<< Предыдущая

стр. 8
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

выбирается другое из возможных на шаге 1 состояний, после чего этапы 2-4 повторяются, пока не будут рассмотрены все возможные состояния;
поскольку на шаге 0 будущее состояние на шаге 1 неизвестно, “детерминированный эквивалент” текущих и будущих чистых притоков проекта для шага 1 будет случайной величиной с известным распределением вероятностей. Поэтому и здесь его можно заменить своим средним значением и дисконтировать к шагу 0 по ставке дисконта, учитывающей этот риск;
для получения DEI проекта полученное на предыдущем этапе выражение остается суммировать с чистым притоком проекта на шаге 0.
Такая процедура выглядит весьма логично, однако в ней есть большой “подводный камень”. Рассмотрим внимательнее этап 5. Как видим, здесь приходится дисконтировать не чистые притоки проекта, относящиеся к шагу 1, а их сумму с “детерминированным эквивалентом” последующих доходов и расходов. Поэтому, даже если мы четко представляем себе все риски, которые могут возникнуть на шаге 1, если у нас есть информация об аналогичных предприятиях и показателях их деятельности на аналогичном этапе их функционирования, этого оказывается совершенно недостаточно для выбора ставки дисконта — такая ставка будет определяться еще и тем, какой систематический риск присущ “детерминированным эквивалентам” будущих чистых притоков проекта для шага 1. Иными словами, “правильная” ставка дисконта на шаге 1 будет зависеть от вероятностного распределения чистых притоков проекта на шаге 2, а вовсе не от того, каким в конце концов окажется DEI проекта.
Отсюда следует и неправомерность даваемых кое-где рекомендаций о включении поправок на “индивидуальные”, “специфические для данного проекта” риски в ставку дисконта только на тех шагах, где эти риски проявляются. Действительно, как видно из нашего рассмотрения, риски проекта на шаге 2 косвенно (через “детерминированные эквиваленты”) отразятся и на ставке дисконта для шага 1, если, конечно, рассчитывать её в соответствии с CAPM.
По той же самой причине оказывается “неработоспособной” и приведенная выше трактовка ставки дисконта как максимальной из средних доходностей альтернативных вложений с тем же систематическим риском, что и у данного проекта: при такой трактовке в ставке дисконта на определенном шаге должен отражаться систематический риск, относящийся не к чистым притокам проекта на этом шаге, а к их сумме с “детерминированными эквивалентами” последующих доходов и расходов. Ясно, что такая трактовка, хотя и является достаточно четкой и теоретически верной (в той мере, в которой справедлива бета-модель), вряд ли будет доступна пониманию “простого оценщика”, “простого проектировщика” и “простого инвестора”. Всё дело в том, что соответствующее понимание риска уж слишком сильно расходится с обычными представлениями о нем: так, в примере 4.2 у двухшагового депозита, который, казалось бы, должен считаться безрисковым вложением, оказалась ненулевая и даже отрицательная бета.
Отсюда следует, что по-видимому, нельзя дать какое-то разумное теоретически обоснованное определение учитывающей риск ставки дисконта для оценки реальных проектов, и здесь корректнее и проще дисконтировать детерминированные эквиваленты денежных потоков, дисконтируя их по безрисковой ставке. К сожалению, авторы CAPM, ограничившись рассмотрением только равновесного рынка ФТ, такого вывода своевременно не сделали, что внесло изрядную путаницу в теорию и практику оценки проектов.
Мы, получаем, таким образом, что применение бета-модели для оценки проектов и имущества будет теоретически обоснованным только, если в этих целях использовать метод дисконтирования детерминированных эквивалентов. К сожалению, его практическое применение связано с серьезными трудностями. Если математическое ожидание доходов от ФТ хоть как-то можно оценить по ретроспективной информации, то математическое ожидание чистых притоков проекта необходимо оценивать “напрямую”. Дело в том, что реальные проекты обычно уникальны (эксклюзивны) и никакой задокументированной информации о распределении их чистых притоков, как правило, нет (отсутствие этой информации иногда рассматривают как своеобразный “риск”). Другими словами, даже при использовании бета-модели нельзя обойтись без прямого использования субъективных вероятностей в процедуре расчета дисконтируемого показателя математического ожидания чистого притока проекта. На практике об этом почти всегда забывают, и дисконтируют по ставке (3.17) “проектные” значения чистых притоков, относящиеся к какому-то конкретному, “нормальному” сценарию реализации проекта. Бету при этом принимают по данным об акциях предприятий-аналогов, что приводит к “удачному” сочетанию: не зная вероятностного распределения чистых притоков проекта, оценщики в то же время закладывают в расчет, что это распределение такое же, как и у доходностей акций предприятий-аналогов, а математические ожидания чистых притоков проекта совпадают с рассчитанными (на основе утвержденных “норм проектирования”) “проектными” значениями. Такой подход не имеет никакого отношения к бета-модели, и столь же обоснован, как поездка на поезде с билетом на трамвай.
Применимость бета-модели для оценки имущества
Также и много других собрать бы я мог доказательств,
Чтобы еще подтвердить несомненность моих рассуждений;
Но и следов, что я здесь лишь наметил, довольно,
Чтобы ты чутким умом доследовал всё остальное.
Лукреций
Неудачные идеи бывают у всех. Но обычно, если идея при ближайшем рассмотрении оказывается провальной, она просто тихо умирает. Наша особенность в том, что у нас неудачные идеи как раз не умирают, а, наоборот, процветают и интенсивно развиваются в совершенно непредсказуемом направлении, превращаясь по ходу дела в такое законченное, пахучее и сложно сочиненное дерьмо, к которому потом вообще никто не знает, с какой стороны подойти, чтоб его убрать.
Юлия Калинина, обозреватель “МК”
Но, может быть, CAPM применима для оценки имущества и бизнеса? Дело в том, что Стандарты оценки предусматривают, что рыночная стоимость имущества или бизнеса оценивается как дисконтированная сумма ожидаемых (средних) чистых денежных притоков от наиболее эффективного использования этого имущества или бизнеса. При этом в ставке дисконта учитывается систематический риск, определяемый на основе бета-модели. Разберемся, насколько эти требования Стандартов обоснованы. В этих целях мы рассмотрим следующие вопросы:
любое ли имущество можно оценить, опираясь на CAPM?;
какая именно стоимость имущества оценивается показателем DEI?
правомерно ли использовать для оценки имущества и бизнеса метод введения премии за риск, или это надо делать, используя метод дисконтирования детерминированных эквивалентов?
как определить наиболее эффективное использование имущества?
1. Из подробного рассмотрения CAPM видно, что даже в том случае, если все предположения этой модели выполняются, она позволяет оценить только стоимость “малого” имущества — это уже говорилось в п. 2.9. В случае, когда денежные потоки от использования имущества велики по сравнению с денежными потоками от операций на финансовом рынке, замена приращения ожидаемой полезности дифференциалом (что сделано в п. 3.4) неправомерна, а оценка имущества показателем DEI может оказаться ошибочной. Заметим при этом, что функции полезности в CAPM предполагаются выпуклыми, так что истинное приращение функции будет меньше её дифференциала (график выпуклой функции лежит ниже касательной к нему). Это значит, что данный метод завышает оценку имущества тем больше, чем больше связанные с этим имуществом денежные потоки. Из сказанного следует, что использовать метод ДДП для оценки фирмы обосновано только, если ее намерена приобрести (поглотить) другая, значительно более крупная фирма.
2. Рассмотрим фирму-покупателя имущества. После того, как имущество будет куплено за сумму C, фирма будет получать от его использования какие-то дополнительные доходы и нести связанные с этим имуществом дополнительные расходы (включая расходы и налоги, связанные с осуществлением сделки). Такой (вообще говоря, неопределенный) денежный поток, связанный с использованием имущества, эквивалентен для фирмы получению некоторой суммы V в момент покупки. Поэтому операция по приобретению имущества и последующему его использованию может рассматриваться как инвестиционный проект, выгодность которого для фирмы определяется величиной и знаком разности V-C. Отсюда следует, что если такой проект является для фирмы малым, то максимальные затраты на покупку имущества, при которой его еще будет выгодно приобрести, должна быть равна V, т.е. сегодняшнему (нынешнему) эквиваленту будущих денежных чистых притоков от использования имущества (или, что то же, DEI проекта использования купленного имущества). Другими словами DEI проекта покупки (по указанной стоимости) и дальнейшего использования имущества должен быть равен нулю! Обратим внимание, далее, на то, что одно и то же имущество можно, в принципе, использовать по-разному. В этом случае фирма заинтересована в наиболее эффективном использовании имущества, т.е. в максимальном V. Поэтому максимально приемлемая для фирмы-покупателя стоимость имущества (рыночная стоимость его реализации, см. п. 2.9) должна равняться нынешнему (сегодняшнему) эквиваленту будущих денежных чистых притоков от наиболее эффективного его использования, что, по существу, отвечает требованиям доходного подхода к оценке рыночной стоимости имущества. Очевидно, что такая рыночная стоимость реализации имущества совпадает с DEI проекта его дальнейшего использования, тогда как при любом другом (не “наиболее эффективном”) использовании этот DEI будет меньше.
Таким образом, расчет DEI позволяет оценить не рыночную стоимость имущества, а рыночную стоимость его реализации. Этот показатель, как мы видели, является одним из “лиц” инвестиционной стоимости (другим “лицом” является рыночная стоимость покупки). В этой связи нельзя не остановиться на любопытном отличии инвестиционной стоимости от рыночной, отмеченном в коллективной монографии [59, с.89]: “Уже много лет у оценщиков Европы, следуя принятому в Великобритании правилу, закреплено отличие субъективного индивидуального предпочтения, с учетом фактора неопределенности и риска, от той рыночной стоимости, которая выражает объективные, т.е. коллективные (общественные, публичные) оценки по множеству коммерческих реализаций. Для количественного выражения субъективных предпочтений, а это относится к принятию инвестиционных решений, в ЕСО стали применять понятия либо “инвестиционная ценность”, либо просто “ценность” (worth). Но в США в этом же смысле используется понятие “инвестиционная стоимость” (investment value), которое используется и по-русски, но без акцентирования внимания на его субъективном характере.” Любопытно, что автор соответствующего раздела усмотрел существенное отличие инвестиционной стоимости от рыночной в части учета факторов риска и неопределенности: по его мнению, учет этих факторов приводит к инвестиционной стоимости, тогда как коллективные (общественные, публичные) оценки, приводящие к рыночной стоимости, эти факторы учитывать не должны. Если это не случайная ошибка автора, а изложение одного из методологических положений Стандартов оценки, то оно по меньшей мере странно. Действительно, если каждый участник рынка принимает свои решения с учетом факторов риска и неопределенности, а в показателе рыночной стоимости эти факторы не учитываются, то кому может быть нужен такой показатель?
3. Если использование купленного имущества дает единовременный доход, то мы имеем дело с одношаговым проектом и тогда оба способа расчета DEI эквивалентны, а рекомендация об использовании бета-модели при выборе ставки дисконта, содержащаяся в Стандартах оценки, должна рассматриваться как правильная. Однако обычно купленное имущество дает распределенные во времени доходы, и тогда ситуация меняется: как мы видели выше, нулевой интегральный эффект проекта покупки и использования имущества уже не гарантирует, что оба способа расчета DEI дадут одинаковый результат. Таким образом, при оценке имущества с помощью бета-модели необходимо рассчитывать DEI основным способом, а не путем введения премии за риск.
Дополнительная трудность возникает, если для установления премии за риск используются бета-коэффициенты по объектам-аналогам. Пусть, например, оценивается здание, требующее (через некоторое время после покупки) капитального ремонта, реконструкции или реставрации. Здесь в денежных потоках покупателя большую роль будут играть затраты на проведение соответствующих работ. Такие затраты оцениваются с очень низкой точностью и риски их увеличения обычно велики. Более того, указанные затраты коррелируют и с общей ситуацией на финансовом рынке. Очевидно, что такая корреляция должна учитываться при дисконтировании денежных потоков. Между тем, используя метод ДДП, оценщики в подобных ситуациях используют “обычную” бету, которая учитывает лишь корреляцию между “нормальными” доходами от объекта недвижимости и доходностью рыночного пакета, но не отражает указанную выше корреляцию.
Любопытная проблема возникает и при использовании затратного подхода к оценке имущества. Допустим, что затратный подход используется для оценки некоторого здания на определенную дату, скажем, на 01.04.2004. Продолжительность строительства такого здания — 2 года. Для оценки здания здесь необходимо (см. п. 2.9) подсчитать распределенные во времени затраты на строительство и найти их дисконтированную (к 01.04.2004) сумму. Заметим теперь, что стоимость здания на указанную дату должна отвечать какой-то виртуальной сделке по купле/продаже здания, совершаемой именно 01.04.2004. Это значит, что такое “виртуальное” здание к этому моменту должно быть уже построено и сдано в эксплуатацию. Тем самым, затраты на строительство должны относиться к предыдущему периоду, начинающемуся 01.04.2002. Но тогда при оценке надо исходить из той рыночной ситуации, которая имела место при принятии решения о начале строительства (а это — еще более ранняя дата) и из тех рисков, с которыми было связано строительство зданий именно тогда, а не на дату оценки. Иными словами, эти расчеты требуют информации о рыночной конъюнктуре и систематическом риске, относящуюся не к дате оценки, а к значительно более ранней, на что оценщики обычно внимания не обращают. Аналогичной проблемы при оценке инвестиционных проектов нет — здесь все денежные потоки относятся к будущему, а не к прошлому.
4. Само по себе требование Стандартов оценки исходить из наиболее эффективного использованию имущества не вызывает сомнений: оно прямо следует из принципа субоптимизации. Другое дело, какое именно использование имущества следует считать наиболее эффективным. На этот вопрос МСО [1] в разделе “Общие понятия и принципы оценки” отвечают, что это — “наиболее вероятное (курсив наш, С.С.) использование имущества, которое надлежащим образом оправдано, юридически допустимо и финансово осуществимо, и при котором оценка этого имущества дает максимальную величину стоимости”. Думаю, что не только математик обратит внимание на недопустимость требовать выполнения чего-то, обеспечив при этом максимум сразу двух совершенно разных критериев — вероятности осуществления и стоимости (это весьма напоминает бытовавшие в советское время лозунги о максимальном повышении объемов производства при минимальных затратах). Однако главное — в другом. Чтобы точно соблюсти требование этого Стандарта или хотя бы приблизиться к нему, оценщик должен оценить вероятность не только того самого использования, которое он считает наилучшим, но и всех остальных способов использования (чтобы количественно подтвердить, что данное использование более вероятно, чем все остальные). Что-то не приходилось встречать ни отечественных, ни зарубежных оценщиков, которые такие вероятности считали. Заметим также, что есть такие виды имущества, стоимость которых отвечает маловероятному их использованию (так, при доходном подходе стоимость автоматической системы пожаротушения или детектора денежных знаков должна определяться исходя из размера предотвращенного ущерба соответственно при возникновении пожара в данном помещении или при предъявлении фальшивых купюр). Представляется, что упоминание о вероятностях из указанного определения следует исключить. Кстати, ЕСО [2] этот вопрос изящно обходят: там дается собственное определение рыночной стоимости, где о наиболее эффективном использовании имущества и о вероятностях не упоминается, затем цитируется определение [1], о котором сказано, что стоимость наиболее эффективного использования — это термин, нашедший широкое применение и понимание в Северной Америке, являющийся синонимом рыночной стоимости.
“Изгнать” вероятности следовало бы и из федерального Закона “Об оценочной деятельности”. Так, в статье 3 этого закона под рыночной стоимостью “понимается наиболее вероятная (курсив наш, С.С.) цена, по которой данный объект оценки может быть отчужден на открытом рынке в условиях, когда ... .” Как бы оценщикам не пришлось доказывать в российских судах наибольшую вероятность своих оценок! Ведь вероятность — это число, и его максимум надо подтвердить расчетами, а не вербальными рассуждениями (типа того, что законодатель имел в виду совсем иной смысл термина “вероятность”).
Вопрос об определении понятия наиболее эффективного использования (НЭИ) не праздный — он имеет прямое отношение к рассматриваемой теме. Дело в том, что при наличии нескольких возможных вариантов использования имущества из них надо выбрать наилучший. Для этого, строго говоря, надо оценить стоимость имущества по каждому варианту и затем взять тот, где стоимость оказалась наибольшей. Однако, если расчеты проводятся с учетом факторов неопределенности и риска, результат будет зависеть от того, как учтены эти факторы в денежных потоках и какие ставки дисконта при этом использованы. Например, возможны ситуации, когда при одном способе учета рисков и одной ставке дисконта лучшим оказывается один способ использования имущества, а при других — другой. И здесь, увы, не приходилось встречать отчеты об оценке, где проводилось бы корректное экономическое сравнение вариантов использования имущества и обосновывался выбор НЭИ.
О КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОГО ПОВЕДЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Истины не меняются — меняются их доказательства.
Оскар Уайльд
Прекрасная пара — Аксиома и Постулат: он у нее не требует никаких доказательств, она у него не требует никаких доказательств... А по соседству с ними — Теорема и Аргумент, вечно спорят, что-то доказывают друг другу. Кто из них счастливей? Видимо, Аксиома и Постулат. Но они бездетны, потому что только в споре рождается истина.
Феликс Кривин.
“Прямой” учет волатильности доходов
Истина — воображаемая линия, разделяющая ошибку на две части.
Альберт Хаббард
Как только вы встанете на нашу точку зрения, мы с вами тут же полностью согласимся.
Моше Даян
В ряде работ и популярных учебников (например, в [5,37,55]) исходные предложения CAPM излагаются несколько иначе. В частности, при описании поведения инвестора говорится, что он рассматривает любые отклонения доходности акций от средней (разброс, волатильность) как сигнал о риске вложений в эти акции, и этот риск однозначно характеризуется дисперсией доходности (тем самым риск понимается иначе, чем в официальном российском документе [26] и в данной книге). На этом основании, формируя свой инвестиционный портфель, инвестор учитывает волатильность, максимизируя среднюю доходность при ограничении на дисперсию.
Отметим в этой связи три обстоятельства. Во-первых, приведенный в разделе 3 вывод CAPM не опирался на указанный критерий (однако, эту модель можно вывести и из указанного критерия оптимального поведения инвесторов, не требуя нормального распределения доходностей). Во-вторых, сама бета-модель отражает не совсем тот риск, который выражается в колебаниях доходности ФТ: превышение средней доходности ФТ над безрисковой, если его и можно назвать премией за риск, отражает только ковариацию между доходностями ФТ и рыночного пакета, именуемую иногда систематическим (недиверсифицируемым) риском. К “обычным” рискам проектов (типа аварий, отказов оборудования или срывов заключенных договоров), иной раз сильно влияющим на курсы акций, этот “риск” практически никакого отношения не имеет. И, наконец, в-третьих, для практического использования предлагаемого критерия по каждому варианту вложений надо знать среднее и дисперсию его доходности, что представляется мало реалистичным.
Тем не менее, поскольку требование максимизации среднего дохода при ограничении на его дисперсию (или наоборот, минимизации дисперсии при ограничении снизу на средний доход) выдвигается во многих работах и упоминается в популярных учебниках, несколько слов о нем стоит сказать.
Начнем с того, что о подобном требовании обычно забывают, рассматривая задачи оценки эффективности инвестиционных проектов или сравнивая варианты проектов — здесь обычно пользуются критерием максимального ЧДД или его математического ожидания, если денежные потоки проекта случайны. Любые ограничения при этом учитывают только в процессе отбора вариантов для сравнения. Между тем в одном инвесторе никак нельзя совместить два разных критерия рационального поведения. С этих позиций невозможно объяснить, почему ставку дисконта надо выбирать с помощью первого критерия, а применять для расчетов второго. Чтобы несовместимость критериев стала совершенно ясной, приведем два упрощенных примера.
Пример 5.1. Возможны только 2 “состояния природы”, имеющие вероятности соответственно 0,8 и 0,2. По проекту А при этих состояниях чистый доход инвестора составит соответственно +5 и +30, по проекту Б — +15 и -10. Легко проверить, что для инвестора оба проекта равноэффективны, т.е. они дают одни и те же средние доходы (10) и одну и ту же дисперсию дохода (100). Между тем, проект Б, в отличие от А, сопряжен с риском убытков Поэтому инвесторы, имеющие разную склонность к риску, могут оценить их по-разному. n
Пример 5.2. Допустим, что инвестор, максимизирующий средний доход при ограничениях на его дисперсию, вложил свой капитал 100 в оптимальный пакет ФТ. На следующем шаге, продав ФТ, инвестор будет иметь случайный капитал со средним 115 и дисперсией 81. Средняя доходность этих вложений составляет 15%, дисперсия этой доходности — 0,0081, а среднеквадратичное её отклонение — 0,09 (9%). Однако инвестор мог бы сформировать и другие пакеты ФТ с большей средней доходностью и большей дисперсией. Возьмем один из них, который дал бы инвестору случайный капитал со средним 120 и дисперсией 101. Раз инвестор отказался от этого пакета, это означает, что дисперсия доходности 0,0101 слишком велика для него по отношению к повышенной средней доходности (20%). Поэтому он будет отказываться от любых проектов, доход от которых имеет такое сочетание среднего и дисперсии.
Запомним это, и предложим инвестору бесплатную “ценную бумагу”, дающую право сыграть в следующую лотерею. Напишем на бумаге любую цифру от 1 до 9 предложим инвестору угадать её с пяти попыток. Если он угадает, то получит выигрыш 9, в противном случае не получит ничего. Ясно, что участие в такой лотерее выгодно для любого инвестора. Между тем, доход от лотереи — случайная величина со средним 5 и дисперсией 20 (аналогичную лотерею можно придумать для любого сочетания среднего и дисперсии). Этот случайный доход никак не коррелирован с доходностью выбранного инвестором пакета акций, поэтому, суммарный доход от этого пакета и от участия в лотерее будет случайной величиной со средним 115+5=120 и дисперсией 81+20=101. Однако именно такое сочетание среднего и дисперсии неприемлемо для инвестора, так что он должен был бы отказаться от участия в лотерее. n
Мы видим, что если инвестор действительно будет максимизировать средний доход, ограничив дисперсию дохода, его поведение может оказаться нерациональным. Против этого иногда выдвигается следующее возражение: критикуемое описание поведения инвестора приводится лишь для наглядности, на самом же деле инвестор оптимизирует свою политику, учитывая среднее значение и дисперсию дохода, возможно в каком-то более сложном виде. Возможно также, что субъект учитывает не дисперсию, а какой-то иной измеритель отклонения дохода от своего среднего значения, но экономисты пока еще не сумели адекватно формализовать этот измеритель. Такое возражение достаточно серьезно и требует детального рассмотрения.
В этой связи рассмотрим следующую модель поведения инвестора. Для оценки целесообразности вложений, дающих случайный доход q, инвестор использует учитывает средний доход M[q] и n измерителей разброса дохода Ri[q]=M[ui(q-M[q])], где ui — некоторые гладкие функции (для ui(x)=x2 соответствующим измерителем разброса будет дисперсия, для ui(x)=|x| — среднее абсолютное отклонение). В этих целях он максимизирует критерий ожидаемого дохода, имеющий вид:
E[q]=F(M[q], R1[q], R2[q]..., Rn[q]), (5.1)
где F — некоторая гладкая функция от своих аргументов.
Скажем, что u(x) является В-функцией, если её производная может принимать сколь угодно большие положительные и отрицательные значения, т.е. если . Такими, например, будут функции |x|k при k?1.
Семейство {u1(x),u2(x),...,un(x)} назовем В-семейством, если любая линейная комбинация функций ui(x) является В-функцией. Например, {x,x2} будет В-семейством, а {x,x2,(x-5)2} — не будет.
Сравним два варианта вложений, дающих случайные доходы и таких, что при любом “элементарном событии” доход по второму варианту будет не меньше, чем по первому. Естественно считать, что поведение инвестора будет рациональным только, если второй вариант будет для него не менее предпочтительным, чем первый: J(w)> q(w)?E[J]> E[q]. Это свойство критерия E назовем слабой монотонностью (о формализации подобных понятий в условиях различного типа неопределенности см. [31]). Основным результатом здесь является следующая теорема (несколько более слабое утверждение доказано нами в []).
Теорема. Если {u1(x),u2(x),...,un(x)} — В-семейство, то критерий (5.1) не обладает слабой монотонностью.
Доказательство. Рассмотрим случайный доход q, в среднем равный нулю, который имеет непрерывную положительную на числовой оси и достаточно быстро убывающую на бесконечности плотность распределения p(x). В этом случае величины gi(z)=M[ui(q-z)] существуют и являются гладкими функциями от z вблизи точки z=0 (обратите внимание, что gi(0)=Ri[q]).
Возьмем некоторое t и малые h>0, D>0. Пусть e — вероятность попадания случайного дохода q в отрезок (t,t+D). Другой случайный доход J образуем так: положим J=q+h, если t<q<t+D, и J=q в противном случае. Ясно, что для любого инвестора получить доход J предпочтительнее. Докажем, что при подходящем подборе t, h и D неравенство E[J]> E[q] нарушается.
Для этого оценим среднее значение J и измерители его разброса. Поскольку разность J-q равна 0 с вероятностью 1-e и h с вероятностью e, то M[J]=M[J]-M[q]=eh. Тогда



Поскольку средние значения и измерители разброса для J и q отличаются мало, значение E[J] можно оценить, используя первые члены ряда Тейлора для функции F. Пусть F0 и Fi — производные функции (5.1) по M[q] и Ri[q]. Тогда:

Обозначив , найдем:
.
Поскольку e<1, то при достаточно малом h отсюда имеем:

Выберем теперь подходящим образом t, h и D, учитывая при этом, что этот выбор никак не повлияет ни на функцию w, ни на коэффициент Q. Поскольку -w(x), будучи линейной комбинацией ui(x), является В-функцией, найдется такое t, что -w?(t)>Q+1. Стало быть, при достаточно малых h будет w(t+h)-w(t)<-(Q+1)h. Поскольку w(t) — непрерывная функция, неравенство w(x+h)-w(x)<-(Q+1)h будет выполняться не только для x=t, но и для x, близких к t, например, при |x-t|<d. Обратим внимание, что e®0 при D®0, и выберем D так, чтобы было eh<d, D-eh<d. Тогда при всех x между t и t+D будет выполняться неравенство w(x+h-eh)-w(x-eh)+Qh<-h. Но в этом случае будет:
,
откуда и следует, что критерий (5.1) не является слабо монотонным. n
Из теоремы следует, что любой критерий, зависящий только от математического ожидания и любого количества любых (кроме первого абсолютного) моментов дохода, может приводить к нерациональным решениям. В то же время существуют слабо монотонные критерии, не подходящие под условия теоремы. Таковы, например, критерии типа при |k|< 1 и a>0. Они достаточно “гладкие” и учитывают малые разбросы так же, как и дисперсия, а большие — как первый абсолютный момент. Однако такие критерии имеют другие недостатки (см. [75]) и их не следовало бы использовать инвесторам.
Пример 5.3. Для оценки ожидаемого дохода инвестор использует формулу , 0<k<1, основанную на первом абсолютном моменте. Ему предложены проект А, дающий детерминированный доход k2, и проект Б, дающий доходы k2+8k-8 и k2+8k+8 с равными вероятностями. По проекту Б средний доход равен k2+8k, а среднее абсолютное отклонение — 8. В этом случае ожидаемый доход проекта Б будет равен k2, так что оба проекта оказываются эффективными и равноэффективными. Тогда инвестор решает выбрать любой из них, бросая симметричную монету. Казалось бы, в результате должен быть выбран эффективный проект.
Увы, это не так! Случайный выбор из двух проектов — это третий проект В, который дает доходы k2+8k-8, k2+8k+8 и k2 с вероятностями соответственно 1/4, 1/4 и 1/2. Средний доход при этом составит k2+4k, а среднее абсолютное отклонение — 4+2k. При этом ожидаемый доход будет k2+4k-k(4+2k)=-k2, и инвестор отвергнет проект В, что не согласуется со “здравым смыслом”. n
Формализованное описание внешней неопределенности
Просто невероятно, как сильно могут повредить правила, едва только наведешь во всём слишком строгий порядок.
Георг Кристоф Лихтенберг
Ничто так не мешает видеть, как точка зрения.
Дон-Аминадо
Предыдущее рассмотрение показывает, что учесть разброс возможных значений дохода “непосредственно” (вводя поправки к среднему доходу) нельзя. Но почему такой учет должен осуществляться именно с помощью критерия ожидаемой полезности?
В обосновании этого ссылаются обычно на принцип, сформулированный еще в 1738 г. Даниилом Бернулли [], и обосновывающую этот принцип теорему Неймана-Моргенштерна [60] (см. её доказательства в [7, 62]). Между тем, эти результаты относятся к ситуации вероятностной неопределенности, когда субъект знает не только множество возможных будущих “состояний природы”, но и их вероятности. Применительно к бросанию костей или карточным играм, которыми занимался Д. Бернулли, это вполне логично, однако применительно к финансовому рынку такой подход не имеет под собой достаточных оснований. Грубо говоря, инвестор может (хотя бы мысленно) представить себе тысячи сочетаний курсов акций, которые могут сложиться на рынке в будущем году (т.е. пространство возможных “состояний природы”), но навряд ли он сможет обоснованно приписать этим сочетаниям какие-то вероятности. В этой ситуации логично было бы, чтобы субъект использовал “субъективные” вероятности, никак их не обосновывая и не согласовывая с другими субъектами. Обоснования использования “субъективных” вероятностей многие видят в теории ожидаемой полезности Сэвиджа [62,66], которая, несомненно, относится к выдающимся научным достижениям. Суть её в следующем. Рассматривается субъект, сопоставляющий различные альтернативы, результаты которых зависят от неизвестного “состояния природы”, причем пространство всех возможных “состояний природы” S известно (в [31] такая неопределенность именуется “внешней”). Тогда при определенных (достаточно сложно формулируемых) предположениях рациональное поведение субъекта состоит в том, что он должен задать некоторую (субъективную) конечно-аддитивную нормированную меру на S и некоторую “функцию полезности” на пространстве результатов альтернатив, после чего выбирать наилучшие альтернативы по критерию усреднения полезности получаемых результатов, типа (3.3).
Однако для наших целей, эта теория, к сожалению, не подходит. Это связано с несколькими обстоятельствами.
Прежде всего, теорема Сэвиджа доказана в предположении, что множество возможных “состояний природы” не только бесконечно, но и неисчислимо (т.е. не является счетным). Между тем, на практике, анализируя возможные в будущем состояния рынка, обычно выделяют какое-то конечное число таких состояний. В таких случаях на теорию Сэвиджа нельзя ссылаться даже формально.
Во-вторых, из теоремы следует, что функция полезности должна быть ограниченной на всём пространстве результатов альтернатив. Тем самым практически исключаются все используемые критерии. Например, максимизация среднего дохода отвечает использованию функции полезности u(x)=x, которая на числовой оси не ограничена. По той же причине неприменима и квадратичная функция полезности.
И, наконец, из результатов Сэвиджа не вытекает, что необходимая субъективная мера является вероятностной (хотя он, и не только он, именно так её называет). А именно, если любая вероятностная мера на S определяется только на некоторых (образующих так называемую s-алгебру) подмножествах S и является счетно-аддитивной, то субъективная мера определяется на всех подмножествах S и является лишь конечно-аддитивной. Приведем строгие определения.
Нормированной конечно-аддитивной мерой (НК-мерой) называется неотрицательная функция P(A), определенная для всех событий (подмножеств S) и обладающая следующими свойствами:
P(S)=1; P(AEB)=P(A)+P(B), если ACB=?.
Понятие, аналогичное математическому ожиданию, существует и для НК-мер, хотя они и не являются вероятностными. Чтобы отличать его от “теоретико-вероятностного” математического ожидания, назовем его иначе — усреднение. Определяется оно так.
Функцию F(s) назовем ступенчатой, если она принимает только конечное число значений. Пусть F(s) принимает только значения f1,...,fm, и Ai — множество тех состояний природы, при которых F(s)=fi. Тогда усреднение F(s) по мере P определяется формулой:
.
Пусть теперь F(s) — произвольная ограниченная функция. Представим её как общий предел двух последовательностей ступенчатых функций — возрастающей и убывающей. Для этого возьмем натуральное число k, и затем для любого целого i (положительного или отрицательного) обозначим через Ai множество тех состояний природы s, при которых i/2k< F(s)<(i+1)/2k. Поскольку функция F ограничена, то среди таких множеств будет только конечное число непустых. Определим теперь Gk(s) и Hk(s) как ступенчатые функции, которые на каждом непустом Ai принимают значения соответственно i/2k и (i+1)/2k. Тогда Gk(s)< F(s)<Hk(s). Легко видеть, что при k®? Gk(s) и Hk(s) равномерно стремятся к F(s), Gk(s) возрастает, а Hk(s) убывает, причем 0< MP[Hk]-MP[Gk]< 2-k. Поэтому последовательности {MP[Gk]} и {MP[Hk]} будут иметь один и тот же предел. Этот предел и будет искомым усреднением F(s) по мере P (в функциональном анализе такой объект называется интегралом Радона или Лебега-Стилтьеса, см. [,]). Легко проверяется, что он обладает “обычными” свойствами математического ожидания: усреднением константы будет та же константа, большая функция имеет не меньшее усреднение, а сумме функций отвечает сумма их усреднений. Важно также, что под знаком усреднения можно переходить к пределу: если функции Fn(s) ограничены и равномерно сходятся к ограниченной функции F(s), то и MP[Fn]®MP[F].
Оказывается, что введенное понятие усреднения может быть использовано при формировании критерия эффективности финансовых политик и инвестиционных проектов, правда, лишь при определенных условиях. “Наиболее мягкие” условия такого рода пока не ясны. Поэтому ниже соответствующий критерий обосновывается при сравнительно жестких (с математической точки зрения) допущениях.
При этом “первичной” мы считаем задачу оценки финансовой (в широком смысле этого слова, т.е. включающей и “инвестиционную” и “операционную” часть) политики фирмы. Отдельные проекты при этом будут оцениваться путем сравнения оптимальных политик “с проектом” и “без проекта”.
Как и в детерминированной модели (п. 2.3), и в бета-модели (п. 3.1), результатом той или иной политики будем считать стоимость её капитала на финальном шаге (наращенного капитала). При этом будем допускать и отрицательные стоимости капитала, трактуя их как непогашенные долги. Отрицательная стоимость капитала может возникнуть либо в ходе реализации реальных инвестиционных проектов, требующих привлечения кредита, либо в связи с операционной деятельностью инвестора, использующего недвижимое имущество или сложное оборудование. На последнее обстоятельство обращается внимание и в ЕСО: “Отрицательные стоимости — это те стоимости, которые представляют юридическое и таким образом финансовое обязательство перед арендатором или собственником недвижимого имущества. Отрицательные стоимости появляются там, где активы типа недвижимости с учетом физических, юридических, финансовых или контрактных обязательств, связанных правовым интересом, генерируют отрицательный ... денежный поток или требуют проведения значительных ремонтных работ” [2].
В ситуации внешней (в смысле [31]) неопределенности результат политики зависит от неизвестного “состояния природы” (“state of world”). Множество (конечное или бесконечное) всех возможных состояний природы обозначим через S. Любые множества состояний природы (т.е. подмножества S) будем называть событиями, и обозначать прописными латинскими буквами. Представление S объединением конечного числа непересекающихся событий S=A1E...EAm, где AiCAj=O при i?j, назовем разбиением.
Чтобы в условиях внешней неопределенности субъект мог оценить некоторую политику F, ему теперь достаточно только знать, какой капитал F(s) она дает при каждом состоянии природы sIS. Тем самым политики формализуются как некоторые функции от состояния природы, а проблема сводится к установлению “разумного” правила сравнения таких функций. К её решению можно подойти двояко.
При первом, ординалистском подходе (он реализуется в [60,62,66,] и многих других работах по теории полезности) предполагается, что субъект каким-то образом может сравнивать различные альтернативы и выбирать “лучшую” из них. Используемое при этом правило сравнения должно удовлетворять определенным требованиям (аксиомам), из которых и выводится структура “разумного” правила сравнения. Обычно оказывается, что такое правило порождается некоторым количественным критерием. Разумеется, есть и исключения. Так, решая, пойти ли на презентацию книги “Моя борьба с Думой” или посмотреть ток-шоу “Голая правда женщины”, никто не будет описывать эти альтернативы количественно. Однако, при оценке инвестиционных проектов ситуация иная: субъект желает не только знать, какая из двух альтернатив лучше, но и то, на сколько именно рублей (или юаней) она лучше.
Нам, однако, удобнее использовать второй, кардиналистский подход. Здесь с самого начала предполагается, что “разумное” правило сравнения альтернатив состоит в их сравнению по некоторому критериальному показателю. Поэтому в рассматриваемой ситуации примем, что политики F или функции F(s) субъект сравнивает по определенному критерию E(F). Назовем такой критерий ожидаемым капиталом (в [26,28,31] аналогичный критерий для оценки малых инвестиционных проектов именовался ожидаемым доходом). Поскольку аргументом E является функция от состояния природы, то само E является функцией от функции, т.е. функционалом. Его структура выводится из тех свойств, которыми он должен обладать.
Критерий ожидаемой полезности
Чтобы быть полезной, информация также должна быть полезной.
Международные стандарты оценки (МСО 2003, МПО 1, Дополнение А, п.А5.3.1).
Аксиома — это истина, на которую не хватило доказательств.
В. Хмурый
Начнем с того, что ожидаемый капитал естественно определять не для любых политик. Пусть, например, состояний природы счетное множество и они просто занумерованы по порядку. Политика F при этом будет полностью характеризоваться последовательностью чисел {F(1),F(2),...,F(s),...}. Здесь совершенно неясно, как можно разумно сравнить две политики, характеризующиеся последовательностями {1,2,...,s,...} и {0,2,0,4,...,0,2s,...}. Причина понятна — обе политики могут давать сколь угодно большой капитал. Назовем поэтому политику F ограниченной, если существует такое число N, что |F(s)|<N для всех sIS. Будем поэтому выяснять, как устроен функционал ожидаемого эффекта только для ограниченных политик.
Далее, любому субъекту “наиболее понятны” детерминированные политики, дающие вполне определенный, не зависящий от “состояния природы” капитал. Обозначим через Ib политику, при всех состояниях природы дающую капитал b. Для нее, очевидно, F(s)?b. Естественно принять, что ожидаемый капитал здесь совпадает с “обычным” (это требование названо в [31] аксиомой согласованности):
E(Ib)=b "b.
Рассмотрим теперь такие две политики, что первая при каждом состоянии природы дает капитал не меньший, чем вторая. Естественно считать, что и ожидаемый капитал у первой политики не меньше, чем у второй (это требование названо в [31] аксиомой монотонности):
F(s)> G(s) "s?E(F)> E(G).
Назовем политику F, ступенчатой на разбиении S=A1E...EAm, если функция F(s) постоянна на каждом из множеств Ai. Следующие требования будут относиться только к ступенчатым политикам.
Любая политика F, ступенчатая на разбиении S=A1E...EAm, характеризуется набором величин xi=F(Ai), поэтому значение E(F) будет некоторой функцией от всех xi: E(F)=f(x1,...,xm). Приводимые ниже аксиомы описывают некоторые разумные требования к виду этой функции.
В силу аксиомы монотонности функция f(x1,...,xm) не убывает по каждому аргументу, а в силу аксиомы согласованности f(b,...,b)=b. Однако этого еще не достаточно и мы потребуем, прежде всего, чтобы функция f была гладкой, т.е. имела непрерывные производные по всем аргументам.
Зафиксируем одно из событий, например, A1, и набор (x1,...,xm). Хотелось бы, чтобы при изменении x1 величина f(x1,...,xm) изменялась “регулярно”, т.е. либо оставалось неизменной, либо возрастала с положительной скоростью. При этом, какой бы случай ни имел место, он должен иметь место при любом наборе “остальных” x2,...,xm, и при любом разбиении пространства S, содержащем событие A1. Введем поэтому следующие определения.
Функцию g(x) назовем сильно возрастающей по x, если она имеет непрерывную и положительную производную по x в каждой точке.
Событие A1 назовем несущественным, если при любом, содержащем A1, разбиении S=A1E...EAm соответствующая функция f(x1,...,xm) не зависит от x1, и существенным, если при любом таком разбиении соответствующая функция f(x1,...,xm) сильно возрастает по x1.
Теперь можно сформулировать следующую аксиому (она не “покрывает” аксиому монотонности, которая относится не только к ступенчатым функциям).
Аксиома существенности: Любое событие из S должно быть либо существенным, либо несущественным, причем в пространстве S имеется по крайней мере три существенных события.
Заметим теперь, что в процессе разработки политики её нередко предлагается так или иначе “улучшить” (например, изменить объемы вложений в те или иные активы). При этом некоторые подобные предложения увеличивают капитал при одних состояниях природы и уменьшают при других. Учитывая эту особенность, возьмем два существенных множества Ai и Ak и рассмотрим f(x1,...,xm) как функцию только от xi и xk. Представим другую политику субъекта с тем же ожидаемым капиталом, которая при событиях Ai и Ak приводит к капиталам соответственно x?i и x?k, но не меняет капитал при других событиях. Тогда пара (xi,xk) будет в каком-то смысле эквивалентна паре (x?i,x?k). Хотелось бы, чтобы такая эквивалентность имела место независимо от того, какой капитал будет иметь субъект при всех остальных событиях:

Такого типа требования в теории полезности (см., например, [62]) называются аксиомами независимости. Подобную аксиому использовал и Сэвидж. Нам она понадобится в несколько ином виде, ориентированном на сопоставление мало различающихся политик. Поскольку функция f сильно возрастающая по xi и xk, написанные равенства определяют x?k как убывающую гладкую функцию от x?i. Ее производная в точке xi, взятая со знаком “минус” — , отразит, на сколько надо увеличить xk, чтобы скомпенсировать уменьшение xi на малую единицу, т.е. относительную ценность прироста капитала xi по сравнению с приростом капитала xk. Такую величину, следуя Хиксу [], назовем (предельной) нормой замещения капитала xi капиталом xk. Если принять аксиому независимости, эта норма будет зависеть только от xi и xk. Это требование, заменяющее для наших целей аксиому независимости, мы выделим в самостоятельную аксиому.
Аксиома замещения. Если политика F ступенчатая на разбиении S=A1E...EAm, причем множества Ai и Ak — существенные, а xi=F(Ai), то норма замещения wik зависит только от xi и xk.
Аксиома замещения весьа важна. Если бы она не выполнялась, то принятие решений даже о малых корректировках политики существенно усложнилось: оценивая корректировки, влияющие на капитал только при двух возможных событиях, субъекту пришлось бы учитывать результаты политики при всех остальных событиях. Наоборот, при выполнении этой аксиомы малые корректировки политики оцениваются очень просто. Так, если предлагаемая корректировка сводится только к уменьшению капитала на малое bi при осуществлении события Ai и увеличению капитала на малое bk при осуществлении события Ak, то это предложение следует отклонить, если отношение bk/bi<wik, и принять в противном случае.
Если, не меняя разбиения S=A1E...EAm, изменять политику F, т.е. величины xi=F(Ai), то нормы замещения wik будут, вообще говоря, меняться. В частном случае, когда все xi примут одно и то же значение x, эти нормы будут зависеть только от x. Однако эта ситуация будет отвечать детерминированной политике Ix. Поэтому было бы весьма странно, если бы фирма, чья политика при любых состояниях природы обеспечивала ей капитал, скажем, равный 500, была согласна потерять 1 при событии Ai и получить wik при событии Ak, но отказалась бы от этого, если бы ее политика всегда обеспечивала ей капитал 400 или 600. На этом основании мы принимаем следующую аксиому.
Аксиома однородности. Если множества Ai и Ak — существенные, то нормы замещения wik, отвечающие детерминированной политике Ix, не зависят от x.
Нашей целью является доказательство следующей теоремы.
Теорема. Для того чтобы функционал E(·) удовлетворял аксиомам согласованности, монотонности, существенности, замещения и однородности, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая сильно возрастающая функция полезности u(x) и такая конечно-аддитивная нормированная мера P, определенная на всех подмножествах S, что полезность ожидаемого капитала E(F) любой ограниченной политики F равна усреднению полезности неопределенного капитала по мере P.
Это условие можно записать двумя эквивалентными равенствами:
, (5.2)
где u-1 — функция, обратная к u (очевидно, что функция, обратная к сильно возрастающей, также будет сильно возрастающей).
Доказательство. Поскольку функционал (5.2) удовлетворяет указанным аксиомам, то их необходимость очевидна. Достаточность мы докажем в два этапа. Вначале, используя аксиомы, мы построим функцию полезности u(x), определим меры некоторых событий и подтвердим справедливость (5.2) для некоторых ступенчатых функций F(s). На втором этапе мы определим меру для всех событий и покажем, что (5.2) справедливо для любых ограниченных F(s).
Предварительно докажем простую лемму.
Лемма 1. Пусть T — некоторое непустое подмножество числовой оси, n>2. Если положительные функции двух переменных wik (i,k=1,…,n; i?k), определенные на T?T, удовлетворяют соотношениям:
wik(xi,xj)= wij(xi,xj)wjk(xj,xk), (5.3)
при любых не равных между собой i,j,k, то существуют такие положительные функции ri(x) на T, что wik(xi,xk)=ri(xi)/rk(xk).
Доказательство. Возьмем любую точку aIT и положим ri(x)=wi1(x,a) для всех i>1, r1(x)=w12(x,a)r2(a). Очевидно, что все ri(x)>0. Докажем, что они образуют искомый набор. Действительно, если i,k>1, i?k, то в силу (5.3) имеем: . Далее, если i>2, k=1, то . Аналогично при i=1, k>2 имеем: . Случаи i=1, k=2 и k=1, i=2 рассматриваются аналогично.
Легко видеть, что указанные свойства определяют функции ri с точностью до постоянного положительного множителя. €
Перейдем теперь к доказательству теоремы, предполагая, что множество возможных значений капитала фирмы T — вся числовая ось.
Пусть S=A1E...EAnE...EAm — некоторое разбиение, причем множества A1, ..., An — существенные, а все остальные — несущественные, причем n> 3. Рассмотрим ступенчатую функцию F(s), равную xi на Ai при всех i. Тогда E(F)=f(x1,...,xn), поскольку E(F) не зависит от xn+1,...,xm. В силу аксиом существенности и замещения, норма замещения wki (i,k< n) будет положительной непрерывной функцией от xi и xk: . Кроме того, wij(xi,xj)=wik(xi,xk)wkj(xk,xj). Тогда в силу леммы 1, найдутся функции ri(x)>0 такие, что wij(xi,xj)=ri(xi)/rj(xj). Но для политики Ix нормы замещения Zij не зависят от x. Поэтому все функции ri(x) пропорциональны друг другу, а стало быть, и функции . Тогда дроби pi=ri(x)/r(x) будут положительными константами, в сумме равными 1, причем . Отсюда следует, что функция r(x) непрерывна. Определим искомую функцию полезности равенством: . Очевидно, что она сильно возрастающая, u(0)=0, u(1)=1, и
. (5.4)
Отсюда , так что . Это равенство верно при всех i?j, поэтому . Общим решением этого уравнения в частных производных будет с какой-то функцией h. В частности, . Таким образом, функция h будет просто обратной функцией к u: h=u-1. Поэтому функция h — сильно возрастающая. Но тогда .
Определим теперь меры множеств Ai так: P(Ai)=pi для любого существенного Ai и P(Ai)=0 в противном случае. Для каждого множества A, образованного объединением некоторых из множеств Ai, определим меру P(A) как сумму соответствующих P(Ai). Очевидно, что при этом получим P(S)=1, а полученная выше формула примет более простой вид: , поскольку слагаемые, отвечающие несущественным множествам, равны нулю.
Докажем, что так определенная мера и функция полезности u(x) — искомые. Это делается в несколько шагов.
1. Если множество Ai — несущественное, то, какое бы разбиение мы ни взяли, ему будет приписана мера 0.
2. Выясним, как изменятся меры существенных событий, если в исходном разбиении S=A1E...EAm одно из них, например, A1, разбить на две части: A1=A?1EA?1. В этом случае новому разбиению S=A?1EA?1EA2E...EAm отвечают какие-то новые функция полезности v(x) и коэффициенты q?1,q?1,q2,...,qm. Возьмем любую ступенчатую функцию F, которая принимает на A1 одно и то же значение x1. Тогда норму замещения wik (i,j> 2) можно будет определить и по “старой” и по “новой” формуле. Отсюда в силу (5.4) имеем:
. (5.5)
Это означает, что функции u? и v? пропорциональны, поэтому v(x)=au(x)+b. Однако v(0)=u(0), v(1)=u(1), поэтому v(x)=u(x) при всех x. Тогда v?(x)=u?(x), откуда и из (5.5) следует, что все отношения qi/pi совпадают при i> 2. Заметим теперь, что увеличение капитала x2 на w12 малых единиц может быть скомпенсировано уменьшением на одну единицу капитала x1 при событии A1, или, что то же самое, таким же уменьшением капитала при событиях A?1 и A?1. Но тогда , так что . Поэтому меры q?1+q?1,q2,... ,qm пропорциональны p1,p2,...,pm. Однако сумма тех и других мер равна 1, поэтому они точно совпадают, а стало быть, при i> 2. Таким образом, при “измельчении” разбиения функция полезности и все “старые” меры сохраняются, а мера “измельчаемого” события становится равной сумме мер его частей. Легко видеть, что этот вывод будет справедлив и тогда, когда одно из событий A?1 и A?1 — несущественное.
3. Пусть теперь мы построили функции полезности и меры для двух разных разбиений S=A1E...EAm и S=B1E...EBk, про которые нельзя сказать, что одно из них более мелкое, чем другое. Оказывается, что и в этом случае результат будет тот же. Действительно, для этого рассмотрим третье разбиение, образованное всевозможными непустыми пересечениями AiCBj. Это разбиение будет более мелким, чем оба исходных, поэтому функция полезности для третьего разбиения будет такой же, как для двух первых, а любое событие, которое входит и в первое и во второе разбиение, будет иметь там одну и ту же меру.
Таким образом, функция полезности и мера любого события не зависят от того, применительно к какому разбиению мы их определяем, а мера объединения непересекающихся событий равна сумме мер объединяемых событий. Поэтому построенная мера P является конечно-аддитивной и нормированной (НК-мерой).
Пусть F(s) — ступенчатая функция, равную xi на Ai при всех i. Тогда, как показано выше, . Но сумма здесь является усреднением ступенчатой функции u[F(s)] по мере P, так что . Таким образом, равенство (5.2) справедливо для любых ступенчатых функций F(s). Чтобы доказать его справедливость для любой ограниченной F(s), построим, как и при определении усреднения, последовательности ступенчатых функций Gk(s) и Hk(s), равномерно стремящиеся к F(s) и такие, что Gk(s)< F(s)< Hk(s). Тогда в силу аксиомы монотонности имеем:
. (5.6)
Поскольку функция полезности u(x) возрастающая и гладкая, то u[Gk(s)] < u[F(s)] < u[Hk(s)]. При k®? функции u[Gk(s)] и u[Hk(s)] равномерно стремятся к u[F(s)], соответственно снизу и сверху. Поэтому их усреднения и стремятся к . Остается заметить, что обратная функция u-1 непрерывна, поэтому при k®? правая и левая части (5.6) стремятся к , что и доказывает искомое равенство (5.2). n
Таким образом, для корректного сравнения вариантов финансовой политики может использоваться критерий или эквивалентный, более простой критерий , который принято называть критерием ожидаемой полезности.
С практической точки зрения это тот же результат, который получен и Сэвиджем, однако он получен при иных предположениях и ориентирован на более широкую сферу применения. Укажем лишь одно отличие. При наших предположениях функция полезности может быть и неограниченной, зато мы приняли, что каждая политика характеризуется ограниченной функцией F(s). Это не совсем одно и то же. Пусть, например, пространство S — это положительная числовая полуось, т.е. состояния природы “занумерованы” положительными числами. Тогда политика, дающая в состоянии s капитал F(s)=s, может быть оценена по Сэвиджу, поскольку функция u(s) ограничена. Под условия нашей теоремы он не подпадает, т.к. капитал здесь может быть сколь угодно большим. С другой стороны, функция полезности u(s)=sn при любом n>0 не удовлетворяет теореме Сэвиджа, но отвечает условиям нашей теоремы.
Отметим, что задавшись (на основе своих предпочтений в отношении разных состояний природы) какой-то субъективной НК-мерой на S, субъект получает возможность оценивать некоторые политики, дающие сколь угодно большие значения капитала. Иными словами, операция усреднения по заданной мере P применима и к некоторым неограниченным функциям F(s). Это делается так.
Рассмотрим произвольную неограниченную функцию F(s) и разложим её на положительную и отрицательную части:
F(s)= F+(s)-F-(s), где F+(s)=max{F(s),0}, F-(s)=max{-F(s),0}.
Будем определять усреднение для каждой из этих частей в отдельности. Рассмотрим возрастающие последовательности функций Gn(s)=min{F+(s),n} и Hn(s)=min{F-(s),n}. Поскольку все Gn(s) и Hn(s) ограничены, усреднения gn=MP[Gn] и hn=MP[Hn] существуют, неотрицательны и с ростом n не убывают. Поэтому при n®? они имеют конечные или бесконечные пределы, соответственно g и h. В том случае, если оба этих предела конечны, функция F(s) называется суммируемой по мере P, а её усреднение определяется как разность MP[F]=g-h. Легко проверить, что “обычные” свойства усреднения при этом сохраняются. Однако важно учесть, что функции F(s), суммируемые по одной мере, могут не быть суммируемыми по другой. Поэтому если, даже в иллюстративных целях, оценивается политика, которая, в зависимости от состояния природы может давать сколь угодно большой капитал, приходится предполагать, что соответствующая функция F(s) суммируема по субъективной НК-мере.
До сих пор мы говорили об оценке ожидаемого капитала субъекта. Между тем, в “одношаговой” модели финансовая политика определяется как составом оптимального пакета ФТ, так и неопределенной доходностью этих вложений. В этой связи полезно ввести и понятие ожидаемой доходности. (например, одношагового проекта или ФТ). Пусть, например, на шаге 0 субъект вкладывает капитал K в проект, в результате которого наращенный капитал на шаге 1 увеличивается в неопределенное число x=x(s) раз. Величину x можно рассматривать как неопределенную брутто-доходность проекта. Пусть a=MP[x] и D=MP[(x-a)2] — её среднее значение и дисперсия. Сравним данную политику вложений с другой, увеличивающей вкладываемый капитал в детерминированное число m раз. То значение m, при которой обе политики равноэффективны, можно назвать ожидаемой доходностью исходной политики (иногда термин “ожидаемый” используют как синоним среднего значения или математического ожидания; в данной работе мы различаем эти понятия). Ее величина, очевидно, будет корнем уравнения:
. (5.7)
Заметим теперь, что функция u выпукла вверх и, стало быть, ограничена сверху касательной к своему графику. Поэтому
,
причем равенство возможно только при x=m, т.е. для “безрисковых” вложений. Поскольку u?(x)>0, из полученного неравенства следует, что m< a, т.е. ожидаемая доходность вложений не больше средней, причем равенство возможно только в детерминированном случае. Уточнить это неравенство можно в ситуации, когда D мало. Тогда, заменив u(x) первыми членами ряда Тейлора, получаем:

Отсюда, используя введенные в п. 3.1 показатели “неприятия риска” по Пратту ARA и “склонности к риску” q, найдем: . Таким образом, превышение средней доходности над ожидаемой увеличивается с ростом дисперсии доходности и неприятия риска инвестором (или — уменьшения склонности инвестора к риску). Чем больше ARA или чем меньше q, тем меньшую ценность имеет для инвестора случайный наращенный капитал по сравнению с гарантированным его средним значением.
Критерий оптимизма-пессимизма
Пессимист — это хорошо проинформированный оптимист. Оптимист — это хорошо проинструктированный пессимист.
Занимайте деньги только у пессимистов: они не надеются на их возврат.
Афоризмы из Интернета
Критерий ожидаемой полезности, обоснованный выше, достаточно широко используется в экономических исследованиях. Тем не менее, возникает естественное желание выяснить: а нет ли других “хороших” критериев и, если они есть, то к чему приведет их использование для оценки эффективности проектов. Ниже рассматривается один из альтернативных критериев.
Идея его построения такова. Инвестор хотел бы выбрать такую политику вложений F, которая обеспечила бы ему максимальный (наращенный) капитал. Однако при разных состояниях природы s стоимость капитала F(s) может быть разной. Поэтому инвестор хочет максимизировать как бы все возможные стоимости сразу, т.е. решает многокритериальную задачу. Однако при этом его совершенно не интересует, при каком именно состоянии природы достигаются те или иные стоимости капитала.
Другими словами, каждую политику вложений F он характеризует не функцией F(s), а только множеством X=XF возможных значений этой функции — некоторым подмножеством числовой оси (каждая из точек X может отвечать сразу нескольким значениям s). Тем самым, две политики, при которых наращенный капитал может оказаться равным, например, только 10, 20 или 30 (для каждой политики — при каких-то своих состояниях природы), субъект должен рассматривать как эквивалентные. Такого рода неопределенность, когда инвестор не различает (или не может или не хочет различать) состояния природы, дающие одинаковый результат, в [31] названа интервальной. Предполагается, что никакая политика вложений не может дать сколь угодно большого капитала, так что множества возможных значений капитала X — ограниченные. Максимально- и минимально возможным значениям капитала будут отвечать теперь крайние (граничные) точки множества X. Мы введем для них специальные обозначения:
.
Детерминированной политике, которая при любом состоянии природы дает один и тот же (наращенный) капитал b, отвечает множество Ib={b}, состоящее из единственной точки b.
Если инвестор может оценивать политики и выбирать лучшую из нескольких альтернатив, это означает, что он оценивает каждую политику по некоторому критерию ожидаемого капитала. В данном случае такой критерий будет зависеть только от соответствующего множества возможных при данной политике значений капитала, т.е. будет функционалом, определенным на классе ограниченных подмножеств числовой оси. Значение критерия, отвечающее множеству X, обозначим через E(X). Ниже мы установим вид этого функционала, удовлетворяющего трем довольно простым требованиям (аксиомам).
Прежде всего, хотелось бы, что решения, принимаемые в условиях неопределенности, были бы согласованы с решениями в детерминированной ситуации. Для этого заметим, что множество Ib={b}, состоящее из единственной точки b, отвечает детерминированной политике, дающей капитал b, и стало быть, здесь значение ожидаемого капитала тоже должно быть равно b. Это требование выражается следующей аксиомой.
Согласованность. E(Ib)=b при любом b.
Заметим далее, что отношениям между ограниченными функциями на S отвечают отношения между множествами их возможных значений (обратное неверно: одному и тому же отношению между множествами могут отвечать разные отношения между функциями). Нам понадобятся два из них.
Иногда про одну политику F субъект может сразу же сказать, что она лучше или, по крайней мере, не хуже другой политики G, а, стало быть, ожидаемый эффект у нее не меньше. Это значит, что между некоторыми политиками F и G можно установить соответствующее отношение “явного предпочтения” — доминирования. Так, любой субъект, ведущий себя рационально, должен считать, что политика F явно предпочтительнее политики G, если политика G при одних состояниях природы дает такой же капитал, что и F, а при других — меньший, т.е. когда F(s)> G(s) при всех s. В этом случае для каждого значения капитала x, возможного при политике F, найдется не большее значение капитала y, возможного при политике G, а для каждого значения капитала y, возможного при политике G, найдется не меньшее значение капитала x, возможного при политике F. Такому отношению между политиками (функциями от состояния природы) отвечает следующее отношение доминирования множеств.
Скажем, что множество X доминирует множество Y (X»Y), если каждую точку множества X можно получить, увеличивая или не меняя какую-то точку из Y, а каждую точку Y можно получить, уменьшая или не меняя какую-то точку из X. Это можно сформулировать короче: X»Y, если для любого xIX найдется yIY такое, что y<x, и для любого yIY найдется xIX такое, что x>y.
Следующая лемма выражает простые свойства введенного отношения.
Лемма 5.1.
а) если X»Y, то M(X)> M(Y) и m(X)> m(Y);
б) если M(X)>M(Y) и m(X)>m(Y), то X»Y.
Доказательство. А. Пусть X»Y. Возьмем любую точку xIX. Тогда найдется yIY такое, что y<x. Но y> m(Y), поэтому x> m(Y). Устремив x к своей нижней границе m(X), получим, что m(X)> m(Y). Наоборот, возьмем любую точку yIY. Тогда найдется xIX такое, что x> y. Но x< M(X), поэтому y< M(X). Устремив y к своей нижней границе M(Y), получим, что M(Y)< M(X), что и требовалось доказать.
Б. Пусть M(X)>M(Y) и m(X)>m(Y). Тогда найдется yIY такое, что y<m(X). В этом случае неравенство x>y будет справедливо для любого xIX. С другой стороны, найдется xIX такое, что x>M(Y). Но тогда неравенство x>y будет справедливо для любого yIY. n
Условия а) и б) доказанной леммы не “симметричны”: непонятно, что будет при M(X)=M(Y) или m(X)=m(Y). Оказывается, что здесь могут быть разные ситуации. Например, легко проверить, что замкнутый отрезок [a,b] будет доминировать замкнутый отрезок [c,d], если и только если a>c, b>d. Точно такое же утверждение справедливо и для открытых отрезков. Однако возможна ситуация, когда M(X)=M(Y) и m(X)=m(Y), но ни одно из этих множеств не доминирует другое. Например, так будет, если X — открытый отрезок (a,b), а Y — замкнутый отрезок [a,b]: здесь точка a меньше, а точка b — больше всех точек из X.
Очевидно, что “явно предпочтительной” политике должен отвечать не меньший ожидаемый капитал. Следующая аксиома “переводит” это требование “на язык множеств”.
Монотонность. Если X»Y, то E(X)> E(Y).
Третья, последняя аксиома требует, чтобы функционал ожидаемого эффекта был непрерывным, т.е. менялся мало при малом изменении политики. Для её строгой формулировки надо формализовать понятие “близости” политик, т.е. ввести “расстояние” между ними.
Если характеризовать политики как функции от состояния природы, то расстояние между политиками F и G удобнее всего измерять наибольшим отклонением F(s) от G(s), т.е. так называемой равномерной нормой: . При этом, если расстояние между политиками F и G равно d, то соответствующие множества XF и XG устроены так: каждая из точек одного множества будет отстоять от какой-то точки другого на расстояние, не превосходящее d, при этом наибольшее из таких расстояний (или верхняя грань их, если наибольшего не существует) будет совпадать с d. Это позволяет ввести расстояние между множествами следующим образом:
.
Грубо говоря, расстояние между множествами определяется как наибольшее расстояние от точек одного до ближайших к ним точек другого (такое расстояние называется расстоянием Хаусдорфа). Можно сказать и иначе (сравните с определением отношения доминирования!): расстояние между множествами меньше d, если для любой точки одного множества найдется точка другого, отстоящая от нее меньше, чем на d.
Скажем, что последовательность множеств {Xn} сходится к множеству X (Xn®X), если r(X,Xn)®0 при n®?.
Теперь мы можем сформулировать и последнюю аксиому.
Непрерывность. Если последовательность ограниченных множеств {Xn} сходится к X, то E(Xn)®E(X).
Структура критерия ожидаемого эффекта, удовлетворяющего приведенным аксиомам, дается следующей теоремой.
Теорема 5.1. Критерий ожидаемого капитала E(f) будет непрерывным, монотонным и согласованным, если и только если он имеет вид:
E(F)=H(M(F),m(F)), (5.8)
где H(u,v) — непрерывная функция двух переменных, не убывающая по каждому из них и такая, что H(u,u)=u.
Эта теорема требует некоторых пояснений. По существу, она утверждает, что критерий эффективности проекта должен учитывать максимально- и минимально возможные стоимости капитала. Это позволяет назвать его критерием оптимизма-пессимизма. Общие соображения о необходимости ориентации на экстремальные значения эффекта были, по-видимому, впервые высказаны Шеклом []. Он исходил из того, что мысль о возможности осуществления некоторого события вызывает у субъекта большее или меньшее потенциальное удивление. Поэтому инвестор будет сосредоточиваться на двух основных величинах: максимальной прибыли и максимальном убытке, за пределами которых потенциальное удивление будет настолько большим, что такие ситуации вообще не стоит учитывать. Ориентация инвестора на две “доступные разуму” величины представляет, как говорит автор, “живое ожидание” в противоположность такому абстрактному показателю, как математическое ожидание.
Простой минимаксный (базирующийся на экстремальных значениях возможного эффекта) критерий эффективности был немного позднее предложен Л.Гурвицем (см. [28,]). Он представляет собой среднее арифметическое взвешенное экстремальных значений эффекта, и отвечает линейной функции H(u,v)=lu+(1-l)v.
Сформулированная выше теорема является слегка модифицированным частным случаем одной из теорем Эрроу-Гурвица [, ].
Доказательство. Достаточность условий теоремы очевидна:
а) если X=Ib, то M(X)=m(X)=b и E(X)=H(b,b)=b;
б) Пусть X»Y, тогда в силу леммы 5.1, M(X)> M(Y) и m(X)> m(Y), поэтому неравенство E(X)> E(Y) вытекает из монотонности функции H;
в) пусть Xn®X. Тогда очевидно, что M(Xn)®M(X), m(Xn)®m(X). Поэтому E(Xn)=H(M(Xn),m(Xn))®H(M(X),m(X))=E(X), т.к. функция H непрерывна. n
Необходимость условий теоремы доказывается несколько сложнее.
Пусть u> v. Возьмем множество L, представляющее собой замкнутый отрезок [v,u], и определим H(u,v)=E(L). Легко видеть, что построенная функция H(u,v) монотонна и непрерывна, причем H(b,b)=b. Докажем, что функция H(u,v) — искомая.
Пусть X —произвольное ограниченное множество. Рассмотрим отрезки Yn=[m(X)-1/n, M(X)-1/n] и Zn=[m(X)+1/n, M(X)+1/n].
В силу леммы 5.1 Zn»X»Yn. Поэтому E(Zn)> E(X)> E(Yn). Но E(Zn)=H(M(X)+1/n, m(X)+1/n), E(Yn)=H(M(X)-1/n, m(X)-1/n) и обе эти величины стремятся к H(M(X),m(X)) при n®?. Поэтому E(X)=H(M(X),m(X)). n
Доказанная теорема вызывает естественные возражения. В самом деле, полученный критерий “реагирует” только на экстремальные значения капитал и “игнорирует” все промежуточные. Быть может, если взять другую систему аксиом, можно получить более естественный критерий? Оказывается, что это не так.
Начнем с того, что критерий ожидаемой полезности тоже не лишен указанного недостатка. Действительно, предположим, что при некоторой политике F капитал инвестора имеет равномерное распределение на отрезке [10,20]. Рассмотрим другую политику G, которая увеличивает возможные значения капитала вдвое, если они рациональные, и не меняет их в противном случае. Нетрудно убедиться, что ожидаемая полезность при обоих политиках одна и та же, хотя политика G “явно лучше”. Поэтому требовать, чтобы критерий ожидаемого капитала “реагировал” на изменение любых “промежуточных” возможных значений капитала, нельзя и здесь. На это можно возразить, что в практических расчетах учитывается лишь конечное число состояний природы, имеющих положительную вероятность. Между тем, критерий (5.8) не учитывает “промежуточных” значений капитала даже если количество возможных состояний природы конечно. В частности, если при одной политике капитал может принять одно из значений 1, 3, 4, а при второй — одно из значений 1, 2, 4, то указанный критерий оценит обе политики одинаково, тогда как первая из них представляется “явно лучшей”.
Разобраться в поставленной проблеме удалось Я. Каннаи и Б. Пелегу (Y.Kannai, B.Peleg). Приведем результат, полученный ими в малоизвестной российскому читателю работе []. В отличие от рассмотренной выше задачи сравнения различных множеств возможных значений капитала инвестора (т.е. различных подмножеств числовой оси), авторы рассмотрели гораздо более общую ситуацию.
Имеется произвольное множество W, на котором задано линейное упорядочение, т.е. бинарное отношение “?” (“не хуже”), обладающее тремя свойствами:
полнота: если x, yIW, то x?y или y?x (отсюда, в частности, вытекает рефлексивность отношения “?”: x?x "xIW);
транзитивность: если x?y, y?z, то x?z;
антисимметричность: если x?y, y?x, то x=y.
В задаче построения критерия ожидаемого капитала в роли W выступает множество вещественных чисел R c отношением “>” на нем.
Введем на W отношение “?” (“лучше”). А именно, скажем, что x?y, если x?y и x?y. Легко видеть, что это отношение транзитивно.
Проблема состоит в том, чтобы научиться сравнивать не отдельные точки W, а конечные наборы таких точек, т.е. различные конечные подмножества W, аналогично тому как критерий оптимизма-пессимизма предназначался для сравнения различных ограниченных подмножеств числовой оси.
Пусть S — множество непустых конечных подмножеств W. Хотелось бы, чтобы любые элементы S (мы обозначаем их A, B,?) тоже можно было бы сравнивать и упорядочивать. Для этого на S должно быть задано свое полное, рефлексивное и транзитивное отношение предпочтения “?” (“не хуже”). Такое отношение, не обязательно антисимметричное, называется совершенным упорядочением (различные виды отношений предпочтения определяются и рассматриваются, например, в [61,62]). Допустим, что такое отношение существует. Тогда оно естественным образом порождает отношения “?” (“лучше”) и “?” (“эквивалентно”):
A?B, если A? B, но неверно, что B?A;
A?B, если A? B и B?A.
Легко видеть, что оба эти отношения транзитивны.
Введем две аксиомы, обеспечивающие взаимную согласованность упорядочений множеств W и S. Первая из них требует, чтобы при включении в непустое множество A нового элемента, лучшего (худшего) по сравнению со всеми остальными, это множество “улучшалось” (“ухудшалось”).
КП1. Если включить в непустое множество A еще один элемент, лучший (худший), чем все остальные, то оно “улучшится” (“ухудшится”). А именно, если множество {a1,...,am} не пусто, то:
x?ai "i?{x,a1,...,am}?{a1,...,am};
ai?x "i?{a1,...,am}?{x,a1,...,am}.
Из этой аксиомы вытекает следующая лемма, утверждающая, что отношения между одноэлементными множествами будут такими же, как и между их элементами (это позволяет считать детерминированные политики частными случаями недетерминированных).
Лемма 5.2. Если x, yIW, x?y, то {x}?{y}.
Доказательство. Поскольку множество {x} не пусто и x?y, то в силу КП1 должно быть {x}?{x,y}. С другой стороны, множество {y} не пусто и x?y, так что в силу КП1 должно быть {x,y}?{y}. Но отношение “?” транзитивно, так что: {x}?{y}. €
Вторая аксиома требует, чтобы лучшее из двух множеств не становилось худшим при включении в оба множества одного и того же нового элемента (возможна и “обратная” формулировка — если два множества содержат один и тот же элемент x, то после его исключения лучшее множество не может стать худшим).
КП2. Если B,CIS, B?C и xIBEC, то {x}EB?{x}EC.
В силу этой аксиомы и леммы 5.1, например, множество {1,3,4} будет не хуже чем {1,2,4}.
Из введенных аксиом вытекает следующая лемма, напоминающая наш вывод критерия Эрроу-Гурвица.
Лемма 5.3. Множества, различающиеся только “промежуточными” элементами, эквивалентны: если A={a1,...,am} — непустое конечное множество, причем am?am-1?...?a2?a1, то A?{am,a1}.
Доказательство. При m=2 утверждение леммы тривиально. Пусть m> 3. Поскольку am?am-1?...?a2?a1, то в силу КП1 имеем: {am}?{am ,am-1}, {am}?{am ,am-1,am-2},..., {am}?{am ,...,a2}. Включив a1 в оба последних множества, и используя КП2, получим: {am ,a1}?{am ,...,a1}=A. Аналогично, используя КП1, найдем: {a2,a1}?{a1},...,{am-1,...,a1}?{a1}. Включив am в оба последних множества, в силу КП2 получим: A={am,...,a1}?{am,a1}.
Таким образом, {am,a1}?A?{am,a1}, так что A?{am,a1} по определению отношения эквивалентности. €
Ответ на вопрос, как устроено “хорошее” отношение предпочтения “?”, дается следующей доказанной в [85] теоремой.
Теорема 5.2. Если в множестве W не менее 6 неэквивалентных элементов, то на нем не существует полного, транзитивного и рефлексивного отношения “?”, удовлетворяющего аксиомам КП1-КП2.
Доказательство. Пусть, вопреки утверждению теоремы, на S существует отношение “?” с указанными свойствами. Возьмем 6 элементов W таких, что a6?a5?...?a1, и сравним множества {a4} и {a2,a5}. Результат может быть двояким: либо {a4}?{a2,a5}, либо {a2,a5}?{a4}. Теорема будет доказана, если мы покажем, оба случая невозможны, т.е. указанные множества несравнимы.
1. {a4}?{a2,a5}. Тогда {a1,a4}?{a1,a2,a5} в силу КП2. При этом, по лемме 5.3, левая часть здесь эквивалентна {a1,a2,a3,a4}, а правая — {a1,a2,a3,a4,a5}, поэтому {a1,a2,a3,a4}?{a1,a2,a3,a4,a5}. Но это невозможно: a5 “лучше”, чем a1,a2,a3,a4, и в силу КП1 должно быть {a1,a2,a3,a4,a5}?{a1,a2,a3,a4}.
2. {a2,a5}?{a4}. Заметим, что a4?a3, поэтому {a4}?{a3} в силу леммы 5.2. Но тогда {a2,a5}?{a3}. Включив a6 в оба множества и используя КП2, получаем {a2,a5,a6}?{a3,a6}. Далее, в силу леммы 5.2, {a2,a5,a6}?{a2,a3,a4,a5,a6}, {a3,a6}?{a3,a4,a5,a6}. Поэтому {a2,a3,a4,a5,a6}?{a3,a4,a5,a6}, что тоже невозможно: a2 “хуже”, чем a3,a4,a5,a6, и {a3,a4,a5,a6}?{a2,a3,a4,a5,a6} в силу КП1.
Несравнимость {a4} и {a2,a5} доказывает, что “хорошо” согласовать упорядочения множеств W и S нельзя. €
Таким образом, построить “хорошее” правило сравнения даже конечных подмножеств W, нельзя. В частности, как видно из леммы 5.2, если инвестор обращает внимание только на множество возможных значений своего капитала, он должен принимать решение, ориентируясь только на экстремальные из этих значений.
Вернемся теперь к рассмотрению критерия оптимизма-пессимизма. В п. 3.1, исследуя критерий ожидаемой полезности в условиях малого разброса возможных значений капитала, мы вывели из него два простых измерителя “склонности инвестора к риску” — ARA и RRA. Нечто подобное можно сделать и применительно к критерию оптимизма-пессимизма (5.8). Рассмотрим инвестора, использующего некоторую политику F. Пусть при этой политике экстремальные значения капитала инвестора составляют u и v. Предположим теперь, что применение другой политики G вносит в эти значения дополнительный малый разброс z, так что теперь экстремальные значения капитал будут составлять u+z и v-z. Тогда, если функция H гладкая, при переходе от F к G ожидаемый капитал изменится от H(u,v) до
.
Это позволяет рассматривать показатель как измеритель “склонности инвестора к риску” в условиях интервальной неопределенности, аналогичный ARA. При этом, как следует из теоремы, обе входящие в него производные положительны. Для “осторожного” инвестора, очевидно, SA<0. Несложно проверить, что постоянное SA=l-1/2 имеют только критерии Гурвица H(u,v)=lu+(1-l)v.
Применимость критерия Эрроу-Гурвица для оптимизации инвестиционного портфеля, выбора ставки дисконта и оценки эффективности малых инвестиционных проектов рассматривается в п. 6.5.
СТРАТЕГИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Дальнейшие исследования показали, однако, что дело обстоит далеко не так просто.
Лев Ландау
Ключевой вопрос математики: не всё ли равно?
Виктор Шендерович
Оптимизация финансовой политики в условиях неопределенности и базовая ставка дисконта
Ум человека можно определить по тщательности, с которой он учитывает будущее или исход дела.
Георг Кристоф Лихтенберг
Если разные инвесторы исходят из разных вероятностных распределений доходностей ФТ, бета-модель может оказаться неверной. Однако и задача, которой мы занимаемся, тоже несколько иная. Мы хотим выяснить, какую ставку дисконта должен использовать конкретный инвестор, оценивая конкретный предложенный ему инвестиционный проект — именно поэтому предлагаемый подход мы именуем “субъективным” (понимая под субъектом, естественно, не себя, а инвестора). При этом будем опираться на общую модель (3.4)-(3.6).
Основные предположения будут следующими:
существование депозитов не предполагается (т.е. безрисковых направлений вложений может и не быть);
инвестор может привлекать кредит в любом объеме по детерминированной ставке r-1, которая может не совпадать с депозитной (r=?, если инвестору недоступны никакие кредиты);
на шаге 0 инвестор располагает капиталом K;
инвестор не участвует в каких-то иных инвестиционных проектах и не ведет операционной (в смысле п. 2.2) деятельности;
инвестору известно множество W всех возможных состояний рынка на шаге 1, и он установил субъективную конечно-аддитивную нормированную меру P на всех его подмножествах;
инвестору известны брутто-доходности xi(w) каждого i-го ФТ на шаге 1, отвечающие каждому состоянию рынка wIW;
критерием рационального поведения инвестора является максимизация усреднения функции полезности от его наращенного капитала на шаге 1.
Разумеется, такая модель недостаточно реалистична (например, более адекватной была бы модель типа рассмотренной в п. 2.3, включающая определенные ограничения на объем кредита), однако она позволяет выяснить ряд особенностей оценки эффективности проектов в условиях неопределенности.
Допустим, что на шаге 0 инвестор берет кредит D и вкладывает сумму K+D в некоторый пакет ФТ, имеющий структуру x и зависящую от состояния рынка w доходность , где xi — доля i-х ФТ. Тогда на шаге 1 наращенный капитал инвестора составит V(w)=(K+D)xx(w)-Dr. Оптимальному пакету отвечает наибольшая ожидаемая полезность: U=M{u[V(w)]}?max, где u(V) — функция полезности инвестора, зависящая от его наращенного капитала V, а символ M здесь и далее означает усреднение соответствующего выражения по мере P. В дальнейшем указание на зависимость доходностей от состояния рынка w будем опускать.
Таким образом, оптимальный пакет будет решением задачи:
(6.1)
при ограничениях
; (6.2)

<< Предыдущая

стр. 8
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>