ОГЛАВЛЕНИЕ

3.7. VаR методология (Value at Risk)

Резкие скачки цен на финансовом рынке являются редким, но очень важным событием. Методология VaR (Value at Risk) имеет дело с таким экстремальным поведением цен на финансовые активы. Являясь отражением рыночного риска, VaR позволяет оценить допустимое снижение (увеличение) цены активов за данный промежуток времени по причине резких рыночных изменений. Иными словами, VaR позволяет оценить максимальные допустимые потери участника финансового рынка, связанные с непредвиденным ухудшением ситуации на финансовом рынке.
Обозначим изменения в стоимости актива, произошедшие за промежуток времени , через . Обозначим через функцию распределения случайной величины . Определим величину для покупателя финансового актива (инвестора) следующим образом:
.
Поскольку инвестор несет убытки, когда цена финансового актива снижается, т.е. в случае, когда , поэтому величина для него предполагается отрицательной (рис.3.7.1). По определению показывает вероятность того, что инвестор за период времени понесет убытки, превышающие . Аналогично можно сказать, что вероятность того, что потери инвестора финансового актива за промежуток времени не превысят величину , равна .
По аналогии определим величину для продавца финансового актива следующим образом:

Продавец на финансовом рынке несет потери, когда цена финансового актива увеличивается, т. е. когда . Поэтому величина для продавца предполагается положительной (рис.3.7.2).











Рис. 3.7.1. Величина для покупателя











Рис. 3.7.2. Величина для продавца


Рисунки 3.7.1 и 3.7.2 показывают, что покупателя финансового актива интересует поведение левого хвоста распределения , а продавца - поведение правого хвоста .
На практике распределение как правило неизвестно. К тому же с точки зрения методологии VaR нас интересует только хвосты распределения , или квантили.
Величина:

называется -квантилью функции распределения . Таким образом, .
Поскольку величина для продавца может быть получена из соответствующей формулы для покупателя путем рассмотрения распределения , мы ограничимся лишь рассмотрением методологии VaR для покупателя.
В зависимости от предположений относительно распределения случайной величины существует целый спектр методов расчета . Остановимся на рассмотрении наиболее значимых из них.

Риск метрика
Данный подход к расчету величины разработан компанией J.P.Morgan.
В рамках данного подхода предполагается, что условное распределение непрерывной величины логарифма возврата на ценную бумагу:

относительно всей доступной информации является нормальным, т.е.
˜ ,
где - условная дисперсия, а условное математическое ожидание равно нулю:

Для описания эволюции в рамках данной методологии традиционно используется модель с нулевым сдвигом, поскольку условное математическое ожидание равно нулю. Модель в данном случае будет иметь следующий вид:

где .
Обозначим логарифм возврата финансового актива за промежуток времени через , где - текущий момент времени, а - момент времени в будущем. В соответствии со свойством логарифма имеем:

В рамках построенной модели условное распределение является нормальным с нулевым средним и дисперсией :
˜

прогноз для можно получить с использованием методов прогнозирования, описанных в параграфе 6.
Из независимости следует:
,
где величины рассчитываются последовательно. Таким образом, получаем:
.
Используя то, что

и подставляя это выражение в исходное уравнение модели :

получаем:

для всех .
В частности, для и имеем:
.
Поскольку
,
получаем:
.
С учетом того, что
,
получаем:
.
Таким образом, приходим к выводу о том, что
˜ .
Например, рассмотрим держателя финансового актива (или инвестора). Для него большие убытки имеют место в случае резкого падения цен. Пусть -заданная вероятность того, что инвестор за период времени понесет убытки, превышающие . Необходимо найти односторонний квантиль нормального распределения. Получаем:

Без потери общности мы проигнорировали знаком «минус» при определении квантиля, который появляется вследствие того, что потери и величина - отрицательны и мы интересуемся только левым хвостом нормального распределения. Знак «минус» в данном случае обозначает «потери» и мы можем проигнорировать им, имея ввиду при этом «экономический смысл» знака.
Полученная величина характеризует в процентах к объему инвестиций в ценную бумагу. Чтобы получить аналогичную величину , выраженную в денежных единицах, необходимо умножить последний полученный результат на объем инвестиций в финансовый актив или

Для временного периода аналогичным образом получаем:
,
где - величина, выраженная в процентах.
Для , выраженной в денежных единицах, получаем:
.

Эконометрические модели расчета
Большим достоинством методологии J.P.Morgan является простота и легкость в применении. Однако существенным недостатком являются предположения о нормальности, нулевом среднем величин возврата, а также использование модели как описывающей динамику волатильности возврата.
В действительности данные предположения являются большим ограничением для успешного использования методологии на практике. Как правило, хвосты распределений величин возврата на ценную бумагу тяжелее хвостов нормального распределения. Предположения о нулевом среднем и волатильности, описываемой моделью также являются большой натяжкой.
Более подходящими для адекватного расчета в условиях, максимально приближенных к реальности, являются так называемые эконометрические модели расчета .
Для описания динамики логарифма возврата используются линейные модели временных рядов, а для описания динамики волатильности - нелинейные модели временных рядов. Ввиду наличия большого разнообразия линейных и нелинейных моделей временных рядов получается целый спектр эконометрические модели расчета .
Мы остановимся на рассмотрении эконометрической модели расчета , построенной с привлечением моделей и :



Эконометрическая модель расчета для одного временного периода
На основе данных выражений для среднего и дисперсии можно построить прогноз на один временной период вперед, т.е. прогноз для и . Если - текущий момент времени, то получаем следующий прогноз:


Далее сделаем некоторые предположения относительно распределения . В частности рассмотрим следующие возможные предположения, которые используются на практике:
1. имеет нормальное распределение.
2. имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.
В предположении нормальности условное распределение будет нормальным с условным средним и условной дисперсией :
˜

Квантили этого условного распределения могут быть легко получены для расчета величины . Так, для получаем:

Если сделать предположение о том, что имеет стандартное распределение Стьюдента с степенями свободы, тогда получаем:

где - -квантиль стандартного распределения Стьюдента с степенями свободы.
Если предположить, что имеет распределение Стьюдента с степенями свободы (не стандартное), то получаем:

где - -квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы.
Соотношение между и следующее:

где . Таким образом, если является -квантилем распределения Стьюдента с степенями свободы, то является -квантилем стандартного распределения Стьюдента с степенями свободы.

Многопериодная эконометрическая модель расчета
Предположим, что в текущий момент необходимо найти величину для периода . Обозначим логарифм возврата финансового актива за промежуток времени через . В соответствии со свойством логарифма имеем:

Пусть логарифм возврата и волатильность описываются с помощью моделей и :


Условное математическое ожидание может быть получено с привлечением техники прогнозирования с помощью модели . Оценка для получается из последовательно рассчитанных прогнозов для :
.
Из -представления модели :

находим прогноз для остатка (ошибки в прогнозе):

который, исходя из
,
можно переписать в следующем виде:

где .
Прогноз волатильности для периода времени , сделанный в текущий момент времени , равен условной вариации относительно всей доступной к моменту информации. В предположении независимости получаем:

где могут быть рассчитаны последовательно с привлечением техники прогнозирования GARCH, подробно рассмотренной нами ранее.
Например, для модели :

все и
.
Для ошибок прогнозирования получаем:
.
Прогноз волатильности:
.
Использование техники прогнозирования с помощью приводит к следующему результату:

В предположении нормальности условное распределение будет нормальным с условным математическим ожиданием и условной вариацией , т.е.:
˜

Квантиль для расчета величины легко находится по таблице нормального распределения.



ОГЛАВЛЕНИЕ