ОГЛАВЛЕНИЕ

3.4. Многофакторная модель.
Теория арбитражного ценообразования
(Arbitrage Pricing Theory, APT)

В рамках САРМ доходность рискового актива зависит от одного фактора – доходности рыночного портфеля. Рассмотрим теперь более общий случай, когда доходность актива определяется исходя из воздействия случайных факторов, , т.е.
,
или в векторной форме:
,
где – вектор доходностей рисковых активов, – вектор свободных членов, – вектор значений случайных факторов, – матрица коэффициентов, характеризующих чувствительность доходности -го актива к изменению значения -го фактора, – вектор ошибок. Пусть при этом

В отличие от САРМ, данная многофакторная модель не требует идентификации рыночного портфеля. С другой стороны, она отражает лишь приблизительные, корректируемые вектором , соотношения между доходностями активов и неизвестным количеством случайных факторов, зачастую не имеющих экономической интерпретации.

Теория арбитражного ценообразования (Arbitrage Pricing Theory, APT)
Рассмотрим сначала частный случай многофакторной модели. Предположим, что доходности активов полностью объясняются воздействием факторов, т.е. вектор остатков равен нулю: . Пусть при этом на рынке отсутствуют арбитражные возможности. Будем считать, что рынок является арбитражным, если существует нетривиальный самофинансируемый портфель , с положительной ожидаемой доходностью и нулевым риском:

Доходность актива будет определяться исходя из равенства:
.
Следовательно, доходность любого портфеля , сформированного из активов, равна:
.
Пусть – самофинансируемый портфель, доходность которого не зависит от воздействия случайных факторов, т.е.:
(3.4.1)
Тогда – самофинансируемый безрисковый портфель и в силу отсутствия на рынке арбитражных возможностей его ожидаемая доходность должна равняться нулю:
. (3.4.2)
Следовательно, если является решением системы (3.4.1), то будет являться и решением (3.4.2) и значит можно представить в виде линейной комбинации векторов и , т.е. существуют коэффициенты , не все равные нулю, такие, что:

или
. (3.4.3)
В рамках модели АРТ в уравнении (3.4.3) под коэффициентами понимаются ожидаемые премии за риск для случайных факторов , под коэффициентом – доходность безрискового актива, если он представлен на финансовом рынке, либо ожидаемая доходность портфеля с нулевым коэффициентом бета, если уравнение (3.4.3) является обобщением модели САРМ Блэка. Таким образом, в случае наличия безрискового актива уравнение (3.4.3) приобретает вид:

или в векторной форме:
,
а в случае отсутствия безрискового актива:

или в векторной форме:
.
Рассмотрим теперь общий случай, когда .
Будем считать, что на рынке имеются асимптотические арбитражные возможности, если существует положительное число и существует нетривиальный самофинансируемый портфель с ожидаемой доходностью, не меньшей , и бесконечно малым при риском:

Для построения многофакторной модели финансового рынка сделаем следующие предположения.
Рынок является конкурентным: на нем представлено бесконечно большое количество рисковых активов , , .
Доходности рисковых активов , описываются уравнением:
,
или в векторной форме:
, (3.4.4)
Действуют следующие ограничения на параметры модели (3.4.4):

На рынке отсутствует асимптотический арбитраж.
Для любого самофинансируемого портфеля с бесконечно малым при риском имеем:
(3.4.5)
Поскольку на рынке отсутствует асимптотический арбитраж, то из (3.4.5) следует, что
.
Тогда по аналогии с (3.4.3) получаем, что существуют , не все равные нулю, такие, что:
, (3.4.6)
где – вектор ошибок с нулевым выборочным средним и ограниченной выборочной дисперсией: , .
В модели АРТ под коэффициентами понимаются ожидаемые премии за риск для случайных факторов , под коэффициентом – доходность безрискового актива, если он представлен на финансовом рынке, либо ожидаемая доходность портфеля с нулевым коэффициентом бета в противном случае. Таким образом, в случае наличия безрискового актива уравнение АРТ приобретает вид:
,
а в случае отсутствия безрискового актива:
.

Оценка коэффициентов многофакторной модели с безрисковым активом
Рассмотрим многофакторную модель рынка с безрисковым активом, записанную в следующем виде (без ограничения общности поставим знак равенства в соотношении между ожидаемой премией за риск для актива и воздействием ожидаемых премий за риск для случайных факторов):
. (3.4.7)
Будем использовать данные о премиях за риск для активов и случайных факторов в прошлые моменты времени для оценки коэффициентов уравнения (3.4.7).
Обозначим через вектор премий за риск для активов в момент времени , через – вектор премий за риск для случайных факторов в момент , т.е.:

Рассмотрим следующее уравнение регрессии:
, (3.4.8)
где

Необходимо найти оценки параметров и уравнения (3.4.8). Для этого можно использовать, например, метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия или обобщенный метод моментов. Оценки параметров и , полученные любым из предложенных способов, в данном случае будут совпадать.
Преимущества обобщенного метода моментов заключается в том, что для его применения не требуются столь жесткие ограничения на параметры уравнения регрессии, как для первых двух. Это расширяет возможности по использованию метода в реальных условиях, когда доходности активов могут быть зависимыми во времени, их распределение может не быть нормальным, а вектор ошибок может не обладать свойством независимости, одинаковой распределенности и гомоскедастичности.
Для применения обобщенного метода моментов (generalized method of moments, GMM) необходимо сделать следующие предположения.
1. Ряд является стационарным (в широком смысле), т.е. совместное распределение и совпадает с совместным распределением и для всех допустимых , и :
.
2. Имеют место условия ортогональности вектора остатков , –вектор неизвестных параметров уравнения регрессии (3.4.8), и вектора так называемых инструментальных переменных , т.е. (символ произведения Кронекера означает, что каждый элемент вектора инструментальных переменных умножается на каждый элемент ).
3. Количество условий ортогональности должно как минимум совпадать с количеством неизвестных параметров уравнения регрессии (3.4.8).
Суть обобщенного метода моментов состоит в нахождении оценки вектора параметров исходя из минимизации квадратичной формы:
,
где – выборочное среднее условий ортогональности :
,
– истинное значение вектора параметров ,
а – симметричная, положительно определенная матрица весов, показывающая, какой вес придается каждому условию ортогональности для каждого актива. Необходимые условия экстремума:
, (3.4.9)
где , дают оценку для , которая будет состоятельной, асимптотически нормальной, т.е. , и асимптотически эффективной.
Ковариационная матрица вектора оценок определяется по следующей формуле:
, (3.4.10)
где

Для получения состоятельной оценки ковариационной матрицы вместо и можно использовать их состоятельные оценки и .
Если число условий ортогональности совпадает с количеством неизвестных параметров, то оценка не зависит от матрицы весов и определяется из равенства нулю выборочного среднего условий ортогональности , т.е. . В противном случае для получения асимптотически эффективной оценки необходимо выполнение двух итераций.
Берется произвольная матрица весов , например, единичная матрица соответствующей размерности. Для выбранной находится состоятельная, но, вообще говоря, неэффективная оценка вектора параметров , являющаяся решением (3.4.9).
Строится состоятельная оценка матрицы . Для новой матрицы весов находится состоятельная оценка , являющаяся решением (3.4.9), которая будет асимптотически нормальной и асимптотически эффективной.
Для уравнения (3.4.8) модели с безрисковым активом имеем:
,
.
Количество неизвестных параметров совпадает с числом условий ортогональности (размерность вектора равна ), поэтому оценки и полностью определяются из системы уравнений . Имеем:
(3.4.11)
где .
В качестве состоятельной оценки для можно взять матрицу частных производных по вектору :
,
где – единичная матрица размера , , , , , .
Асимптотическая ковариационная матрица условий ортогональности:
.
Если ошибки являются независимыми, одинаково распределенными величинами, то , а поскольку , то . Тогда получаем:
.
В качестве состоятельной оценки для можно использовать матрицу с выборочными моментами:
,
где , .
Подставляя полученные выражения для и в (3.4.10), получим состоятельную оценку ковариационной матрицы вектора .
Из сопоставления уравнения (3.4.7) модели АРТ с безрисковым активом и уравнения регрессии (3.4.8) вытекает гипотеза: . Для ее проверки можно использовать тест Вальда с критической статистикой:
,
имеющей асимптотически распределение с степенями свободы в соответствии с количеством ограничений. Вместо дисперсии можно брать ее состоятельную оценку.
В случае, если нулевая гипотеза верна, получаем следующие оценки для параметров уравнения регрессии с ограничением:
.

Оценка коэффициентов многофакторной модели в случае отсутствия безрискового актива
Рассмотрим многофакторную модель рынка, представленную в следующем виде:
. (3.4.12)
Обозначим через вектор доходностей для активов в момент времени , через – вектор доходностей для случайных факторов в момент , т.е.:

Для оценки коэффициентов модели (3.4.12) с безрисковым активом рассмотрим следующее уравнение регрессии:
, (3.4.13)
где

Используя обобщенный метод моментов (метод наименьших квадратов или метод максимального правдоподобия в случае справедливости необходимых ограничений), получаем следующие оценки параметров уравнения (3.4.13):
(3.4.14)
где .
При этом полученные оценки (3.4.14) совпадают с оценками (3.4.11) уравнения регрессии для модели с безрисковым активом. Разница состоит лишь в том, что в уравнении (3.4.13) и оценках (3.4.14) под и понимаются доходности случайных факторов и активов соответственно, в то время как в уравнении (3.4.8) и оценках (3.4.11) и – это премии за риск для случайных факторов и активов.
Для построения модели с ограничением обозначим через . Тогда получим:
. (3.4.15)
Для проверки гипотезы можно использовать тест Вальда с критической статистикой:
,
имеющей асимптотически распределение с степенью свободы. По сравнению с аналогичной статистикой для модели с безрисковым активом теряется одна степень свободы, поскольку модель с ограничениями (3.4.15) имеет на независимый параметр меньше, чем модель без ограничений (3.4.13):

Количество независимых параметров
модель без ограничений
модель с ограничениями
Вектор

0
Матрица


Параметр
0
1

Оценки для модели с ограничением :
(3.4.16)
Заметим, что для оценки используется ковариационная матрица ошибок . В случае, если она неизвестна, вместо можно использовать ее состоятельную оценку.

Идентификация и оценка случайных факторов в модели АРТ
До сих пор мы исходили из того факта, что вектор значений случайных факторов известен. Остановимся теперь на проблеме идентификации и оценки вектора . При этом будем предполагать, что случайные факторы формируются как линейные комбинации доходностей рисковых активов, представленных на финансовом рынке, по аналогии с моделью САРМ, в которой доходность рыночного портфеля также является линейной комбинацией доходностей активов. Иными словами, доходность -го актива предполагается зависящей от доходности остальных активов финансового рынка.
Для идентификации случайных факторов будем использовать такой метод, как анализ главных компонент, основанный на статистическом подходе. Суть данного метода состоит в нахождении такого линейного ортогонального преобразования -мерного случайного вектора в -мерный вектор, при котором достигается оптимизация некоторого критерия, обеспечивающего наилучшее с точки зрения выбранного критерия преобразование векторов.
В рамках модели АРТ анализ главных компонент используется для снижения размерности -мерного вектора доходностей активов, где , до -мерного вектора их линейных комбинаций. При этом линейные комбинации доходностей активов должны быть нормированными для того, чтобы ассоциировать вектор с доходностью портфеля, сумма элементов которого равна единице. В качестве критерия оптимизации используется максимизация дисперсии линейной комбинации доходностей, характеризующая "значимость" линейной комбинации как случайного фактора.
Таким образом, первым фактором будет являться нормированная линейная комбинация доходностей с максимальной дисперсией. Для определения первого фактора необходимо решить следующую задачу оптимизации:

где – матрица ковариаций доходностей рисковых активов. Тогда значение первого случайного фактора в момент времени будет определяться по формуле:
,
где – вектор доходностей активов в момент времени .
В качестве второго фактора будет использоваться нормированная линейная комбинация доходностей активов с максимальной дисперсией среди всех линейных комбинаций, ортогональных к первому фактору. Для идентификации второго фактора необходимо решить задачу оптимизации:

В итоге получим: , и т.д.
Последний -ый фактор будет определяться по формуле:
, ,
где является решением задачи оптимизации:

Далее, зная значения вектора случайных факторов в момент времени , можно построить оценку коэффициентов из уравнения (3.4.6) ожидаемых премий за риск для случайных факторов, которые используются в моделях АРТ в случае наличия или отсутствия безрискового актива. Так, в случае наличия безрискового актива имеем:

где – доходность безрискового актива, а в случае его отсутствия:

где – оценка ожидаемой доходности портфеля с нулевым коэффициентом бета, определяемая из (3.4.16).



ОГЛАВЛЕНИЕ