ОГЛАВЛЕНИЕ

3.2. Модель ценообразования финансовых активов
(Capital Asset Pricing Model, САРМ)

Модель ценообразования финансовых активов основана на следующих предположениях.
Финансовый рынок и действия на нем индивидуального инвестора описываются моделью Марковитца.
На рынке действуют инвесторов с однородными ожиданиями, т.е. инвесторы одинаково оценивают математическое ожидание и дисперсию доходностей рисковых активов: , и имеют одинаковый временной горизонт в один период .
Рынок находится в равновесии, т.е. спрос на финансовые активы равен их предложению.

Модель Шарпа – Линтнера
В модели ценообразования финансовых активов Шарпа – Линтнера финансовый рынок состоит из безрискового актива с доходностью и рисковых активов с доходностями .
Сделаем следующие предположения относительно и . Пусть доходность хотя бы одного рискового актива отличается от безрисковой доходности: , а матрица ковариаций положительно определена, т.е. для любого портфеля : . Тогда эффективный портфель -го инвестора существует и единственен и в соответствии с (3.1.10) его можно определить следующим образом:
,
где – показатель терпимости инвестора к риску, – портфель с минимальной дисперсией, – вектор, у которого:

Тогда совокупный спрос на рынке будет представлен портфелем:
, (3.2.1)
где – начальный капитал -го инвестора. Подставляя выражение для в (3.2.1), получаем:

Портфель принадлежит эффективному множеству, следовательно он удовлетворяет системе уравнений (3.1.9), т.е.:

где .
Из уравнений (3.2.2) и (3.2.3) получаем:
, (3.2.5)
где – доходность -го рискового актива, – доходность портфеля .
Далее, умножая (3.2.2) на , (3.2.3) на , складывая полученные выражения и учитывая (3.2.2) и (3.2.4), получаем:
. (3.2.6)
Из (3.2.5) и (3.2.6) получаем уравнение Шарпа – Линтнера:

где
. (3.2.7)
Так как рынок находится в равновесии, то вектор также будет характеризовать и предложение на финансовом рынке, т.е. является рыночным портфелем, в котором доля каждого актива равна отношению его совокупной рыночной стоимости (произведению текущей рыночной стоимости актива на количество его единиц в обращении) к сумме совокупных рыночных стоимостей всех активов на финансовом рынке:
,
где и – соответственно рыночная стоимость и количество единиц актива в момент времени .
На практике в качестве доходности рыночного портфеля используется значение финансовых индексов (Dow Jones, Standart & Poor's 500, индексы NYSE, NASDAQ и т.д.), дающих обобщенную информацию о состоянии финансового рынка.
Уравнение Шарпа – Линтнера (3.2.7) можно переписать в следующем виде:
(3.2.8)
Разность называется премией за риск для актива , а – премией за риск для рыночного портфеля. Величина называется коэффициентом бета актива .

Модель ценообразования финансовых активов Блэка
В модели Блэка рассматривается финансовый рынок, на котором отсутствует безрисковый актив. Вместо него вводится так называемый портфель с нулевым коэффициентом бета.
Пусть ожидаемая доходность как минимум для двух рисковых активов различна: , а матрица ковариаций положительно определена, т.е. для любого портфеля : . Предположения относительно и позволяют сделать вывод, что для каждого инвестора с показателем терпимости к риску существует и единственен эффективный портфель , который исходя из (3.1.7) представим в виде:
,
где – портфель с минимальной дисперсией, а .
Совокупный спрос на рынке будет равен рыночному портфелю, соответствующему совокупному предложению:
, (3.2.9)
где – начальный капитал -го инвестора. Подставляя выражение для в (3.2.9), получаем:

Портфель принадлежит эффективному множеству, следовательно он удовлетворяет системе уравнений (3.1.5), т.е.:

Рассмотрим портфель (рис. 3.2.2) из достижимого множества, который имеет наименьшую дисперсию среди портфелей, некоррелированных с рыночным портфелем , т.е. является решением задачи:

Имеем:
,
где – дисперсия рыночного портфеля.
Умножим (3.2.10) на и вычтем из полученного выражения (3.2.10), умноженное на . Учитывая (3.2.11) и , получаем:
. (3.2.12)
Далее, подставим в (3.2.10) выражение для , полученное из (3.2.10), умноженного на , с учетом (3.2.11) и . Тогда получим:
. (3.2.13)
Объединяя (3.2.12) и (3.2.13), приходим к уравнению Блэка:
где ,
где – доходность портфеля , который называется портфелем с нулевым коэффициентом бета (рис. 3.2.1), – доходность рыночного портфеля. Величина называется премией за риск для актива , а – премией за риск для рыночного портфеля.



Рис. 3.2.1. Рыночный портфель и портфель с нулевым коэффициентом бета

Оценка параметров модели Шарпа – Линтнера
Модель САРМ рассматривается в рамках одного временного периода . Однако можно использовать данные о значениях доходностей активов и рыночного портфеля в моменты времени для оценки коэффициентов бета.
Рассмотрим уравнение Шарпа – Линтнера, записанное в следующем виде:
.
Обозначим через вектор премий за риск для активов в момент времени , через – премию за риск для рыночного портфеля в момент , т.е.:

Сделаем следующие предположения.
1. Премии за риск для актива , т.е. , , являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами. Совместное распределение премий за риск для активов , т.е. распределение случайного вектора , является нормальным.
2. Коэффициенты не зависят от времени.
3. Соотношения между и , являются линейными, т.е. их можно описать следующим уравнением регрессии:
, (3.2.14)
где – векторы коэффициентов регрессии, – вектор ошибок.
4. Ошибки являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, для которых выполнены условия гомоскедастичности, т.е. независимости дисперсии от :
˜ ,
.
5. – условие независимости доходности рыночного портфеля и вектора ошибок.

Оценим параметры и с помощью метода наименьших квадратов и метода максимального правдоподобия. При этом предположение 1 о распределении премий за риск является обязательным только при использовании метода максимального правдоподобия.
В соответствии с методом наименьших квадратов (ordinary least squares method, OLS), оценка параметров и осуществляется исходя из минимизации функционала:

Необходимые условия экстремума:

дают следующие оценки параметров и :

где .
Оценка для , полученная методом наименьших квадратов, равна:

Оценим параметры и , используя метод максимального правдоподобия (maximum likelihood, ML). Для этого рассмотрим логарифмическую функцию правдоподобия, равную логарифму от совместной плотности распределения случайных векторов при заданных значениях , найдем векторы ее частных производных по неизвестным параметрам и , приравнивая которые к нулю, получим оценки для и .
Плотность нормального распределения случайного вектора при известном для каждого наблюдения задается функцией:
.
Отсюда совместная плотность распределения независимых случайных векторов :


Логарифмическая функция правдоподобия:
(3.2.15)
Приравняем к нулю частные производные:

Решая систему уравнений, получаем оценки для и :
(3.2.16)
Оценки для и , полученные методом наименьших квадратов и методом максимального правдоподобия, совпадают. Будем обозначать их в дальнейшем и . Они являются:
1. несмещенными, так как:

2. состоятельными, т.е. сходится по распределению к , или
;
3. асимптотически нормальными, т.е. при , где – асимптотическая информационная матрица Фишера . Оценить матрицу ковариаций для полученных оценок и можно с помощью информационной матрицы Фишера:
.
Имеем:
,
где ;
4. асимптотически эффективными, т.е. , где – любая другая состоятельная и асимптотически нормальная оценка параметра .
Что касается полученных оценок и для параметра , то является состоятельной, а состоятельной и несмещенной оценкой.

Проверка гипотезы в уравнении регрессии
модели Шарпа – Линтнера
Рассмотрим уравнение регрессии , введенное в предыдущем параграфе. Полученные оценки параметров и асимптотически имеют нормальное распределение:
,
.
Необходимо проверить гипотезу , которая вытекает из сопоставления уравнения регрессии с уравнением Шарпа – Линтнера .
Для проверки гипотезы рассмотрим следующие тесты:
тест Вальда, который использует оценки параметров в модели без ограничений (примером модели без дополнительных ограничений на параметры является так называемая рыночная модель );
тест отношения правдоподобия, который использует оценки параметров в модели без ограничений и в модели с дополнительными ограничениями на параметры.
Тест Вальда основан на критической статистике:
,
которая асимптотически имеет распределение с степенями свободы в соответствии с размерностью вектора . Если матрица ковариаций ошибок неизвестна, то можно использовать ее состоятельную оценку .
Тест отношения правдоподобия использует для проверки нулевой гипотезы оценки параметров уравнения регрессии как с ограничением, так и без него. Помимо логарифмической функции правдоподобия (3.2.15) и полученных с ее помощью оценок (3.2.16) для параметров и в модели без ограничений, для построения критической статистики необходимо также рассмотреть логарифмическую функцию правдоподобия для уравнения регрессии с ограничением , т.е.:
, (3.2.17)
для которой получаем следующие оценки:

При построении критической статистики теста отношения правдоподобия используется разница максимумов логарифмических функций правдоподобия для модели с ограничением и модели без ограничения:
,
где – значение логарифмической функции правдоподобия (3.2.15), при котором вместо неизвестных параметров и используются их оценки (3.2.16), обеспечивающие максимум ; – максимальное значение функции правдоподобия для уравнения регрессии с ограничением.
Заметим далее, что в соответствии с известными из линейной алгебры равенствами и , где – оператор взятия следа матрицы , получаем:

где – единичная матрица размера . Аналогичным образом, используя свойства следа матрицы, получаем, что . Следовательно:
.
Критическая статистика асимптотически имеет распределение. Количество степеней свободы определяется как разность между размерностью всего параметрического множества и размерностью его подмножества, в котором верна нулевая гипотеза. Размерность равна количеству независимых параметров модели без ограничений, а – числу независимых параметров модели с ограничениями.
Независимые параметры модели без ограничений представлены параметрами матрицы ковариаций ошибок , параметрами вектора и параметрами , а модель с ограничениями имеет на независимых параметров меньше в соответствии с размерностью вектора . Следовательно, критическая статистика будет иметь степеней свободы.

Оценка параметров и проверка гипотез в уравнении регрессии модели Блэка
Рассмотрим уравнение Блэка:
, (3.2.18)
где .
В данной модели параметры, которые необходимо оценить, представлены коэффициентами бета для активов, т.е. , и ожидаемой доходностью портфеля с нулевым коэффициентом бета , который мы обозначили через .
Пусть – вектор доходностей рисковых активов в момент времени , а – доходность рыночного портфеля в момент , т.е.:

Сделаем следующие предположения:
1. Доходности актива во времени, т.е. , , являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами. Совместное распределение доходностей активов , т.е. распределение случайного вектора , является нормальным. (Данное предположение не требуется в случае использования метода наименьших квадратов).
2. Коэффициенты не зависят от времени.
3. Соотношения между и , являются линейными, т.е. их можно описать следующим уравнением регрессии:
,
где – векторы коэффициентов регрессии, – вектор ошибок.
4. Ошибки являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, для которых выполнены условия гомоскедастичности:
˜ ,
.
5. – условие независимости доходности рыночного портфеля и вектора ошибок.

Используя метод наименьших квадратов или метод максимального правдоподобия, получаем оценки параметров и , совпадающие с оценками этих параметров для модели Шарпа – Линтнера:

Разница между полученными оценками для разных моделей будет состоять лишь в том, что в модели Шарпа – Линтнера под и понимаются премии за риск, а в модели Блэка – реальные доходности.
По аналогии с оценками в уравнении регрессии для модели Шарпа – Линтнера оценки для и будут асимптотически нормальными:
,
.
В рамках модели Шарпа – Линтнера проверяется следующая гипотеза:
,
где
Функция правдоподобия для уравнения регрессии модели Шарпа – Линтнера с ограничением :

Дифференцируя ее по и и приравнивая частные производные к нулю, получаем оценки для модели с ограничением:
(3.2.19)
Критическая статистика теста отношения правдоподобия:

имеет асимптотически распределение с степенями свободы. По сравнению с моделью Шарпа – Линтнера, критическая статистика теряет одну степень свободы, так как модель с ограничениями имеет на независимый параметр меньше:


Количество независимых параметров
модель без ограничений
модель с ограничениями
Матрица ковариаций ошибок


Вектор

0
Вектор


Параметр
0
1

Использование теста отношения правдоподобия в данной форме связано с определенными неудобствами, вызванными тем, что вычисление оценок параметров и требует применения итерационных методов, поскольку оценки (3.2.19) являются взаимозависимыми. Рассмотрим способ, позволяющий преодолеть этот недостаток.
Для модели Блэка:
,
имеем следующее уравнение регрессии:
, (3.2.20)
в котором независимой (объясняющей) переменной является , а зависимой (объясняемой) – .
Оценки модели (3.2.20) без ограничений, полученные с помощью метода максимального правдоподобия:
(3.2.21)
Максимальное значение логарифмической функции правдоподобия для модели без ограничений:

не зависит от .
Оценки модели (3.2.20) с ограничением :
(3.2.22)
позволяют вычислить максимальное значение логарифмической функции правдоподобия с ограничением:
,
которое зависит от .
Простой подстановкой формул (3.2.21) и (3.2.22) легко проверить, что выражается через и следующим образом:
.
Тогда получаем:

Заметим, что
,
тогда

Критическая статистика теста отношения правдоподобия:

Минимизация разности по позволяет найти оценку для , полученную методом максимального правдоподобия. В силу свойств логарифмической функции минимизация равносильна максимизации функции:
,
которая в общем виде представима следующим образом:
,
где и
Значение , соответствующее максимуму , определяется исходя из решения уравнения , т.е.

откуда получаем квадратное уравнение относительно :
,
которое имеет два решения: одно – соответствующее минимуму , а другое – максимуму . Таким образом, последнее решение является оценкой для , полученной методом максимального правдоподобия. Подставив ее в (3.2.22), получим оценки для параметров и .


Оценка риска в модели ценообразования финансовых активов
Рассмотрим уравнение регрессии для модели Шарпа – Линтнера, записанное в следующем виде:
.
В соответствии с предположением 5 для этого уравнения , следовательно:
. (3.2.23)
Для уравнения регрессии модели Блэка:

получим то же выражение (3.2.23).
Риск, связанный с инвестированием в актив , оценивается исходя из подхода Марковитца дисперсией его доходности и складывается из двух частей: систематического, присущего рынку в целом, и несистематического, связанного непосредственно с активом. Выражение (3.2.23) показывает, что систематический риск измеряется величиной , определяемой дисперсией рыночного портфеля, а несистематический риск оценивается как . Таким образом, коэффициент бета актива имеет отношение к систематическому риску. В редких случаях, когда , т.е. , актив с отрицательной премией за риск используется для страхования от риска, связанного с рыночным портфелем.
Покажем далее на примере модели Шарпа – Линтнера (результаты для модели Блэка будут аналогичными), что несистематический риск может быть снижен с помощью диверсификации. Пусть инвестор формирует портфель , тогда его доходность будет . Для актива имеем:
.
Следовательно:

где .
Отсюда .
Пусть . Тогда для несистематического риска диверсифицированного портфеля имеем:




ОГЛАВЛЕНИЕ