случае расчеты DEI должны проводиться по более высокой ставке дисконта, и они приведут к уменьшению минимально приемлемой для инвестора стоимости продажи. Наоборот, если анализ рынка позволил выяснить, как снижаются цены однотипного имущества при его “ускоренной” продаже, эту информацию можно использовать для того чтобы оценить, на сколько возникновение срочной потребности в деньгах повышает ставку дисконта. Точно так же, когда расчеты укажут на неэффективность покупки имущества, а такая покупка необходима покупателю по “каким-то соображениям”, это свидетельствует о том, что он неправильно установил ставку дисконта, например, переоценил возможности получения дохода от альтернативных вложений в ФТ.
Обратите внимание, что в процессе оценки стоимости продажи или покупки субъект может менять ставку дисконта. В этой связи имеет смысл остановиться на одном любопытном положении, выдвинутом в МСО [1, Международное руководство №9, п. 3.5]. Изложив (не самое лучшее!) определение показателя внутренней нормы доходности (ВНД, в документе она переведена как внутренняя ставка отдачи — ВСО), авторы пишут: “ВСО отражает оба вида отдачи: как отдачу всего инвестированного капитала, так и ту отдачу первоначальных инвестиций, которая является основным вознаграждением потенциальным инвесторам. Поэтому установление происхождения ВСО из анализа рыночных трансакций с похожими объектами имущества, которые имеют сопоставимые структуры дохода, является подходящим методом разработки рыночных ставок дисконтирования для их использования в оценках, приводящих к Рыночной стоимости”. В переводе с плохо переведенного английского это означает, что при установлении ставок дисконта рекомендуется учитывать значения ВНД по проектам покупки и использования “похожего имущества”. Общая методика и пример ее использования для выбора ставки дисконта изложены в [57, с.146-150]. Здесь, естественно, приходится принимать, что у таких проектов ВНД существует (тем самым, данная рекомендация будет непригодна для оценки нефтяных месторождений, угольных шахт и даже высотных зданий, ибо соответствующие проекты завершаются, как правило значительными ликвидационными затратами, из-за которых у уравнения ЧДД(E)=0 может оказаться несколько корней).
Пусть, однако, у проектов покупки и использования похожего имущества ВНД существуют и близки между собой. Допустим, например, что все они составляют примерно 10%. Выясним, что тогда можно сказать относительно ставки дисконта. Для этого заметим прежде всего, что речь должна идти о расчетах ВНД по информации об уже совершенных (а не “спроектированных” кем-либо) сделках. Но, если подобная сделка была совершена, то цена покупки имущества в этой сделке обеспечила неотрицательный ЧДД покупателю (поскольку заложенные в расчет ВНД чистые притоки проекта в данном случае относятся именно к покупателю, а не к продавцу). Но тогда ставка дисконта покупателя должна быть не больше 10%. Если же продажа происходила на конкурсной основе, то скорее всего, у реального покупателя эта ставка и составила примерно 10%. Однако сказать что-либо о ставке дисконта для продавца здесь нельзя (ведь его денежные потоки в показателе ВНД не учтены никак).
Существенно, что при нашем рассмотрении понятие “рыночной стоимости имущества” не понадобилось. А нельзя ли без него обойтись? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо разобраться, почему появилось это понятие. Представляется, что его появление обусловлено следующим. Наблюдая за происходящими на рынке операциями купли/продажи, люди увидели, что в определенные промежутки времени, при определенных условиях однотипные товары продаются и покупаются по довольно близким ценам. Это заставило предположить, что за фактическими ценами сделок с каждым товаром стоит некая не наблюдаемая непосредственно характеристика этого товара, некий единый для всех участников рынка ориентир. Формализацией этого ориентира и явилось понятие рыночной стоимости. При этом наличие разных подходов и методов оценки рыночной стоимости означает просто многообразие способов приближенного измерения этого не наблюдаемого непосредственно показателя по другой исходной и доступной рыночной информации. Таким образом, рыночная стоимость — это показатель, дающий ответ на вопрос: “что стоит за наблюдаемыми или предполагаемыми ценами сделок?”
Совершенно иная ситуация с инвестиционной стоимостью, точнее, с двумя ее “лицами” — валовой стоимостью реализации и чистой стоимостью покупки. Эти показатели появились в данной книге не потому, что автор пытался проанализировать какую-то фактическую информацию, и не потому, что он решил проявить оригинальность. Более того, начиная свое исследование, я и не думал о том, что подобные показатели могут в нем появиться. Вначале я рассматривал задачи: как оценить, выгодно ли данному субъекту (инвестору) участие в данном проекте? при каких значениях параметров проекта (например, при каком объеме инвестиций) проект перестает быть для него выгодным? Ответ на эти вопросы привел к определенному обобщению показателя ЧДД, который используется и при оценке имущества и бизнеса. Тогда возникли аналогичные вопросы: как оценить, выгодно ли данному субъекту (участнику рынка) купить (или продать) данное имущество по такой-то цене? при каких ценах покупка (или продажа) этого имущества на свободном рынке вообще возможна? И именно из ответа на эти вопросы и возникли указанные показатели.
Таким образом, говорить о “нужности” или “ненужности” показателей рыночной и инвестиционной стоимости нельзя, поскольку они отвечают на разные вопросы. Первый относится к рынку в целом и является одновременно и единым для всех участников рынка ориентиром и элементом (если не двигателем) “рыночного механизма”, тогда как второй — инструментом принятия конкретного решения конкретным участником рынка в конкретной обстановке. Очень условно можно сравнить рыночную стоимость с компасом, указывающим правильное направление, а инвестиционную стоимость — с крупномасштабной картой, из которой видно, по какой тропинке следует идти сейчас, чтобы скорее и с наименьшими затруднениями достигнуть нужной цели.
Говоря о рыночной стоимости, здесь нельзя не упомянуть общую концепцию её определения, достаточно подробно изложенную в монографии [, с.33-34]. Здесь говорится, что к оценке имущества можно подходить с двух позиций, рассматривая его “извне и изнутри. Первая позиция — это взгляд на оцениваемое имущество “глазами” рынка или, более точно, институционально-экономической средой. ... Таким образом, “субъектом, производящим оценку” по объективным критериям, является рынок, выражающий коллективные или общественные интересы и условия, в соответствии с которыми определяется наиболее эффективное использование имущества. Другую позицию занимают собственники имущества, руководство действующего предприятия, инвесторы осуществляемого нового проекта, все те лица, которые принимают финансово-экономические решения в соответствии со своими индивидуальными (и в этом смысле — субъективными) целями и/или критериями.... Таким образом, истинным субъектом, производящим оценку по субъективным критериям, является хозяйствующее “лицо, принимающее решение” ... по своим представлениям о текущем использовании имущества и своем собственном предпринимательском риске.” Оставим до п. 4.6 обсуждение вопроса о “предпринимательском риске” и рассмотрим остальные положения внимательнее.
Не вызывает сомнений, что финансово-экономические решения участники рынка принимают на основе своих индивидуальных целей и/или критериев (мы бы сказали — целей и интересов). Необходимую для этого информацию дают, как нам кажется, показатели валовой стоимости реализации и чистой стоимости покупки. К тому же, как видно из предыдущего нашего рассмотрения, при оценке имущества и продавец и покупатель просто вынуждены принимать во внимание наилучшее (для себя), а вовсе не “текущее” использование имущества. Между тем, валовая стоимость реализации и чистая стоимость покупки отнюдь не эквивалентны “стоимости текущего использования”, о которой, по существу, говорится в приведенной цитате. Таким образом, если оценка по объективным критериям приводит к показателям рыночной стоимости, то оценка по субъективным критериям — к показателям валовой стоимости реализации и чистой стоимости покупки, а не стоимости текущего использования.
Заметим теперь, что довести до конкретных расчетов идею оценки имущества с позиций рынка не так-то просто. Дело в том, что тогда “взгляд” рынка должен отразиться на всей процедуре расчета NPV. В частности:
денежные потоки должны отвечать такому использованию имущества, которое является наиболее эффективным с точки зрения рынка, а не владельца имущества. В этих целях представляется необходимым дать оценщикам какие-то инструменты, чтобы они смогли отобрать такой способ и обосновать, что он дает наибольшую эффективность;
в расчет должны быть включены только те затраты и результаты, которые признаются рынком, а не те, которые считает необходимым осуществить владелец имущества (например, если рынок признает необходимость взяток чиновникам или расходов на рекламу в определенных размерах, в денежные потоки такие расходы должны быть включены в этом размере, даже если владелец имущества с этим не согласен; наоборот, если рынок не признает необходимости соблюдения экологических ограничений, то в денежных оттоках должны учитываться только мизерные штрафы за их несоблюдение вместо солидных расходов на очистные сооружения и иные природоохранные мероприятия, которые данный собственник пожелал осуществить);
для дисконтирования денежных потоков должна использоваться “рыночная” ставка дисконта, а не ставка, относящаяся к конкретному владельцу имущества. Разумеется, при этом следовало бы где-то дать определение такой ставки и изложить методы ее оценки.
Пойдем дальше. Взглянуть на имущество глазами рынка, безусловно, интересно. Но зачем это нужно? Кто, зачем и как будет использовать показатель рыночной стоимости? Увы, в указанной монографии мы не найдем ответа на этот вопрос. Не претендуя на полноту охвата, одно из возможных направлений использования этого показателя можно указать. Представляется, что без показателей рыночной стоимости нельзя обойтись и в расчетах эффективности инвестиционных проектов и даже при расчете валовой стоимости реализации и чистой стоимости покупки. Дело в том, что для этих расчетов необходимо вначале определить чистые денежные притоки проекта (или использования имущества). Для этого надо, в частности, определить затраты на соответствующие потребляемые ресурсы — товары и услуги. Обычно объемы потребления ресурсов в натуральном выражении известны. Но каковы цены этих ресурсов? По довольно широкому кругу ресурсов на момент оценки (проекта или имущества) их поставщики (продавцы) неизвестны, неизвестны и запрашиваемые ими цены. Поэтому здесь необходимо исходить из “общерыночной” информации, а такой как раз и являются рыночные стоимости товаров и услуг. Именно по этой причине в расчеты данного типа закладываются прежде всего рыночные стоимости, и, только как исключение — заранее согласованные с поставщиками “индивидуальные” цены товаров и услуг. Таким образом, потребность в рыночных стоимостях возникает “на границе” между проектом и его экономическим окружением, в том месте, где производимая продукция “уходит из проекта” или там, где потребляемые ресурсы в него “приходят”, т.е. там, где совершаются операции купли/продажи между участником и не-участником проекта. Аналогично, при оценке имущества и бизнеса рыночные стоимости появляются там, где оцениваются доходы и расходы, связанные с использованием имущества или функционированием бизнеса.
Однако необходимые в этих случаях рыночные стоимости имеют, как нам кажется, несколько иной и более конкретный смысл. Дело в том, что в подобных ситуациях они относятся к “массовому” однородному имуществу, свободно в большом количестве обращающемся на рынке. Рассмотрим, к примеру, отдельную акцию или иной ФТ. Из рассмотренной выше модели следует, что в случае, когда оптимальная политика фирмы предполагает покупку этого ФТ, DEI “проекта покупки и последующего владения этим ФТ” будет равен нулю. Вообразим теперь на минуту, что стоимость покупки данного ФТ (в модели она была задана) слишком высока. Тогда ни данная, ни любая другая фирма не включат покупку этих ФТ в свою оптимальную политику. Но тогда эти ФТ перестанут обращаться на рынке! В реальности этого не происходит, поскольку в подобной ситуации продавцы начнут снижать цены, пока спрос и предложение на ФТ не уравновесятся. Так вот, “настоящей” рыночной стоимостью ФТ будет та, которая балансирует спрос и предложение на них (при этом не очень ясно, как соотносятся между собой такая и “обычная” рыночные стоимости). Аналогичная ситуация имеет место и для других массовых товаров, хотя тут не всегда можно измерить в стоимостном выражении получаемую от них выгоду (офисные помещения, автомобили, технологическое оборудование, компьютеры и т.п.). Существенно, однако, что данное определение хорошо именно для массовых, однородных видов имущества. Если же объект уникален, либо имеет место ситуация монополии или монопсонии, такое определение становится не очень конструктивным. Строго говоря, и здесь существуют “равновесные” цены, однако в соответствующих “моделях рыночного равновесия” появляются дискретные переменные, а “точек равновесия” может оказаться несколько. Что же касается инвестиционных проектов, то здесь говорить об их “рыночной стоимости” или трактовать показатель DEI как оценку эффективности проекта с точки зрения рынка нельзя вообще. Это связано с тем, что, как отмечалось ранее, на “рынке проектов” равновесия нет в принципе: каждый реальный инвестиционный проект по-своему эксклюзивен, “привязан” к определенным его участникам, самих проектов намного больше, чем желающих принять в них финансовое участие, а DEI реальных проектов (в отличие от финансовых), как правило, отличен от нуля. В этих условиях стремление оценить проект так, как будто он представляет собой некий ФТ, доступный каждому участнику рынка, сродни стремлению к оценке красоты вашей тети на основе всероссийского социологического опроса. Есть объекты, которые каждый должен оценивать сам, не обращая внимание на мнение близких, и тем более — на мнение рынка. Именно по этой причине вы можете оценивать, стоит ли произвести евроремонт в вашей квартире, но рынок оценить такой проект не может и не должен.
Отметим еще одно важное различие между рассматриваемыми стоимостями. Если оценщик оценит некоторое имущество с точки зрения конкретного его покупателя, т.е. рассчитает для него чистую стоимость покупки его расчет может быть позднее проверен: при правильном расчете затраты данного покупателя на покупку имущества должны быть такие же или меньше. Точно также проверяется и расчет рыночной стоимости покупки Ск: если он правилен, то данное или аналогичное имущество будет (кем-то) куплено за Ск или дешевле. Аналогично проверяются и расчеты валовой и рыночной стоимостей реализации.
Между тем, расчеты рыночной стоимости проверить нельзя: из того, что один, два или десять покупателей приобрели аналогичное имущество по некоторой цене, не следует, что “рынок в целом” оценивает его так же. К тому же во многих случаях идентичные экземпляры имущества в одно и то же время покупаются по разным ценам, тогда как сама концепция рыночной стоимости предполагает, что такая цена должна быть одна.
Казалось бы, результаты оценки можно сравнить со средней ценой данного вида имущества. Однако тогда придется признать, что цены конкретных сделок — случайные величины, а рыночная стоимость отражает их среднее значение, т.е. отвечает среднему (а не замыкающему) покупателю, ориентированному на среднее, а не наилучшее использование имущества. Более того, оценка среднего значения по выборочным данным сопряжена с ошибкой (т.е. у рассчитанного среднего есть своя дисперсия), поэтому придется требовать от оценщиков, чтобы они каждый раз указывали доверительные интервалы для рассчитанной ими стоимости. Представляется, что это слишком высокая плата за подобный “метод верификации”.
Приведенные выше рассуждения относились к использованию метода дисконтированного денежного потока для оценки имущества и бизнеса с использованием доходного подхода. Между тем, этот метод применим и при затратном подходе к оценке. Здесь исходным является предположение о том, что проект создания имущества и последующей его продажи должен давать продавцу нулевой DEI. Таким образом, оцененная этим методом стоимость имущества должна равняться взятому с обратным знаком DEI “проекта” создания имущества. Поскольку создание имущества требует только затрат, эта величина будет равна сумме дисконтированных (к моменту продажи) затрат на создание имущества. О таком применении метода ДДП в оценочной литературе почему-то не упоминается, а практические расчеты сводятся к подсчету общей (не дисконтированной) суммы указанных затрат. Ошибка при этом тем больше, чем больше срок создания имущества, так что наибольшая ошибка имеет место при оценке крупных зданий и сооружений.
Из изложенного видно, что речь идет не об отказе от оценок рыночной стоимости, а о том, что необходимо, с одной стороны, конкретизировать и развивать концепцию и методологию оценки рыночной стоимости, а с другой стороны — не ограничиваясь этими оценками, оценивать и рыночные стоимости покупки и реализации, а также ориентированные на конкретных участников рынка валовые стоимости реализации и чистые стоимости покупки.
МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ КАПИТАЛЬНЫХ АКТИВОВ
Разработка и обсуждение модели, какой бы несовершенной она ни была, не является напрасным трудом. Для практических работников разработка и обсуждение модели есть то же самое, что и для военных теория военного дела. Это наводит на мысль о целом ряде ситуаций, которые, возможно, никогда и не появятся, но облегчат в нужную минуту точное и быстрое решение.
Пьер Массе
Задача оптимизации инвестиционного портфеля
Как бы, дети, вы ни были прытки,
Не играйте на фондовом рынке...
Владимир Вишневский
Наш разум пригоден лишь для того чтобы всё запутать и вызвать сомнение во всём.
П. Бейль
Для обсуждения модели оценки капитальных активов недостаточно упомянуть её основные предпосылки, надо еще понять, какую роль они играют, и во что превратится модель, если от них отказаться. Поэтому представляется необходимым изложить один из вариантов доказательства модели, требующий наименее спорных допущений.
Начнем, однако, с введения необходимых определений и обозначений.
Модель описывает рациональное поведение инвестора на финансовом рынке в течение одного шага, т.е. поведение инвестора на шаге 0 с точки зрения результатов, которые он получит на следующем шаге 1. На начальном шаге 0 инвестор располагает некоторым (собственным) капиталом K и вкладывает его в разные виды ФТ (при этом никаких других ограничений на объем покупок ФТ каждого вида нет). Капитал Ki, вложенный в i-е ФТ, на следующем шаге изменяется за счет получения дивидендов (процентов) по ним и изменения курсовой стоимости ФТ. Новое (измененное) значение собственного капитала — наращенный капитал — обозначим через Pi. Индексы роста xi=Pi/Ki и прироста di =(Pi -Ki)/Ki=xi-1 капитала при указанных вложениях не зависят от объема вложений и отражают соответственно брутто- и нетто-доходность i-х ФТ.
Примечание. Основное внимание в модели уделено доходностям разных ФТ только на шаге 1, однако это не значит, что сами ФТ являются “одношаговыми” финансовыми инструментами. Поскольку их можно купить на шаге 0 и продать на шаге 1, они могли обращаться на рынке и раньше и могут продолжать обращаться после шага 1.
Цены и дивиденды ФТ считаются случайными, поэтому доходности ФТ — также случайные величины, и инвестор знает их совместное вероятностное распределение, а значит — математические ожидания M[xi]=ai, M[di]=ai-1=ri, дисперсии D[xi]=D[di]=Di и ковариации cij=M[(xi-ai)(xj-aj)]=cov(xi,xj), которые предполагаются конечными. Колебания доходностей ФТ относительно своего среднего значения в общем случае описываются термином волатильность. Таким образом, факторы неопределенности в данной модели проявляются в неопределенной доходности ФТ.
Те ФТ, о которых шла речь до сих пор, будем называть рискованными. Однако, кроме них, предполагается, что на рынке есть и ФТ с детерминированной доходностью — безрисковые. Если имеется несколько выпусков безрисковых ФТ, то все они имеют одну и ту же доходность (считается, что никто не станет приобретать ФТ, дающий маленький доход, если есть возможность приобрести более доходный), и стало быть, для нас они равноценны. Поэтому мы будем считать, что есть только один вид безрисковых ФТ. Присвоим этим ФТ номер 0 и назовем их ФТ депозитами (до недавнего времени эту роль в США выполняли долгосрочные обязательства Правительства США).
Казалось бы, к безрисковым ФТ следует отнести и облигации частных фирм и регионов — ведь по ним заранее установлены размеры выплачиваемых сумм. Однако это было бы неверно: владельцы облигаций должны учитывать, например, возможность банкротства эмитента (при этом выплачиваемая им сумма будет определена еще позже). Поэтому доходности облигаций должны также рассматриваться как случайные величины.
Существование депозитов означает, что инвесторы всегда имеют возможность дать деньги в долг под твердый (детерминированный) процент r0 — назовем его депозитной или безрисковой ставкой. Предполагается, кроме того, что они могут (при необходимости) занимать любую сумму денег под ту же самую ставку. Естественно, что при этом весь инвестированный капитал будет равен сумме собственного и заемного. Однако займы необходимо погашать (с процентами) на следующем шаге, за счет чего собственный капитал инвестора на следующем шаге уменьшится на сумму процентов. По этой причине общий размер всего инвестированного капитала нас интересовать не будет, а под термином “капитал” мы будем понимать только собственный капитал.
Пакет ФТ разных видов удобно характеризовать его структурой, т.е. вектором x, i-я компонента xi которого отражает долю i-х ФТ в стоимости пакета. Доходность такого пакета будет средней взвешенной из доходностей ФТ, включенных в пакет:
. (3.1)
Тогда математическое ожидание и дисперсия доходности пакета выражаются следующими формулами:
. (3.2)
Поскольку основное внимание мы уделяем показателям доходности, которые не зависят от объема пакета, то любые пакеты одинаковой структуры (т.е. характеризуемые одним и тем же вектором x) мы как бы отождествляем. Поэтому, говоря о вложениях в какой-либо пакет ФТ, мы будем подразумевать приобретение инвестором пакета ФТ соответствующей структуры (но, возможно, иного объема). Пакет ФТ данного инвестора будем называть инвестиционным портфелем.
Рыночным пакетом ФТ называется пакет из всех обращающихся на рынке рискованных ФТ. Структуру этого пакета мы характеризуем вектором m (его компоненты положительны и в сумме равны 1). Соответственно, вложениями в рыночный пакет назовем приобретение пакета рискованных ФТ со структурой m. (Случайную) брутто-доходность этого пакета обозначим через xm , а её среднее и дисперсию — соответственно через am и Dm.
До сих пор неявно подразумевалось, что рассматриваемые пакеты не предусматривают кредита. Для таких пакетов все xi неотрицательны. Удобно, однако, считать, что пакет может включать кредит. Получение кредита можно рассматривать как отрицательный депозит: “вложения” в него означают получение денег, а “доходы” — погашение кредита и процентов. Поскольку проценты по кредиту и депозиту равны, будем 0-й ФТ именовать депозит/кредит, и считать, что x0<0 означает получение кредита в соответствующем объеме -x0, (поскольку в этом случае чистый денежный приток от операции на шаге 0 составит -x0, а на шаге 1 — a0x0, так же как и при депонировании суммы x0). В таких случаях равенства (3.1) сохраняются, поскольку сумма всех xi равна 1 (например, если инвестор взял кредит в размере 20% своего капитала и вложил все средства в 1-й ФТ, этому будет отвечать x0=-0,2, x1=1,2). Далее, используя термин “пакет”, мы иногда будем, а иногда не будем включать туда депозиты/кредиты. В последнем случае, там, где это важно, мы будем говорить о “пакете рискованных ФТ”.
Теперь, после того, как почти все необходимые определения введены, займемся моделированием рационального поведения инвестора на финансовом рынке. Это поведение мы видим следующим.
Инвестор, располагающий на шаге 0 капиталом K, используя имеющуюся рыночную информацию о доходностях разных ФТ, хочет сформировать такой пакет, вложения в который в максимальной степени отвечали его целям и интересам. При необходимости инвестор может взять кредит и использовать его для приобретения каких-то ФТ — в этом случае стоимость инвестиционного портфеля будет больше 1. Если бы доходности ФТ были детерминированы, инвестору следовало бы сформировать пакет с наибольшей доходностью (он состоял бы только из наиболее доходных ФТ). Это означает, что в детерминированной ситуации инвестор стремится максимизировать собственный капитал. В частности, если инвестор привлекает заемные средства и вкладывает их в ФТ, то критерием будет не общая сумма собственных и заемных средств (стоимость всего инвестированного капитала), а только та её часть, которая останется в распоряжении инвестора после уплаты долга и процентов (стоимость собственного капитала). Такой критерий полностью согласуется с одним из подходов к оценке стоимости бизнеса, закрепленным в МСО: “Подход на основе активов. Средство расчета стоимости бизнеса ... с использованием методов, основанных на рыночной стоимости активов бизнеса за вычетом его обязательств” [1, Международное руководство по оценке №6, п. 3.2].
В детерминированной ситуации безразлично, максимизирует ли субъект свой капитал или какую-то возрастающую функцию от него. Однако в условиях, когда доходность любого пакета — случайная величина, это становится важным. Поэтому в модели постулируется иное поведение инвестора: при выборе структуры x оптимального портфеля он руководствуется предложенным Нейманом и Моргенштерном критерием ожидаемой полезности (см. [,,], подробнее этот критерий мы обсуждаем в п. 5.3):
M[u(Vx)]?max. (3.3)
Здесь Vx — наращенный капитал инвестора на шаге 1 в результате вложений в портфель x, u(V) — функция полезности инвестора, которая предполагается возрастающей, равной нулю при V=0 и выпуклой вверх. Последнее требование означает, что инвестор не склонен к риску (“осторожен”) и придает увеличению капитала меньшую ценность, чем такому же по величине уменьшению капитала. Таких инвесторов — большинство на финансовом рынке.
Предположим, что при некотором поведении инвестора его наращенный капитал будет случайной величиной V со средним a и дисперсией s2. Оказывается, что если функция полезности обладает указанными свойствами, то ожидаемая полезность в типичных ситуациях будет возрастать с ростом a и убывать с увеличением s. Мы проверим это для двух случаев.
1. Предположим, что величина V имеет плотность распределения с четной функцией g (это значит, что g(z)=g(-z), т.е. распределение V — симметричное). В этом случае
.
Но функция u?(x) положительная и убывающая, и поэтому:
, .
2. Допустим теперь, что распределение случайной величины V произвольное, но её дисперсия мала. Тогда
.
Поскольку u?<0 (т.е. функция u выпукла вверх), а s мала, эта величина также будет возрастать по a и убывать по s. Это значит, что поведение, дающее детерминированный капитал a, инвестор предпочтет поведению, приводящему к случайному капиталу с тем же средним значением. Из полученной формулы следует также, что . Это значит, что получение случайного капитала V эквивалентно для инвестора получению детерминированного капитала . Такую величину Vd можно назвать детерминированным эквивалентом случайного капитала V — подобные показатели мы будем рассматривать и в других разделах.
Естественно, детерминированный эквивалент случайного капитала V будет меньше, чем его среднее значение a, причем разница будет тем больше, чем больше s. Величина соответствующего уменьшения зависит от функции полезности u, т.е. от “степени осторожности” инвестора. Полученное выражение позволяет эту “степень осторожности” изменить количественно. Для этого обычно используют два показателя “неприятия риска” (risk aversion) по Пратту []: абсолютный — , имеющий размерность, обратную к денежной единице, или относительный — , безразмерный. Нам, однако, удобнее иметь дело с показателем “склонности к риску” q=1-RRA. Для осторожных инвесторов ARA>0, q<1. В общем случае величины ARA и q будут зависеть от V. Постоянные, не зависящие от V, значения ARA и q имеют только соответственно экспоненциальные и степенные функции полезности: и .
Вернемся теперь к задаче оптимизации инвестиционного портфеля. Используя (3.1), критерий (3.3) можно записать иначе:
. (3.4)
Таким образом, оптимальный портфель обеспечивает выполнение (3.4) при естественных ограничениях на начальный капитал инвестора и неотрицательность долей всех ФТ, кроме депозитов:
; (3.5)
xi> 0 "i>0. (3.6)
Обратим внимание, что эта задача, несмотря на свою простоту, является задачей стратегического планирования. Тот факт, что речь идет о выработке стратегии на один шаг вперед, не играет здесь существенной роли — “одношаговая” модель позволяет получить обозримые и достаточно общие выводы, многие из которых останутся справедливыми и для более сложных моделей оптимизации многошаговых стратегий.
Однако один весьма важный вывод можно сделать уже сейчас, анализируя саму постановку задачи. Действительно, искомое поведение фирмы “сегодня” в данной модели с самого начала рассчитывается на все возможные “завтра” ситуации с учетом их вероятностей, причем рассчитывается так, чтобы случайные последствия принятого решения оказались в некотором смысле наилучшими. Обратите внимание, что при этом фирма не назначает себе какого-то целевого уровня завтрашнего собственного капитала и не ставит себе целью достичь этого уровня (наоборот, если поставить задачу стимулировать работников фирмы за превышение определенного уровня собственного капитала, то указанный уровень следует установить уже после того, как выбрано оптимальное поведение фирмы и рассчитано отвечающее ему вероятностное распределение значений собственного капитала). Это резко отличает данный подход от рекомендованного в [41], суть которого хорошо видна из следующей цитаты: “Стратегические планы предприятия разрабатываются в расчете на некоторые фиксированные условия или, по крайней мере, на их более или менее предсказуемое развитие. Вследствие того, что такие предположения часто нарушаются, особенно в долгосрочной перспективе, всегда остается шанс не достичь намеченной цели, не получить запланированный стратегический результат. Возможность отклонения от цели стратегического решения, т.е. несовпадение фактически полученного экономического результата с намеченным в момент принятия решений, принято характеризовать с помощью категории “хозяйственный риск”. Заметим, что это несовпадение не обязательно бывает в худшую сторону; весьма возможно, что результат превзойдет ожидания. Однако это, скорее, исключение, чем правило. ... Понятие риска используется в этом смысле как характеристика процесса и результата принятия стратегических решений. В таком аспекте риск – это возможность таких последствий принимаемых стратегических решений, при которых поставленные цели (генеральная цель предприятия либо стратегические цели) частично или полностью не достигаются.” Соответственно далее к факторам риска, существенным “на уровне принятия руководством стратегических решений”, авторы относят и “ошибочный прогноз развития внешней для предприятия хозяйственной среды в долгосрочной перспективе”. По нашему мнению, подобный взгляд на стратегическое планирование неконструктивен. Основным его отличием от оперативного планирования является как раз то, что здесь решения не базируются на каком-то одном “прогнозе развития внешней для предприятия хозяйственной среды”. В ходе стратегического планирования должна вырабатываться политика, в наибольшей степени отвечающая долгосрочным интересам фирмы в условиях неопределенности и наиболее полно эту неопределенность (точнее — информацию о ней) учитывающая. Если же для организации управления фирмой необходимо установить какие-то конкретные количественные целевые ориентиры, то они должны устанавливаться на основе выбранной политики.
Условия оптимальности инвестиционного портфеля. Теорема разделения
Математики, как французы: всё, что вы им говорите, они переводят на свой язык, и это тотчас же становится чем-то совершенно иным.
Иоганн Вольфганг Гёте
Равенство, которого мы требуем, — всего лишь наиболее терпимая степень неравенства.
Георг Кристоф Лихтенберг
Вернемся теперь к поставленной задаче и выведем важные условия оптимальности портфеля — так называемые условия дополняющей нежесткости. Для этого оказывается необходимым принять одно из двух дополнительных допущений — нормальности или квадратичности.
А. Допущение нормальности. Если все случайные величины xi имеют нормальные распределения, наращенный капитал инвестора V также будет распределен нормально с некоторым средним M[V] и дисперсией D[V]. Но тогда ожидаемая полезность наращенного капитала будет некоторой функцией f(M[V],D[V]), которая, как показано выше, возрастает по первому аргументу и убывает по второму. Поэтому в силу (3.2) имеем:
.
Необходимые (и, как показывается ниже, достаточные) условия максимума этого критерия при ограничениях (3.5)-(3.6), оказываются следующими. Найдется такой множитель Лагранжа J, что в случае, когда оптимальное значение xi положительно, или если речь идет о депозите/кредите (i=0), то производная критерия по xi будет равна J. Если же оптимальное xi=0, то при увеличении xi указанная производная должна быть не больше J. Другими словами:
(3.7)
где — некоторые положительные величины.
Поскольку ковариация детерминированной и случайной величин равна нулю, то ci0=c0i=0 при всех i. Поэтому в соотношениях (3.7) можно суммировать только по n>0, а первое из этих соотношений становится совсем простым: Aa0=J. Вычитая это из двух последних соотношений, для i>0 найдем:

Обозначив h=A/B, полученные соотношения можно записать иначе:
. (3.8)
Обратим внимание, что теперь неизвестная x0 в систему (3.8) не входит. Однако, решив эту систему, можно найти x0 из (3.5):
. (3.9)
Аналогичные соотношения (условия дополняющей нежесткости) выводятся ниже при другом исходном допущении. n
Б. Допущение квадратичности. Прежде, чем формулировать это условие, попробуем решить задачу (3.4)-(3.6) “в лоб”. Необходимые условия максимума здесь выглядят аналогично: найдется множитель Лагранжа J такой, что производная критерия (3.4) по xi будет равна J, если i=0 или xi>0, а в противном случае не больше J:
(3.10)
В п. 6.1 мы еще вернемся к этим условиям, а пока рассмотрим частный случай, когда в диапазоне возможных изменений доходности функция u?(P) близка к линейной, так что функция полезности u(P) близка к квадратичной. Поскольку u(P) выпукла вверх, её производная — убывающая. Поэтому здесь справедливо равенство: u?(P)=A-BP/K с некоторым положительным B, а левая часть (3.10) оказывается следующей:

где k=A/B; . При этом (3.10) примет вид:

Поскольку величина x0=a0 — детерминированная, то для i=0 первое соотношение здесь примет вид: Bha0=J. Если вычесть его из двух других и разделить полученные выражения на B, мы получим при i>0 те же соотношения (3.8), имеющие указанный выше смысл.
В общем случае система (3.8)-(3.9) может иметь не единственное решение. Обозначим через Q множество всех её решений. Легко видеть, что это множество выпуклое и замкнутое. Докажем, что на всем этом множестве целевая функция задачи (т.е. ожидаемая полезность наращенного капитала) принимает одно и то же значение.
Для этого достаточно проверить, что эта функция постоянна во всех внутренних точках Q. Пусть x и y — две внутренние точки Q, s=y-x. Тогда в силу (3.5) имеем: . Отрезок Г, соединяющий x и y, лежит целиком внутри Q, и останется внутри Q, если его немного “расширить” в обе стороны. Это значит, что если какой-то рискованный ФТ не вошел в пакет x, то он не войдет и в пакет y. Выясним, как изменится целевая функция, если пакет x заменить пакетом x+es, отвечающей какой-то точке на “расширенном” отрезке Г. Направление и скорость такого изменения определяется производной целевой функции по направлению s или, что то же, по e. Но указанная производная при e=0 будет равна . Внешняя сумма здесь фактически распространяется только на депозит/кредит и те рискованные ФТ, которые вошли в пакет x. Но именно для этих ФТ в силу (3.10) соответствующие математические ожидания равны J, поэтому рассматриваемая производная будет равна =0. Мы видим, что производная целевой функции в любой внутренней точке Q по любому направлению будет равна 0, т.е. целевая функция постоянна на множестве Q, что и требовалось доказать. Из проведенных рассуждений вытекает, что соотношения (3.7) и (3.10) являются не только необходимыми, но и достаточными условиями оптимальности в соответствующих задачах.
Итак, объемы xi вложений данного инвестора в рискованные ФТ связаны соотношениями (3.8). Поскольку этим соотношениям какие-то xi удовлетворяют, то будет разрешима и система
(3.11)
Пусть Y — множество всех решений этой системы. Докажем, что в Y найдется вектор w, пропорциональный вектору m, характеризующему структуру рыночного пакета всех рискованных ФТ.
Для этого заметим, что любое решение (3.8) получается из какого-то решения (3.11) умножением на число h. Поэтому можно считать, что инвестор вначале выбирает какой-то вектор из множества Y, затем умножает его на h, получая в результате структуру x своего оптимального портфеля рискованных активов, и, наконец, находит долю депозита/кредита из (3.9).
Далее, инвесторов на рынке много, и каждому s-му из них отвечает свое значение hs, свой вектор ys и соответствующий оптимальный пакет рискованных ФТ hsys. Однако все выбранные ys принадлежат одному и тому же выпуклому множеству Y. Но тогда вектор m, характеризующий структуру рыночного пакета рискованных ФТ, окажется линейной комбинацией hsys с положительными коэффициентами (зависящими от объемов вложений инвесторов): . Положим и образуем вектор w=lm. Тогда w окажется выпуклой линейной комбинацией векторов ysIY, и, значит, будет принадлежать Y.
Учтем теперь, что рыночный пакет содержит все имеющиеся на рынке виды рискованных ФТ, т.е. каждая компонента вектора m, а, значит, и вектора w, положительна. В этом случае в системе (3.11) будут выполняться точные равенства:
. (3.12)
Но на множестве Q целевая функция любого s-го инвестора принимает одно и то же максимальное значение. Поэтому она не изменится, если инвестор заменит использованный в указанной выше процедуре им вектор ys на w (соответственно изменив объем депозита/кредита). Иными словами, любой инвестор, не ухудшая своего положения, может заменить свой оптимальный пакет рискованных ФТ другим, имеющим структуру рыночного пакета. Это утверждение известно как теорема разделения Тобина (см. [6,7,]).
В этой связи надо отметить три обстоятельства.
Во-первых, полученное решение действительно носит стратегический характер: в оптимальном пакете должны присутствовать все имеющиеся на рынке рискованные ФТ и в той пропорции, которая сложилась на рынке в момент принятия решения. Склонность инвестора к риску учитывается при этом только отношением объема депозита/кредита к вложениям в рыночный пакет.
Во-вторых, именно при доказательстве теоремы Тобина модель приобрела “общерыночный” характер, поскольку здесь мы учли, что:
на рынке есть много инвесторов, каждый из которых максимизирует свою функцию ожидаемой полезности;
все инвесторы используют одну и ту же информацию о рынке, покупают и продают ФТ по одним и тем же (рыночным) ценам;
все инвесторы имеют однородные ожидания (homogeneous expectations), т.е. исходят из одного и то же совместного вероятностного распределения доходностей ФТ, которому отвечают входящие в (3.8) средние значения, дисперсии и ковариации доходностей;
спрос на ФТ совпадает с предложением, т.е. сумма рискованных частей оптимальных пакетов всех инвесторов равна общему пакету рискованных ФТ, находящихся в обращении на рынке.
И, наконец, в-третьих, мы не случайно обратили внимание на ситуацию, когда решение системы (3.11) не единственное. В условиях современного рынка она вполне реальна. Поэтому вполне возможна ситуация, когда у разных инвесторов оптимальные пакеты рискованных ФТ будут иметь разную структуру. Приведем пример.
Пример 3.1. На рынке есть фирмы, торгующие некоторыми пакетами “чужих” ФТ, в том числе пакетом из 2 акций фирмы X и 3 акций фирмы Y, или “своим” ФТ, “привязанным” по доходности к подобному пакету. Если оптимальные пакеты у двух инвесторов одинаковы и включают 12 акций фирмы X и 20 акций фирмы Y, то первый может заменить его на 6 указанных пакетов и 2 акции фирмы Y. n
Другими словами, теорема разделения (вопреки некоторым учебникам) не утверждает, что каждый инвестор должен вкладывать средства в некоторую комбинацию депозита/кредита и рыночного пакета — она говорит, что каждый инвестор может это сделать и при этом ничего не потеряет.
Бета-модель
Для того чтобы понять, как складываются цены финансовых активов, необходимо сконструировать модель. ... С этой целью формулируются определенные предположения об объекте исследования. ... Обоснованность этих предположений (или их недостаток) не имеет большого значения.
Уильям Ф. Шарп, Гордон Дж. Александер, Джеффри В. Бейли
Из изложенного выше следует, что равенствам (3.12) удовлетворяет вектор w=lm. Поэтому имеем:
. (3.13)
Как правило, средние доходности ФТ больше безрисковой (a0). Поэтому, как видно из (3.13), с ростом ковариации соответствующее превышение ai-a0 увеличивается. На этом основании величина обычно трактуется как систематический (рыночный, недиверсифицируемый) риск, связанный с i-ми ФТ, разность ai-a0 — как “премия” владельцу этих ФТ за такой риск, а коэффициент l — как рыночная стоимость этого риска. Чтобы найти эту величину, умножим обе части (3.13) на mi и просуммируем по всем i. Мы получим:
.
Но , а . Итак, am-a0=lDm, откуда
. (3.14)
Подставляя (3.14) в (3.13) и обозначая
, (3.15)
получаем основную формулу CAPM (бета-модель):
. (3.16)
Отсюда следует, что если расположить на плоскости точки с координатами (bi,ai), то они расположатся на некоторой прямой, именуемой линией рынка. Отметим, кстати, что, хотя формула (3.16) выводилась только для рискованных ФТ, она справедлива и для депозита/кредита (i=0), поскольку здесь b0=0.
Обычно бета-модель записывают, используя показатели не брутто-, а нетто-доходности, которые к тому же выражают в процентах, а не долях единицы:
. (3.17)
Теперь мы можем получить и явную формулу для структуры оптимального пакета. Действительно, из соотношений w=ml и x=hw получаем, что решением системы (3.8) является вектор x=lhm. Другими словами, xi=lhmi для i>0. Значение x0 получим из (3.9), учитывая, что сумма всех xi, как и сумма всех mi, равна 1: x0=1-lh.
Величину bi называют бетой (бета-коэффициентом) i-х ФТ или их относительным систематическим риском. У самого рыночного пакета бета равна 1 в силу (3.15). Для ценных бумаг, котирующихся на биржах, значения бет обычно рассчитываются с использованием фактических данных за тот или иной предыдущий период и публикуются. Расчеты проводятся по формуле (3.15), в которой математические ожидания, дисперсии и ковариации заменяются исчисленными по выборке статистическими оценками. Насколько правомерен такой способ установления бет, мы обсудим в п. 4.4. В то же время надо иметь в виду, что при подобных расчетах некоторые ФТ (векселя, акции закрытых акционерных обществ, иностранная валюта, сдаваемая в аренду недвижимость и др.) в рыночный пакет не включаются, и беты для них не рассчитываются (хотя, теоретически, это надо было бы делать).
Полученным результатам обычно дается такое объяснение. В условиях, когда все инвесторы имеют полную информацию о текущей и прошлой рыночной конъюнктуре и одинаково оценивают вероятностное распределение предстоящих изменений рынка, должно выполняться равенство (3.16). Если для каких-то ценных бумаг в (3.16) имеет место знак “>”, они становятся привлекательными сразу для всех инвесторов и спрос на них превышает предложение. В результате цена этих бумаг растет, а доходность снижается до тех пор, пока не восстановится равенство (3.16). Наоборот, если для каких-то ФТ в (3.16) имеет место знак “<”, приобретать их становится невыгодно и инвесторы начинают продавать их. Предложение ФТ при этом превышает спрос, цена ФТ снижается, а их доходность растет до тех пор, пока не восстановится равенство (3.16).
Обычно в бета-модели используют “исторические” значения бет, но текущие (на момент расчета) значения среднерыночной и безрисковой доходностей. Тем самым, по существу, принимается, что значения бет более стабильны, чем доходности депозитов и рыночного пакета.
Для вывода бета-модели мы не использовали предложенное ее авторами и обычно излагаемое в учебниках рассмотрение математических ожиданий и дисперсий ФТ. Однако такой подход предполагает, что инвестор, принимая решение в условиях неопределенности, стремится минимизировать дисперсию доходности при заданном ее математическом ожидании (или наоборот, максимизировать среднюю доходность при ограничении на ее дисперсию). В разделе 5 мы выясним, что такое поведение не всегда оказывается рациональным.
Ценовое представление бета-модели. Оценка одношаговых проектов
Цена — стоимость плюс разумное вознаграждение за угрызения совести при назначении цены.
Амброз Бирс
Мы имеем дело с одной из тех обманчивых концепций, которые выглядят гораздо проще, чем они есть на самом деле. Ее можно легко сформулировать совершенно ошибочным образом.
Джон Ричард Хикс
Практическое использование CAPM при выборе ставки дисконта для оценки эффективности конкретного инвестиционного проекта базируется на примерно таких рассуждениях.
Если инвестор захочет вложить средства в некоторый проект, он обычно делает это, вкладывая деньги в акции предприятия, которое этот проект реализует. Но тогда он потребует, чтобы доходность проекта была не ниже доходности акций этого или аналогичного предприятия с той же бетой. При этом рассчитанная по CAPM средняя доходность акций такого предприятия будет одновременно максимальной доходностью альтернативных и доступных для инвестора вложений с тем же риском, что и у данного проекта, то есть — ставкой дисконта. Ниже, в разделе 6, эти рассуждения и приведенная трактовка ставки дисконта уточняются.

<< Предыдущая

стр. 6
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>