стр. 1
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

3.5. Линейные временные ряды

Многие финансовые данные рассматриваются в форме временных рядов, т.е. последовательности наблюдений одной и той же случайной переменной: стоимости акций, курса валюты, объема торгов на бирже и т.д. Будем обозначать такую последовательность как . Реализации этой последовательности, т.е. имеющиеся к моменту времени наблюдения будем обозначать следующим образом:
или
Последовательность называется строго стационарной, если совместное распределение аналогично совместному распределению , или

для любых положительных целых чисел и . Строгую стационарность довольно сложно проверить эмпирически, поэтому на практике чаще подразумевают слабую стационарность.
Последовательность называется слабо стационарной, если ее первый и второй моменты конечны и не зависят от времени, т.е.

для любого целого .
Если последовательность является строго стационарной с конечными первым и вторым моментами, то она по определению слабо стационарна. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Однако, если последовательность нормально распределена, то в этом случае слабая стационарность эквивалентна сильной.
Далее, говоря, что последовательность является стационарной, будем подразумевать слабую стационарность.
Ковариация стационарной последовательности называется автоковариацией с лагом . Она обладает следующими свойствами:

Корреляция между и называется автокорреляцией с лагом . Для стационарной последовательности автокорреляция, как и автоковариация, зависит только от :
.
Имеем следующие свойства автокорреляции:

Важную роль при моделировании временных рядов играет так называемый белый шум - последовательность независимых одинаково распределенных гауссовских случайных величин ˜ .
Временной ряд является линейным, если он представим в виде следующей линейной комбинации:
,
где - среднее стационарного временного ряда , - белый шум,
. Коэффициенты называют -весами временного ряда .
Поскольку - стационарный временной ряд, то мы имеем:


Авторегрессионная модель
Авторегрессионная модель порядка отражает линейную зависимость от предыдущих значений искомой случайной величины: . Имеем следующие примеры авторегрессионной модели различного порядка:
(3.5.1)
Будем считать авторегрессионные модели (3.5.1) стационарными (т.е. временной ряд , описываемый этими моделями является стационарным).

Авторегрессионная модель
Модель авторегрессии первого порядка отражает линейную зависимость только от одного прошлого значения .
Имеем:
,
откуда, с учетом того, что , получаем:
, где
Далее, используя равенство и уравнения для , получаем:
(3.5.2)
Отсюда следует, что

Тогда из (3.5.2) получаем:

Из последнего выражения следует,что . Это неравенство является необходимым и достаточным условием стационарности модели .
Легко заметить, что

Тогда

и получаем следующие формулы для автоковариации модели :

Из последних равенств легко считаются автокорреляции :

при этом . Эта формула показывает, что автокорреляционная функция модели экспоненциально убывает, поскольку .

Авторегрессионная модель
Для модели
,
имеем:
, где
Далее, используя методику, изложенную выше, получаем следующие формулы для автоковариации и автокорреляции:

.
С целью компактности изложения введем оператор сдвига назад , действующий на числовых последовательностях :

Далее имеем:

Отметим следующие свойства оператора :

где - константы.
Используя оператор , можно переписать модель следующим образом:
, где ˜ . (3.5.3)
Обозначим через полином оператора , т.е.:
,
тогда получаем:
.
Рассмотрим теперь вопрос об обратимости модели , т.е. нахождении по значению .
Для любых справедливо равенство (свойство оператора ):
.
Возьмем такие, что:

т.е. являющиеся корнями квадратного уравнения
.
Иными словами

Тогда получим, что
.
С учетом полученного равенства уравнение (3.5.3) можно переписать следующим образом:
.
Отсюда получаем:
.
Найдем и , такие, что
.
Поскольку , то получаем:

Решая систему уравнений относительно и , получаем:

Следовательно,
.
Тогда будет выражаться следующим образом:
(3.5.4)
Отметим далее, что не всякая модель является обратимой. Для представления модели в виде (3.5.4) необходимо, чтобы удовлетворяли следующему условию:
.
В этом случае модель будет стационарной.

Авторегрессионная модель
Для модели

имеем:
, где



Используя оператор , можно переписать авторегрессионную модель следующим образом:

или, обозначив полином оператора :
,
получаем:
,
где
.
Используя тот же метод, что и для , рассмотрим вопрос об обратимости модели . Для этого необходимо найти характеристические корни для разложения полинома:
.
Если , то находим стационарное решение для :
.
Характеристические корни являются решением уравнения:
.
Необходимо найти разложение:
.
Умножая обе части на , получаем:
.
Отсюда:
.
Тогда получаем аналог разложения (3.5.4) для модели :
. (3.5.5)

Модели скользящего среднего
Модели скользящего среднего описывают эволюцию как зависимость от прошлых значений белого шума :

или, используя оператор сдвига :
.
Обозначим через полином оператора , т.е.:
,
тогда модель можно записать так:
.
Приведем примеры моделей первого и второго порядка:

Модель любого порядка всегда стационарна, так как является линейной комбинацией стационарного белого шума.
Среднее, автоковариация и автокорреляция для модели считается достаточно просто:

Аналогичным образом для модели получаем:

Соответственно, для имеем:

Заметим, что автоковариация и автокорреляция с лагом, большим порядка модели скользящего среднего, т.е. , равна нулю. Это свойство оказывается очень полезным при идентификации порядка модели, строящейся на основе имеющихся эмпирических данных о поведении последовательности .
Уравнения (3.5.4) и (3.5.5) показывают, что всякая стационарная модель допускает представления в виде модели :
.
Верно и обратное: модель допускает представления в виде модели :

с соответствующими коэффициентами





Авторегрессионная модель скользящего среднего
Авторегрессионная модель скользящего среднего порядка является комбинацией двух моделей: авторегрессионной и скользящего среднего . Она имеет следующий вид:
.
Используя оператор сдвига назад, получим следующую форму записи :
.
Обозначим через и полиномы оператора , т.е.:

тогда модель можно записать так:
.
Разделим полиномы и один на другой и получим:

По определению .
Полученные результаты деления полиномов и позволяют получить весьма важные представления модели в виде авторегрессионной модели и модели скользящего среднего.
Так, как результат деления на получаем следующее - представление для :
,
достаточным условием которого является то, что все нули полинома по модулю больше единицы.
Аналогично, как результат деления на получаем следующее - представление для :
.
Остановимся подробнее на свойствах модели
.
Среднее для этой модели находится легко:
,
откуда, с учетом стационарности , получаем:
.
Этот результат совпадает со значением среднего модели .
Далее положим для простоты, что . Найдем вариацию для модели . Для этого прежде всего посчитаем математическое ожидание произведения :
.
Теперь находим вариацию для :
.
Отсюда, с учетом стационарности и получаем:
, где .
Последнее условие, являющееся условием стационарности , совпадает с условием стационарности .
Чтобы найти автоковариацию модели , умножим обе ее части на :
.
Для находим:
.
Для :
.
Зная автоковариацию и вариацию, легко найти автокорреляцию:

Заметим, что значения автоковариации и автокорреляции для при совпадают с соответствующими значениями автоковариации и автокорреляции для , в то время как при эти значения отличаются на величину и соответственно.
Отметим еще одно важное свойство, присущее моделям любого порядка. Характеристические корни являются и характеристическими корнями . Если
,
где - характеристические корни , то, как и в случае , модель является стационарной.

Моделирование с помощью линейных временных рядов
При построении модели, описывающей динамику биржевых индексов, цен акций или облигаций, курса валют и т.д. на основе имеющихся эмпирических данных необходимо осуществление следующей последовательности действий:
определение порядка модели, который делает модель наиболее адекватной для прогнозирования;
оценка параметров модели, т.е. ее коэффициентов;
оценка адекватности построенной модели.

Моделирование с помощью
Наиболее распространенным способом определения порядка модели является способ, основанный на использовании так называемой частной автокорреляционной функции.
Рассмотрим последовательность авторегрессионных моделей возрастающего порядка:

Коэффициенты называют частной автокорреляционной функцией. Так, - частная автокорреляционная функция первого порядка, - частная автокорреляционная функция второго порядка и т.д.
Частная автокорреляционная функция первого порядка показывает, какую часть в величину вносит . Соответственно, показывает вклад в величину и т.д. Следовательно, для модели частная автокорреляционная функция порядка , т.е. , должна быть отлична от нуля, иначе порядок модели можно снизить до . В то же время, частная автокорреляционная функция порядка , т.е. , должна быть равна нулю, иначе порядок модели можно увеличить до .
На практике величины частной автокорреляционной функции заранее не известны и рассчитываются на основе имеющихся реализаций с использованием, например, метода наименьших квадратов. Построенные оценки , и т.д. называются выборочные частные автокорреляционные функции. Для них справедливы следующие утверждения:
сходится к при ;
для всех .
В соответствии с найденным значением , строим модель:
.
В случае адекватности построенной модели ряд остаточных членов , где
,
является белым шумом. Для проверки гипотез:

где - автокорреляция с лагом ряда применяют так называемую статистику Льюнга-Бокса:
,
которая ассимптотически имеет распределение . Здесь вместо автокорреляций используются выборочные автокорреляции . В качестве параметра можно брать любое целое число, большее порядка модели.

Моделирование с помощью
Определение порядка модели достаточно просто. Оно основано на следующем свойстве автокорреляционной функции модели скользящего среднего, которое мы рассматривали ранее:

Следовательно, достаточно найти такое значение , для которого выборочная автокорреляция отлична от нуля, а выборочные автокорреляции большего порядка близки к нулю.
Для оценки параметров модели обычно используют метод максимального правдоподобия.
Адекватность построенной модели проверяется тем же способом, что мы рассматривали выше для модели . Однако, в случае модели с параметрами, статистика будет ассимптотически иметь распределение с степенями свободы.

Моделирование с помощью
Моделирование с помощью аналогично вышеизложенному.
При определении порядка модели используют выборочную частную автокорреляционную и выборочную автокорреляционную функции. Оценку параметров производят с помощью метода максимального правдоподобия. Статистика Льюнга-Бокса:
,
используемая для приверки адекватности построенной модели, имеет ассимптотически распределение с степенями свободы.
Остановимся подробнее на особенностях прогнозирования с помощью модели , поскольку нам понадобится этот аспект при расчете величины (Value at Risk). Обозначим через текущий момент времени. Прогноз для момента времени , построенный на основе всей доступной к текущему моменту времени информации обозначим через , т.е.
.
Прогноз на один шаг вперед:

с остатками (ошибками прогнозирования)
,
имеющими вариацию
.
Прогноз на шагов вперед:
,
где и могут быть получены последовательно.
Из -представления для модели получаем:
,
откуда для ошибки прогнозирования имеем:


Пример. Моделирование спрэда между краткосрочной и долгосрочной ставками процента
Разница между краткосрочной и долгосрочной ставками процента является важным фактором при анализе функционирования финансового рынка. Представленная далее модель построена на основе месячных наблюдений за ставками процента в Великобритании с 1952 по 1995 года (см. Приложение 3.5.1). Количество наблюдений . Построенные выборочная частная автокорреляционная и выборочная автокорреляционная функции до 10-го порядка включительно, а также их стандартные отклонения, представлены в таблице 3.5.1. Будем строить авторегрессионную модель и оценим, насколько она адекватна.

Таблица 3.5.1. Выборочная частная автокорреляционная и выборочная автокорреляционная функции для модели спрэда между краткосрочной и долгосрочной ставками процента

порядок

стр. 1
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>