ОГЛАВЛЕНИЕ

3.9. Моделирование финансовых активов
с фиксированным доходом

Во второй части книги была введена и изучена модель эволюции цен облигаций для случая дискретного времени, рисковая составляющая которой генерировалась посредством последовательности бернуллиевских случайных величин подобно тому, как это делалось для биномиальной модели эволюции цен акций. Уже той простой моделью подчеркивалось отличие от рынка акций тем, что доход от облигации с данным сроком обращения фиксирован. Данное обстоятельство дает основание называть такого рода финансовые инструменты активами с фиксированным доходом, или облигациями.

Риск-нейтральные семейства облигаций
В отличие от предыдущего будем предполагать, что цены облигаций , зависят от текущего времени и времени погашения непрерывным образом, что, в частности, ведет к более сложной и разносторонней теории. Будем в целях упрощений считать, что в течение всего срока обращения по облигации не платятся купонные платежи, номинал облигации равен , а цена облигации не превышает номинала при .
При указанных предположениях можно представить в виде:

Функции и называют соответственно, доходностью и доходом до погашения. Относительно функции говорят как о ставке заимствования в момент времени на будущем бесконечно-малом промежутке времени и называют эту функцию форвардной процентной ставкой.
Ясно, что при достаточно широких технических предположениях имеют место соотношения между указанными выше величинами:

Полагая , естественно отождествить полученную функцию с процентной ставкой в момент времени : .
Принято относить облигации к безрисковым активам финансового рынка. Однако следует заметить, что данное отнесение не совсем справедливо для современной финансовой системы, поскольку процентные ставки в ней носят плавающий или даже случайный характер. Это влечет за собой ввиду указанной выше зависимости цен облигаций от процентных ставок и рисковость самих облигаций. Именно под этим углом зрения мы будем изучать здесь облигации и осуществлять соответствующий финансовый анализ.
Пусть ставка - случайный процесс, заданный на некотором стохастическом базисе . Задавая банковский счет
,
приходим к понятию рынка облигаций как семейства .
Проводя аналогию с достаточно уже изученным финансовым рынком акций, естественно и здесь рассмотреть дисконтированную цену облигаций:

и искать вероятность , эквивалентную исходной вероятности , такую, что процесс - мартингал относительно . Если это осуществимо, то рассматриваемый рынок облигаций естественно назвать безарбитражным – ведь ранее мы видели, что существование таких вероятностей часто обеспечивает отсутствие арбитражных возможностей.
В этом случае ввиду равенства находим, что

и, следовательно, имеет место представление:

дающее основу для изучения структуры цен , если конкретизировать процесс .

Гауссовские модели структуры процентных ставок
Приведем в этой связи наиболее распространенные модели.
Пусть на исходном базисе задан винеровский процесс как источник случайности всех конструируемых далее процессов. Тогда можно продложить следующие модели процентных ставок:

Модель Мертона:
;

Модель Васичека:
.

Если зависят от , то указанные модели преобразуются в модели Хо-Ли, Блэк-Дерман-Той, Халл-Уайт и т.д.
Можно и иным способом сконструировать процесс . Зададим непрерывные функции и и непрерывные строго возрастающие по и соответственно функции и и положим (подход Шмидта):
.
Представленные выше модели для путем подбора подходящих функций могут быть представлены как частные случаи подхода Шмидта.
Приведем и другой, эквивалентный, способ описания структуры цен облигаций, основанный на задании эволюции форвардной процентной ставки :

или
,
где - форвардная ставка на сегодняшний день.
Из этих соотношений вытекает, что

или
.
Далее, подставляя в формулу

выражение для , находим, что

и, следовательно,

В терминах процентной ставки эта формула преобразуется так:
.
Представленная выше модель с найденной структурой цен облигаций представляет собой частный случай модели Хиса-Джерроу-Мортона (HIM-модель). Заметим при этом, что исходная вероятность является в данном случае мартингальной.
Рассмотрим более детально модель Васичека. Согласно этой модели процентная ставка ведет себя достаточно естественно, а именно, колеблется возле уровня : при процесс имеет положительный снос; при - отрицательный; при процесс является гауссовским стационарным процессом Орнштейна-Уленбека.
Применяя формулу Колмогорова-Ито к произведению , находим, что:
.
Далее, марковское свойство процесса (следствие структуры с независимостью и гауссовостью приращений ) позволяет переписать в виде:

где

Полученная формула представляет собой общую структуру цен облигаций в данной модели.

Расчет опциона на облигацию в модели Васичека
В рамках модели Васичека рассмотрим опцион покупателя на облигацию с моментом исполнения с функцией выплат:
,
- некоторая константа.
Цена такого опциона определяется формулой:
,
где

Согласно изложенной ранее теории расчета платежных обязательств, необходимо найти (напомним, что в рамках рассматриваемой модели исходная вероятность , т.е. является мартингальной):

Заметим, что

где
.
Полагая далее

находим, что

Для получения окончательной формулы цены нам необходима следующая лемма их теории двумерных гауссовских случайных величин и :

где
,
- дисперсии и ,

Заметим, что требуемые количественные характеристики равны:

В результате находим, что

Подстановка в это выражение значений величин приведет к заключительной формуле для цены .
В отношении симметричного контракта опциона продавца можно воспользоваться паритетным соотношением:
,
усредняя которое с учетом формулы для можно получить, что цена опциона продавца на рынке равна:
.
Изложенные положения теории временной структуры процентных ставок позволяют осуществлять моделирование и рассчитывать опционы на активы с фиксированным доходом. В то же время на практике оказываются востребованными приближенные формулы таких расчетов.

Метод приближенного расчета цен облигаций и опционов
С целью изложения одной из таких аппроксимационных методологий будем оценивать сегодняшнюю цену бескупонной облигации с единичным номиналом и сроком погашения (скажем, через 1 год).
Мы уже приводили пример модели, являющейся частным случаем HJM-модели, в которой исходная вероятность уже является мартингальной: . Поэтому будем для простоты считать это условие выполненным и тогда согласно общей теории цена облигации вычисляется в виде:
.
В рассматриваемом случае и и, следовательно,

Уточним модель эволюции процентной ставки , полагая:
,
где

Дальнейшее рассмотрение основывается на следующей основополагающей идее.
Пусто - выпуклая функция, - гауссовский процесс, ˜ - стандартная гауссовская случайная величина.
Применяя неравенство Йенсена и используя свойства условных математических ожиданий, получаем, что
.
Выберем сначала функцию

и случайную величину
.
Гауссовость вытекает из замечания, что интегральная сумма- гауссовская случайная величина как сумма гауссовских величин, а интеграл - как предел интегральных сумм - также гауссовская величина.
Далее:
.
Для получения значения дисперсии рассмотрим и применим формулу Колмогорова-Ито:

Используя независимость приращений и тот факт, что , находим:

По теореме о нормальной корреляции находим, что
,
где

Отметим также и формулы для условной дисперсии и ковариации:

Далее рассмотрим

и с учетом ˜ необходимо вычислить
,
который дает нижнюю оценку для цены облигации. Следующая естественная аргументация приводит и к верхней оценке : существует случайная величина такая, что
.
Это соотношение приводим к оценкам:

и
.
В результате находим, что
,
где
.
Вычисление может быть осуществлено стандартными методами приближенных вычислений интегралов, так что изложенная методология прямо ведет к расчету текущей цены облигации с одновременным расчетом погрешностей оценки.
В отношении расчета цены опциона покупателя также может быть использована изложенная методология. В этом случае функция имеет вид:
.
При этом необходимо вычислить интеграл:
,
который также допускает приближенное оценивание с помощью стандартных численных процедур.



ОГЛАВЛЕНИЕ