ОГЛАВЛЕНИЕ

3.3. Рыночные индексы

Биржевые индексы играют важную роль в финансовой математике. Они характеризуют наиболее общие тенденции, происходящие на фондовом рынке, обеспечивают оценку рыночного портфеля, который используется в модели ценообразования финансовый активов (САРМ). Использование индексов на фондовом рынке привело к образованию целого спектра производных ценных бумаг, основанных на биржевых индексах.
Появление биржевых индексов связано с традиционным в экономике использованием индексов потребительских цен, позволяющих оценить стоимость типичной потребительской корзины. К числу наиболее популярных индексов потребительских цен можно отнести индекс Ласпейреса и индекс Пааше, появившиеся в конце 19-го века для исследования влияния обнаруженных в то время золотых рудников на уровень инфляции. Остановимся подробнее на их рассмотрении.

Индексы Ласпейреса Пааше
Пусть нам необходимо сравнить состояние экономической системы в моменты времени, которые для простоты обозначим как 0 и 1. Потребительская корзина состоит из товаров и услуг. Обозначим через и количество товаров и услуг в потребительской корзине в моменты времени соответственно 0 и 1, а через и - векторы цен на расположенные в том же порядке товары и услуги в потребительской корзине в моменты времени соответственно 0 и 1. Таким образом, и обозначают соответственно количество и цену -го товара или услуги из потребительской корзины, где , в момент времени 0, а и - соответственно количество и цену того же товара или той же услуги в момент времени 1.
Будем оценивать состояния экономической системы в моменты времени 0 и 1, которые обозначим через и соответственно, по стоимости потребительской корзины, т.е.

Изменение в состоянии экономической системы будем определять соотношением:
.
Умножим числитель и знаменатель этой дроби на и получим:
.
С другой стороны, умножив числитель и знаменатель той же дроби на , получим:
.
Первый множитель в обоих полученных выражениях (соответственно и ) отражает изменения в потребительской корзине при том же уровне цен. В первом выражении стоимость потребительской корзины измеряется в ценах на момент времени 1. Во втором выражении в качестве базового уровня цен, позволяющего отследить изменения в количестве товаров и услуг, используются цены в момент времени 0.
В то же время второй множитель в обоих выражениях ( т.е. и соответственно) показывает изменения в ценах при том же количестве товаров и услуг в потребительской корзине. В первом случае изменения в ценах оцениваются по изменению стоимости потребительской корзины, соответствующей моменту времени 0. Во втором случае оценивается соотношение стоимости потребительской корзины в базовый момент времени 1 в ценах на моменты 1 и 0.
Если в качестве базового момента времени используется момент времени 0, то соответствующий индекс называют индексом Ласпейреса. Если базовыми показателями являются показатели в момент времени 1, то соотвеоствующий индекс называют индексом Пааше. Таким образом, мы имеем 4 индекса:
индекс Ласпейреса для цен:
,
2. индекс Пааше для цен:
,
3. индекс Ласпейреса для объема товаров и услуг:
,
4. индекс Пааше для объема:
.
С учетом введенных обозначений соотношение состояний экономической системы в моменты времени 1 и 0 будет следующим:

Аналогичным образом можно сравнивать более чем два состояния экономической системы в различные моменты времени. Существует несколько подходов к этому.
В соответствии с первым подходом выбирается базовый момент времени. Для удобства положим его равным 0. Далее строится последовательность так называемых индексов цен,

которые описывают эволюцию стоимости потребительской корзины, соответствующей базовому моменту времени. Тогда изменение цен между моментами времени и будет характеризоваться соотношением
,
отражающим изменение стоимости потребительской корзины момента времени 0 между моментами времени и .
Возможно также построение индекса цен, аналогичного , на основе индекса Пааше:

Аналогичным образом можно оценить изменения в объеме потребляемых товаров и услуг между моментами времени и .
Второй подход связан с измерением эволюции цен между соседними моментами времени и по следующей формуле:

Тогда индекс цен

будет определяться следующим образом:
.
Возможно также использование индекса Пааше как основы для построения соответствующего индекса цен:
, где
Аналогичным образом можно оценить изменения в объеме потребляемых товаров и услуг. Однако далее мы будем использовать только индексы цен, поскольку во-первых именно изменения в цене лежат в основе динамики финансовых индексов, а во-вторых свойства индексов цен можно адекватным образом спроецировать и на индексы объемов.
В зависимости от того, какой индекс, Ласпейреса или Пааше, лежит в основе определения изменений в цене, абсолютные значения индексов цен в первом и во втором случаях могут отличаться друг от друга существенно. Легко проверить справедливость следующих равенств:

Смысл данных равенств состоит в том, что они позволяют интерпретировать индекс Ласпейреса как взвешенную сумму элементарных изменений в цене, т.е. изменений цены одного товара или услуги, с весом, соответствующим доле данного товара или услуги в стоимости потребительской корзины в момент 0.


Основные биржевые индексы
К числу наиболее значимых индексов США можно отнести NYSE (New York Stock Exchange), NASDAQ (National Association of Securities Dealer Automated Quotation), S&P (Standard and Poor’s), индекс Dow Jones. Индекс NYSE строится на основе информации об акциях примерно 1600 компаний. S&P 500 основан на 500 акциях, включаемых в NYSE и составляющих 80% капитализации фондового рынка. Индекс Dow Jones включает 30 акций крупнейших компаний, составляющих 25% индекса NYSE.
Основные индексы Великобритании строятся совместно Лондонской фондовой биржей (LSE - London Stock Exchange) и Financial Times. Индекс FT-SE 100 включает в себя 100 акций, составляющих 70% капитализации Лондонской фондовой биржи. Индекс FT-Actuarial-All Shares включает в себя 650 акций крупнейших компаний, а также облигации, представляя тем самым 80% капитализации фондового рынка.
Японский индекс Nikkei включает примерно 225 акций, составляющих 70% капитализации фондового рынка Токио. Индекс TOPIX представляет 1100 акций, взвешенных по их доле в капитализации фондового рынка.
Французский индекс САС 40, включающий акции 40 ведущих компаний, обновляется каждые 30 секунд. Индексы SBF 120 и 250 включают соответственно 120 и 250 акций и обновляются ежедневно.
Перечислим основные российские фондовые индексы:
а) индекс «Скейт-пресс». Он имеет самую длительную историю на российском рынке и относится к индексам консультационного агентства «Скейт-пресс», первый из которых — АСП-12 начал рассчитываться 1 сентября 1992 г; 20 июня 1994 г. появился индекс АСП-Дженерал, в который входят около 90 ведущих компаний. Рыночная капитализация компаний, включаемых в индексы АСП, более 10 млн. долл. США.
б) фондовые индексы «АК&М». Их принцип расчетов основан на соотнесении суммарной капитализации составляющих. Индексы «АК&М» рассчитываются с сентября 1993 г. и в настоящее время представлены семейством индексов: сводным, финансовым, промышленным.
в) индексы Интерфакса описывают изменение средней цены акций определенного набора компаний, котирующихся на вторичном рынке, в текущем периоде по сравнению с базисным. Эксперты Агентства Финансовой Информации (АФИ) рассчитывают три отраслевых индекса Интерфакса: банковский, предприятий нефтегазового комплекса и цветной металлургии.
г) фондовый индекс журнала «Коммерсант». Он является средневзвешенным арифметическим. Индекс равен стоимости гипотетического инвестиционного портфеля, при формировании которого все средства были равномерно распределены между входящими в него акциями. Цена же каждой акции определяется как средневзвешенная (по объемам, совершенных сделок) цена брокерских фирм, участвующих в расчете индекса. Если с какой-либо акцией не было совершенно ни одной сделки, то ее цена принимается равной цене в предыдущий момент.
д) индекс Российской Торговой Системы (РТС) является единственным официальным индикатором Российской Торговой системы. Индекс РТС рассчитывается по результатам работы системы в течение одного торгового дня. Контроль за правильностью расчета индекса в соответствии с утвержденной методикой обеспечивается тем, что исходная информация для расчета индекса является открытой и общедоступной.

Критика Ролла
Теорическое приложение биржевых индексов связано в первую очередь с так называемым уравнением Шарпа – Линтнера модели САРМ (Capital Asset Pricing Model). Запишем его в следующем виде:
,
где - доходности рисковых активов (акций), - доходность безрискового актива, - доходность рыночного портфеля, . Соответствующее уравнение регрессии, используемое для оценки параметров уравнения Шарпа – Линтнера:
,
где и - случайные величины, характеризующие премии за риск для рисковых активов и рыночного портфеля соответственно, т.е.

В рамках данной модели проверяется гипотеза:
.
В качестве рыночного портфеля на практике часто используется биржевой индекс.
В то же время существует так называемая критика Ролла, отвергающая правомерность использования биржевого индекса в качестве рыночного портфеля.
Объяснение критики Ролла на интуитивном уровне состоит в том, что рыночный портфель включает в себя фиксированный набор рисковых активов, тогда как набор акций, включенных в биржевой индекс меняется с течением времени. К тому же, в отличие от рыночного портфеля, весовые коэффициенты акций в биржевом индексе могут иметь ограничения сверху, а сами индексы могут включать дивиденды.
Формальное доказательство критики Ролла построено на эмпирическом заключении о том, что:
,
где - премия за риск для биржевого индекса, - премия за риск для рыночного портфеля, - случайная величина, для которой выполнены следующие условия:

При проверке гипотезы получаем, что:

Таким образом, использование биржевого индекса в качестве аппроксимации рыночного портфеля приводит к отверганию истинной гипотезы, проверяемой в рамках модели САРМ.

Ассимптотическое поведение биржевых индексов
Рассмотрим ассимптотическое поведение биржевых индексов в случае, если достаточно большое.
Обозначим через изменение цены акции в момент времени , т.е.
.
Предположим, что вектора для различных значений являются независимыми и одинаково распределенными случайными многомерными величинами. Обозначим через вектор математических ожиданий, а через матрицу ковариаций векторов .
Цена акции в момент времени может быть записана следующим образом:

Для достаточно больших мы можем применить центральную предельную теорему. Тогда получим:
где .
Вектор имеет нормальное распределение с вектором математических ожиданий и матрицей ковариаций .
Рассмотрим изменение ценового индекса Ласпейреса между временем и . Получаем:

Таким образом, изменения в биржевом индексе могут рассматриваться как взвешенные средние изменений цен входящих в биржевой индекс акций. При этом соответствующие весовые коэффициенты являются стохастическими случайными величинами.

Выбор весов в биржевом индексе
Большинство биржевых индексов использует веса для акций, построенные на основе их доли в капитализации фондовой биржи:
,
где - вес акции , где , в момент времени , - число акций, представленных в биржевом индексе в момент времени , и - соответственно цена и объем продаж акции в момент времени .
Остановимся на рассмотрении двух подходов, применяемых при пересчете весов акций в биржевом индексе.
Многие индексы, такие как S&T 500, CAC 40, FT-SE 100, включают в себя фиксированное количество акций. Их выбор определяется уровнем капитализации представленных на фондовом рынке компаний. Обозначим через фиксированное количество акций в таком биржевом индексе.
Будем считать, что акции ранжированы по убыванию своей доли в капитализации фондового рынка:

Можно рассмотреть индекс цен Ласпейреса для акций, включенных в биржевой индекс с весом , , в предыдущий момент времени :
.
Эволюция построенного индекса будет отличаться от эволюции аналогичного индекса, включающего все акции на фондовом рынке.
Если капитализация какой-то акции существенно падает, то она может быть исключена из биржевого индекса. В то же время, если капитализация акции, не включенной в биржевой индекс, существенно возрастает, то она может быть добавлена в биржевой индекс с соответствующим весом:
.
Второй подход к расчету весов акций в биржевом индексе применяется в случае наличия ограничения сверху на веса. Например, пусть существует ограничение в 10%, которое обозначает, что если вес акции , рассчитанный по формуле:
,
в момент времени превысил 0,1 или 10%, то принимается равным 0,1 или 10%.
Рассмотрим биржевой индекс, построенный на основе данных о 25 акциях, т.е. . Веса акций на момент времени , расположенные в порядке убывания, следующие (в %):
15, 10, 9, 8, 7, 7, 5, 5, 3, 3, 3, 3, 2, ..., 2, 1, 1, 1, 1.
9 акций имеют вес 2%. Сумма весов всех акций равна 100%.
Поскольку вес первой акции превышает 10%, примем его равным 10%. Получаем новое распределение весов, пока ненормированное, поскольку их сумма равна 95% вместо необходимых 100%:
10, 10, 9, 8, 7, 7, 5, 5, 3, 3, 3, 3, 2, ..., 2, 1, 1, 1, 1.
Теперь необходимо провести нормирование. Для этого умножим на один и тот же коэффициент все веса кроме первых двух, которые не могут быть увеличены, поскольку они уже достигли верхней допустимой границы 10%. Результатом этой трансформации станет то, что сумма всех двадцати пяти весов станет равна 100. Получаем:

Таким образом, после умножения всех весов кроме первых двух на , получаем новое распределение весов:

Полученные веса удовлетворяют ограничениям:








ОГЛАВЛЕНИЕ