ОГЛАВЛЕНИЕ

Приложения
Пакет прикладных программ


Приложение 1
Прогноз цены акции на бернуллиевском рынке

Задача ставится следующим образом: Пусть изменение цены акции S от месяца к месяцу происходит согласно рекуррентному соотношению Sn = Sn-1?(1 + r), где r - доходность акции, которая может независимо принимать значения a и b с вероятностями p и (1 - p) соответственно. Полагая начальную цену акции равной S0 необходимо спрогнозировать среднюю цену акции на последующие n месяцев.

Программа делает расчет для прогнозирования цены на бернуллиевском рынке. Входными данными для неё являются:
S0 – цена актива в начальный момент времени;
a и b – значения возможного прироста стоимости актива в процентном отношении, т.е. Si + 1 = Si ? (1 + r), где r может принимать значения a и b.
p – значение вероятности, с которой цена актива получит прирост стоимости в b раз. Соответственно прирост стоимости актива в a раз произойдёт при значении вероятности (1 - p).
n – номер шага по времени, для которого делается прогноз цены актива.

Прогноз строится исходя из свойств условного математического ожидания независимых случайных величин E( Y | X ).
Поскольку мы прогнозируем среднее движение цены, то прогноз было бы логично построить следующим образом:

В случае двухшагового прогноза это будет выглядеть следующим образом:





Приложение 2
Вычисление «эвристической» и «риск-нейтральной» цены опциона на биномиальном рынке

Рассмотрим «одношаговый» биномиальный (B,S)-рынок, на котором стоимость банковского счёта определяется как B1 = B0?(1 + r), где r – фиксированная годовая процентная ставка, а цена акции определяется как S1 = S0?(1 + r), где r - доходность акции, которая может независимо принимать значения b и a с вероятностями p и (1 - p) соответственно. Причем величины a, b и r должны удовлетворять соотношению –1 < a < r < b. Сделаем стандартное предположение о том, что B0 = 1. На введенном выше рынке рассмотрим финансовый контракт (опцион покупателя), подразумевающий в момент времени N = 1 выплату в размере f1 = (S1 - K)+ = max(0, S1 - K), где K – фиксированная заранее цена исполнения контракта, которую для определённости положим равной S0.
«Эвристически» цену контракта можно было бы вычислить следующим образом:

Однако, кроме этой оценки возможно построение минимального хеджа. Т.е. необходимо строить самофинансируемую стратегию p0(b0,g0), такую что
.
Т.о. вычисляя начальные доли активов из уравнений минимального хеджа, его стартовый капитал определяется из следующего соотношения:
,
где
,
а
.

Кроме того, можно подойти к нахождению справедливой цены платежного обязательства на основе риск-нейтральной вероятности, которая определяется из соотношения
.
Решая это уравнение относительно p*, получим следующее выражение для риск-нейтральной вероятности:
,
которое при предположении B0 = 1 преобразуется к виду
.
Выражение для самой цены записывается в следующем виде:


В предложенной программе реализуются вышеизложенные методы. В качестве входных данных должны вводится:
S0 – цена акции в начальный момент времени;
a и b – значения относительных доходностей акции;
p – вероятность прироста стоимости актива в (1 + b) раз;
r – процентная ставка по банковскому счёту.


В результате работы программы в качестве результата отображаются:
Значения функции выплаты;
Значение «эвристической» цены платежного обязательства;
Начальный капитал минимального хеджа;
Значение риск-нейтральной цены;
Значение риск-нейтральной вероятности.

Приложение 3
Расчет цены опциона покупателя с перерасчетом по паритетной формуле на опцион продавца на рынке Кокса-Росса-Рубинштейна

Рассмотрим задачу вычисления риск-нейтральной цены платежного обязательства на N-шаговой стратегии. Обобщая рассмотренную ранее методологию поиска риск-нейтральной цены на случай многошаговой стратегии получаем классическую формулу Кокса-Росса-Рубинштейна для справедливой цены опциона покупателя:
,
где p* - риск-нейтральная вероятность на биномиальном рынке
, a .

Постоянная k0, фигурирующая в формуле Кокса-Росса-Рубинштейна определяется как
k0 = min {k ? N : S0(1 + b)k(1 + a)N-k ? K}
и имеет вид


Определим опцион продавца как финансовое обязательство того же типа, что и опцион покупателя с функцией выплаты
fN = (K - SN)+
Используя равенство
(K - SN)+ = (SN - K)+ - SN + K
а также мартингальность SN /BN получаем выражение для цены опциона продавца через цену для опциона покупателя
PN = CN - S0 + K(1 + r)-N
Программа осуществляет расчет цен опционов продавца и покупателя. На вход должны подаваться следующие данные:
S0 – цена акции в начальный момент времени;
K – цена исполнения контракта;
a и b – значения относительной прибыльности акций;
r – процентная ставка по банковскому счету;
N – терминальный момент времени исполнения контракта.

На выходе программы выводятся значение цены опциона покупателя и цена опциона продавца, рассчитанная по паритетной формуле.

Приложение 4
Расчёт «справедливой» цены для опциона покупателя Американского типа

Опционом американского типа называют производную ценную бумагу, дающую право предъявления его к исполнению в любой момент времени до истечения терминального момента времени N.
С математической точки зрения опцион американского типа можно рассматривать как портфель стандартных опционов европейского типа. Соответственно для каждого момента времени можно вычислить размер выплаты по контракту и определить «справедливую» цену всего портфеля. «Справедливой» ценой в данном случае будет являться максимальный прогноз будущих выплат

Рассмотрим задачу вычисления справедливой цены опциона американского типа для N-шаговой стратегии.
Пусть функция выплаты задается выражением
fn = (Sn - K)+, n ? N.
Следуя стандартной процедуре оценки необходимо исследовать структуру максимальных прогнозов и на каждом шаге вычислять

Согласно этой схеме «справедливая» цена будет определяться соотношением

На входе программа получает:
S0 – начальная цена акции;
a и b – доходности акции;
r – процентная ставка по банковскому счету;
K – цена исполнения контракта;
N – терминальный момент времени.
На выходе отображается справедливая цена опциона американского типа с заданной функцией выплаты.


Приложение 5
Расчет спреда на рынке с ограничением

Рассмотрим рынок с ограничением следующего типа: пусть ставки депозитного и кредитного банковских счетов различны. Т.е. рассмотрим (B1,B2,S) – рынок Кокса-Росса-Рубинштейна.
При введении подобных ограничений рынок становится неполным и появляется понятие не безарбитражной цены, а интервала безарбитражных цен, который определяет спред данного рынка.
В рассматриваемом случае определить величину спреда рынка довольно просто, достаточно рассмотреть выражения для «справедливой» цены опциона при обеих процентных ставках.
Эти значения определяют верхнюю и нижнюю границы интервала безарбитражных цен.

На входе программа получает:
S0 – начальная цена акции;
a и b – доходности акции;
r1 и r2 – процентные ставки по депозитному и кредитному банковскому счету соответственно;
K – цена исполнения контракта;
N – терминальный момент времени.
На выходе наблюдаются вычисленные значение цены опциона покупателя при различных банковских ставках и разность между этими значениями, т.е. спред рынка.

Приложение 6
Расчет цены платежного обязательства по формуле Блэка и Шоулса и определение «греческих» параметров рынка в непрерывном случае

В рамках модели Блэка и Шоулса «справедливая» цена платежного обязательства вычисляется по формуле
,
где
,
а F - стандартное нормальное распределение.

Цена опциона продавца связана с ценой опциона покупателя следующим образом:
PT(K, s , S0)=CT(K, s , S0)

В практическом риск-менеджменте принято рассматривать греческие параметры рынка, которые определяются из соотношений:



На вход программы подаются:
S0 – цена акции в начальный момент времени;
K – цена исполнения контракта;
s - волатильность рынка;
r – процентная ставка по банковскому счету;
T – терминальный момент времени;
t – некоторый промежуточный момент времени, используемый при расчете греческих параметров рынка.

На выходе программа дает значения цены опциона покупателя и опциона продавца, а также значения греческих параметров рынка.

Приложение 7
Расчет цены платежного обязательства во формуле Блэка и Шоулса в случае получения дивидендов

При предположении о том, что владение акциями приносит дивиденды формула Блэка и Шоулса изменяется и принимает следующий вид:



Входными данными для программы являются:
S0 – цена акции в начальный момент времени;
K – цена исполнения контракта;
s- волатильность рынка;
r – процентная ставка по банковскому счету;
T – терминальный момент времени;
d - процентная ставка дивидендов.

На выходе программы наблюдаются значение цены для опциона покупателя с условием получения дивидендов.




ОГЛАВЛЕНИЕ