<< Предыдущая

стр. 7
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

До сих пор мы анализировали доходности различных ФТ. Займемся теперь анализом их цены, которую ранее мы считали заданной. Возьмем какой-нибудь ФТ и пусть j — (неопределенный) брутто-доход от него на шаге 1, x — его доходность, а p — его цена. Очевидно, что тогда x=j/p. Поскольку данный ФТ обращается на рынке и, следовательно, входит в оптимальный пакет инвестора, для него справедливо равенство (3.13): M[x]-a0=lcov(x,xm). Подставляя сюда выражение для x, находим:
. (3.18)
Отсюда получим две формулы, выражающие искомую цену p, которая в данном случае будет “справедливой” рыночной стоимостью ФТ:
. (3.19)
Заметим теперь, что:
если инвестору предлагают приобрести рассматриваемый ФТ по какой-то (не обязательно рыночной) цене q, то ему надо сравнить эту цену со “справедливой” стоимостью p и при q< p — купить ФТ, а в противном случае — отказаться;
если инвестору предлагают продать рассматриваемый ФТ (из имеющегося у него пакета) по какой-то (не обязательно рыночной) цене q, то ему надо сравнить эту цену со “справедливой” стоимостью p и при q> p — согласиться на продажу, а в противном случае — отказаться.
Поэтому “справедливая” стоимость ФТ одновременно является и минимально допустимой для инвестора стоимостью его продажи и максимально допустимой для инвестора стоимостью его покупки (напомним, что в модели предполагалось равенство цен покупки и продажи ФТ; по этому поводу см. п. 4.1). Однако, поскольку данные ФТ обращаются на рынке, т.е. их кто-то продает и кто-то покупает, значит, все эти сделки происходят при одной и той же цене купли/продажи, совпадающей с p. Но это как раз и означает, что “справедливая” стоимость ФТ одновременно является и рыночной.
Из изложенного вытекает, что критерием эффективности приобретения таких ФТ является величина
. (3.20)
Оба полученных выражения можно трактовать как специальным образом исчисленный DEI от проекта приобретения ФТ. При этом:
в первом случае дисконтирование чистых притоков на шаге 1 к шагу 0 производится по безрисковой ставке депозита/кредита. Однако при этом неопределенные чистые притоки заменяются своим средним значением, уменьшенным на “плату за риск” (зависящую от ковариации между доходом от ФТ и доходностью рыночного пакета). Поскольку термин “риск” мы используем совсем в ином смысле, для подобных показателей мы используем нейтральный (не апеллирующий к понятию “риска”) термин “детерминированный эквивалент” неопределенного дохода (в [5] — certainty equivalent или надежный эквивалент, в [7] — безрисковый эквивалент). Другими словами, при использовании данного метода эквивалентные денежные доходы проекта (см. п. 2.4) должны рассчитываться как детерминированные эквиваленты неопределенных доходов;
во втором случае неопределенные чистые притоки шага 1 заменяются своим математическим ожиданием (т.е. здесь эквивалентные денежные доходы проекта рассчитываются по формуле математического ожидания) и дисконтируются к шагу 0 по ставке дисконта (3.17), включающей безрисковую ставку и премию за риск (зависящую от ковариации между доходностями ФТ и рыночного пакета). В частности, при отсутствии систематического риска у ФТ (т.е. при некоррелированности x и xm) ставка дисконта совпадает с безрисковой.
Обратим теперь внимание на то, что если ФТ продается или покупается по “обычной” рыночной стоимости, то DEI от его покупки будет равен нулю! Для знакомых (хотя бы и поверхностно) с теорией оптимального планирования (или оптимального функционирования экономики) этот результат не будет неожиданным. Действительно, рассмотрим процесс формирования инвестором своего оптимального пакета. Предположим, что осталось подобрать только подходящий объем вложений в i-е ФТ. Тогда инвестор смотрит, как изменится его ожидаемая полезность, если он приобретет один такой финансовый титул (изменив соответственно вложения в депозит/кредит). Если ожидаемая полезность вырастет, он посмотрит, что будет, если купить еще один такой же ФТ, и так далее. Оптимальный объем вложений в i-е ФТ будет достигнут тогда, когда последняя покупка не изменит величину ожидаемой полезности, т.е. даст нулевой эффект. Здесь особенно наглядно проявляется различие между “малыми” и “крупными” проектами: эффект от приобретения оптимального объема i-х ФТ заведомо положителен, в то время как приобретение “последней штуки” этих ФТ или малого их количества дает нулевой эффект. Разумеется, вывод о нулевой эффективности вложений в любые имеющиеся на рынке ФТ справедлив только в условиях рыночного равновесия. Наоборот, если такой эффект окажется отличным от нуля, это будет сигналом о нарушении рыночного равновесия и необходимости пересмотра структуры оптимального пакета всеми инвесторами (вот почему грамотные инвесторы всё время наблюдают за курсом ценных бумаг).
Изложенные соображения часто применяют для оценки не вложений в ценные бумаги, а реальных инвестиционных проектов. Строго это можно обосновать только для малых проектов следующим образом. Пусть некий малый проект требует на шаге 0 расходов j0 и дает на шаге 1 чистый денежный приток j1, пока — детерминированный. Решив реализовать такой проект, оставшиеся средства K-j0 инвестор должен вложить в новый оптимальный пакет. Поскольку проект мал (малы j0 и j1), структура оптимального пакета останется прежней, и ожидаемая полезность доходов инвестора на шаге 1 составит: . Отсюда, учитывая малость проекта и используя ряд Тейлора, находим прирост ожидаемой полезности от реализации проекта:
.
Но в силу (3.10), откуда имеем: . В частности, экономия 1 рубля расходов на шаге 0 увеличивает ожидаемую полезность на J рублей.
Мы видим, что реализация проекта изменит ожидаемую полезность так же, как и экономия расходов на шаге 0 в размере или как получение на шаге 0 такой суммы. Это позволяет считать указанную сумму стоимостной оценкой проекта или его DEI, причем дисконтирование производится по безрисковой депозитной ставке, ибо a0=1+r0.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда приток j1 случайный. Это положение носит принципиальный характер: если до сих пор все факторы неопределенности проявляли себя только через случайные доходности ФТ, то теперь мы допускаем и неопределенность денежных потоках проекта. В данной ситуации формула для прироста ожидаемой полезности изменится:
.
Но, при выполнении условия квадратичности, мы имеем:

Учтем теперь, что решением системы (3.8) является: xi=lhmi для i>0, x0=1-lh, а Bha0=J. Поэтому
.
Отсюда получаем окончательно:

Поэтому реализация проекта изменит ожидаемую полезность так же, как и получение суммы DU/J на шаге 0. Это позволяет считать данное отношение стоимостной оценкой проекта или его DEI, т.е. оценивать эффективность проекта по следующей формуле, совпадающей (с точностью до обозначений) с первой из формул (3.20):
. (3.21)
Таким образом, и в этом случае показатель DEI оказывается применимым для оценки проектов. Существенно, что несистематический риск на эффективность проекта не влияет, поскольку эффект проекта зависит только от среднего значения чистого денежного притока и его ковариации с доходностью рыночного пакета. Такой способ расчета DEI наиболее полно отвечает общему определению этого показателя и мы будем считать его основным.
Казалось бы, если DEI проекта можно рассчитать по первой из формул (3.20), то для этого пригодна и вторая:
. (3.22)
В пп. 4.5-4.6 мы покажем, что такой способ во многих случаях дает неправильные оценки проектов и имущества. Однако, поскольку он часто используется на практике, мы вынуждены его подробно рассматривать и в таких случаях будем говорить о расчете DEI путем введения премии за риск.
ОБСУЖДЕНИЕ ИСХОДНЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ БЕТА-МОДЕЛИ
Наука непогрешима, но ученые часто ошибаются.
Анатоль Франс
Будь терпимей к чужим ошибкам. Может быть, ты и сам появился на свет по ошибке.
Александр Кумор
Рассмотрим подробнее основные предположения CAPM (см. также критическое рассмотрение модели в [5,7,28]).
Свойства финансовых титулов
Критиковать — значит объяснять автору, что он делает не так, как делал бы я, если умел.
Карел Чапек
Теории подобным мышам: они проходят через девять дыр и застревают в десятой.
Вольтер
При выводе бета-модели предполагалось, что ФТ обладают следующими свойствами:
количество ФТ каждого выпуска на рынке велико, так что их можно купить или продать на любую сумму в пределах стоимости всего выпуска (другими словами, ФТ делимы, а операции их купли/продажи тиражируемы);
стоимость каждого ФТ не зависит от объема покупки;
стоимость покупки ФТ равна стоимости его продажи, а общее значение этих стоимостей и является рыночной стоимостью ФТ.
Первое допущение носит “инструментальный” характер и вводится для “линеаризации” модели. Если под ФТ понимать только финансовые инструменты, то с таким допущением можно согласиться, поскольку обычно акций, облигаций и т.п. каждого вида достаточно много. Однако к ФТ мы относим и недвижимость, где ситуация не столь проста (например, каждое здание в некотором роде уникально, не говоря уже об исторических памятниках). По этой причине распространить бета-модель на рынок недвижимости (т.е. включить недвижимость в “рыночный пакет” и учесть это при определении бета-коэффициентов) пока еще никому не удалось.
Второе допущение более существенно, поскольку стоимость одного титула может зависеть от объема покупаемого их пакета. Так, цена одной акции в контрольном пакете совсем не такая, как в небольшом. Однако нестратегические инвесторы, реализующие инвестиционные проекты в реальном секторе, навряд ли будут вкладывать временно свободные средства в приобретение контрольных пакетов акций других предприятий (если только это не предусмотрено самим инвестиционным проектом). Поэтому, если они и будут приобретать акции, то в небольших объемах, а в этом случае объем покупки на цену акции не повлияет.
Еще более серьезно допущение о равенстве цен покупки и продажи ФТ. Дело в том, что с куплей/продажей ФТ связаны трансакционные издержки. Поэтому при определении доходности ФТ необходимо учесть расходы по их покупке, владению и последующей продаже (например, комиссионные брокеру). Такие затраты могут оказаться существенными, например, при малых доходностях ФТ или объемах их купли/продажи. Наличие подобных затрат приводит к различию между курсами покупки и продажи ФТ, так называемому спреду (spread), который в бета-модели не учитывался. Доходность ФТ, рассчитанная с учетом спреда, может сильно отличаться от рассчитанной “обычными методами” (именно такие доходности публикуются и используются для расчетов бета-коэффициентов) — это затрудняет использование в расчетах публикуемых значений бета-коэффициентов. Наконец, некоторые ФТ приобретаются и продаются за иностранную валюту. Однако в самой модели предполагалось, что все цены выражены в отечественной валюте. Поэтому на стоимостях таких ФТ и их доходностях сказывается различие курсов покупки и продажи иностранной валюты, а также налоги, связанные с такими операциями (скажем, действовавший в свое время налог на покупку иностранной валюты).
Обратим внимание, что в детерминированной модели п. 2.3 спред фактически был учтен. Не слишком сложно его учесть и при оптимизации инвестиционного портфеля, однако основное уравнение CAPM при этом выполняться не будет, поскольку теперь оптимальный портфель будет зависеть как от исходного (на шаге 0) портфеля инвестора, так и от спреда отдельных ФТ. Немного подробнее эти обстоятельства рассматриваются в п. 6.4.
Тем не менее, представляется, что влияние спреда на ставку дисконта не слишком велико и им в первом приближении можно пренебречь.

Кроме того, в бета-модели принимается, что существуют вложения, дающие детерминированную доходность (безрисковые ФТ, депозиты), Однако это не отвечает реалиям переходной экономики. Даже тезаврация (простое хранение “в чулке”) сопряжена с определенным риском, тем более рискованными представляются частным инвесторам, наученным 70-летним опытом, вложения на депозиты Сбербанка РФ или в государственные обязательства. Некоторые российские экономисты настойчиво предлагают использовать в качестве безрисковой ставки дисконта ставку рефинансирования ЦБ РФ. Против этого проще всего возразить, указав на частые и большие изменения этой ставки в последние годы, в том числе и в связи с изменениями темпов инфляции. Однако эти возражения не слишком основательны: в бета-модели и в безрисковых ставках дисконта инфляция не учитывается (см. ниже п. 4.2), а если исключить инфляционную составляющую из ставки рефинансирования, она окажется сравнительно стабильной. Основное возражение против рассматриваемого предложения иное: у инвесторов на самом деле нет никаких возможностей ни вложить средства под процент, равный ставке рефинансирования, ни получить кредит под такую процентную ставку (в то же время неясно, пригодна ли ставка рефинансирования для оценки эффективности проектов с позиций государства или общества).
Кроме того, в CAPM предполагается, что безрисковые ФТ должны использоваться не только для вложений, но и для займов. Это допущение (равенство кредитной и депозитной ставки) также далеко от реальности. Действительно, если даже найдется тиражируемый проект, доходность которого не коррелирует с доходностью рыночного пакета, то такой проект нельзя будет использовать для получения заемных средств (т.е. он не может быть рассмотрен как источник финансирования).
С математической точки зрения, отсутствие безрисковых ФТ — то же самое, как если бы они имели большую отрицательную доходность, которая, естественно, отличалась бы от кредитной ставки. Поэтому неравенство кредитного и депозитного процентов — наиболее общая ситуация. Оказывается, что в этом случае теорема разделения не выполняется и бета-модель оказывается несправедливой. А именно, в этих условиях разные инвесторы могут иметь разные оптимальные пакеты рискованных ФТ, причем рыночный портфель уже не будет оптимальным ни для какого инвестора (соображения о том, как в этом случае устроена “линия рынка”, изложены в [37], с.277-279). Отсюда вытекает другое неприятное обстоятельство.
Рассмотрим некоторый i-й ФТ. Пусть ai — его средняя доходность, bi — его бета, рассчитанная по формуле (3.15). Если точка (bi,ai) лежит выше линии рынка, то в условиях бета-модели инвестор должен как можно быстрее купить ФТ — он будет “абсолютно выгодным” для всех инвесторов, его продажную цену все инвесторы сочтут заниженной. Аналогично, точкам (bi,ai), лежащим ниже линии рынка, будут отвечать “абсолютно невыгодные” для всех инвесторов ФТ. Между тем, при неравенстве кредитного и депозитного процента положение будет иным: каждый инвестор будет приобретать только те ФТ, которые нужны ему для оптимального пакета, и ФТ, не вошедший в портфель одного инвестора, может войти в портфель другого. Поэтому линия рынка перестает быть “всеобщим ориентиром”, и ФТ нельзя будет разделить на “абсолютно выгодные” и “абсолютно невыгодные”.

Влияние налогообложения, операционной деятельности и инфляции
Россияне! Если бы не налоги, то никто вообще не обращал бы на вас внимания.
Михаил Мамчич
Бизнес — это естественный отбор денег. А налог — это уже искусственный.
Афоризм из Интернета
Все денежные потоки в CAPM связаны только с операциями на финансовом рынке. Между тем, на практике на доходы и расходы инвесторов оказывают влияние как система налогообложения, так и операционная (в смысле п. 2.3) деятельность, которую они ведут. Эти факторы в CAPM не учитываются. Посмотрим, что изменит их учет.
В соответствии с Налоговым Кодексом РФ доходы от продажи ценных бумаг и дивиденды по ним облагаются налогом на прибыль, а уплаченные проценты по инвестиционному кредиту — не облагаются. Между тем, в доказательстве CAPM налог на прибыль не фигурировал. Казалось бы, при учете этого налога бета-модель должна измениться. Оказывается, такие изменения не очень существенны (см. по данному вопросу также [6]).
Действительно, допустим, что и дивиденды и доход от продажи ФТ облагаются налогом на прибыль по одной и той же ставке n. Тогда чистая (за вычетом налога) доходность вложений в ФТ j-го выпуска i-го вида будет не dij, как ранее принималось, а (1-n)dij. За счет этого средние доходности ai заменятся на (1-n)ai, а величины bi не изменятся. Поэтому в основную формулу (3.16) войдут только посленалоговые средние доходности.
Использование кредита этого вывода не меняет. Например, если инвестор с капиталом 1 берет кредит y под процент a? и вкладывает все средства в i-й ФТ, то его доход до уплаты налога, совпадающий с налогооблагаемой прибылью (проценты по кредиту уменьшают базу налогообложения), составит (1+y)ai-a?y. После уплаты налога доход станет равным (1-n)[(1+y)ai-a?y]. Точно ту же величину мы получили бы, если сразу умножили “доналоговые” доходности ai и a0 и кредитную ставку на (1-n). Поэтому и с учетом налога на прибыль формула (3.16) будет верна, если кредитная ставка совпадает с депозитной, и неверна в противном случае.
Положение изменится, если, как это имеет место в России, доходы от продажи ценных бумаг и дивиденды облагаются налогом на прибыль по разным ставкам. В этом случае средние посленалоговые доходности каждого вида ФТ необходимо рассчитывать отдельно. Поскольку размеры дивидендов и периодичность их выплат по каждому виду ФТ свои, соотношения посленалоговой и доналоговой доходностей для разных ФТ будут разными. Соответственно, посленалоговые беты будут отличаться от доналоговых, либо бета-модель придется заменить другой моделью, учитывающей особенности налогообложения дивидендов (подобная модель изложена в [55], см. также []).
К тому же с налогом на прибыль связано другое весьма неприятное обстоятельство. Доходы от продажи ценных бумаг действительно облагаются налогом на прибыль, однако только тогда, когда эти бумаги продаются. Если инвестор приобрел ценные бумаги и в течение длительного времени не продавал их, его капитал будет расти так, как будто бы налога на указанную прибыль не было вообще. Поэтому доходность ФТ на данном шаге 0 будет зависеть не только от его цены на шагах 0 и 1, но и от того, по какой цене он когда-то была куплен, и от того, собирается ли инвестор продавать его на шаге 1. Учесть это в “одношаговой” оптимизационной модели, какой является CAPM, можно только приближенно (в детерминированном случае об этом говорится в примечании к п. 2.3). Не случайно поэтому в ряде работ говорится о необходимости применения рассчитанной по CAPM ставке дисконта к “доналоговым” денежным потокам.
Теперь посмотрим, что изменится в CAPM при учете операционной деятельности инвестора. Допустим вначале, что эта деятельность даст фирме на шаге 1 детерминированный чистый приток F. Легко видеть, что от этого функция полезности M[u(Vx)] заменится на M[u(Vx+F)], т.е. по-прежнему будет зависеть только от вероятностного распределения капитала, наращенного только за счет финансовых операций. Но в CAPM все инвесторы и так имели разные функции ожидаемой полезности, и окончательные результаты не изменятся от того, что какой-то инвестор свою функцию изменил. Таким образом, модель окажется справедливой и здесь.
Совершенно иная ситуация возникнет, когда разным состояниям финансового рынка будут отвечать разные результаты операционной деятельности. Пусть, например, компания “Дело-Труба” сорвала выполнение крупного заказа компании “Мордойл”, дестабилизировав положение последней. Скорее всего, это скажется на стоимости акций обеих компаний. Так вот, в этой ситуации основные формулы (3.8), а значит и (3.19), уже будут неверны — это подробнее рассмотрено в п. 6.3. Другими словами, разные инвесторы, ведущие разную операционную деятельность, дадут разные оценки одним и тем же ФТ, а следовательно, сформируют разные оптимальные пакеты рискованных ФТ. Но тогда и одинаковые инвестиционные проекты (даже детерминированные!), скорее всего, будут оцениваться ими по-разному.
Инфляция, как таковая, в CAPM не учтена. Точнее, она существует “где-то сбоку” как один из факторов, определяющих ситуацию на финансовом рынке. Между тем, учет инфляции при оценке эффективности инвестиционных проектов имеет существенное значение. Попробуем, оставаясь пока в рамках CAPM, выявить её влияние более явно. В п. 2.7 мы выделяли общую и структурную инфляцию. Общая характеризует общее изменение цен в стране, структурная — изменение цен одних товаров относительно других при неизменности общего среднего уровня цен. В CAPM цены ФТ меняются, стало быть, это изменение есть одно из проявлений, прежде всего, структурной инфляции. Рассмотрим поэтому, как влияет на политику управления активами общая инфляция.
Пусть J — индекс общей инфляции на шаге 0, т.е. средний рост номинальных цен в стране при переходе к шагу 1. На этот рост, разумеется, накладываются и индивидуальные изменения цен различных ФТ. Поэтому номинальную брутто-доходность каждого ФТ имеет смысл представить произведением xi=Jz i, где первый множитель (J) отразит общее изменение цен, второй (zi) — реальную доходность ФТ. Казалось бы, задача оптимизации инвестиционного портфеля (3.4)-(3.6) от этого не изменилась. К сожалению, это не так! Всё дело в том, чего в конечном счет добивается инвестор. При изложенном подходе он стремится максимизировать полезность своего капитала. Но тогда уменьшение капитала в 1000 раз при деноминации он должен был бы оценить как огромную потерю. На самом деле этого не происходит — полезность капитала определяется не количеством денежных знаков и написанных на них нулей, а их покупательной способностью. Поэтому в условиях инфляции критерий оптимальности должен отражать ожидаемую полезность реального (дефлированного), а не номинального капитала инвестора:
.
Тогда всё доказательство бета-модели остается без изменения и результат получается “по форме” тот же. Однако в расчетные формулы войдут теперь не номинальные, а реальные доходности ФТ и бета-коэффициенты будут отражать ковариацию реальных, а не номинальных доходностей. Насколько известно, данные о реальной доходности ценных бумаг не публикуются и, за редким исключением, не анализируются. Тем более, никто не рассчитывает и соответствующих реальных бета-коэффициентов.
Но чем же отличаются реальные беты от номинальных? Если бы колебания реальных доходностей никак не зависели от общей инфляции, то реальные беты совпадали бы с номинальными:
.
К сожалению, это не так! Например, при установлении депозитных процентных ставок и доходности государственных долгосрочных ценных бумаг учитывается ожидаемый эмитентами, а не истинный (которого никто не знает) темп инфляции. Чем выше этот темп, тем более осторожны эмитенты, поэтому при высоком ожидаемом темпе инфляции объявленные ставки и доходности в реальном выражении будут ниже (что мы и наблюдаем в России). Примерно то же положение и с доходностями ценных бумаг. Если я ожидаю высокие темпы инфляции, я буду убежден, что менеджеры компаний, акциями которых я владею, постараются уменьшить реальную стоимость выплачиваемых дивидендов, “прикрывшись” их большим ростом в номинальном выражении. Поэтому, скорее всего, между темпами инфляции и ожидаемой доходностью ФТ имеется отрицательная корреляционная связь, а тогда проведенное выше преобразование незаконно, и реальные беты могут отличаться от номинальных. “Предельным” примером может быть “безрисковый” ФТ — депозит с индексируемой (по темпу инфляции) ставкой. Его реальная доходность z0 не зависит ни от темпов инфляции, ни от доходности других ФТ, поэтому реальная бета должна быть нулевой. Однако номинальная бета такого депозита будет отлична от нуля, поскольку номинальные доходности депозита и рыночного пакета скоррелированы.
Являются ли доходности финансовых титулов случайными величинами?
Возможно ли оценить вероятность правильности теории вероятностей?
Афоризм из Интернета
-“Что нас всех губит, — говорил волк зайцу, — так это наша серость!”
Михаил Генин.
Допущение о вероятностной неопределенности доходностей носит чисто модельный характер, поскольку “доказать” случайный характер колебаний экономических показателей теоретически невозможно. К тому же от такого допущения трудно отказаться: во-первых, не очень ясно, чем его заменить, а во-вторых, оно довольно часто принимается при анализе других экономических процессов и явлений. Тем не менее, указанное допущение содержит серьезные “подводные камни”.
Чтобы инвестор смог описать неопределенность доходностей ФТ в вероятностных терминах, необходимо принять, что он “держит в голове” полный перечень возможных в будущем состояний финансового рынка W (по Сэвиджу [62,] — “состояний природы”, “states of world”, по Колмогорову — пространство элементарных событий), а также определенную вероятностную меру, заданную на некоторой s-алгебре подмножеств этого пространства. Только после задания подобной вероятностной тройки (пространство W, s-алгебра и мера на ней) неопределенные состояния рынка могут рассматриваться как случайные события, а отвечающие им доходности ФТ — как случайные величины в колмогоровской трактовке этого термина. Но даже в этом случае остается неясным, на какой “экспериментальной” или статистической базе установить законы распределения этих случайных величин: ведь каждое из возможных сочетаний доходностей ФТ навряд ли может повториться еще раз, а говорить о вероятностях применительно к неповторяющимся событиям не слишком корректно. Во всяком случае, именно в связи с неповторяемостью таких сочетаний введенную вероятностную меру трудно подтвердить результатами наблюдений и она может рассматриваться только как субъективная.
Более того, бета-модель предполагает, что “все хозяйствующие субъекты имеют однородные ожидания будущего”, “вероятности осуществления возможных ситуаций оцениваются всеми участниками рынка одинаково” [7]. Это означает, что все инвесторы (имеющие разные цели и интересы) выбирают одно и то же пространство W состояний финансового рынка, выбирают в нем одну и ту же s-алгебру подмножеств, задают на ней одну и ту же вероятностную меру (по которой и определяют нужное им математическое ожидание полезности, средние значения и ковариации доходностей), и при этом понимают, что именно они делают. Подчеркнем, что инвесторам надо единообразно задать не распределения доходностей отдельных ФТ (они полностью характеризуются графиками функций распределения), а совместное многомерное вероятностное распределение взаимозависящих доходностей всех ФТ, обращающихся на рынке, которое никакими графиками охарактеризовать невозможно. Такое допущение представляется весьма далеким от реальности.
В этой связи возникает естественный вопрос: почему же так много людей рассматривают доходности ФТ как случайные величины и ищут вероятностные законы их распределения. Подробный ответ на этот вопрос, не утерявший своей актуальности и в эпоху финансовой математики, дан в старом учебнике []:
“Чрезвычайно важно искоренить заблуждение, встречающееся иногда у недостаточно знакомых с теорией вероятностей инженеров и естествоиспытателей, что результат любого эксперимента можно рассматривать как случайную величину. В особо тяжелых случаях к этому присоединяется вера в нормальный закон распределения, а если уж сами случайные величины не нормальны, то верят, например, что их логарифмы нормальны. Здесь нужно отмечать, что нормальности нет потому, что нет случайности, а случайность означает, что можно говорить о вероятности P{xIA} того, что случайная величина x примет значение, являющееся элементом числового множества A. ... Последнее означает, что событие {xIA} должно обладать статистической устойчивостью.”
Но уж если кто-то и берется за применение вероятностных методов в исследовании реальных объектов, ему придется преодолеть две опасности, о которых говорится в том же учебнике (желающие могут заменить в этой цитате “дождь” на “такой-то курс акций”, а “синоптическую обстановку” на “рыночную конъюнктуру”):
“Во-первых, применениями теории вероятностей может заниматься естествоиспытатель, недостаточно квалифицированный в математическом отношении. Имя возникающим в таком случае ошибкам — легион, и примеры приводить просто неинтересно.
Во-вторых, вполне квалифицированный математик может быть, к сожалению, лишен здравого смысла естествоиспытателя и предлагать применять теорию вероятностей во всех случаях жизни, в том числе и в тех, когда она неприменима. Например, Дж.Кемени, Дж. Снелл и Дж. Томпсон объявляют предметом теории вероятностей, в частности, решение вопроса о том, будет ли сегодня дождь. На этом вопросе следует остановиться подробней.
Прежде всего, если речь идет о том, будет ли дождь в определенный день, скажем, 7 мая какого-то достаточно далекого от настоящего момента года, то это есть типичный вопрос теории вероятностей. Лучшее, что здесь можно сделать, — это посмотреть по материалам прошлых метеорологических наблюдений, как часто бывает дождь 7 мая, и полученную частоту считать примерно равной вероятности дождя. Однако по мере приближения условленного срока такой ответ будет все менее нас удовлетворять. ...
Рассмотрим теперь случай, когда 5 мая мы спрашиваем от том, будет ли послезавтра дождь. Чтобы сделать этот вопрос предметом теории вероятностей, мы должны указать соответствующую статистически однородную совокупность. Можно было бы выбрать по материалам прошедших лет не все годы, а лишь те годы, в которые 5 мая была такая же синоптическая обстановка, как и в данном году, и вычислить частоту дождя по этим годам. Но что такое “такая же синоптическая обстановка”? Если под этим понимать, скажем, полное совпадение синоптических карт, то мы наверняка ни одного подходящего года в прошлом не найдем. Если же не требовать полного совпадения, то вопрос перестает решаться объективно. Указанная трудность объективна: несмотря на развитие теории вероятностей, прогнозы погоды продолжают оставаться плохими. ...
Методически ... здесь было бы полезно ввести терминологическое разграничение. Если исход эксперимента не вполне однозначно определяется его условиями, то можно было бы говорить о наличии “неопределенности”, например: завтра может быть или не быть дождь. Если эта неопределенность обладает свойством статистической устойчивости, то тогда можно сказать, что имеется “случайность”, т.е. случайное событие”.
Иными словами, прежде чем трактовать какие-то характеристики реального мира как случайные, надо вначале чем-то подтвердить наличие статистической устойчивости соответствующих событий. Вероятно, в “нормальной” экономике подобная устойчивость в изменениях курсов ценных бумаг есть, однако есть ли она в переходной экономике — неясно. Поэтому предположение о случайности изменений рыночной конъюнктуры совсем не очевидно, особенно для тех инвесторов, действия которых эту конъюнктуру существенно меняют. К тому же, применительно к денежным потокам реальных инвестиционных проектов вообще нельзя говорить о статистической устойчивости, поскольку такие проекты, как уже отмечалось, эксклюзивны и нетиражируемы (впрочем, когда-нибудь многие новые технологии станут “обычными” и начнут тиражироваться, тогда статистическая устойчивость появится, зато проекты применения таких технологий перестанут быть эффективными и не будут представлять особого интереса).
Мы видим, таким образом, что если даже неопределенность сложных явлений (рыночной конъюнктуры или погоды) и носит вероятностный характер, то оценка соответствующих вероятностей оказывается субъективной.
По этим причинам, каждый инвестор, формируя свою финансовую политику, скорее всего, руководствуется своим представлением о будущем состоянии финансового рынка и, следовательно, приписывает различным возможным будущим состояниям рынка свои субъективные вероятности. Этими вопросами занимается математическая психология и, как показали специальные исследования, люди обычно полагаются на свои суждения в гораздо большей степени, чем это позволяет имеющаяся в их распоряжении информация, а их субъективные вероятности существенно отличаются от “объективных”. Поэтому нередко колебания курсов акций не имеют под собой никаких экономических оснований (так, цены фондового рынка имеют явную тенденцию к снижению в последние торговые дни декабря и к повышению — в начале января, они повышаются по пятницам чаще, чем в другие дни недели, у акций крупных компаний доходность в среднем ниже, чем у акций мелких компаний [37]). Более того, как показывает анализ экспертов Лондонской бизнес-школы и банка ABN Amro, наибольший доход получают те, кто успел раньше разглядеть потенциал экономики и компаний, а не те, кто вложил деньги в акции, основываясь на хороших показателях прошлых лет. Существенно, что при этом на инвестиционные решения гораздо большее влияние оказывают ожидания инвесторов, а не реальное положение дел в экономике. Инвесторы ориентируются на настроения, а не только на статистику, говорит главный экономист ING Bank Юлия Цепляева, напоминая, что в 2004 г. ВВП России вырос на 7%, что сопоставимо с показателями “нефтяных” Мексики и Венесуэлы, но мексиканский фондовый индекс прибавил 47%, венесуэльский — 35%, а наш индекс РТС — лишь 8%.
Ну, хорошо, — скажете вы, — описывать неопределенность в терминах вероятностей нельзя, но есть ли разумная альтернатива? Оказывается, есть. Из результатов Сэвиджа [62,66] следует, что при соблюдении ряда требований (аксиом) критерий рационального поведения субъекта будет весьма сходен с (3.3). Мы рассмотрим этот вопрос подробнее в п. 5.3. Пока же отметим, что этот критерий базируется на некоторой мере, которая является, во-первых, субъективной, а во-вторых, не вероятностной (счетно-аддитивной), а конечно-аддитивной мере P (о таких мерах применительно к более простым задачам см. [31]; в [62,66] эти меры именуются “вероятностными”, что не согласуется с определением, принятым в теории вероятностей). Тогда для обеспечения справедливости бета-модели необходимо дополнительно потребовать, чтобы все участники рынка использовали одну и ту же субъективную меру P. Такое предположение весьма спорно, но если с ним согласиться, то все дальнейшие рассуждения не изменятся, поскольку в приведенном доказательстве счетная аддитивность меры не использовалась. Поэтому бета-модель будет справедлива и при данном предположении. А вот расчеты значений бет по ретроспективным данным при этом потеряют всякий смысл.
Действительно, при вероятностной неопределенности фактически наблюдаемые значения доходности ФТ рассматриваются как реализации случайной величины, имеющей некоторое вероятностное распределение. При этом “статистический” расчет беты оправдан, если указанное вероятностное распределение сохранится и в будущем, и для него выполняется закон больших чисел. Однако такой расчет опирается на фактические значения доходностей, а не на прогнозы участников рынка. Поэтому “выборочные фактические” значения бет могут не отражать ожидаемых участниками рынка ковариаций между доходностями ФТ и рыночного пакета и не обязаны сближаться с “истинными бетами” при увеличении количества наблюдений (так, при стабильности обменного курса доллара участники рынка могут строить свое поведение на том, что в любой момент следует ожидать резких его скачков). Поэтому, если уж принимать, что участники рынка оперируют субъективными мерами, то входящие в бета-модель значения математических ожиданий и ковариаций доходностей должны рассчитываться именно по этим мерам (как это и делалось в примерах 4.1 и 4.3), а не путем статистической обработки ретроспективной информации. Другими словами, расчет должен базироваться на информации об ожиданиях инвесторов, а не на фактических данных. На ошибки в формировании оптимального портфеля, связанные с использованием “информации из старых баз данных”, указывается и в [37].
Чтобы предыдущие рассуждения не показались чрезмерно далекими от практики, мы приводим на рис. 4.1 заимствованную из [] схему расчета вероятностей политических рисков (инвестор здесь опасается “правительственного переворота”, приводящего к национализации предприятия с, возможно, несоответствующей компенсацией).

Рис. 4.1.
Далее в указанной книге из этой схемы выводятся следующие вероятности различных исходов (их точность потрясает!):
Последствия
Вероятность
Предприятие не национализируется
0,810
Предприятие национализируется:

с соответствующей компенсацией
0,034
с несоответствующей компенсацией
0,061
без компенсации
0,095
А теперь представьте себе, что все остальные инвесторы, руководствуясь той же исходной информацией о политической обстановке в данной стране, оценивают вероятности тех же событий точно так же, с точностью до третьего знака после запятой! К тому же в данном случае сам термин “вероятность” вводит инвесторов в заблуждение. Как, например, они должны понимать вероятность 0,034 — так, что соответствующая компенсация выплачивается в среднем в одной из 30 стран, или, что она может быть получена в данной стране, но только в одном из 30 “правительственных переворотов”?
Но, допустим, что и в подобных случаях использовать субъективные вероятности можно и допустимо, а значения бет можно принимать по аналогии. Можно ли тогда пользоваться бета-моделью? Казалось бы, можно. Однако положение усложняется тем, что в расчетную формулу, помимо бет, входит еще средняя доходность рыночного пакета. Она средняя в том смысле, что является усреднением указанной доходности по субъективной мере. Поэтому, чтобы воспользоваться бета-моделью, в нее недопустимо закладывать нынешнее (сегодняшнее) значение доходности! Нет, инвестор должен для каждой из возможных рыночных ситуаций оценить не только “вероятность”, но и отвечающую ей доходность рыночного пакета, а затем усреднить последнюю. Поэтому средняя доходность рыночного пакета будет зависеть от того, какими он видит доходности этого пакета в той или иной ситуации. Между тем, разные инвесторы имеют, вообще говоря, разные представления о развитии рыночной ситуации. Поэтому предположение об однородных ожиданиях, положенное в основу CAPM, представляется достаточно спорным.
В этой связи в [] и других работах рассматривался вопрос о формировании оптимальных портфелей в условиях неоднородных ожиданий (heterogeneous expectations). В такой ситуации одни и те же ФТ или проекты могут по-разному оцениваться разными инвесторами, и один инвестор согласится купить ФТ или участвовать в проекте, тогда как другой от этого откажется.
Структура целевой функции
Вечная трагедия науки: уродливые факты убивают красивые гипотезы.
Томас Гексли
Закон Ханта: У любой великой идеи есть недостаток, равный или превышающий по своему величию эту идею.
Чтобы бета-модель была справедливой, нам потребовалось ввести дополнительные требования нормальности или квадратичности. Напомним, что при соблюдении любого из этих требований целевая функция задачи (функция полезности) становится зависящей только от математического ожидания и дисперсии оптимального инвестиционного пакета. Но есть ли основания считать, что какое-нибудь из этих требований реально выполняется, даже если согласиться считать доходности ФТ случайными величинами? С формально математической точки зрения — нет, поскольку:
брутто-доходность ФТ, как бы она ни исчислялась, всегда неотрицательна (нетто-доходность не меньше, чем -1). Нормально распределенная случайная величина таким свойством не обладает;
квадратичная функция, имеющая отрицательную вторую производную, не может монотонно возрастать при всех положительных значениях аргумента и, значит, не может быть функцией полезности.
Однако основные возражения против рассматриваемых требований носят совсем иной характер.
Считать вероятностное распределение доходности близким к нормальному вполне допустимо, но тогда, используя бета-модель, надо знать, что небольшие отклонения от нормальности мало влияют на окончательный результат. Такого рода доказательства (кстати, обычные в прикладной статистике) применительно к бета-модели автору неизвестны.
Точно так же, мы можем считать, что в рассматриваемом диапазоне изменения капитала инвестора его функция полезности близка к квадратичной, однако и здесь требуется доказать, что окончательный результат устойчив по отношению к малым изменениям функции полезности. Такого рода доказательства автору также неизвестны.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда все ФТ “линейно независимы” (т.е. никакой ФТ нельзя заменить пакетом других). Тогда в системе (3.11), как было показано, должны иметь место точные равенства, и она имеет единственное решение. Однако, когда на рынке очень много видов ФТ, эта система оказывается плохо обусловленной (имеющей малый детерминант). При этом малые колебания исходной информации могут сильно изменить решение системы. Пусть, например, функция полезности одного из инвесторов немного отличается от квадратичной. Тогда он выберет другой оптимальный портфель, и возможно, что некоторые ФТ в него не войдут. На финансовом рынке возникнет неравновесие, оно приведет к изменению цен ФТ, но совершенно не очевидно, что это изменение будет малым, что оно мало изменит оптимальные портфели других инвесторов, что получившиеся в результате средние доходности ФТ опять расположатся вблизи “линии рынка” (нередко фондовый рынок “обрушивался” действиями одного “умелого” игрока). Другими словами, неясно, насколько “устойчивым” будет соответствующее рыночное равновесие к подобным колебаниям.
Это позволяет поставить под сомнение принципиальный вывод CAPM: в условиях равновесия на финансовом рынке для каждого i-го вида ФТ существует такая “характеристика риска” bi, зависящая только от совместного распределения доходности этого ФТ и рыночного пакета, что точки с координатами (bi,ai), отвечающие обращающимся на рынке ФТ, располагаются на некоторой линии (не обязательно — прямой) и остаются вблизи нее при небольших изменениях функций полезности отдельных инвесторов. Неясно, можно ли доказать подобное утверждение. А пока этого не сделано, к бета-модели следует отнестись с осторожностью.
Рассмотрим теперь другой аспект проблемы. Условие нормальности потребовалось нам только для того чтобы иметь дело со случайными величинами, распределение которых определяется несколькими параметрами (в данном случае — двумя: средним и дисперсией) и вид которого сохраняется при формировании пакетов, т.е. при линейных комбинациях. Такого рода распределения давно исследованы в теории вероятностей. Они носят общее название устойчивых распределений.
Распределение случайной величины x называется устойчивым, если для любых чисел a и b найдутся такие c и d, что линейная комбинация ax1+bx2 двух независимых реализаций x имеет то же распределение, что и cx1+d. Характеристические функции всех устойчивых законов распределения известны. В одномерном случае они выглядят так:
,
где 0<a< 2, |b|< 1, g> 0,
В эти формулы входят четыре параметра: a — индекс устойчивости; b — параметр асимметрии (skewness); g — параметр масштаба (scale), m — параметр положения (location).
Параметр a определяет убывание “хвостов” распределения. При a=2 распределение — нормальное со средним m и дисперсией 2g. При 0<a< 2 “хвосты” распределения становятся более “тяжелыми” — при z®? вероятности событий {x>z} и {x<-z} убывают как z-a. Поэтому дисперсия x бесконечна, а математическое ожидание конечно только при a>1. При a=1 это устойчивое распределение совпадает с распределением Коши. Анализ [] показал, что для многих ценных бумаг значение a близко к 1,5.
Параметр b характеризует несимметричность распределения. При b=0 распределение симметрично, при b>0 — сильнее скошено слева, а при b<0 — справа.
При a>1 параметр m совпадает с математическим ожиданием x.
Параметр g — масштабный: если увеличить x в h раз, g умножится на ha.
Аналитические формулы функции распределения устойчивых величин известны только для a=1 (распределение Коши), a=1/2 и a=2 (нормальное распределение).
Устойчивые законы обладают важным свойством: если каждая из независимых случайных величин имеет устойчивое распределение и все эти распределения имеют один и тот же параметр устойчивости a, то любая линейная комбинация таких величин является величиной того же типа. А именно, пусть случайные величины xi характеризуются параметрами (a,bi,gi,mi). Тогда величина будет характеризоваться параметрами .
Анализ, проведенный в [70,], показывает, что фактические распределения доходностей ценных бумаг лучше описываются устойчивыми распределениями (с a>1), чем нормальными. Поэтому естественно возникло желание обосновать бета-модель применительно к устойчивым распределениям доходности. Однако при этом возникает серьезная трудность. Чтобы задать многомерное нормальное распределение, достаточно указать вектор средних и матрицу ковариаций, т.е. конечное число параметров, допускающих простую интерпретацию и оценку по результатам наблюдений. Для устойчивых распределений это не так: в общем случае n-мерное устойчивое распределение, т.е. n-мерный случайный вектор задается некоторой вероятностной мерой G на n-мерной сфере Sn и его производящая функция имеет вид:

где стрелкой отмечены n-мерные вектора, · — знак скалярного произведения, а интегрирование производится по n-мерной сфере Sn.
Справедливость бета-модели (3.16) удается доказать и здесь, правда, только, если доходности всех ФТ имеют одинаковый индекс устойчивости и одинаковый параметр сдвига. Бета-коэффициенты ФТ здесь определяются более сложными формулами (см. [,,]).
Выше уже отмечалось, что фактически наблюдаемые колебания доходностей ФТ хорошо описываются нормальным или одним из устойчивых законов распределения. Однако, чтобы использовать это при выводе бета-модели, одного этого факта недостаточно. Действительно, повторим еще раз отмеченное выше основное свойство устойчивых распределений: распределение случайной величины x называется устойчивым, если для любых чисел a и b найдутся такие c и d, что линейная комбинация ax1+bx2 двух независимых реализаций x имеет то же распределение, что и cx1+d. В этом тексте мы подчеркнули слово “независимых”. Это существенно! Если две случайных величины независимы и распределены, скажем, нормально, то и их сумма тоже будет распределена нормально, однако для зависимых случайных величин это может быть неверным.
Пример 4.1. Пусть Q — случайная величина, распределенная нормально со средним 0 и дисперсией 1. Вооружимся правильной монетой и будем строить пары случайных величин (x,h) следующим образом: если монета выпала орлом, положим x=h= Q, в противном случае положим x=-h= Q. Легко проверить, что каждая из величин x и h распределена нормально, а их сумма — нет, поскольку она равна 0 с вероятностью ?. €
Из указанного обстоятельства вытекает, что доходности отдельных ФТ могут иметь нормальное (или иное устойчивое) распределение, тогда как доходность пакета таких ФТ будет распределена совершенно иначе. Требовать, чтобы доходности разных ФТ были независимы, в нашей ситуации бессмысленно, поскольку сама бета-модель базируется на том, что каждая из них зависит от доходности рыночного пакета. Поэтому для того чтобы предположение нормальности (или устойчивости) было оправдано, необходимо потребовать, чтобы многомерное совместное распределение доходностей всех обращающихся на рынке ФТ было нормальным (или устойчивым). Ясно, что никакими фактическими данными такую гипотезу подтвердить невозможно. С этих позиций более реалистичным представляется допущение квадратичности, не накладывающее никаких ограничений на распределения доходностей ФТ.
Применимость бета-модели для оценки эффективности малых инвестиционных проектов
Анри Пуанкаре в своих глубоких исследованиях в области философии науки подчеркивал то обстоятельство, что с точки зрения математики ошибки не имеют градаций и что любое неверное равенство надо рассматривать как тягчайшим образом неверное, сколь бы мала ни была ошибка, ибо из него можно вывести любое другое неверное равенство.
Эмиль Борель
Теория безупречна, когда не поддается проверке практикой.
Даниил Рудый
Мы рассмотрели исходные предпосылки бета-модели и увидели, что некоторые из них не в полной мере адекватны рыночным реалиям, что, кстати, прекрасно понимали и разработчики модели. Тем не менее, сама модель достаточно проста и ею довольно широко пользуются. В этой связи следует сказать несколько слов об экспериментальных проверках модели. Такие проверки проводились неоднократно и сводились к сравнению фактической средней за некоторый период доходности различных ФТ (или групп ФТ) с рассчитанной по бета-модели на основе данных за предшествующий сопоставимый период. Сведения о таких проверках и некоторые их результаты изложены, например, в [5,7,37,68]. Оказывается, что некоторые проверки подтверждали правильность CAPM, другие — опровергали её. В этой связи следует упомянуть приведенный в [68] оригинальный вывод Р.Ролла (R.Roll), проанализировавшего методики проверок: “CAPM может быть верной, несмотря на то, что результаты проверок предполагают что-либо иное. Но и, наоборот, возможно, что CAPM можно опровергнуть, несмотря на то, что результаты проверки свидетельствуют о её правильности”.
Несмотря на имеющиеся возражения, бета-модель давно и широко применяется на практике, в том числе и для оценки инвестиционных проектов. Посмотрим, насколько корректно это делается, ограничившись пока что только малыми проектами.
Наиболее корректная оценка проектов с помощью бета-модели использует метод дисконтирования детерминированных эквивалентов. Такой метод изложен и проиллюстрирован на примере в учебнике [7]. Общий принцип при этом следующий — неопределенные денежные потоки каждого шага последовательно приводятся к их детерминированным эквивалентам на предыдущем шаге, где суммируются с “настоящими” денежными потоками.
Приведем два более показательных примера, использующие одни и те же данные о рынке. На рис. 4.2 приведена схема изменения состояния рынка. В ней в любом состоянии при переходе к следующему шагу возможны 3 ситуации (условно — плохая, средняя и хорошая).
В центре каждой ячейки записан номер состояния — первая цифра означает номер шага, вторая — номер ситуации, которая на этом шаге может возникнуть. Выше (кроме шага 0) указана отвечающая этому состоянию доходность вложений предыдущего шага в рыночный пакет, ниже (кроме шага 2) — доходность депозитов, открываемых на этом шаге. Вероятности перехода из одного состояния в другое указаны на соответствующих стрелках.

Рис. 4.2. Схема изменения рыночной ситуации
Пример 4.2. Оценим эффективность вложений 100 на шаге 0 в проект (двухшаговый депозит), дающий на шаге 2 доходность 18% (т.е. чистый приток 118).
Решение. Сначала будем рассуждать “как обычно”. Средняя ставка депозита на шаге 1 составляет 0,15?0,07+0,3?0,08+0,55?0,11=0,095. Поэтому вложения на одношаговые депозиты на шагах 0 и 1 дадут на шаге 2 доход 100?1,09?1,095=119,4. Поскольку доход по проекту (118) меньше, от проекта следует отказаться.
Более точную оценку дает бета-модель.
Каково бы ни было состояние рынка на шаге 2, инвестор получает одну и ту же (не скоррелированную с доходностью рыночного пакета) сумму 118. Поэтому ценность этого дохода на шаге 1 получается дисконтированием по безрисковой ставке. Однако эта ставка в каждом из состояний 11, 12, 13 разная. Соответственно имеем детерминированные эквиваленты дохода проекта для этих состояний:

Теперь найдем детерминированный эквивалент дохода проекта (X1), среднюю доходность и дисперсию рыночного портфеля (r1) на шаге 1:
M[X1]=0,15?110,28+0,3?109,26+0,55?106,31=107,79;
M[r1]=0,15?0,05+0,3?0,13+0,55?0,16=0,1345;
D[r1]=0,15?(0,05-0,1345)2+0,3?(0,13-0,1345)2+0,55?(0,16-0,1345)2=0,001435.
Далее находим рыночную стоимость риска:
Для завершения расчета найдем ковариацию между детерминированным эквивалентом дохода проекта и доходностью рыночного пакета:
cov(X1,r1)= =0,15?110,28?0,05+0,3?109,26?0,13+0,55?106,31?0,16-107,79?0,1345=-0,054.
Теперь рассчитаем детерминированный эквивалент дохода проекта на шаге 0:

Таким образом, DEI проекта составит 100,44-100=0,44. Поэтому проект эффективен.
Определим, кстати, хотя это и не вызывается необходимостью, бету данного проекта на начальном шаге. Поскольку “справедливая нынешняя стоимость” будущих доходов проекта P1=100,44, то ковариация его доходности с доходностью рыночного портфеля составляет cov(X1,r1)/100,44=-0,000541. Тогда из (3.15) находим: b=-0,000541/0,001435=-0,377.
Мы видим, что трактовка беты как меры связанного с проектом систематического риска для многошаговых проектов становится более чем спорной: в нашем случае доходы проекта — детерминированные, тогда как его бета отлична от нуля (из-за неопределенной доходности депозитов на шаге 1). Именно поэтому найденную бету нельзя использовать “обычным образом”. Действительно, попробуем на её основе выбрать на начальном шаге 0 ставку дисконта, учитывающую риск. На этом шаге ставка депозита равна 0,09, а средняя доходность рыночного пакета — M[r1]=0,1345. Теперь CAPM дает: E=0,09-0,377?(0,1345-0,09)=0,0732. Распространив эту ставку на весь период реализации проекта, получим “обычным образом” исчисленный ЧДД проекта: ЧДД=-100+118/1,07322=2,45.
Как видим, разница оказалась довольно существенная. Причина расхождения в том, что в данном расчете не учтено в должной мере изменение рыночной конъюнктуры (доходности депозита и рыночного пакета) на шаге 1. Разумеется, ставку дисконта в этом примере можно подобрать так, чтобы получить точное совпадение, однако такая ставка уже не совпадет с рассчитанной по CAPM. n
Таким образом, определять показатели бета применительно к проектам (которые, в отличие от ФТ, являются эксклюзивными и неделимыми) не имеет особого смысла, поскольку, как видно из рассмотренного примера, их нельзя использовать для установления “подходящей” ставки дисконта и даже нельзя рассматривать как характеристику рискованности проекта.
Пример 4.3. Оценим эффективность двухшагового проекта, чистые притоки которого в разных состояниях указаны в следующей таблице:
Шаг
0
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Состояние
0
11
12
13
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Чистый приток
-40
-10
30
50
10
40
80
30
60
90
60
110
130
Решение. Расчет начинается с оценки “хвоста” проекта на шаге 1. Предположим вначале, что здесь наступило состояние 11. В этом случае средняя доходность рыночного пакета, его дисперсия, рыночная цена риска, средний чистый приток от проекта и его ковариация с рыночной доходностью (r2) составят соответственно:
M[r2|11]=0,2?0,02+0,4?0,06+0,4?0,11=0,072;
D[r2|11]=0,2?(0,02-0,072)2+0,4?(0,06-0,072)2+0,4?(0,11-0,072)2=0,001176;
[l2|11]=(0,072-0,07)/0,001176=1,701;
M[X2|11]=0,2?10+0,4?40+0,4?80=50;
[cov(X2,r2)|11]=0,2?10?0,02+0,4?40?0,06+0,4?80?0,11-50?0,072=0,920.
По этим данным рассчитаем для состояния 11 детерминированный эквивалент чистых притоков проекта на шаге 2: .
Аналогично для состояний 12 и 13 получаем:
M[r2|12]=0,122;
M[r2|13]=0,143;
D[r2|12]=0,000976;
D[r2|13]=0,001161;
[l2|12]=43,03;
[l2|13]=28,42;
M[X2|12]=63;
M[X2|12]=87;
[cov(X2,r2)|12]=0,654;
[cov(X2,r2)|13]=0,939;
;
.
Перейдем теперь к шагу 1. Можно считать, что здесь, в каждом из состояний 11, 12 и 13 инвестор получает соответствующий чистый приток X1 и детерминированный эквивалент P1 будущих чистых притоков. Общая сумма получаемых доходов (X1+P1) для состояний 11, 12 и 13 составляет соответственно -10+45,27=35,27, 30+34,86=64,86 и 50+60,31=110,31.
Учитывая вероятности указанных состояний, находим её среднее значение:
M[X1+P1]=0,15?35,27+0,3?64,86+0,55?110,31=85,41.
Теперь, используя вероятности из рис. 4.2, определим ковариацию указанной суммы с доходностью рыночного пакета:
cov(X1+P1,r1)=0,14?35,27?0,05+0,3?64,86?0,13+0,55?110,31?0,16-85,41?0,1345=1,013.
В заключение, взяв из примера 4.2 рыночную стоимость риска, определяем искомый эффект (детерминированный эквивалент) проекта на шаге 0:
Таким образом, вложения оказываются эффективными. n
Как видно из примеров, “строгие” расчеты эффективности многошаговых проектов довольно сложны и требуют достаточно детального прогноза рыночной ситуации, включая и доходности безрисковых вложений. Во всяком случае, они явно не сводятся к “исправлению” ставок дисконта. К тому же, с увеличением периода реализации проекта сложность расчетов растет экспоненциально.
Между тем, на практике бета-модель используется для оценки реальных инвестиционных проектов иначе. В расчет закладывают “проектные” значения чистых денежных притоков, считая, что они отражают средние значения (математические ожидания) случайных чистых притоков, а систематический риск проекта учитывают, включая в ставку дисконта соответствующую премию. Другими словами, здесь используется метод введения премии за риск и формула (3.22). Этот метод, хорошо обосновываемый на вербальном уровне, излагается во всех учебниках и методических документах (приятными исключениями являются книги [7] и [32, глава 9], а также небольшая сноска на с. 219 в [5], где рассматривается и метод дисконтирования детерминированных эквивалентов). Разумеется, при практическом установлении премии за риск никто не рассматривает возможные состояния финансового рынка и не определяет отвечающие им вероятности, доходности ФТ и чистые притоки денежных средств от проекта. Поступают иначе: подбирают предприятие-аналог и условно принимают, что доходность проекта имеет ту же ковариацию со среднерыночной, что и доходность ФТ предприятия-аналога. Поэтому входящую в (3.22) премию за риск lcov(x,xm) рассчитывают, используя (3.13), т.е. по формуле bi(am-a0), где bi — бета-коэффициент для предприятия-аналога. Аналогично поступают и при оценке имущества (см. ниже). Покажем, что при оценке проектов и имущества метод введения премии за риск может приводить к ошибкам.
Для этого ограничимся вначале одношаговыми проектами, требующими затрат j0 на шаге 0 и дающим неопределенный доход j1 на шаге 1. Такие проекты могут быть тиражируемыми или эксклюзивными. Рассмотрим обе возможности.
Если проект тиражируем (например, это опрыскивание посевов химикатом для защиты их от вредителей), это означает, что любой инвестор может его осуществить в любом объеме. Но это то же самое, что включить данный проект (в некотором оптимальном объеме) в свой инвестиционный пакет, рассмотрев его как еще один ФТ. Другими словами, подобный проект ничем не отличается от других ФТ: будучи “куплен” за сумму j0, он предоставляет право на получение дохода j1 (вспомним, что ФТ определялась не как ценная бумага, а как право на получение дохода!). Но тогда, в соответствии с общим положением п. 3.4, DEI от “покупки” этого ФТ (т.е. от реализации проекта) будет равен нулю как по формуле (3.21), так и по формуле (3.22). Таким образом, оба метода расчета DEI здесь дают правильный результат.
Для эксклюзивных, нетиражируемых проектов ситуация иная. Включить их “просто так” в бета-модель в качестве “дополнительных ФТ” (с теми же денежными потоками) нельзя. На соответствующем “рынке проектов” равновесия нет, а DEI таких проектов, как правило, отличен от нуля. Выясним, в каких случаях расчеты DEI основным способом и путем введения премии за риск, т.е. по формулам (3.21) и (3.22), дадут один и тот же результат. Заметим вначале, что во вторую формулу входит доходность рассматриваемого проекта. В данном случае её следовало бы определить как отношение x=j1/j0 неопределенного дохода к затратам. Легко видеть, что обе формулы будут равносильны только тогда, когда соблюдается равенство:
.
Простые преобразования показывают, что это равенство может выполняться только в двух случаях:
у проекта нет систематического риска, т.е. cov(j1,xm)=0. Здесь обе формулы эквивалентны, поскольку они обе требуют дисконтирования среднего дохода по безрисковой ставке;
. В этом случае у данного проекта DEI=0.
Во всех остальных случаях вторая формула даст неправильную оценку эффективности проекта. Это отмечалось и ранее, например, в [7], однако должных выводов из этого сделано не было. Чтобы “оправдать” подобный способ дисконтирования, в этой работе предложено ввести показатель “рыночной стоимости проекта”, определяемый как такая сумма затрат, при которой DEI проекта оказывается равной нулю. Соответственно доходность вложений предложено определять как отношение дохода к “рыночной стоимости проекта”. В этом случае, разумеется, формула (3.22) даст правильный результат, однако её нельзя будет применить на практике, поскольку в соответствующих расчетах придется использовать не настоящие, а “исправленные” доходности или беты проекта или предприятий-аналогов, о которых никакой информации нет.
Разберемся в причинах неприменимости рассматриваемой формулы для оценки нетиражируемых проектов (даже одношаговых!). Представим себе ФТ, доходность которого имеет такое же вероятностное распределение, как и доходность данного проекта. Почему же этот проект нельзя оценить тем же методом, что и указанный ФТ? По нашему мнению, причина в следующем. Рынок ФТ — равновесный, каждый ФТ продается по “справедливой”, рыночной стоимости, поэтому DEI от его покупки всегда будет равен нулю. Между тем, “рынка эксклюзивных проектов” нет, а расчеты их эффективности как раз и делаются с целью выяснить, даст ли участие в них положительный, нулевой или отрицательный DEI. Допустим, что некий проект — эффективный. Если предположить на минуту, что на рынке появился новый ФТ, (случайная) доходность которого та же, что и у данного проекта, то его DEI оказался бы положительным. Это сразу же привело бы к изменению его цены, а значит — и доходности, в результате чего операции купли/продажи этих ФТ опять стали бы давать нулевой DEI. В то же время информация о возможности реализации данного (эксклюзивного!) проекта и даже о том, что аналогичный проект был уже осуществлен и обеспечил высокую доходность, не изменит ни равновесия на финансовом рынке, ни затрат j0 на реализацию проекта.
Разумеется, можно найти и такую “учитывающую риск” ставку дисконта, применяя которую, можно получить правильное значение DEI. Легко проверить, что она окажется следующей:
.
Другими словами, соответствующий коэффициент дисконтирования (1+E) будет превышать “безрисковый” (1+r0) во столько же раз, во сколько средние доходы от проекта превышают их детерминированный эквивалент. Естественно, что такая ставка будет индивидуальной для каждого проекта и никак не будет зависеть от его доходности (поскольку в эту формулу инвестиционные затраты на шаге 0 не входят). Обратим внимание, что эта ставка зависит от того, как устроен доход проекта j1, но никак не его доходность. Поэтому неясно, можно ли как-нибудь связать такую ставку с параметрами каких-то альтернативных ФТ.
Более детальное рассмотрение показывает, что для неэффективных проектов вторая формула (3.22) завышает DEI, а для эффективных — занижает. При этом величина ошибки тем больше, чем больше индекс доходности проекта — отношение DEI к затратам. Полученный вывод о теоретической необоснованности этой формулы представляется чрезвычайно важным. Дело в том, что именно на ней базируется традиционное, повторяемое во многих учебниках определение ставки дисконта как максимальной доходности альтернативных вложений с тем же систематическим риском, что и у данного проекта. Между тем, такое определение, взятое “в чистом виде”, некорректно!
Начнем с элементарного возражения. Если предположения CAPM выполняются, то альтернативой данному проекту могут быть только вложения в ФТ или пакеты ФТ. При этом у любого ФТ или пакета ФТ доходность неопределенная, так что говорить о максимальной доходности здесь вообще не имеет смысла, а приведенное определение должно быть существенно скорректировано. Более корректным представляется, опираясь на формулу (3.16), определить ставку дисконта как максимальную среднюю доходность (математическое ожидание доходности) альтернативных вложений с тем же систематическим риском, что и у данного проекта. Это согласуется и со второй из формул (3.19), где математическое ожидание доходов от ФТ дисконтируется именно по такой ставке. Такое определение, во всяком случае, понятно и логично. Увы, как только что было показано выше, такая ставка для дисконтирования неопределенных доходов проекта не подходит, ибо приводит к ошибкам в определении DEI.
Дополнительные проблемы, связанные с введением премии за риск, возникают применительно к многошаговым проектам. Говорить об их доходности, относя доходы к инвестициям начального шага 0, здесь не слишком уместно (очень часто на начальном шаге осуществляется лишь малая доля общих инвестиционных затрат). Кроме того, если инвестиции осуществляются не только на шаге 0, но и на следующих, “ковариационная поправка” на этих шагах будет относиться к расходам, а не к доходам. И действительно, наверно, трудно отрицать корреляционную связь между ситуацией на финансовом рынке и затратами на строительство зданий или закупку оборудования. Поэтому, если и вводить соответствующую поправку, она не будет иметь никакого отношения к “историческим” бетам, которые относятся к акциям действующих предприятий (и, стало быть, к их доходам), а не к расходам по созданию новых предприятий (которые, скорее всего, скоррелированы с доходностью строительных и машиностроительных предприятий). Именно по этой причине, особенно на стадии строительства, использовать беты предприятий-аналогов недопустимо.
Еще одну особенность использования метода введения премии за риск можно увидеть, рассмотрев двухшаговый проект с неопределенными чистыми притоками. Его эффективность следовало бы оценить в 6 этапов (ср. с примерами 4.2 и 4.3):
выбирается какое-то из состояний, которое может возникнуть на шаге 1;
в этом состоянии чистый приток проекта на шаге 2 будет неопределенным. Поэтому находится среднее значение этого чистого притока и дисконтируется к шагу 1 по ставке, учитывающей соответствующий риск. Такой расчет позволяет заменить неопределенный чистый доход проекта на шаге 2 его “детерминированным эквивалентом” на шаге 1;
чистый приток проекта на шаге 1, отвечающий выбранному состоянию, суммируется с найденным указанным способом “детерминированным эквивалентом” будущих доходов шага 2. Полученная сумма станет, таким образом, “детерминированным эквивалентом” текущих и будущих чистых притоков проекта для рассматриваемого состояния;

<< Предыдущая

стр. 7
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>