стр. 1
(из 2 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

3.6. Нелинейные временные ряды

Обращение к нелинейным моделям при моделировании финансовых временных рядов вызвано двумя причинами. Во-первых, линейные модели не объясняют таких особенностей в поведении временных рядов как кластерность (реализации финансовых временных рядов имеют тенденцию сохранять высокие или низкие значения в течение некоторого промежутка времени, в результате чего образуются так называемые кластеры - периоды высоких или низких значений), наличие тяжелых хвостов в распределениях, асимметрия (при наличии одной и той же «прошлой» информации финансовые ряды могут вести себя совершенно по разному). Во-вторых, при моделировании поведения финансовых временных рядов встает вопрос об определении величины стандартного отклонения, или волатильности, которая, вообще говоря, неизвестна. Так например, известная формула Блэка - Шоулса использует для расчета цены опциона значение волатильности цены акции, моделирование волатильности обеспечивает простой подход к расчету величины VaR - Value at Risk и т.д.
Рассмотрим ряд , описывающий эволюцию логарифма возврата на ценную бумагу, т.е.:
.
В рамках нелинейных моделей временной ряд не является стационарным, поэтому его первый и второй моменты зависят от времени. Кроме того, важное значение играют условное математическое ожидание и условная вариация:

где - вся информация, доступная в момент времени .
Рассмотрим новый ряд , который определяется из уравнения:
.
Для него

Как видно, ряд имеет ту же волатильность, что и исходный ряд .

Модель
Описание эволюции последовательности в рамках модели осуществляется с помощью уравнения:
,
где волатильность определяется следующим образом:
.
является последовательностью независимых нормально распределенных случайных величин и

Из структуры модели видно, что большие (или малые) значения приводят к большим (или, соответственно, малым) значениям , что объясняет эффект кластерности финансовых рядов.
Остановимся теперь более подробно на рассмотрении свойств модели первого порядка, т.е. :

Среднее и вариация для стационарного ряда равны:

Довольно часто при анализе поведения финансовых временных рядов требуются моменты большего порядка. Так, например, при изучении поведения хвостов необходим момент четвертого порядка:

Если - стационарный временной ряд и
,
то мы получаем следующее:

В результате, с учетом стационарности, имеем:
.
Найдем значение коэффициента эксцесса:
.
Как видно, оно больше, чем соответствующее значение для нормального распределения, равное трем. Следовательно, распределение хвостов более тяжелое, чем у нормального распределения. Это соответствует эмпирическим данным о поведении финансовых временных рядов, имеющих тяжелые хвосты.
является последовательностью некоррелированных случайных величин, т.е.
.
Однако это не означает, что и являются независимыми, поскольку распределение ряда не является нормальным. О характере их зависимости можно судить, рассматривая, например, корреляции между и , или и .
Найдем корреляцию между и . Имеем:

Отсюда
.
Далее для :

что, в случае стационарности, приводит к следующему:

или
.
, поскольку .
Таким образом, и являются некоррелированными, но зависимыми величинами для любого .
Несмотря на то, что модель позволяет объяснить некоторые особенности в поведении финансовых временных рядов, она, тем не менее, имеет и некоторые недостатки. Так, в рамках модели равные по модулю положительные и отрицательные значения приводят к одному и тому же значению волатильности, которая зависит от . Однако на практике хорошо известен тот факт, что цены финансовых активов реагируют по разному на положительные и отрицательные значения величины . Кроме этого, модель накладывает слишком сильные ограничения на свои коэффициенты: так, в рамках для существования конечного четвертого момента необходимо, чтобы коэффициент находился в интервале .

Построение модели
Построение модели состоит из следующих трех этапов:
проверить некоррелированность величин и наличие корреляции у , чтобы сделать вывод о необходимости построения нелинейной модели;
определить порядок модели и найти ее коэффициенты;
оценить адекватность построенной модели .
Для проверки отсутствия корреляции у и ее наличия у можно использовать уже известную нам статистику Льюнга-Бокса:
,
которая проверяет гипотезы:

где - автокорреляция с лагом ряда в первом случае и ряда - во втором. Статистика Льюнга-Бокса асимптотически будет иметь распределение . В качестве параметра можно брать любое целое число, большее предполагаемого порядка модели.
Если тест показал необходимость построения нелинейной модели, то следующим этапом будет определение порядка модели . Для этого можно использовать частные автокорреляции для следующим образом. Поскольку является несмещенной оценкой для , то модель

становится аналогичной модели
,
где , порядок которой определяется привлечением частной автокорреляционной функции.
Для оценки параметров модели используется метод максимального правдоподобия. При этом возможны два подхода к определению функции правдоподобия, приводящие к близким, но все же отличным друг от друга результатам.

1. Первый подход основан на предположении о нормальном распределении . Тогда получаем следующую функцию правдоподобия:

где и - плотность совместного распределения .
В случае, если выборка является достаточно большой, вместо используют более простой вариант функции правдоподобия, в котором пренебрегают величиной , а именно:
(3.6.1)
Максимизация функции правдоподобия эквивалентна максимизации ее логарифма, который для (3.6.1) имеет следующий вид:
, (3.6.2)
где оценивается исходя из уравнения
.
Заметим, что в функцию правдоподобия (3.6.2) мы не включили под знак суммы член , хотя он присутствует в логарифме от функции (3.6.2), так как он не содержит параметров модели и на искомые оценки не повлияет.

2. Второй подход учитывает наличие тяжелых хвостов у , когда мы предполагаем, что имеет распределение Стьюдента.
Пусть случайная величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Тогда для и мы будем использовать . Плотность распределения равна:

Поскольку , то получаем следующую функцию правдоподобия для :

где .
Для того, чтобы получить необходимые нам оценки параметров исходной модели, необходимо максимизировать функцию правдоподобия или ее логарифм. Количество степеней свободы распределения Стьюдента можно считать заранее известным или же включить его в искомые параметры. В первом случае обычно предполагают количество степеней свободы равным значению от 3 до 6. Логарифмическая функция правдоподобия, которую необходимо максимизировать, будет в этом случае равна:
.
В случае, если количество степеней свободы оценивается вместе с остальными неизвестными параметрами, то логарифмическая функция правдоподобия будет иметь следующий вид:

где
.
Адекватность построенной модели проверяется с помощью статистики Бокса-Льюнга для ряда

независимых случайных величин, имеющих либо нормальное распределение, либо распределение Стьюдента.
Прогнозирование с помощью построенной модели осуществляется последовательно. Так, сперва рассчитывается прогноз для :
.
Далее аналогичным образом находим прогноз для :

и т.д. Тогда прогноз для будет следующим:
,
где для .

Пример. Построение модели для акций компании Intel Corporation
Данная модель построена на основе ежемесячных данных о логарифме возврата на акцию компании Intel Corporation с января 1973 по декабрь 1997 годов, которые можно найти в Приложении 3.6.1.
Обозначим ряд, описывающих динамику логарифма возврата на акцию компании Intel Corporation через . На основе имеющихся наблюдений находим выборочную автокореляционную функцию для (рис. 3.6.1). Как показывает рис. 3.6.1, ряд состоит из некоррелированных случайных величин, поскольку значения автокорреляции являются незначимыми, за исключением единственной автокорреляции с лагом 7.











Рис. 3.6.1. Выборочная автокорреляционная функция для
В то же время, рис. 3.6.2, демонстрирующий автокорреляционную функцию для , свидетельствует об отсутствии независимости у величин .
Необходимость в проведении дополнительного теста на проверку некоррелированности и зависимости случайных величин , где , отсутствует. Порядок соответствующей модели можно положить равным 3 в соответствии с отсутствием значимых частных автокорреляций для ряда (рис.3.6.3).











Рис. 3.6.2. Выборочная автокорреляционная функция для























Рис. 3.6.3. Выборочная частная автокорреляционная функция для
Для того, чтобы использовать искомую модель для прогнозирования поведения цен акций компании Intel Corporation, добавим в модель уравнение для . Таким образом, мы рассматриваем следующую модель:

В предположении о независимости и стандартном нормальном распределении , используем функцию правдоподобия (3.6.2) и получаем:
(3.6.3)
Поскольку оценки для и являются незначимыми при уровне значимости 5%, то построенная модель может быть упрощена до :
(3.6.4)
Для этой модели статистика Льюнга-Бокса для ряда равна , . Следовательно, модель является адекватной при 5%-ном уровне значимости.
Теперь для сравнения построим модель в предположении, что имеет распределение Стьюдента с 5 степенями свободы. Получаем модель:

Статистика Льюнга-Бокса для ряда равна , . Построенная модель неадекватна при 5%-ном уровне значимости.
Увеличим количество параметров модели и рассмотрим новую модель . Получаем следующую модель:
(3.6.5)
Статистика Льюнга-Бокса для ряда равна , . Таким образом, построенная модель является адекватной при 5%-ном уровне значимости.
Сравнивая построенные три модели 3.6.3, 3.6.4 и 3.6.5, можно отметить, что разница между ними несущественна. К тому же рассмотренный нами временной ряд допускает использование и других нелинейных моделей, например, .

Модель
Описание эволюции волатильности с помощью модели достаточно простое, однако оно требует использования большого количества параметров, вызванного большим значением . Преодолеть этот недостаток можно в рамках так называемой обобщенной модели , или, по-другому, модели .
Рассмотрим ряд
,
построенный на основе ряда логарифмов возврата . Эволюция в рамках модели будет описываться следующим образом:

где . Как видно, текущее значение волатильности зависит не только от значений , но и от .
Рассмотрим подробнее свойства модели :

Для нее мы имеем:
,
где .
Если , то коэффициент эксцесса будет равен:
,
следовательно, распределение хвостов процессов, моделируемых с помощью , тяжелее, чем распределение хвостов нормального распределения, для которого .
Прогнозирование волатильности с помощью модели осуществляется следующим образом. Пусть - текущий момент времени. Тогда прогноз волатильности в момент времени определяется по известным значениям и :
.
Для прогнозирования значения перепишем уравнение следующим образом:

Поскольку , то получаем:

Аналогично находим прогноз для :
.
Если , то
.
Процедура построения модели аналогична моделированию с помощью . Однако определение порядка модели , т.е. нахождение адекватных значений и , является достаточно сложным. Поэтому обычно используют модели невысокого порядка, такие как , , .

Модели , ,
Если авторегрессионый полином

модели имеет единичный корень, то мы имеем дело с моделью . Например, модель будет иметь следующий вид:

где .
По аналогии с моделью находим, что прогнозирование с помощью осуществляется по формуле:
.
Модель , для которой , используется для расчета величины VaR (Value at Risk), речь о которой пойдет в параграфе 7.

Если наблюдается зависимость возврата на ценную бумагу и значения волатильности, то для описания эволюции волатильности такой ценной бумаги привлекают так называемую модель , или in mean. Так, модель записывается следующим образом:

где и - константы. Параметр называется риск-премией. Если , то величина возврата на ценную бумагу будет иметь прямую зависимость от величины волатильности. Модель также подразумевает наличие корреляции между величинами возврата .

Модели и имеют общий недостаток, заключающийся в том, что они не отражают имеющий место на практике эффект асимметрии, когда волатильность реагирует по-разному на падение и повышение цен. Это происходит потому, что волатильность зависит от квадрата , а потому нечувствительно к его знаку. Этот недостаток преодолевается в рамках так называемой экспоненциальной модели , или .
Модель записывается следующим образом:

где - оператор сдвига назад, такой, что , и - полиномы с характеристическими корнями, большими единицы, и не имеющие общих множителей, - функция от , представимая в виде:

где и - константы, - независимые, одинаково распределенные непрерывные случайные величины.
Обычно в качестве распределения рассматривается стандартное нормальное распределение или стандартное распределение Стьюдента. В первом случае , во втором
.
Отметим, что , а .
Рассмотрим более подробно модель :

где имеет стандартное нормальное распределение и . Тогда получаем:

Отсюда находим:

Коэффициенты и приводят к асимметрии волатильности, т.е. разным значениям в зависимости от знака .

Модели стохастической волатильности
Модели стохастической волатильности характеризуются наличием двух источников случайности, характеризующих эволюцию : ˜ и ˜ , являющимися независимыми стандартными гауссовскими случайными величинами.
Модель стохастической волатильности определяется следующим образом:

где и независимы и все нули полинома больше нуля по модулю.
Рассмотрим без доказательства свойства модели стохастической волатильности первого порядка, т.е. при :

В предположении
˜ ,
имеем, что

Рассмотрим ковариационные свойства последовательности . Имеем:
.
Следовательно, величины и положительно коррелированы при и отрицательно коррелированы при .
Получение оценок параметров модели стохастической волатильности довольно сложно. Оно осуществляется с помощью метода Монте Карло или с использованием теории фильтрации Кальмана.
Приложение 3.6.1
Ежемесячные данные о логарифме возврата на акцию компании Intel Corporation с января 1973 по декабрь 1997 годов

0.010050 730131 -0.139303 730228 0.069364 730330
0.086486 730430 -0.104478 730531 0.133333 730629
0.625000 730731 0.117647 730831 0.234818 730928
0.144262 731031 -0.240688 731130 0.188679 731231
0.139683 740131 0.155989 740228 -0.163855 740329
0.162824 740430 0.148699 740531 -0.148867 740628
-0.448669 740731 -0.151724 740830 -0.390244 740930
0.613333 741031 -0.115702 741129 -0.140187 741231
0.336957 750131 0.463415 750228 0.183333 750331
0.244131 750430 0.045283 750530 0.018051 750630
-0.120567 750731 0.112903 750829 0.083333 750930
-0.026756 751031 0.020619 751128 -0.013468 751231
0.170648 760130 0.093294 760227 0.170667 760331
-0.033030 760430 -0.014134 760528 -0.021505 760630
-0.036630 760730 -0.068441 760831 -0.008163 760930
-0.098765 761029 0.036530 761130 0.052863 761231
-0.100418 770131 0.009302 770228 -0.129032 770331
-0.105820 770429 0.023669 770531 0.150289 770630
0.000000 770729 -0.050251 770831 0.042328 770930

стр. 1
(из 2 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>