<< Предыдущая

стр. 2
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

выборочная автокорреляционная функция
стандартное отклонение
выборочная частная автокорреляционная функция
стандартное отклонение
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,969
0,927
0,884
0,844
0,803
0,761
0,719
0,678
0,643
0,613
0,586
0,560
0,044
0,075
0,094
0,109
0,121
0,131
0,139
0,146
0,152
0,157
0,162
0,166
0,969
-0,217
0,011
0,028
-0,057
-0,041
-0,007
-0,004
0,057
0,037
0,008
-0,020
0,044
0,044
0,044
0,044
0,044
0,044
0,044
0,044
0,044
0,044
0,044
0,044

Результаты расчетов показывают, что только и являются значимыми, следовательно, порядок модели равен 2 и мы будем строить модель . Используя метод наименьших квадратов, получаем:

Выборочное среднее:

Проверим выполнение условий стационарности, т.е. . Находим характеристические корни полинома :

Следовательно, построенная модель является стационарной.
Осталось проверить адекватность модели с помощью статистики Льюнга-Бокса. Для имеем значение статистики , которая ассимптотически имеет распределение с 10 степенями свободы. Доказательств неадекватности модели нет.
Еще один способ оценки адекватности модели - добавить в нее дополнительные параметры: мы можем рассмотреть вместо построенной модели новую модель с большим количеством параметров, например, или . Это приведет к следующей паре моделей:

в случае , когда неизвестные параметры рассчитывались с помощью метода наименьших квадратов, и

в случае , когда неизвестные параметры рассчитывались с помощью метода максимального правдоподобия. В обоих моделях добавленные параметры несущественны, что подтверждает адекватность первоначально построенной модели .

Линейные нестационарные модели.

Рассмотренные ранее модели применяются при описании поведения стационарных временных рядов, т.е. таких, у которых первый и второй моменты не зависят от времени (исходя из определения слабой стационарности, которую мы и имели в виду, описывая свойства моделей и , модель всегда стационарна). Однако на практике многие временные ряды, например, цены акций, ведут себя таким образом, что их среднее оказывается зависящим от времени. В данном случае речь идет о нестационарных временных рядах.
Изучая свойства модели , мы отмечали, что достаточным условием стационарности ряда, описываемого этой моделью, является то, что все характеристические корни лежат внутри единичного круга, т.е.:
.
Если хотя бы один характеристический корень лежит вне единичного круга, то последовательность является расходящейся. Что же произойдет, если какие-то характеристические корни равны по модулю единице, а остальные лежат внутри единичного круга?
Рассмотрим модель , задаваемую формулой:
. (3.5.6)
Мы положили здесь .
Предположим, что модель (3.5.6) не является стационарной, поскольку какие-то из ее характеристических корней равны по модулю единице, а остальные корни лежат внутри единичного круга. Тогда получаем следующее разложение полинома :
,
где - стационарный авторегрессионный оператор, все характеристические корни которого лежат внутри единичного круга, т.е. по модулю меньше единице, а - авторегрессионный оператор, имеющий равных единице характеристических корней. Часто оператор обозначают как , где - разностный оператор.
Таким образом, первоначальная нестационарная модель записывается в виде:
. (3.5.7)
Отсюда ее можно представить в виде двух процессов:

Как видно, процесс (3.5.7) будет обратим при условии обратимости .
Введем оператор суммирования :
,
Тогда
.
Аналогично определяется и оператор :

и т.д. для более высокого порядка.
Таким образом, процесс (3.5.6) модет быть получен суммированием стационарного процесса раз.
Если в уравнении (3.5.7) авторегрессионный оператор имеет порядок , - порядок суммирования, а оператор скользящего среднего имеет порядок , то модель, описываемая этим уравнением называется - авторегрессионная интегрированная модель скользящего среднего порядка .
Приведем несколько примеров этой модели разного порядка:


Сезонные модели
Некоторые финансовые временные ряды, такие, например, как квартальные данные о прибыли на акцию, данные об объемах продаж, демонстрируют некоторую периодичность в своем поведении. Для того, чтобы провести объективное сравнение таких данных между собой необходимо прежде всего удалить эту сезонную компоненту. В то же время при прогнозировании поведения таких финансовых временных рядов сезонность является важной компонентой прогноза.
Обычно подразумевается, что финансовый ряд демонстрирует периодичность в своем поведении с периодом , если наблюдается сходство в поведении финансового ряда через каждые временных интервалов. Так, для квартальных данных о прибыли на акцию (квартала), для данных об объемах продаж (месяцев).

Рассмотрим финансовый временной ряд , отражающий, например, квартальные данные о прибыли на акцию. Выборочная автокорреляционная функция, изображенная на рисунке (3.5.1), демонстрирует высокий уровень корреляции временного ряда.










Рис. 3.5.1. Выборочная автокорреляционная функция для
В случае наличия сильной корреляции необходимо рассмотреть ряд разностей первого порядка:
.
На рисунке 3.5.2 изображена выборочная автокорреляционная функция ряда . Как видно из рисунка, автокорреляция очень сильная при значении лага, кратном четырем. Это и есть эмпирическое подтверждение наличия сезонности с периодом .










Рис. 3.5.2. Выборочная автокорреляционная функция для



Далее рассмотрим следующий ряд разностей, теперь уже четвертого порядка:
.
В общем случае для временного ряда с сезонной компонентой порядка рассматривается ряд:

или
.
Рисунок 3.5.3 показывает выборочную автокорреляционную функцию для . Как видно, выборочные автокорреляции и с лагом 1 и 4 имеют значимое отрицательное значение.











Рис. 3.5.3. Выборочная автокорреляционная функция для


Рассмотренные нами линейные модели временных рядов являются важным классом моделей в прогнозировании финансовых данных. Однако они не объясняют ряд особенностей поведения финансовых временных рядов, таких как кластерность, наличие тяжелых хвостов и асимметрии, долгая память и т.д. Необходимость объяснения этих особенностей привела к созданию целого спектра нелинейных моделей, речь о которых пойдет в следующем параграфе.

Приложение 3.5.1.
Ежемесячные данные о спрэде
между краткосрочной и долгосрочной ставках процента
в Великобритании с 1952 по 1995 года


2.36504166667
2.3175
2.35083333333
2.45183333333
2.46616666667
2.46841666667
2.48558333333
2.389875
2.41816666667
2.39604166667
2.40104166667
2.40083333333
2.3835
2.36670833333
2.365625
2.34858333333
2.334375
2.13354166667
2.097375
2.09770833333
2.13058333333
2.096
2.06404166667
2.11508333333
2.04733333333
1.713875
1.60616666667
1.56166666667
1.61329166667
1.62108333333
1.58766666667
1.63779166667
1.86591666667
2.35641666667
3.81
3.797
3.906
3.937
3.969
3.971
4.005
4.072
4.071
4.104
4.072
4.071
5.218
5.165
5.008
4.955
5.136
4.977
4.027
5.091
4.991
5.02
4.858
4.553
4.148
4.099
3.914
3.921
3.854
3.845
4.121
6.605
6.603
6.459
6.375
6.127
6.014
5.523
5.179
4.816
4.294
4.159
3.76
3.625
3.584
3.305
3.152
3.107
3.276
3.287
3.283
3.382
3.452
3.484
3.488
3.472
3.386
3.4
3.687
4.538
4.554
4.621
4.652
4.556
5.681
5.546

<< Предыдущая

стр. 2
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>