ОГЛАВЛЕНИЕ

3.8. Прогнозирование эволюции финансовых активов с помощью современных методов технического анализа

Финансовый анализ сейчас невозможно представить без исследования рыночной конъюнктуры. Совокупность методов качественного анализа рыночных цен, представляющего собой набор эмпирических рекомендаций и подходов и составляющего неотъемлемую часть современной финансовой инженерии, принято называть техническим анализом. Его качественные методики играют важную роль в финансовом анализе.
Нынешний уровень финансовой математики позволяет дать ряду таких методик и вполне определенное теоретическое обоснование, что позволяет надеяться на будущее технического анализа как точной науки.
Технические аналитики исходят из понимания цены актива как средневзвешенного по объему капиталов ожидания участников рынка, придавая особое значение психологическому состоянию финансовой среды, настроению финансового сообщества и т.д. В связи с этим методы технического анализа аккумулируют и неценовые финансовые данные. Предсказание направления изменения стоимости актива и выдача общей рекомендации выбора стратегии с целью уменьшения рыночного риска представляется наиболее важной задачей такого анализа.
Обработка всей доступной текущей информации реализуется в графиках, мнемонических правилах, математических функциях, называемых индикаторами.
Для принятия обоснованного инвестиционного решения необходимо:
- выявить наиболее вероятные направления, или тенденции, поведения рынка;
- оценить эффективность операций и риск потерь;
- определить объемы сделок на основе данных по ликвидности ценных бумаг с учетом трансакционных издержек и других факторов.
Для визуализации динамики курса акций, стоимости облигаций и индексов требуются удобные формы представления. В техническом анализе традиционно используются для этого штриховой метод и японские свечи.
Например, японские свечи представляют совой белый или черный прямоугольник между ценами открытия и закрытия в случае их роста и падения соответственно.
Важными элементами при этом являются линии поддержки, сопротивления и тенденции. Уровень цен, с которого начинается рост рыночных цен, называется поддержкой, что графически изображается горизонтальной прямой, «поддерживающей» траекторию цены снизу. Сопротивление представляет собой тот уровень цен, когда начинаются активные продажи, что изображается горизонтальной прямой, ограничивающей траекторию цены сверху.
Линии поддержки и сопротивления могут быть и наклонными, что свидетельствует о тенденции рынка к повышению или понижению цен. Представляется наиболее важным «поймать» те моменты, когда начинается та или иная тенденция, поскольку наибольшие доходы или убытки происходят именно в указанные моменты.
Более сложные и в то же время более искусственные конфигурации для эмпирического анализа называются фигурами. Наиболее распространенной является фигура голова-плечи, когда вырисовывается конфигурация цен, напоминающая плечи и голову. В обычном виде такая фигура сигнализирует о падении цен актива, когда происходит опускание правого плеча на величину, превышающую высоту головы над шеей. Другими фигурами являются флажок и треугольник, которые также сигнализируют об указанных тенденциях рынка.
Одно из ключевых положений технического анализа состоит в том, что «цены помнят прошлое». Основываясь на этом эмпирическом положении, разумно подобрать некоторую временную рамку. Уводя выбранную рамку в прошлое в целях обнаружения в ней картинки, подобной сегодняшней конфигурации цен, естественно принятие решения в соответствии с развитием рынка в обнаруженном сегменте прошлого.
Количественной реализацией этих идей является индикатор скользящее среднее, определяемый формулой:
,
где - текущая дата, - выбранная величина рамки, - цена актива в моменты .
Скользящее среднее используется для выявления трендов, принятия решения о покупке или продаже актива и построения других индикаторов.
Если цена актива падает ниже скользящего среднего, то рекомендуется его продажа, при превышении - его покупка. При этом следует заметить, что скользящее среднее предназначено для удержания позиции в русле основной тенденции, а параметр должен соответствовать длительности рыночного цикла.
Здесь же следует упомянуть еще об одном индикаторе - дивергенции. Колебания цен отражают неустойчивость рынка, проявляющуюся в чередовании подъемов и падений. При этом важно как можно скорее уловить, какой из спадов (подъемов) приведет к перелому основной тенденции. Если при достижении графиком цен новой вершины индикатор не выходит на свой новый верхний уровень, то это свидетельствует о снижении рыночной активности и называется медвежьей дивергенцией. Симметричная быковая дивергенция наблюдается при понижающем тренде, когда цены продолжают понижаться, в то время как индикатор - нет.
Технический анализ усредненных рыночных показателей и индивидуальных активов часто сопровождается изучением объемов совершаемых сделок. Индикаторы, построенные на этой основе, базируются на гипотезе о том, что изменения в объемах заключаемых контрактов предшествуют изменениям в ценах активов. Поэтому наблюдение разладки в эволюции такого индикатора естественно интерпретируется как перемена тенденции в эволюции цен. Ключевым индикатором в данной связи является индикатор накопления-распределения, определяемый формулой:
,
где и - цены открытия и закрытия, и - максимум и минимум цен за период, - объем сделок, - предыдущее значение индикатора.
В связи с вышеизложенным ясно, что для технического финансового анализа важно оценить момент перемены наблюдаемой тенденции развития рыночных цен. Для количественной реализации такой оценки нам необходимо ввести соответствующие понятия и детализированные предположения.

Оценивание момента максимума цен актива
Будем представлять эволюцию цен случайным процессом . В соответствии с вышеизложенным для нас важен момент , в который процесс меняет свои вероятностные характеристики. В контексте изучаемой проблемы может представлять собой момент максимума, достигаемого процессом на , когда кардинально меняется тенденция эволюции цен с возрастания на понижение ( см. рис. 3.8.1).








Рис.3.8.1. Эволюция цен
Тогда необходимо выбрать адаптированный к наблюдениям за процессом момент остановки такой, что достаточно близок к и при этом значения процесса в точках и также близки, например, в смысле минимальности дисперсии разности . Для того, чтобы придать заявленному конкретную форму с точными выводами, рассмотрим в качестве модели эволюции цен модель Башелье - первую достаточно строгую математическую модель финансового рынка, появившуюся в 1900 году:
,
где - стандартное броуновское движение (стандартный винеровский процесс), для которого:
;
не зависит от ;
имеет нормальное распределение .
Считая для простоты , будем строить приближение величины с помощью значения , где - момент остановки, определяемый по фильтрации , порождаемой процессом :
.
Введем следующие обозначения:

где - некоторая функция платы за наблюдения, берется по множеству всех моментов остановки (м.о.) , т.е. таких случайных величин, что:
для всех .
Естественно стремление найти такой (оптимальный) момент остановки , что
.
Нижеследующая теорема дает представление о существовании и структуре величин и .
Теорема. Для квадратичной функции платы оптимальный момент определяется формулой:

где и является решением уравнения:

При этом функция цены равна:
.
Вслед за формулировкой теоремы сделаем следующие замечания:
1. Количественные характеристики оптимального м.о. вычисляются по следующим формулам:

2. При рассмотрении процесса цен на произвольном интервале соответствующие формулы цены и оптимального м.о. определяются соотношениями:

Доказательство представленной выше теоремы состоит в следующем.
Используя так называемое строгое марковское свойство броуновского движения для произвольного м.о. , имеем, что для любой функции с :

где случайная величина

имеет распределение
.
Следовательно,

Используя полученное представление, находим, что

Далее для функции находим, что
.
Учитывая, что распределения процессов и совпадают, находим:

где .
Введем новое время вместо с помощью формулы:
.
Тогда имеем:
,
и с помощью формулы Колмогорова-Ито получаем представление в дифференциальном виде:
,
где

представляет собой новое броуновское движение.
Полагая и
,
находим, что решение исходной задачи равно .
Новая экстремальная задача для диффузионного процесса сводится к следующей так называемой задаче Стефана:

где - производящий оператор диффузионного процесса .
Переписывая уравнение в развернутом виде:
,
находим его общее решение:
,
где

гипергеометрические функции Куммера.
Из четности вытекает, что , а из граничного условия следует:
,
где - строго положительное решение уравнения:
.
Таким образом, приходим к естественному выражению для цены :

Соответствующий м.о. определяется стандартно как первый момент выхода из шара радиуса :
.
Для того, чтобы убедиться в оптимальности указанных величин, надо провести процедуру верификации. Опуская этот стандартный этап из нашего рассмотрения, мы видим, как решение исходной задачи в точности вытекает из полученных формул. Именно, возвращаясь к старому времени и пользуясь тем, что , а распределения и совпадают, находим оптимальный м.о. к исходной задаче:
.

Критерий перемены тенденции в эволюции цен
Взгляд на эволюцию цен как на случайный процесс в контексте рассматриваемой проблемы наискорейшего определения тенденции этой эволюции приводит к рассмотрению и несколько иной постановки указанной проблемы. Именно, определить наиболее быстро момент, когда изменяются количественные характеристики случайного процесса. Такая задача носит название задачи а разладке, введенной в рассмотрение Колмогоровым и Ширяевым.
Нам удобно специфицировать процесс следующим образом:

Называя случайный момент, адаптированный к наблюдениям за случайным процессом , моментом объявления тревоги, рассмотрим события и . Первое событие свидетельствует о ложной тревоге в то время как второе - о том, что момент разладки в эволюции цен уже произошел и следует как можно быстрее принять необходимое решение. Нижеследующее представляет собой формулировку одного из естественных критериев для принятия такого рода решений.
Для фиксированного найти:
(а) ,
где - м.о. относительно фильтрации , порождаемой наблюдаемым процессом цен ;
(в) м.о. такой, что:
.
Приведенный критерий оптимальности имеет прозрачный и естественный смысл: решение об остановке принимается исходя из минимальности вероятности ложной тревоги и среднего времени зараздывания, если момент разладки был уже пропущен.
Пусть случайная величина имеет априорное показательное распределение с параметром :

Постериорное распределение обозначим как
.
На основе этого распределения построим новую статистику

и изучим ее структуру.
Обозначим условное распределение относительно через , замечая при этом, что - это распределение , а - это распределение .
Вводя статистику
,
перепишем в следующем виде:
.
По формуле Байеса находим, что:

Далее, с учетом того, что
,
по формуле Колмогорова-Ито получаем:
.
С учетом соотношения между и с помощью формулы Колмогорова-Ито находим стохастическое дифференциальное уравнение для постериорной вероятности :
.
Будем решать поставленную задачу (а)-(в) с учетом представленной выше байесовской постановки, в которой присутствует априорная вероятность . Поэтому перепишем:

в виде
.
Следующее замечание основывается на весьма тонком факте о структурном представлении исходного процесса относительно порождаемой этим процессом фильтрации . Такое представление называется инновационным и имеет следующую форму:

с некоторым новым броуновским движением относительно .
Используя это представление, перепишем стохастическое дифференциальное уравнение для в следующем виде:
.
Замечая далее, что
,
находим следующее представление для функции цены:
.
Значит, является диффузионным процессом с производящим оператором
,
где .
Теперь можно применить стандартную методологию решения задачи о разладке, которая сводится к задаче Стефана:

Общее решение этого уравнения зависит от двух неизвестных постоянных. Еще одна неизвестная постоянная - это константа , определяющая неизвестную заранее границу области этой кроевой задачи.
Наличие одного граничного условия на при и двух условий на производные и (условия гладкого склеивания решения) обусловливают возможность точного решения задачи в виде:

где

является решением уравнения:
.
Далее стандартная техника верификации приводит к выводу, что найденная функция в действительности совпадает с , а момент является оптимальным в том смысле, что

где обозначения и подчеркивают наличие априорного распределения с .

Замечание. Изложенные методы могут быть распространены на тот случай, когда цены актива имеют структуру . Для этого надо построить новую вероятность с помощью экспоненты Гирсанова. Относительно процесс будет иметь структуру винеровского процесса и далее следует воспроизвести изложенную выше методологию.



ОГЛАВЛЕНИЕ