<< Предыдущая

стр. 9
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

. (6.3)
Для разных инвесторов, отличающихся функциями полезности u или, тем более, набором доступных для них ФТ (о чем говорилось в п. 1.4), оптимальные пакеты будут, вообще говоря, различаться.
Вначале рассмотрим нереальный случай нейтрального к риску инвестора: u(V)=V. Здесь целевая функция будет зависеть только от средних доходностей ФТ: . Поэтому решение оказывается тривиальным: все средства инвестор должен вложить в ФТ с наибольшей средней доходностью. Если ставка кредита больше средней нетто-доходности этого ФТ, кредит не должен привлекаться, если она больше, то кредит следует взять в бесконечно большом (практически — как можно большем) объеме. Если же ставка кредита равна средней нетто-доходности “лучшего” ФТ, то привлечение кредита не изменяет целевую функцию. Реальные инвесторы обычно осторожны. Однако из изложенного вытекает, что если на финансовом рынке есть участники с почти линейной функцией полезности (т.е. почти нейтральные к риску), то либо кредитные ставки должны быть достаточно высоки, либо кредиты должны лимитироваться, чтобы ограничить спрос инвесторов на “дешевые” кредиты.
Для осторожных инвесторов функция полезности строго выпукла вверх. В этом случае найдется такое h — двойственная оценка ограничения (6.2), что xi и D будут максимизировать при ограничениях (6.3), и, следовательно, удовлетворять системе:
(6.4)
(6.5)
Эти соотношения можно немного упростить. Обозначив p0=h/(K+D), из (6.4) получим:
(6.6)
Умножив это соотношение на xi и просуммировав по всем i, с учетом (6.2) и после замены на xx получаем:
(6.7)
Обратим внимание, что слева здесь стоит производная целевой функции по K, поэтому величина отражает ценность денег для инвестора на шаге 0. Вычитая (6.5) из (6.7), найдем:
(6.8)
Нетрудно убедиться, что в частном случае равенства ставок депозита и кредита и квадратичной функции полезности эти соотношения приводят к тем же условиям дополняющей нежесткости (3.8), которые имели место в бета-модели. Однако в других случаях положение иное: здесь оптимальный портфель совсем не обязан быть комбинацией рыночного портфеля и безрисковых вложений. Экспериментальные расчеты показали также, что в него могут не войти акции, чья доходность выше рассчитанной по бета-модели, но могут войти те, чья доходность меньше, чем требует бета-модель.
При заданной цене некоторых ФТ инвесторам с одними функциями полезности будет выгодно купить их, включив в свой оптимальный пакет, другим инвесторам будет выгодно их продать. Поэтому цена ФТ станет равновесной, когда спрос первых инвесторов уравновесится предложением вторых, а не тогда, когда их средняя доходность сравняется с требуемой по (3.16).
Получить из построенной модели ставку дисконта можно, применив следующий прием. Как отмечено выше, величина отражает ценность денег для инвестора на шаге 0 — изменение целевой функции при увеличении начального капитала на малую единицу. Ценность денег для инвестора на шаге 1, обозначим её через p1, будет иной. Она отразит изменение критерия при изменении (случайного) наращенного капитала инвестора V=V(w) на детерминированную малую единицу. Поэтому


Теперь, используя оптимизационную трактовку ставки дисконта и формулу (2.12), определим эту ставку как темп падения ценности денег во времени:
. (6.9)
Такая ставка применима для дисконтирования детерминированных денежных потоков. Действительно, рассмотрим инвестора, вкладывающего сумму j0 в малый проект, дающий на шаге 1 доход j1, а остальной капитал K-j0 — в оптимальный пакет ФТ. Вложения j0 в проект приведут при этом к уменьшению ожидаемой полезности на p0j0, а получение дохода j1 на шаге 1 увеличивает её на p1j1. Всего ожидаемая полезность изменится на -p0j0+p1j1, что эквивалентно получению суммы -j0+j1/(1+E) в начале проекта.
Однако для “рискованных” денежных потоков ситуация усложняется. Так, если доход j1 от проекта случайный, его получение изменит ожидаемую полезность на M[u?(V)j1], а реализация проекта будет эквивалента получению в начале проекта иной суммы , где . Полученное выражение правомерно трактовать как DEI или ожидаемый DEI проекта (в оптимизационной трактовке этого понятия), а входящую в нее величину E[j1] — как детерминированный эквивалент неопределенного дохода. Значение E[j1] зависит как от характера неопределенности проекта, так и от функции полезности. В зависимости от того, как скоррелирован доход проекта с наращенным капиталом инвестора (зависящим, прежде всего, от доходности оптимального пакета), оно может быть как меньше, так и больше математического ожидания дохода, а применительно к CAPM определяется первой из формул (3.19) (см. п. 3.4). Мы видим, таким образом, что для оценки проектов со случайными результатами необходимо дисконтировать по ставке (6.9) не средние значения доходов, а их детерминированные эквиваленты.
Обратим внимание, что детерминированный эквивалент неопределенного чистого приток j1 является некоторым средним арифметическим взвешенным из возможных значений чистого притока. Это наводит на мысль, что его можно практически определить, применив некоторый (понижающий или повышающий) коэффициент к “обычному” среднему M[j1]. На этом основан предлагаемый в [34, и др.] метод учета риска путем введения понижающих коэффициентов к чистым притокам проекта. Однако подобная идея порочна. Дело в том, что такой коэффициент должен применяться к математическому ожиданию чистого притока, найти которое ничуть не легче, чем сам детерминированный эквивалент. Тогда, скажете вы, коэффициенты надо применять к “проектным” значениям чистого притока. Увы, такие коэффициенты будут зависеть от того, как именно определены эти “проектные” значения. Например, если в расчет чистых притоков уже заложены какие-то резервы и запасы, то соответствующие их значения даже теоретически нельзя считать близкими к математическим ожиданиям, а коэффициент к ним должен зависеть от размера запасов (при больших запасах соответствующий коэффициент должен стать повышающим, а не понижающим).
Значение ставки E зависит не только от (случайных) параметров рыночной конъюнктуры, но и от функции полезности инвестора и, возможно, от его начального капитала. Поэтому было бы неправильно назвать её “рыночной”. Казалось бы, раз она применима для дисконтирования детерминированных денежных потоков, её можно назвать “безрисковой”. Однако это название вводит в заблуждение, ибо на рынке может вообще не быть безрисковых ФТ. По этой причине мы предлагаем для данной ставки более “нейтральное” название — базовая ставка дисконта (для разных инвесторов эти ставки могут различаться). Выясним некоторые её свойства.
1. Предположим, что на финансовом рынке существуют безрисковые ФТ — депозиты. Будем считать, что эти ФТ имеют номер 1. Предположим далее, что вложения в них вошли в оптимальный пакет. Тогда, поскольку доходность депозита x1 — детерминированная, из (6.6) вытекает, что x1M[u?(V)]=p0. Подставляя это в (6.9), получаем:
E=x1-1=d1.
Иными словами, в этом случае ставка дисконта совпадает с нетто-доходностью депозита. Тот же вывод мы, по существу, получили выше и из бета-модели в п. 3.4.
Заметим, кстати, что если бы депозиты существовали и их ставка была выше кредитной, инвестору было бы выгодно взять в кредит возможно большую сумму и вложить её на депозит, а решением оптимизационной задачи было бы D=+?. Поэтому практический интерес представляют только случаи, когда кредитная ставка не меньше депозитной.
2. Предположим далее, что депозиты существуют, но оптимальный портфель не предусматривает вложений в них. Тогда из (6.6) при i=1 вытекает, что p0> x1M[u?(V)], откуда и из (6.9) следует, что E> d1. Поэтому здесь ставка дисконта будет не меньше депозитной ставки.
3. Предположим теперь, что оптимальная политика инвестора предусматривает привлечение кредита (в положительном объеме). Тогда (6.8) дает: p0=rM[u?(V)]. Подставляя это в (6.9), найдем: E=r-1.
Иными словами, в этом случае ставки дисконта и кредита совпадают. Поэтому ситуация, когда инвестор одновременно и берет кредит и вкладывает средства на депозит, возможна только в случае равенства процентных ставок, но в этом случае она не дает никакой выгоды по сравнению с использованием только кредита или только депозита (как это, собственно и было в CAPM).
4. Предположим теперь, что оптимальный портфель инвестора не предусматривает получения кредита. Тогда в (6.8) будет иметь место неравенство, и из (6.9) получится, что ставка дисконта будет не больше кредитной: E< r-1.
5. Пусть m=mx— ожидаемая в смысле п. 5.3 брутто-доходность оптимального пакета. Это означает, что вложения в оптимальный пакет дают ту же полезность наращенного капитала, что и вложения с детерминированной доходностью m. Иными словами, величина m определяется из уравнения, аналогичного (5.7):
. (6.10)
Докажем, что базовая ставка дисконта не больше ожидаемой нетто-доходности оптимального пакета (m-1) и совпадает с ней только, когда оптимальный пакет — безрисковый.
Для доказательства заметим, что в силу (6.10) и выпуклости функции u имеем:

причем равенство здесь возможно только, когда доходность xx — детерминированная. Поэтому и, следовательно,
.
Но в силу (6.9), поэтому , откуда 1+E< m. €
Как было доказано в конце п. 5.3, ожидаемая доходность не больше средней. Отсюда и из доказанного выше вытекает, что базовая ставка дисконта не больше средней нетто-доходности оптимального пакета и равна ей только, когда оптимальный пакет дает детерминированную доходность.

Рассмотрим теперь более подробно, какой вид принимают полученные формулы, если инвестор имеет степенную функцию полезности: u(V)=Vq, где q — склонность инвестора к риску. Обозначив через z отношение суммы кредита к начальному капиталу, сведем задачу (6.1)-(6.3) к более простой эквивалентной:
(6.11)
Размер начального капитала при этом не влияет на решение задачи, т.е. на структуру оптимального пакета ФТ и структуру капитала (соотношение собственных и заемных средств). Оценки 1 рубля капитала на шагах 0 и 1 здесь будут иметь следующий вид:
.
Отсюда получаем выражение для базовой ставки дисконта:
. (6.12)
В частности, если кредит не используется, то:
. (6.13)
Ставки (6.12) и (6.13) также не зависят от начального капитала инвестора. При q=1 обе формулы дают: E=M[xx]-1, т.е. базовая ставка дисконта здесь совпадает со средней нетто-доходностью оптимального пакета ФТ. При q<1 (что отвечает осторожным инвесторам) положение иное: оптимальный пакет (если только он не безрисковый) не дает максимально возможной ставки дисконта, а базовая ставка дисконта, как показано выше, меньше как ожидаемой, так и средней нетто-доходности оптимального пакета:
.
При небольших нетто-доходностях ФТ ставку дисконта (6.13) можно оценить по приближенным формулам, связывающим её со средней (ax) и с ожидаемой (mx) брутто-доходностью оптимального пакета ФТ:
, (6.14)
где Vx — вариация (отношение среднеквадратичного отклонения к математическому ожиданию) брутто-доходности оптимального пакета.
Мы видим, что уменьшение ставки дисконта против средней нетто-доходности оптимального пакета зависит от склонности инвестора к риску и волатильности его оптимального пакета. Таким образом, базовая ставка дисконта (а именно она должна приниматься при расчетах DEI малых инвестиционных проектов) может не совпадать ни с безрисковой (депозитной), ни со средней или ожидаемой доходностью оптимального пакета инвестора. Более того, оптимальный пакет в этом случае не обязан быть комбинацией из рыночного пакета и безрискового (т.е. теорема разделения здесь не выполняется). Полученный результат не только ставит под сомнение бета-модель, но и существенно противоречит рекомендациям [26,28] об использовании безрисковых ставок. Приведем условный пример.
Пример 6.1. Все направления инвестирования состоят в покупке либо рыночного пакета акций, либо акций фирм X и Y (кредиты не используются). На каждом шаге на фондовом рынке может возникнуть одна из 6 возможных ситуаций. Вероятности этих ситуаций даны во второй графе таблицы.
Ситуация
Вероятность
Доходность рыночного пакета
Доходность акций фирмы X
Доходность акций фирмы Y
1
0,05
-16%
14%
0%
2
0,15
2%
2%
-10%
3
0,20
12%
7%
1%
4
0,35
22%
18%
24%
5
0,20
25%
27%
38%
6
0,05
28%
30%
34%
Среднее

16,0%
15,6%
16,4%
b

1,00
0,603
1,331
Доходности рыночного пакета акций и акций фирм X и Y (неизменные по шагам расчета) указаны в следующих трех графах. В их последних строках указаны соответствующие средние доходности и значения b. Доходность безрисковых вложений равна 10%. Осторожный инвестор, имеющий склонность к риску q=0,4, выбирает оптимальный вариант вложений и отвечающую ему ставку дисконта. Рассчитаем по CAPM требуемые доходности вложений в акции фирм X и Y:
aX=10+0,603?(16-10)=13,62%; и aY=10+1,331?(16-10)=17,98%.
Поскольку у акций фирмы X средняя доходность больше требуемой, а у акций фирмы Y — меньше, то согласно CAPM, первые акции следует приобретать, а вторые — нет. Между тем, оба эти утверждения ошибочны. Оптимальным будет вложение 58,5% средств в рыночный пакет и 41,5% — в акции фирмы Y (безрисковые вложения нецелесообразны). Легко проверяется, что при этом достигается средняя доходность 16,16%, однако ставка дисконта будет совсем иная — 15,2%. Более склонному к риску инвестору, имеющему q=0,7, все средства надо вложить в акции фирмы Y, и его ставка дисконта будет выше — 15,6%.
Пусть теперь средняя доходность акции меняется, а случайные отклонения доходности от средней остаются прежними. Оказывается, в этом случае вложения в акции будут привлекательны для разных субъектов при разных значениях средней доходности. Так, для инвестора с q=0,4 акции фирмы X войдут в оптимальный пакет, если их средняя доходность составит от 15,69% до 16,05%, а при более высокой доходности инвестор должен будет приобрести только эти акции, отказавшись от вложений в рыночный пакет. Аналогично, он будет покупать акции фирмы Y при средней их доходности от 16,2% до 16,7%, а при более высокой доходности будет покупать только их. Каковы будут равновесные доходности этих акций, зависит от того, как распределены участники рынка по их склонности к риску (q). n
Отметим также, что входящие в (6.12) математические ожидания берутся по субъективной вероятностной (или конечно-аддитивной нормированной) мере. Если разные субъекты по-разному оценивают “степень возможности” различных ситуаций, которые могут сложиться на финансовом рынке в будущем, они будут использовать разные меры и, соответственно, разные ставки дисконта. Это можно рассматривать как некоторое подтверждение общего тезиса [28,31] о субъективном характере ставок дисконта. Между тем, указанный тезис нередко оспаривается следующим образом: если ставка дисконта для данного субъекта существенно отличается от ставок, используемых другими субъектами, он вынужден будет отказываться от проектов, которые принимают другие или принимать проекты, от которых все остальные субъекты отказываются, и в результате его финансовое положение ухудшится. На самом деле этот аргумент неубедителен. Финансовое положение субъекта ухудшится не тогда, когда он будет поступать не так, как все остальные, а тогда, когда ухудшится конъюнктура финансового рынка. Если субъект придал более высокую субъективную вероятность соответствующим сценариям, его ставка дисконта стала меньше и он мог согласиться на менее эффективные проекты, отвергнутые другими инвесторами (скорее всего, такие проекты будут и менее рискованными, т.е. будут давать меньшие убытки при “плохих” сценариях, но и меньшие доходы при “хороших”). Однако именно в случаях ухудшения рыночной конъюнктуры такое поведение представляется оправданным. Наоборот, если вероятность “хорошей” рыночной конъюнктуры субъект оценил слишком высоко, его ставка дисконта увеличилась и он будет отказываться от менее рискованных проектов, приемлемых для других инвесторов. Такое поведение будет оправданным только в условиях “хорошей” рыночной конъюнктуры. Поэтому успешность финансовой политики субъекта в длительной перспективе будут зависеть только от того, правильно ли он оценивает “степень возможности” тех или иных ситуаций на финансовом рынке, а не от того, согласованы ли его оценки с оценками других инвесторов.
Оценка эффективности многошаговых проектов
Эффективность мысли определяется её воплощением в дела.
Абдул-Баха
Многие полученные выше результаты остаются справедливыми и в “многошаговой” ситуации, когда инвестор, имеющий начальный капитал K, максимизирует функцию полезности своего наращенного капитала на некотором финальном T-м шаге.
Вначале мы займемся оценкой инвестиционных проектов с детерминированными результатами. Покажем, что для этой цели применимы базовые ставки дисконта, выбранные указанным выше способом. Пусть инвестор решил участвовать в инвестиционном проекте, и (j0,j1,...,jT) — денежный поток инвестора по данному проекту. Чистые денежные притоки jt от проекта изменяют на каждом шаге объем вложений инвестора в ФТ. Соответственно изменяется значение целевой функции (ожидаемая полезность).
Допустим, что оптимальная политика определена и предусматривает вложения в некоторые оптимальные (вообще говоря, разные на разных шагах) пакеты ФТ, включающие и депозиты/кредиты. (Случайную) брутто-доходность пакета, в который производятся вложения на шаге t-1 (т.е. отношение доходов, полученных на шаге t, к объему вложений на шаге t-1), обозначим через qt. Тогда на финальном шаге капитал инвестора составит: “без проекта” — , а “с проектом” —
.
Для оценки эффективности проекта сравним ситуации “с проектом” и “без проекта”, найдя прирост целевой функции за счет участия в проекте, а затем — такое изменение начального капитала, которое при отказе от проекта даст тот же прирост. Для крупных проектов ничего проще предложить нельзя (к таким проектам мы еще вернемся в конце данного подраздела). Однако для малого проекта прирост ожидаемой полезности в ситуации “с проектом” по сравнению с ситуацией “без проекта” составит:
(6.15)
где коэффициент
(6.16)
отражает изменение ожидаемой полезности от добавления 1 рубля на шаге t. Его естественно трактовать, как ценность денег для инвестора на этом шаге. Из (6.15) видно, что за счет реализации проекта ожидаемая полезность изменится точно так же, как от увеличения начального (на шаге 0) капитала инвестора на сумму
,
где входящие сюда базовые ставки дисконта Et, отражающие темпы падения ценности денег, определяются формулой:
. (6.17)
Заметим теперь, что величина DK представляет собой сегодняшний (нынешний) детерминированный эквивалент чистых притоков проекта, т.е. его DEI, исчисленный при (меняющихся во времени) ставках дисконта Et. Поэтому проект будет выгоден инвестору, если такой DEI положителен, а лучшему варианту проекта будет отвечать большее значение DEI. Это подтверждает применимость базовых ставок дисконта для оценки эффективности малых инвестиционных проектов.
Существенно упростить полученные формулы можно, предположив, что функция полезности — степенная: u(V)=Vq, а случайные доходности ФТ на разных шагах независимы. Тогда структура оптимального пакета и распределение его доходности не зависят от объема вложений и их можно с самого начала установить для каждого года расчетного периода. При этом доходности оптимального пакета на разных шагах также будут независимы. В этом случае критерий оптимальности поведения инвестора принимает вид:
.
Другими словами, оптимальный пакет на каждом шаге должен максимизировать полезность чистых денежных притоков от вложений или, что то же, их брутто-доходности. Тем самым многошаговая задача сводится к нескольким одношаговым задачам (6.11), рассмотренным выше. При этом в силу (6.16) имеем:
(6.18)
что приводит к обобщенной на многошаговые проекты формуле (6.13):
(6.19)
В следующих примерах связь между ставкой дисконта и рисками альтернативных вложений удается описать аналитически.
Пример 6.2. Инвестор имеет степенную функцию полезности и он может только вкладывать средства на банковские депозиты (но не может держать их “в чулке”). Имеется n одинаковых банков, предлагающих депозиты по ставке r (проценты по депозиту выплачиваются непрерывно — на вложенную сумму S за время dt выплачиваются проценты rSdt). У всех банков одинаковая интенсивность банкротства l — за малый отрезок времени dt банк может обанкротится с вероятностью ldt. Тогда его клиенты получат только долю e от вкладов, а “на месте” банкрота возникнет новый банк с такими же характеристиками.
Очевидно, что в данной ситуации инвестору целесообразно каждый раз делить имеющиеся средства между всеми банками поровну. При этом за малый интервал времени dt имеющаяся у инвестора сумма K превратится в Kq, где брутто-доходность q — случайная величина, равная 1+rdt с вероятностью 1-nldt, и (1-1/n)(1+rdt)+e/n с вероятностью nldt (когда один из банков обанкротится).
Тогда, с точностью до малых второго порядка, имеем:
;
.
Теперь, используя (6.19), находим коэффициент дисконтирования денежных притоков момента t+dt к моменту t :
.
С учетом (1.3) это означает, что “мгновенная” базовая ставка дисконта здесь будет постоянной во времени и равной
. (6.20)
Отсюда находим при n=1 и при n®?. Таким образом, с увеличением количества банков (усилением конкуренции между банками) и доли возвращаемых при банкротстве средств e базовая ставка дисконта возрастает. Соответствующая зависимость (6.20) при q=0,5, r=0,12 и l=0,04 представлена на рис. 6.1. Зависимость базовой ставки дисконта от склонности инвестора к риску q при e=0,25, r=0,12 и l=0,04 представлена на рис. 6.2. Отметим, что при n=1 (когда у инвестора нет других альтернативных направлений вложений) и малых e ставка дисконта становится отрицательной.

Рис. 6.1

Рис. 6.2.
Продолжим рассмотрение нашего примера, предположив дополнительно существование еще одного, безрискового банка. В нем также можно депонировать средства, но под меньшую ставку r. Выясним, когда это целесообразно.
Пусть долю z своих средств инвестор вкладывает в “рискованные” банки, а остальное — в безрисковый банк. Тогда, с точностью до малых второго порядка, брутто-доходность вложений за малое время dt составит 1+[(1-z)r+zr]dt с вероятностью 1-nldt, и 1-z+z(n-1+e)/n с вероятностью nldt. При этом:
M[qq]=(1-nldt){1+[(1-z)r+zr]dt}q+nldt[1-z(1-e)/n]q »
» 1+{q[(1-z)r+zr]-nl+nl[1-z(1-e)/n]}dt.
Как показано выше, оптимальному сочетанию направлений вложений отвечает максимум M[qq]. Таким образом, оптимальное z является решением задачи:

при естественном ограничении 0< z< 1. Такой максимум может достигаться либо при z=1, либо при z<1.
В первом случае вложения осуществляются только в “рискованные” банки, так что ставка дисконта определяется формулой (6.20).
Во втором случае оптимальным оказывается вложить все или часть средств на безрисковый депозит, но тогда, как показано выше, ставка дисконта совпадет со ставкой этого депозита: E=r. Данный случай имеет место только, если производная целевой функции данной задачи по z в точке 1 отрицательна. Вычисляя производную, после простых преобразований представим это условие в виде неравенства: . Заметим, что справа здесь стоит ставка дисконта, определенная формулой (6.20). Поэтому решением задачи будет:
.
Как видим, если безрисковые вложения недостаточно эффективны, ставка дисконта может не совпадать с их доходностью. n
Пример 6.3. В этом примере время меняется дискретно. Как и в предыдущем примере, инвестор имеет степенную функцию полезности и для него доступно только депонирование средств в банки на 1 шаг под одну и ту же ставку r. На каждом шаге с вероятностью l возможен “дефолт”. При этом одни банки банкротятся, а другие — нет (“на месте” обанкротившегося банка сразу же возникает новый). При банкротстве банка клиент получает долю e от вложенных средств. Вероятность банкротства каждого из n имеющихся банков одна и та же и равна p. Поэтому вероятность того, что обанкротятся сразу m банков, будет равна .
Очевидно, что в данной ситуации инвестору целесообразно каждый раз делить имеющиеся средства между всеми банками поровну. При этом за один шаг капитал инвестора K превратится в Kq, где брутто-доходность q — случайная величина, равная 1+r с вероятностью 1-l, и (1-m/n)(1+r)+em/n с вероятностью . Поэтому
,
.
Теперь можно рассчитать базовую ставку дисконта по формуле (6.19). Ее зависимость от p при q=0,5, e=0,25, r=0,1 и l=0,075 показана на рис. 6.3, а от q при p=0,3, e=0,25, r=0,1 и l=0,075 — на рис. 6.4.
Заметим, что вероятность банкротства p разные инвесторы могут оценивать по-разному, и по этой причине им будут отвечать разные базовые ставки дисконта. При этом, если p велико, эти ставки могут оказаться отрицательными (отрицательное значение ставки показывает, что в условиях, когда все сбережения сопряжены со значительным риском потерять все деньги, рубль завтра становится более “ценным”, чем рубль сегодня; в реальной экономике такая ситуация не может продолжаться длительное время).

Рис. 6.3.

Рис. 6.4.
Как и в примере 6.2, если, кроме указанных, имеется и безрисковый банк, и его депозитная ставка больше рассчитанной ставку дисконта, то вложения в него оказываются целесообразными (при этом базовая ставка дисконта становится равной ставке безрисковых депозитов).
Зависимость базовой ставки дисконта от вероятности “дефолта” l и доли возвращаемых при банкротстве средств e при n=8, q=0,5, r=0,12 и p=0,3 представлена на рис. 6.5.
Мы видим, что при конкурентном рынке банковских услуг даже высокая вероятность дефолта и большие потери от него снижают базовую ставку дисконта не слишком сильно. n

Рис. 6.5.

До сих пор речь шла об оценке эффективности детерминированного малого проекта. Предположим теперь, что чистые доходы проекта случайны, но не зависят от колебаний курсов ФТ. Здесь уже необходимо рассматривать более широкое пространство элементарных событий (возможных “состояний природы”) W, охватывающее как возможные состояния финансового рынка, так и возможные состояния других объектов, от которых зависят чистые доходы проекта. Соответственно должна расшириться и вероятностная (или — субъективная конечно-аддитивная нормированная) мера P на W. При этом формула (6.15) для прироста ожидаемой полезности от реализации проекта немного изменится и в обозначениях (6.16) примет вид:
(6.21)
где символ M теперь означает математическое ожидание соответствующего выражения по новой, расширенной мере P.
Отсюда вытекает, что при реализации такого проекта ожидаемая полезность изменится так же, как и при увеличении начального капитала инвестора на сумму , где ставки дисконта определяются из (6.19). Другими словами, критерием оптимальности здесь становится сумма дисконтированных (при указанных выше ставках дисконта) математических ожиданий чистых притоков проекта. Из других соображений этот результат получен нами в [31].
Перейдем теперь к общему случаю, когда денежные потоки реального проекта зависят от конъюнктуры финансового рынка (такого рода проекты в [31] мы не рассматривали). При этом вначале следует сказать несколько слов о том, в каких случаях такая зависимость может возникнуть.
Помимо “технических” параметров проекта (объем производства продукции и потребления ресурсов, сроки строительства и т.п.), его денежные потоки определяются ценами на разного рода товары и услуги. Поскольку реальные проекты обычно не предусматривают операций на вторичном рынке ценных бумаг, изменение курсов акций на доходах и расходах проекта сказаться не должно. Как правило, не возникает риска и при получении кредита или накоплении средств для финансирования предстоящих расходов (скажем, для образования ликвидационного фонда при разработке нефтяных или угольных месторождений). Однако корреляция между денежными потоками проекта и доходностями ФТ может возникнуть, если на те и другие влияют одни и те же внешние факторы. Например, изменение налоговой или таможенной политики государства может одновременно сказаться и на денежных потоках проекта и на курсах акций многих предприятий, ведущих внешнеторговые операции. Далее, денежные потоки проекта зависят от цен на потребляемые в проекте ресурсы и производимую продукцию. Эти цены, в свою очередь, могут быть скоррелированы с курсами отдельных ФТ. Например, повышение цен на нефть обычно сопровождается ростом курсов акций нефтяных компаний и вызывает рост цен на топливо, которое может потребляться в данном проекте. Другая ситуация: падение доходности рыночного пакета акций часто приводит к тому, что инвесторы начинают вкладывать средства в землю или недвижимость. Соответственно изменяются цены земельных участков и зданий и плата за их аренду, что может повлиять на денежные потоки конкретного реального проекта.
Поэтому в общем случае в денежных потоках проекта может быть составляющая, скоррелированная с доходностью каких-то ФТ. Но тогда и весь денежный поток проекта будет скоррелирован с доходностями каких-то ФТ, а стало быть — и с доходностями оптимального пакета. Здесь прирост ожидаемой полезности немного изменится по сравнению с формулой (6.21):
, (6.22)
где
(6.23)
Отсюда, как и выше, вытекает, что для оценки эффективности проекта рассматриваемого типа можно использовать базовые ставки дисконта (6.17), но дисконтироваться при этом должны не математические ожидания чистых притоков jt, а более сложные агрегаты E[jt] — детерминированные эквиваленты неопределенных чистых притоков от проекта. Таким образом, критерием эффективности проекта здесь будет ожидаемый DEI — дисконтированная сумма детерминированных эквивалентов чистых притоков от проекта:
. (6.24)
Это не вызывается необходимостью, но имеет смысл показать, что отсюда вытекает и ценовое представление CAPM (3.21).
Для этого допустим, что: 1) проект одношаговый (T=1); 2) функция полезности — квадратичная, т.е. u?(V)=1-bV с точностью до постоянного множителя; 3) существуют депозиты/кредиты и их доходность равна a; 4) оптимальный пакет включает (в оптимальной пропорции) некоторый пакет рискованных ФТ с доходностью x и депозит/кредит. Математическое ожидание r и дисперсию D этой доходности будем считать известными.
Пусть x — (неизвестная) доля рискованных ФТ в пакете. Тогда доходность оптимального пакета составит
q=a+x(x-a), (6.25)
а для оптимального x в силу (6.7) получаем уравнение:
M[(x-a)u?(Kq)]=M[(x-a)(1-bKq)]=0. (6.26)
Впрочем, это соотношение и так очевидно: оно выражает тот факт, что если снять последний рубль с депозита и вложить его в рискованный пакет, то ожидаемая полезность не изменится.
Оценка денег на шаге 1 находится из (6.16):
p1=M[u?(Kq)]=M[1-bKq]. (6.27)
Заметим далее, что проект вложений 1 рубля на депозит имеет нулевой DEI. Поэтому –p0+ap1=0, откуда p0=ap1. Тот же результат можно получить и из (6.16). Таким образом, ставка дисконта (6.17) здесь будет равна нетто-доходности депозита: E=p0/p1-1=a-1.
Теперь из формулы (6.26) с учетом (6.27) и (6.25) находим:
0=M[(x-a)(1-bKq)]=M[x-a]?M[1-bKq]-cov(x,bKq)=
=(r-a)p1-bKxcov(x,x)=(r-a)p1-bKxD.
откуда, обозначив отношение (r-a)/D через l, получаем:
bKx=lp1.
Пусть теперь малый проект дает неопределенный доход j на шаге 1. Он, в силу (6.22) и (6.25), изменяет ожидаемую полезность на

Но это означает, что получение неопределенного дохода j на шаге 1 эквивалентно для фирмы получению суммы на шаге 0. Эта формула практически совпадает с (3.21). Различие только в том, что в данной формуле ковариация относится не к рыночному, а к оптимальному “индивидуальному” пакету рискованных ФТ, а величина l отражает не рыночную, а “индивидуальную” цену риска.
В практических расчетах эту формулу можно использовать, например, так. Допустим, что от рыночной конъюнктуры зависит цена Ц какого-либо участвующего в проекте товара (скажем, производимой продукции или потребляемого ресурса). По ретроспективным данным построим корреляционную зависимость между этой ценой и доходностью оптимального для данного инвестора пакета ФТ: Ц=g+hx. Легко проверяется, что в этом случае M[Ц]=g+hr, lcov(Ц,x)=h(r-a), так что
M[Ц]-lcov(Ц,x)=(g+hr)-h(r-a)=g+ha.
Таким образом, ту цену, которую надо использовать в расчетах DEI (при любой функции полезности инвестора, т.е. при любом значении b), следует “снять” с графика построенной корреляционной зависимости при значении аргумента, равной безрисковой доходности. Такой прием можно применить к ценам любых товаров, работ и услуг, участвующих в проекте. Представляется, что он позволяет гораздо точнее отразить систематический риск, поскольку при этом учитывается меняющаяся во времени структура денежных потоков (например, соотношение между доходами, капитальными и текущими расходами).

Рассмотрим теперь подробнее случай, когда функция полезности — степенная, а чистый приток от проекта на каждом шаге t зависит от состояния рынка только на этом шаге, т.е. скоррелирован с доходностью оптимального пакета qt (но не с аналогичными доходностями на предыдущих шагах). Здесь формула (6.23) дает:
. (6.28)
Понятие корреляции здесь и немного выше трактуется несколько вольно. В теории вероятностей говорят, что случайные величины x и h некоррелированы, если математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий: M[xh]=M[x]M[h]. Это отношение “симметрично”: если x не скоррелировано с h, то и h не скоррелировано с x. В нашем случае ситуация иная. Например, в (6.28) должна идти речь о корреляции jt не с qt, а с некоторой степенью qt. Конечно, это не “обычная корреляция”. К тому же, в рассмотренном выше более общем случае, где детерминированный эквивалент дается формулой (6.23), придется говорить об отсутствии корреляции между чистым притоком проекта и некоторой функцией от доходности оптимального пакета. По существу, мы имеем некоторое свойство, более сильное, чем “обычная” некоррелированность, но более слабое, чем независимость. Его можно было бы назвать “сильной некоррелированностью”: случайная величина x сильно некоррелирована c h, если математическое ожидание произведения x на любую функцию от h равно произведению соответствующих математических ожиданий: M[xf(h)]=M[x]M[f(h)]. Это отношение уже “несимметрично”: из того, что x сильно некоррелирована c h, не следует, что h сильно некоррелирована c x. Отметим, что независимые случайные величины будут сильно некоррелированными, однако обратное неверно. Пусть например, пара (x,h) может принимать только пять возможных значений — (1,1), (2,1), (3,1), (1,2) и (2,2), с вероятностями соответственно 0,4, 0,1, 0,1, 0,2 и 0,2. Легко видеть, что x и h — зависимы, иначе бы пара (3,2) имела бы положительную вероятность. В то же время x сильно некоррелирована c h, ибо:
M[x]=0,4?1+0,1?2+0,1?3+0,2?1+0,2?2=1,5;
M[f(h)]=(0,4+0,1+0,1)f(1)+(0,2+0,2)f(2)=0,6 f(1)+0,4f(2);
M[xf(h)]=(0,4?1+0,1?2+0,1?3)f(1)+(0,2?1+0,2?2)f(2)=0,9f(1)+0,6f(2)=M[x]M[f(h)].
Таким образом, если соблюдать математическую строгость, то всюду в тексте следует говорить о “сильной некоррелированности”. В то же время не хотелось бы усложнять изложение, вводя новый термин для описания явления, которое читателям и так интуитивно понятно, тем более, что и независимость и некоррелированность (“простая” и “сильная”) экономических показателей на практике обычно обосновываются вербально, а не методами математической статистики.
Из (6.23) видно, что функционал E аддитивен, поэтому рассчитывать детерминированный эквивалент чистого притока от проекта на любом шаге можно, суммируя (с учетом знаков) детерминированные эквиваленты его отдельных составляющих. При этом полезно учесть, что конъюнктура финансового рынка мало влияет на некоторые денежные потоки, например, на размеры инвестиционных расходов и амортизации (учитываемой при налогообложении прибыли), на платежи за электроэнергию и иные услуги регулируемых государством естественных монополий. Детерминированные эквиваленты таких потоков совпадают с их математическими ожиданиями.
Для других денежных поступлений или расходов характерен “систематический риск”, т.е. корреляция с колебаниями конъюнктуры финансового рынка. Так, выручка нефтяных компаний определяется ценой нефти на мировом рынке, которая сильно влияет на российский финансовый рынок. Пусть, например, в чистых притоках есть составляющая htqt, пропорциональная брутто-доходности оптимального пакета qt. Тогда её детерминированный эквивалент с учетом (6.19) составит , а усреднением будет ht M[qt]=ht (1+rt). Но Et<rt при 0<q<1, так что детерминированные эквиваленты “рискованных” чистых притоков будут несколько меньше, чем их средние значения. Этот результат носит общий характер. Действительно, если чистый приток на каком-то шаге положительно скоррелирован с доходностью рыночного пакета на этом или предыдущих шагах, то он будет отрицательно скоррелирован с этими же доходностями в отрицательной степени (q-1). Поэтому входящие в расчет DEI детерминированные эквиваленты чистых притоков будут меньше их средних значений, что и оправдывает их трактовку как умеренно-пессимистических.
Оценим, насколько велико в данном случае может быть различие между детерминированными эквивалентами чистых притоков и их средними значениями. Предположим, что средняя нетто-доходность оптимального пакета — 12%, а среднеквадратичное отклонение этой доходности — 15%. Тогда, используя формулу (6.14) при q=0,3, найдем: . Поэтому учет “рискованности” чистых притоков уменьшит их ожидаемое значение менее чем на 2% по сравнению со средним значением, что заведомо лежит в пределах точности оценки чистых доходов инвестиционных проектов. Мы видим, что в данной ситуации влияние систематического риска достаточно отражать только в ставке дисконта, а само значение DEI исчислять, используя средние значения (математические ожидания, усреднения) денежных потоков.
Рассмотрим пример оценки “рискованного” проекта.
Пример 6.4. Пусть (f0,f1,...,fT) — чистые денежные притоки инвестора по данному проекту для “нормальной ситуации”. Однако в конце любого шага может произойти “катастрофа” (“дефолт”), после чего проект прекращается. Вероятность “катастрофы” на шаге t (при условии, что она не произошла ранее) невелика и равна pt.
Поэтому вероятность того, что “катастрофа” не произойдет на шаге t при условии, что она не произошла ранее, будет равна 1-pt, а вероятность того, что проект не прекратится до шага t включительно (т.е. что приток ft будет получен), будет равна (1-p1)...(1-pt). Таким образом, чистый приток по проекту на шаге t будет равен или ft с вероятностью (1-p1)...(1-pt), или 0 с дополнительной вероятностью, независимо от ситуации на финансовом рынке. Но тогда из (6.24)-(6.28) вытекает следующая формула для интегрального эффекта проекта:
,
где . Другими словами, в данном случае можно как бы игнорировать риск “катастрофы”, но дисконтировать “нормальные” денежные потоки по более высоким ставкам, учитывающим этот риск (если на разных шагах вероятности катастрофы разные, соответственно будут различаться и ставки дисконта). Такой метод учета риска широко распространен (скажем, таким путем банки учитывают вероятность невозврата кредита), однако не всем ясно, что речь идет только о риске полного прекращения проекта. Поэтому иногда к ставке дисконта добавляют поправки на такие “риски”, которые не прерывают проекта (например, риск появления конкурирующего предприятия или риск повышения налогов). Необходимость такого рода поправок из данной модели не вытекает. n
Учет и оптимизация операционной деятельности
Мне нравится работать с аудиторами. Мы у них учимся, они у нас учатся. От общения в ходе таких проверок богатеют и проверяющие и подконтрольные.
Людмила Губенко, главный бухгалтер ЦБ РФ
До сих пор мы предполагали, что инвестор осуществляет только операции с ФТ и участвует в оцениваемом проекте, если тот окажется эффективным. На самом деле многие инвесторы ведут активную деятельность в реальном секторе (например, осуществляют производство товаров или услуг или участвуют в ранее начатых инвестиционных проектах). Такая (операционная) деятельность детально учитывалась в детерминированной модели п. 2.3. Оказывается, её можно учесть и в ситуации неопределенности. Проще всего это сделать, включив финансовые результаты операционной деятельности (чистый операционный доход) в бета-модель. При этом, правда, придется изменить трактовку понятия “капитал”, понимая под ним только те (свободные) средства, которые инвестор может вкладывать в ФТ. При этом покупка (продажа), например, здания будет рассматривается как уменьшение (увеличение) капитала.
Итак, в дополнение в предположениям п. 6.1, примем, что на шаге 1 инвестор получает чистый операционный доход f. В общем случае этот доход зависит от ситуации на финансовом рынке. Как правило, это связано с тем, что имеется определенная корреляционная связь между ценами товарного и финансового рынков, поскольку от цен товаров, работ и услуг зависят операционные доходы и расходы фирмы, а стало быть, и её прибыль, от размеров и динамики которой зависит курс её акций. Поэтому доход f мы должны считать случайной величиной, вообще говоря, скоррелированной с доходностью рыночного пакета ФТ.
Теперь оптимальные пакет ФТ и объем кредита D будут решением задачи:
;
; .
Необходимые условия оптимальности (6.6) и (6.8) при этом немного изменятся:


При этом оценка денег на шаге 0 дается соотношением, аналогичным (6.7):
M{u?[(K+D)xx-Dr+F]}=p0, (6.29)
а оценка денег на шаге 1 будет равна
p1=M[u?(V)]=M{u?[(K+D)xx-Dr+F]}.
Предположим, что фирма в основном занимается операциями на финансовых рынках и её операционная деятельность не очень велика, её функция полезности — квадратичная, а ставки кредита и депозита совпадают. Тогда поправки, связанные с операционной деятельностью, будут малы и оптимальный пакет ФТ будет примерно тем же, что и в бета-модели. Совсем другая ситуация будет, если фирма ведет, в основном, операционную деятельность, а объемы её финансовых операций малы. В этом случае оптимальный пакет будет включать, прежде всего, депозиты, и возможно, такие ФТ, доходность которых слабее всего скоррелирована с доходами от операционной деятельности. При этом, в частности, оптимальной для фирмы почти наверняка не будет покупка собственных акций и акций фирм-конкурентов.
Ставка дисконта при этом будет определяться той же формулой (6.9). Как и раньше, она будет лежать в пределах между ставками кредита и депозита (в современных российских условиях разрыв между этими ставками достаточно велик). Однако теперь, даже в случае степенной функции полезности, величина ставки будет зависеть и от чистого операционного дохода и от размера капитала инвестора. По этой причине разные инвесторы могут по-разному оценить эффективность одного и того же малого инвестиционного проекта. Мало того, у инвесторов с разными функциями полезности, даже при одинаковом начальном капитале и одинаковых доходах от операционной деятельности, оптимальные пакеты и ставки дисконта могут различаться.
Обратим внимание также на то обстоятельство, что различие ставок дисконта у разных участников рынка (в данном случае оно обусловлено различиями в их операционной деятельности и разными их представлениями о вероятностях различных состояний финансового рынка), приводит к тем же методическим трудностям при оценке имущества и бизнеса, которые имели место и в детерминированной ситуации (п. 2.9).
Заметим далее, что операционная деятельность инвестора может быть нестабильной. В одни годы “более неопределенными” могут быть доходы, в другие — расходы. Соответственно нестабильными во времени оказываются и структура оптимального пакета и ставка дисконта. И если в модели п. 6.1 такая ситуация возникает только, когда в какие-то периоды времени ожидаются существенные колебания рыночных доходностей, то здесь она возникает по причинам, не связанным с финансовым рынком.
Предположим теперь, как и в п. 3.4, что инвестор рассматривает возможность участия в малом инвестиционном проекте, требующих на шаге 0 малых детерминированных вложений j0 и дающих на шаге 1 малый случайный доход j1. За счет этого наращенный капитал инвестора V изменится на (-j0xx+j1), а его функция полезности, с точностью до малых второго порядка, — на
.
Легко видеть, что проект изменит ожидаемую полезность инвестора так же, как и получение на шаге 0 суммы DEI, равной дисконтированному доходу j1 на шаге 1 за вычетом затрат j0 на шаге 0. При этом используется базовая ставка дисконта E и детерминированный эквивалент случайного дохода E[j1], которые в данном случае определяются формулами:
. (6.30)
Теперь, даже при квадратичной функции полезности, детерминированный эквивалент E[j1] будет зависеть не только от ковариации между j1 и доходностью оптимального портфеля, но и от ковариации между j1 и доходом от операционной деятельности F.
Таким образом, что оптимальное поведение инвесторов, отвечающие ему ставки дисконта и расчетные формулы для детерминированных эквивалентов случайных доходов проекта зависят от неопределенности не только финансового рынка, но и операционной деятельности инвестора (которая часто является для него основной). Это еще одна причина, по которой разные инвесторы могут по-разному оценить эффективность одного и того же проекта.
Пример 6.5. Инвестор, имеющий степенную функцию полезности с q=0,3, располагает капиталом 100. Доступные для него на шаге 0 направления инвестирования состоят в депонировании средств по ставке 10% или покупке акций фирм X и Y (кредиты не используются). На шаге 1 на фондовом рынке может возникнуть одна из 6 возможных ситуаций. Вероятности этих ситуаций даны во второй графе таблицы. Доходности акций указаны в следующих двух графах. В последней графе отражен чистый доход инвестора от операционной деятельности на шаге 1, зависящий от рыночной ситуации.
Ситуация
Вероятность
Доходность акций фирмы X
Доходность акций фирмы Y
Чистый операционный доход
1
0,05
14%
0%
-35
2
0,15
2%
-10%
30
3
0,20
7%
1%
60
4
0,35
18%
24%
45

<< Предыдущая

стр. 9
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>