стр. 1
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ВЫБОР СТАВКИ ДИСКОНТА ДЛЯ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ
Смоляк С.А. (Москва, ЦЭМИ РАН)
Оценка эффективности инвестиционных проектов предполагает предварительный выбор соответствующей ставки дисконта. При наличии риска в этих целях нередко предлагается использовать известную модель оценки капитальных активов (CAPM). Обсуждаются основные предпосылки этой модели и ее применимость в условиях переходной экономики. Предлагается оптимизационный подход к оценке эффективности проектов, позволяющий обоснованно выбирать ставки дисконта как в детерминированной ситуации, так и в условиях неопределенности и учитывающий склонности инвестора к риску.
СОДЕРЖАНИЕ
1. СТАВКА ДИСКОНТА В ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ СИТУАЦИИ 4
1.1. Дисконтирование и направления инвестирования 4
1.2. Оптимизация финансовой политики 8
1.3. Двойственная модель и ставки дисконта 14
1.4. Локальный критерий эффективности проектов и ставка дисконта 16
2. МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ КАПИТАЛЬНЫХ АКТИВОВ 20
2.1. Некоторые определения и обозначения 21
2.2. Задача оптимизации инвестиционного портфеля 23
2.3. Условия дополняющей нежесткости 25
2.4. Теорема разделения 27
2.5. Бета-модель 28
2.6. Ценовое представление CAPM 30
2.7. Использование бета-модели для оценки инвестиционных проектов 31
3. ОБСУЖДЕНИЕ ИСХОДНЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ CAPM 37
3.1. Делимость ценных бумаг и тиражируемость операций их купли-продажи 37
3.2. Учет налогообложения 38
3.3. Необходимость условия нормальности или условия квадратичности 39
3.4. Существование депозитов и равенство депозитной и кредитной ставок 42
3.5. Учет инфляции 42
3.6. Вероятностная неопределенность доходностей 44
3.7. Применимость модели для оценки инвестиционных проектов 47
4. О КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОГО ПОВЕДЕНИЯ ИНВЕСТОРА В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 48
4.1. “Прямой” учет волатильности доходов 48
4.2. Формализованное описание внешней неопределенности 52
4.3. Критерий ожидаемой полезности 56
5. АЛЬТЕРНАТИВНАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА СТАВКИ ДИСКОНТА 63
5.1. Общее определение ставки дисконта 63
5.2. Свойства ставки дисконта 67
5.3. Ставка дисконта при степенной функции полезности 68
5.4. Ставка дисконта в оценке многошаговых проектов 70

Решения об участии в реализации инвестиционного проекта и сравнение альтернативных проектов (вариантов проекта) обычно принимаются по критерию интегрального эффекта (чистого дисконтированного дохода, ЧДД, Net Present Value, NPV). Для того, чтобы использовать этот критерий, инвестору необходимо принять ту или иную ставку дисконта. Обычно под ставкой дисконта понимают максимальную доходность альтернативных и доступных для инвестора направлений инвестирования с тем же риском, что и у оцениваемого проекта. Если с этим согласиться и учесть, что основными альтернативными направлениями инвестирования обычно являются вложения в ценные бумаги, то, казалось бы, следует выбрать такую ценную бумагу-аналог, риск вложений в которую примерно такой же, как у данного проекта, и принять в качестве ставки дисконта ее ожидаемую доходность. Однако, поскольку ситуация на финансовом рынке все время меняется, а акции разных предприятий-аналогов имеют в каждый момент времени разную доходность (и, тем более, разную ожидаемую доходность), эта процедура становится нетривиальной. Поэтому во многих учебниках и даже в международных и европейских стандартах оценки для выбора ставки дисконта рекомендуется использовать модель оценки капитальных активов (Capital Assets Pricing Model, CAPM) или бета-модель, разработанную в 60-х годах прошлого века в работах Шарпа (1963), Линтнера (1964), Моссина (1965) и Трейнора [,,,,].
С другой стороны, в российской экономико-математической школе, начиная с 1960-х годов прошлого века сформировалось иное представление об экономическом содержании ставки дисконта и методах ее обоснованного выбора. В данной работе обсуждается взаимосвязь обоих подходов. Она состоит из пяти разделов. В первом разделе излагается, по существу, оптимизационный подход к выбору ставки дисконта в детерминированной ситуации. Этот подход основан на идеях Л.В.Канторовича и А.Л.Лурье. Второй раздел посвящен задаче формирования оптимального инвестиционного портфеля в условиях вероятностной неопределенности и здесь дается один из вариантов доказательства CAPM. В третьем разделе основные предпосылки модели обсуждаются с целью выяснить, в какой мере они справедливы для переходной экономики, и к чему приведет их ослабление. В четвертом разделе более подробно рассматривается вопрос о критериях оптимального поведения инвестора. В последнем, пятом разделе излагается более адекватная российским условиям модель обоснованного выбора ставки дисконта.
Нам понадобится ряд общих определений. Мы будем подразумевать, что экономическим окружением инвестора является финансовый рынок, на котором обращаются финансовые титулы (ФТ, термин [5]), дающие право на получение доходов в будущем. К ним относятся, например, разные виды ценных бумаг (акций, облигаций и т.п.), депозиты, иностранная валюта и иные активы. Множество идентичных ФТ, обращающихся на рынке, назовем видом. В каждый момент времени количество ФТ каждого вида конечно, но мы будем предполагать, что оно достаточно велико, так что инвестор, располагая определенным капиталом, имеет возможность приобрести их на любую сумму (конечно, в пределах общего объема выпуска этих ФТ).
Мы считаем, что все виды ФТ перенумерованы, а все ФТ одного вида одинаковы и имеют одну и ту же цену в каждый момент времени. Поэтому мы будем говорить о показателях i-х ФТ или i-го вида ФТ, относя их к каждому ФТ этого вида. ФТ и пакеты ФТ характеризуются своей (курсовой, рыночной) стоимостью (ценой купли/продажи) и доходностью — отношением прироста курсовой стоимости и выплаченных за некоторую единицу времени (шаг) дивидендов или купонных доходов (если они имеют место) к цене покупки.
С точки зрения владельца ФТ, они являются его активом, составной частью его капитала. Однако, с точки зрения эмитента, ФТ является его финансовым обязательством, уменьшающим капитал эмитента в моменты частичного (дивиденды, купонные выплаты) или полного погашения.
В общем случае поведение инвестора на финансовом рынке будет включать как покупку ФТ (чужих обязательств), так и выпуск своих обязательств. Кроме того, инвестор может участвовать в реальных инвестиционных проектах, в ходе которых создаются и функционируют связанные с этими проектами реальные активы — здания, сооружения, оборудование и т.п. Эти активы также могут приносить доходы и/или требовать расходов.
Рыночную стоимость всех активов инвестора (как ФТ, так и реальных активов) за вычетом стоимости его обязательств мы понимаем как рыночную стоимость его собственного капитала.

1. СТАВКА ДИСКОНТА В ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ СИТУАЦИИ
Преимущества экономической свободы никогда так отчетливо не проявляются, как в том случае, когда наделенный талантом бизнесмен ставит на свой собственный риск эксперименты с целью найти новый метод или комбинацию старых методов, обеспечивающих большую эффективность предприятия, чем старые.
Альфред Маршалл. Принципы политической экономии.
1.1. Дисконтирование и направления инвестирования
Рассмотрим коммерческую структуру — фирму, вкладывающую средства в реальные или финансовые инвестиционные проекты. Для принятия решения об участии в том или ином проекте фирма должна оценить его эффективность. Соответствующие расчеты обычно производятся на базе связанных с проектом денежных потоков (их состав описан в [,]), осуществляемых в течение длительного расчетного периода, разбитого на отдельные интервалы времени (шаги, обычно — годы). Пока мы рассматриваем детерминированную ситуацию и предполагаем эти потоки точно известными.
Учет неравноценности разновременных доходов/расходов обычно производится путем дисконтирования, для чего фирма использует специальный норматив — ставку дисконта (discount rate, в [6,7] и некоторых других российских источниках — норма дисконта). Критерий эффективности проекта — интегральный эффект (чистый дисконтированный доход, ЧДД, NPV) при этом имеет вид:
ЧДД = , (1)
где ft — чистый доход (денежные поступления за вычетом расходов) по проекту на шаге t;
at — коэффициент дисконтирования для шага t.
Критериальный характер показателя ЧДД проявляется в том, что:
если ЧДД проекта отрицателен, проект рассматривается как неэффективный и не рекомендуется для реализации, в противном случае проект оценивается как эффективный и рекомендуется для реализации;
из нескольких альтернативных проектов (или вариантов одного проекта) более эффективным и рекомендуемым к реализации считается тот, у которого ЧДД больше.
В “обычно проводимых” расчетах ставка дисконта E считается неизменной во времени, период реализации проекта начинается с шага 0 и разбивается на шаги равной длительности. Тогда коэффициенты дисконтирования (к началу шага 0) определяются по формуле: . При таких коэффициентах показатель ЧДД обладает следующими свойствами:
знак ЧДД (и, тем самым, вывод об эффективности или неэффективности проекта) не зависит от того, в каком году начинается реализация проекта;
при более позднем начале проекта его ЧДД уменьшается по модулю. Иными словами, более позднее начало эффективного проекта экономически нерационально.
В общем случае ставка дисконта по шагам меняется и связана с коэффициентами дисконтирования соотношениями:
. (2)
В детерминированной ситуации, которую мы далее рассматриваем, под ставкой дисконта для фирмы обычно понимается максимальная доходность альтернативных и доступных для этой фирмы инвестиций. Тем самым, эта ставка рассматривается как некоторая характеристика взаимоотношений фирмы с ее экономическим окружением. Однако такое определение недостаточно конструктивно: из него не видно, какие именно альтернативные инвестиции должны приниматься во внимание. Эта нечеткость создает затруднения при практическом выборе ставки дисконта.
Например, альтернативными и доступными чаще всего являются вложения средств на депозит или в долгосрочные государственные ценные бумаги. Поэтому обычно ставка дисконта принимается равной ставке депозитного процента или доходности государственных облигаций. Но какую именно ставку или доходность надо принимать, если эти показатели со временем меняются, если доходность годовых депозитов меньше, чем доходность двухлетних, и т.п.?
Однако, некоторые инвестиционные проекты, имеющиеся в “портфеле” фирмы, дают более высокую доходность, чем депозиты. Поэтому часто спрашивают, а почему бы при оценке данного проекта в качестве ставки дисконта не выбрать наибольшую доходность других, альтернативных проектов. Оказывается [7], что это приведет к нерациональному поведению инвестора. Приведем пример.
Пример 1. Инвестор может вложить средства в депозит, дающий доходность 10% годовых, проект А, требующий вложений 100 и дающий ежегодный доход 30, или в альтернативный проект Б, требующий вложений 250 и дающий ежегодный доход 51. При ставке дисконта 10% ЧДД проектов А и Б составит соответственно 30/0,1-100=200 и 51/0,1-250=260. Поэтому проект Б лучше, чем проект А.
Однако инвестор принял ставку дисконта равной доходности проекта А, т.е. 30%. Тогда ЧДД проекта Б стал отрицательным: 51/0,3-250=-80. Казалось бы, от проекта Б надо отказаться. Это подтверждает и аналогичная оценка проекта А. Действительно, приняв ставку дисконта 20%, равной доходности проекта Б, найдем, что ЧДД проекта А положителен и составляет 30/0,2-100=50. Между тем, отказ от проекта Б для фирмы невыгоден. Чтобы в этом убедиться, предположим, что в момент принятия решения инвестор располагал свободными денежными средствами в объеме 300. К чему приведут его возможные решения?
Если реализовать проект А, вложив в него 100, оставшиеся 200 придется положить на депозит. В результате инвестор будет получать годовой доход 30+200?0,1=50;
Если реализовать проект Б, вложив в него 250, оставшиеся 50 придется положить на депозит. В результате инвестор будет получать годовой доход 51+50?0,1=56.
Таким образом, реализуя проект Б, инвестор будет получать большие доходы, чем при отказе от этого проекта. ¦
Из примера видно, что доходность вложений в альтернативный проект Б нельзя отражать в ставке дисконта потому, что этот проект неделим и не тиражируем — вложения в него можно осуществить только в фиксированном объеме и в фиксированный момент времени. С другой стороны, пытаясь разобраться в примере, мы вынуждены были рассмотреть “узкую” задачу сравнения двух альтернатив как элемент более “широкой” задачи рационального управления свободными денежными средствами фирмы.
В этой связи указанное выше “традиционное” понимание ставки дисконта потребовало уточнения. В результате в [7] эта ставка трактуется несколько иначе — как максимальная доходность альтернативных и доступных для этой фирмы направлений инвестирования. При этом под “направлениями инвестирования” предложено понимать делимые и тиражируемые инвестиционные проекты, в которые можно вкладывать любой объем средств в любой момент времени.
Под такое определение, действительно, не подпадает конкретный проект, который можно осуществить только один раз и только в данном году. Однако под него не подпадают и “обычные” вложения средств на депозиты или в ценные бумаги. Так, проект “вложить средства в Сбербанк РФ” дает одну доходность сегодня и совсем другую — через год. Указанную трудность несложно обойти: если, например, доходности альтернативных вложений в разные годы разные, то мы должны считать, что и ставки дисконта будут разными в разные годы. Однако, приняв такой подход, мы должны будем еще раз уточнить определения исходных понятий. А именно, теперь ставку дисконта для данного шага (например, года) следует определить как максимальную доходность альтернативных и доступных для фирмы на этом шаге направлений инвестирования, а под направлениями инвестирования следует понимать делимые и тиражируемые инвестиционные проекты, в которые можно вкладывать любой объем средств на данном шаге.
Однако и это определение не идеально: непонятно, что понимать под доходностью делимых и тиражируемых проектов, вложения в которые растянуты во времени, а доходы в разные годы разные.
Пример 2. Инвестор вкладывает средства в приобретение жилой или офисной площади: часть — на стадии строительства здания, а остальное — при отделке уже построенного помещения. После этого инвестор сдает площади в аренду, причем ставки арендной платы со временем меняются, как, впрочем, и ставки депозита и других направлений инвестирования. В этой ситуации неясно:
как определить доходность такого направления вложений?
с чем ее сравнить, чтобы узнать, что оно является наилучшим?
если окажется, что доходность данного направления вложений — наибольшая, то в ставке дисконта какого именно года (начала строительства? окончания отделки?) ее надо отражать? ¦
Обратим внимание и еще на одно обстоятельство. Для обеспечения реализуемости проектов нередко используются займы. Конечно, связанные с ними денежные поступления и платежи включаются в денежный поток проекта. Однако займы возможны и без проекта, и такая возможность должна как-то отражаться в ставке дисконта, что традиционными подходами к ее выбору игнорируется.
По-видимому, причина указанных трудностей в том, что сама ставка дисконта в чистом виде в окружающей среде не присутствует (поэтому так трудно дать какие-либо конкретные рекомендации о том, как ее оттуда “извлечь”), проявляясь с теми или иными отклонениями в наблюдаемых финансово-экономических показателях (процентных ставках, фьючерсных котировках, показателях доходности тех или иных проектов и т.п.).
Попытаемся разобраться в указанных трудностях и понять, с какими именно характеристиками окружающей экономической среды связана ставка дисконта и как именно она с ними связана. В этих целях мы развиваем подход, изложенный выше в примере 1 и рассматриваем задачу оценки инвестиционных проектов как часть более общей задачи оптимизации управления активами фирмы. Для упрощения, влияния инфляции мы не учитываем.
1.2. Оптимизация финансовой политики
Пусть в расчетном периоде, начинающимся с шага 0 и заканчивающимся в начале шага T, на рынке обращается некоторое количество ФТ. Депозиты, открываемые в разное время или на разные сроки, мы рассматриваем как разные ФТ. ФТ с номером 0 будем условно считать наличность (денежные средства в рублях). Все остальные ФТ будем иногда называть “неденежными”. ФТ можно продавать, покупать и получать от них доход (чистые денежные поступления).
Единицу каждого n-го ФТ на шаге t мы характеризуем “доходом” dnt и “курсами” покупки bnt и продажи cnt. Введенные понятия и показатели требуют более подробного разъяснения:
цены продажи и покупки наличности мы считаем равными 1;
ФТ может покупаться по одной цене, а продаваться — по другой, например, в связи с налогами или трансакционными издержками. Курсы ФТ могут зависеть от сроков их обращения. Например, дисконтная облигация номиналом 100 руб. с погашением через год может продаваться за 80 руб., а такая же облигация с погашением через 2 года — за 60 руб. Анализ и объяснение указанных зависимостей дается в [3, ];
некоторые ФТ на некоторых шагах нельзя продавать или покупать. Соответственно, курсы продажи при этом считаются нулевыми, а курсы покупки — бесконечно большими;
под доходом одного ФТ мы понимаем связанные с ним на данном шаге чистые (за вычетом налога) денежные поступления (поэтому доход от одного n-го ФТ, приобретенного на шаге t, будет dnt+1). Одни ФТ (скажем, облигации) дают периодический доход, другие (скажем, векселя) — дают доход только при продаже (закрытии);
под “покупкой” депозита мы понимаем вложение средств на него. Количество депозитов мы измеряем суммой вложенных на них рублей, так что курс покупки депозита (на том шаге, где такой депозит “существует”) будет равен 1;
доход по депозиту до его закрытия — это выплачиваемые проценты по нему, в момент закрытия — вложенная сумма с процентами за последний шаг, после чего доход будет нулевой;
под “продажей” депозита мы понимаем его досрочное закрытие. Поскольку начисленные проценты учитываются в составе дохода по депозиту, а при его досрочном закрытии вкладчику возвращается только вложенная сумма, иногда с небольшими процентами, то курс “продажи” равен или чуть больше 1;
тезаврация (“простое хранение”) наличности отражается как ее продажа или покупка по курсу 1;
доходность тезаврации d0t может быть отрицательной, т.к. хранение наличности (включая и средства на расчетном счету) также требует затрат.
ФТ, имеющиеся у фирмы, представляют собой ее (финансовые) активы, и она может оперировать ими. Примем, что количество покупаемых или продаваемых фирмой ФТ на шаге t не ограничивается и не влияет на их курсы и доходы. Это значит, что такие операции на каждом шаге будут делимыми и тиражируемыми инвестиционными проектами, что позволяет трактовать их как направления инвестирования. В то же время на каждом шаге некоторые такие направления могут “не существовать” (точнее, им будут отвечать бесконечные курсы покупки и нулевые доходы) — так, сегодня нельзя вложить деньги на депозит по ставке, которая предлагалась в прошлом году или будет предлагаться в будущем году.
Обратим теперь внимание, что, помимо операций с ФТ, фирма может вести иную (“стороннюю”) коммерческую деятельность, например, участвовать в реальных инвестиционных проектах. Разумеется, с этой деятельностью связаны притоки и оттоки наличности (изменения собственного капитала фирмы), которые мы зададим экзогенно, предполагая, что расчеты с поставщиками и покупателями производятся в рублях, а не в иностранной валюте. Однако за счет инвестиционных расходов фирма получает не только наличность (например, в форме прибыли), но и некоторые реальные активы иного рода — здания, оборудование и т.п. В отличие от ФТ, они:
носят “комплексный” характер. Действительно, “физически”, например, завод состоит из “простых” активов — зданий, сооружений, станков и т.п. Однако эти “простые” активы, взятые по отдельности, способны дать существенно меньший доход, чем функционируя в едином комплексе;
неделимы. Скажем “половина завода” (но не его акций!) вообще не существует ни как физический объект, ни как объект коммерческих операций;
связаны с реализацией конкретных проектов, вследствие чего операции с ними ограничены. Если акцию можно продать или купить в любое время, то созданные по инвестиционному проекту объекты можно продать лишь тогда, когда проект это предусматривает. Для определенности мы примем, что в конце периода реальные активы не продаются;
приносят доходы, довольно опосредованно связанные с балансовой или рыночной стоимостью предприятия. Более того, если дивиденды по акции в любом году неотрицательны, то эксплуатация промышленного объекта в некоторые периоды может давать отрицательный чистый доход (например, даже при “простаивании” объекта приходится уплачивать налог на имущество).
В операциях покупки и продажи ФТ реальные активы не участвуют. Тем самым никакого номера i им не присваивается, и они учитываются в модели двумя экзогенно задаваемыми по шагам параметрами:
ft — чистый доход от сторонней деятельности на шаге t;
at — рыночная стоимость реальных активов на начало шага t.
Естественно, что некоторые из величин ft могут оказаться отрицательными и достаточно большими, тогда для финансирования соответствующих расходов имеющихся средств может оказаться недостаточно. В подобных ситуациях фирмы обычно берут кредит (заем) на тот или иной срок с тем или иным графиком погашения, и с этим связан свой специфический денежный поток.
Казалось бы, нашу модель необходимо дополнить операциями получения и погашения кредита. Однако имеет смысл взглянуть на проблему шире. Учтем, что с бухгалтерской точки зрения кредит является обязательством (пассивом), причем фирма может выпускать долговые обязательства в какой-либо допустимой форме (кредит, облигация, вексель и др.). Более того, те ФТ, которые приобретает фирма в нашей модели, на самом деле являются чьими-то обязательствами. Поэтому будем считать, что на каждом шаге имеется некоторый набор обязательств (включая и кредитные), которые может выпустить фирма при нехватке наличности. Обязательства, выпущенные в разные моменты времени или на разных условиях, будем считать разными и присвоим им разные номера. Номера обязательств условимся отмечать верхними индексами.
Ограничимся далее такими обязательствами, которые дают однократные денежные поступления, а затем требуют только расходов. Такие обязательства будем измерять в рублях начальных поступлений (т.е. “одним обязательством” или “одной штукой обязательств” будем считать обязательство, дающее 1 рубль денежных поступлений). В отличие от реальных и финансовых активов, обязательства не продаются, так что их количество со временем не уменьшается. Другое дело, что после погашения обязательства платежи по нему становятся нулевыми. Условимся считать, что все платежи по обязательству пропорциональны его размеру. Это несколько идеализирует реальную ситуацию: например, обычно ставка кредита зависит от его объема. Однако при таком допущении обязательства становятся делимыми и тиражируемыми проектами, денежные потоки которых устроены “наоборот”: они начинаются с притока наличности, а кончаются оттоками (если угодно, можно считать их инвестиционными проектами с точки зрения кредитора).
Рассмотрим теперь единицу (1 рубль) i-го обязательства на шаге t. Основной из его характеристик является задолженность lit. Эта величина отражает непогашенный долг по кредиту или номинальную стоимость облигации, выплачиваемую при ее погашении. В момент выпуска обязательства эта величина равна денежным поступлениям по обязательству, т.е. 1, до этого момента и после срока погашения она равна нулю. Соответственно, разность lit-1 - lit отразит чистые доходы от обязательства (поступление средств в момент выпуска и платежи в погашение — на следующих шагах). Наконец, с данным обязательством связана и выплата процентов (купонного дохода). Если обозначить уплачиваемую на шаге t ставку процента (на задолженность предыдущего шага) через rit, то платеж по обязательству здесь составит ritlit-1.
Заметим, что если доход каких-то ФТ в расчете на рубль их стоимости выше кредитной ставки, фирме становятся выгодными “арбитражные” операции: взять большой кредит и истратить его на приобретение этих ФТ с целью продажи их в конце шага по цене, превышающей расходы по погашению кредита. Не случайно поэтому банки ограничивают объемы заимствования. Мы будем считать, что на каждом шаге сумма задолженности по всем обязательствам не должна превосходить взятой с некоторым коэффициентом h (обычно h=0,7) суммы рыночных цен “перешедших” с предыдущего шага ФТ и реальных активов и дохода от них.
Обычно процент по кредитам превышает процент по депозитам. В нашей модели ситуация может быть сложнее. Если кредитный процент меньше процента по депозитам на 1 шаг, фирме становится выгодно брать кредит и вкладывать его на депозит. Однако размер кредита ограничен и бесконечно большого дохода от этого получить нельзя (поэтому банки могут снизить кредитный процент, если у них избыточные средства и нет более доходных способов их использования, хотя чаще поступают так с иностранной валютой). С другой стороны, если в перспективе процентные ставки снижаются, то ставка процента по “одношаговым” кредитам может также снижаться, оставаясь больше ставки по одношаговым депозитам, но меньше среднешаговой ставки по многошаговым депозитам.
Финансовое поведение фирмы на каждом шаге опишем так. Вступив в данный шаг с некоторым набором активов, фирма затем:
продает часть имеющихся ФТ;
получает доход от ФТ, имевшихся на предыдущем шаге,
изменяет количество реальных активов и наличности за счет сторонней деятельности;
выпускает обязательства,
полностью или частично погашает ранее выпущенные обязательства,
за часть оставшейся наличности покупает другие ФТ.
Полученный после этого набор активов остается неизменным до вступления в следующий шаг.
Мы ищем финансовую политику, максимизирующую собственный капитал (стоимость активов за вычетом обязательств) фирмы к концу периода. Искомыми параметрами этой политики будут следующие неотрицательные переменные: vnt — количество n-х ФТ у фирмы в конце шага t (величина vn0 при этом отражает известное начальное количество этих ФТ) — с этим количеством ФТ фирма вступает в следующий шаг; wi — количество обязательств i-го вида, выпущенных и погашенных фирмой в расчетном периоде; xnt — количество n-х ФТ, которые фирма продает в начале шага t (x0t=0); ynt — количество n-х ФТ, которые фирма покупает в начале шага t (y0t=0).
Эти переменные связаны следующими соотношениями:
а) количество неденежных ФТ в начале шага изменяется в соответствии с объемами их продаж и покупок:
vnt=vnt-1-xnt+ynt; (3)
б) количество наличности на шаге изменяется в соответствии с денежными поступлениями от ФТ, продаж, обязательств и сторонней деятельности за вычетом расходов на покупку ФТ и платежей по обязательствам:
(4)
в) на всех шагах, кроме последнего, задолженность по всем обязательствам не превосходит взятой с коэффициентом h суммы рыночной цены “перешедших” с предыдущего шага ФТ и реальных активов и дохода от них:
, (t<T). (5)
г) Необходимо максимизировать наличность на шаге T при условии погашения задолженности по всем выпущенным обязательствам:
. (6)
Обратим внимание, что решение этой задачи не изменится, если разрешить операции "свободного уничтожения" ФТ. При этом знаки равенства в (3)-(4) заменятся знаками "<".
Рассмотрим вначале частный случай, когда в начальный момент (на шаге 0) фирма располагает только наличностью v00, не имеет обязательств и не будет иметь их и в конце периода. Тогда начальный капитал при оптимальной финансовой политике вырастет в v0T/v00 раз. Таким же должен быть и коэффициент приведения наличности шага 0 к шагу T, и ему отвечает ставка дисконта
. (7)
Эта ставка, вообще говоря, зависит от длительности расчетного периода T (чем быстрее хочет фирма “превратить деньги в деньги”, тем меньше будет доходность ее операций). В [] рассмотрено поведение v0T при больших T для неизменного во времени состава обращающихся на рынке ФТ, каждый из которых может давать как положительные, так и отрицательные чистые доходы (без учета возможности получения кредита). Оно оказывается следующим. Пусть fi(l) — ЧДД при ставке дисконта l от единицы вложений в i-й ФТ, причем fi(0)>0>fi(?), f(l) — наибольшее из fi(l), m — наименьший положительный корень уравнения f(l)=0 и h+1 — кратность этого корня. Тогда с ростом T величина v0T растет как (1+m)T/Th, так что ставка дисконта (7) стремится к m. Несколько иной подход к исследованию той же задачи развивается в [].
Построенная модель позволяет рассчитать коэффициенты aT для разной длительности расчетного периода T. Решая задачу для разных T, можно найти зависимость aT от T, и она может не быть экспоненциальной. Поэтому ставка (7) будет средней для расчетного периода. В то же время ставку для конкретного t-го шага можно найти по формуле: Et=at/at+1-1. Динамика Et зависит от конъюнктуры рынка и доходности появляющихся на нем новых активов (возможно также, что, решая ту же задачу при разных T, мы, получим разные значения Et при одном и том же t).
Обратим внимание, что при этом Et уже не будет максимальной доходностью какого-либо ФТ — связь ставок дисконта с доходностями ФТ будет более сложной. Приведем примеры.
Пример 3. Предположим, что на рынке, кроме наличности, имеются только депозиты: годовые (ставка 10%) и двухлетние (ставка 32%). Проценты выплачиваются при закрытии депозита. Инвестор имеет 1 рубль и максимизирует свой капитал через 2 года.
Очевидно, что ему надо вложить средства на двухлетний депозит, так что 1 рубль сегодня для него эквивалентен 1,32 рубля через 2 года. Но чему эквивалентен 1 рубль через год? Допустим, что через год у инвестора откуда-то появляется дополнительный рубль. Тогда лучшим способом его использования будет вложение на годовой депозит. Таким образом, 1 рубль 1-го года будет эквивалентен 1,1 рубля 2-го года. Отсюда получаем, что 1 рубль сегодня эквивалентен 1,32 рубля через 2 года, которые в свою очередь эквивалентны 1,32/1,1 = 1,2 рубля через год. Соответственно ставка дисконта для 2-го года равна 0,1 (10%), а для 1-го — 0,2 (20%). При этом полученная цифра (20%) не отражает доходности никакого из депозитов, взятых по отдельности. ¦
В следующем примере рассмотрим более сложную ситуацию.
Пример 4. Предположим, что на рынке, кроме денег, имеются только активы в виде годовых и двухлетних депозитов. Выпуск обязательств (использования кредитов) не предусматривается. Пролонгирование депозитов не разрешается, а при преждевременном их закрытии проценты не выплачиваются. Депозитные ставки (меняющиеся по годам) указаны в следующей таблице.
Год
0
1
2
3,4,...
Ставка годовых депозитов, %
20
18
15
12
Ставка двухлетних депозитов, %
48
42
34
27
Расчеты по модели при разных T позволили рассчитать следующие значения коэффициентов приведения и отвечающих им ставок дисконта (в данном случае значения at одинаковы для любой длительности расчетного периода T>t).
Год (t)
1
2
3
4
5
6
7
8
Коэффициент дисконтирования at
0.8333
0.6757
0.5869
0.5042
0.4502
0.397
0.3545
0.3126
Ставка дисконта Еt,%
20.0
23.3
15.1
16.4
12.0
13.4
12.0
13.4
Оптимальная политика при этом следующая. Для четных T надо все средства вкладывать в двухлетние депозиты, а в “промежуточные” годы ничего не делать. Для T=3 средства надо вложить сначала в годовой депозит, а затем в двухлетний. Для нечетных T> 5 надо два раза вкладывать средства в двухлетние депозиты, затем — в годовой, и после этого — снова в двухлетние.
Заметим, что при больших T ставка дисконта периодически колеблется, так что “предельной” ставки не существует. Вероятно, так будет всегда, если рассматривать конечное число повторяющихся во времени типов активов. В реальности ситуация иная, поскольку финансовые операции производятся ежедневно и соответствующие “цены” (ставки) непрерывно меняются. ¦
В общем же случае решение задачи (3)—(6) будет зависеть от начальной структуры инвестиционного портфеля фирмы. Это значит, что ставка дисконта зависит не только от объективных, общерыночных, но и от субъективных факторов (в данном случае — от структуры капитала фирмы). С другой стороны, ряд авторов считает некорректным использовать критерий ЧДД, поскольку он не отражает различия кредитных и депозитных ставок. Так, например, в [10, ] это различие предложено учесть, дисконтируя к предыдущему году положительные чистые доходы по депозитной ставке, а отрицательные — по кредитной ставке. Тот же метод, по существу, использован в []. Однако из нашей модели вытекает, что необходимость привлечения кредита в общем случае определяется не только знаками чистых доходов. Поэтому вполне возможно, что фирма будет привлекать кредит при положительном чистом доходе от проекта и отказываться от кредита, если этот чистый доход отрицателен.
Иногда (скажем, при больших затратах по проекту) система (3)-(6) может быть неразрешима. Наоборот, при ее разрешимости получаемых на каждом шаге доходов будет достаточно для финансирования всех расходов по проекту и финансовым операциям. Это значит, что проект будет финансово реализуем, если и только если система (3)-(6) разрешима. Между тем, в [6,7] в этих целях предложена проверка неотрицательности компаундированных (по депозитной ставке d) чистых доходов: . Это предполагает накопление чистых доходов на “одношаговом” депозите для финансирования предстоящих расходов. Конечно, если это удается (т.е. на депозите всегда оказывается неотрицательная сумма), то проект финансово реализуем. Однако обратное неверно: так, иногда финансовая реализуемость обеспечивается совместным использованием нескольких финансовых инструментов, включая и многошаговые депозиты, и структура условия финансовой реализуемости оказывается иной.
1.3. Двойственная модель и ставки дисконта
Важные свойства оптимальной финансовой политики вытекают из рассмотрения двойственной модели. Ее неизвестные — обозначим их pnt, p0t и qt — неотрицательны и отражают изменение критерия (6) при изменении правых частей ограничений (3)—(5) на малую единицу. Мы трактуем pnt как оценку (“ценность”) n-го ФТ на шаге t, а qt — как оценку права на получение 1 рубля долговых обязательств на этом шаге (если задолженность нулевая или меньше максимально допустимой, то эта оценка равна нулю). Двойственная модель имеет следующий вид:
?min; (8)
pnt> pnt+1+dnt+1p0t+1+h(cnt+1+dnt+1)qt+1, (1< t<T); (9)
, (10)
cntp0t< pnt< bntp0t, (n>0, 1< t<T); (11)
pnT=0, (n>0); p0T=1. (12)
При этом в силу условий дополняющей нежесткости линейного программирования, должны выполняться следующие равенства:
на последнем шаге в силу (12) оценка каждого неденежного ФТ равна нулю, оценка 1 рубля наличности — 1 рублю;
оценка n-го ФТ включает (относящиеся к следующему шагу) оценки этого же ФТ, дохода от него и права на задолженность, которое дает этот ФТ и доход от него: pntvnt=[pnt+1+dnt+1p0t+1+h(cnt+1+dnt+1)qt+1]vnt;
оценка ФТ не меньше оценки выручки от его продажи и не больше оценки затрат на его покупку. Знак равенства имеет место тогда, когда на данном шаге политика предусматривает соответственно продажу или покупку ФТ;
оценка поступлений наличности по обязательству не больше суммы оценок платежей по этому обязательству и оценок прав на задолженность, использованных при выпуске обязательства и платежах по нему. Знак равенства имеет место, если соответствующие обязательства выпускаются. Например, если i-е обязательство выпускается на шаге s (т.е. lis=1), то, как видно из (10): .
Пример 5. Пусть, например, на шаге t наличность депонируется на 1 шаг при депозитной ставке g. Цена “покупки” такого депозита равна 1, а цена его “продажи” поэтому его оценка равна оценке наличности, т.е. p0t. С другой стороны, для этого депозита в (9) должно быть равенство, так что p0t=(1+g)(p0t+1+hqt+1). Отсюда следует, что темп падения оценок наличности (при данных условиях!) должен быть не ниже депозитного процента. ¦
Пример 6. Для кредита со ставкой r сроком на 1 шаг, привлеченного на шаге t, (10) примет вид: p0t=qt+p0t+1(1+r). Поэтому темп падения оценок наличности здесь может быть выше кредитной ставки (p0t/p0t+1>r), что не согласуется с традиционной “привязкой” ставок дисконта к депозитным. ¦
Пример 7. Предположим, что на некотором шаге t фирма покупает n-е ФТ и пользуется ими до шага s, на котором продает их. Тогда из (10) и (11) легко выводится следующая связь между оптимальным моментом (s) продажи ФТ и оценками других ФТ и наличности:
.
Поэтому оценки наличности, а стало быть, и ставки дисконта действительно связаны с (несколько своеобразно определяемыми) доходностями вложений в ФТ на рациональные сроки, однако соответствующая связь не столь примитивна, как это следует из указанных выше традиционных определений [6,7]. ¦
1.4. Локальный критерий эффективности проектов и ставка дисконта
Допустим, что фирма решит участвовать в новом инвестиционном проекте. Тогда чистые доходы от “сторонней” деятельности и стоимости реальных активов изменятся соответственно на Dft и Dat. Если изменения малы, то, по смыслу двойственных оценок и в силу (8), за счет реализации проекта величина критерия оптимальности изменится на . Пусть at=p0t/p01, bt=hqt/p0t,
. (13)
Тогда . Это значит, что с точки зрения выбранного критерия реализация проекта эквивалентна получению дохода DN в начале периода. Поэтому проект должен быть признан эффективным, если и только если DN> 0 (значение v0T “с проектом” должно быть не меньше, чем “без проекта”), а лучшим из нескольких вариантов проекта будет тот, для которого DN больше. Эти соображения позволяют рассматривать (13) как критерий локальной оптимальности проекта — своеобразный “заменитель” ЧДД. В данном случае его можно называть и критерием эффективности проекта (точнее — участия в проекте) и чистым дисконтированным доходом на собственный капитал фирмы. При этом величины at естественно трактовать как коэффициенты дисконтирования (к началу шага 1). Им, в силу (2), отвечают и согласованные с интересами фирмы значения ставок дисконта, равные темпам падения оценок наличности:
Et=(at/at+1)-1=(p0t/p0t+1)-1. (14)
Такое определение не следует считать чем-то новым — по существу, оно было дано еще А.Л.Лурье в [, ] (см. также []).
Поскольку ставки дисконта для разных шагов могут различаться, задержка реализации проекта может сделать его более эффективным и даже превратить неэффективный проект в эффективный (как, впрочем, и наоборот).
Из проведенных рассуждений вытекает, что у каждой фирмы своя ставка дисконта, и она по-своему меняется во времени, а какой-то единой (и, тем более, неизменной во времени) общерыночной ставки дисконта не существует даже в условиях совершенного рынка и полной информации и даже применительно к оценке одного единственного проекта — это не вполне согласуется с российскими, европейскими и международными стандартам оценки имущества и бизнеса (см., например, []).
Если в ходе реализации проекта фирма “не упирается” в ограничения по объему кредитования, то все qt=0 и критерий (13) точно совпадает с (1), хотя и выведен из иных соображений. Этот вывод, однако, справедлив только, если этот проект является малым и не сильно влияет на оценки ФТ (впрочем, требование малости проектов является объективно необходимым для любых локальных расчетов эффективности и не связано конкретно с рассматриваемой моделью). С этих позиций полезно рассмотреть один из парадоксов, связанных с выбором ставки дисконта.
Пример 8. Рассматриваются два реальных альтернативных инвестиционных проекта, требующие одинаковых инвестиций 100 и дающих после этого постоянные годовые доходы, соответственно 15 и 20. При этом доходность депозитов и других финансовых инструментов не превосходит 10%. Тогда для оценки первого проекта выберем наиболее выгодную альтернативу, а именно — второй проект. Тогда ставка дисконта должна составить 20%. Аналогично, при оценке второго проекта в качестве альтернативы берется первый и ставка дисконта принимается 15%. Корректны ли эти рассуждения? Оказывается, нет.
Действительно, чтобы оценить проект, надо добавить к правым частям (4) денежные потоки этого проекта Dft. Если проект мал, критерий изменится на величину , а сами двойственные оценки, стало быть и ставки дисконта (14) практически не изменятся. Это связано с тем, что ставки дисконта определяются доходностью тех активов, в которые можно вкладывать любые средства — выше мы назвали такие операции направлениями инвестирования. Рассматриваемые же проекты направлениями инвестирования не являются — их можно осуществить только один раз, в определенном масштабе, в определенное время и к тому же только порознь (ибо они альтернативные). Поэтому доходность этих проектов на ставку дисконта не влияет вообще.
Для “крупных” проектов изменение критерия может отличаться от (13), т.к. такие проекты меняют оценки активов и ставки дисконта. Поэтому “крупные” проекты вообще нельзя оценивать на основе локального расчета, независимо от выбранной ставки дисконта. Их следует оценивать “на фоне” всей деятельности фирмы при оптимальном ее поведении, оптимизируя финансовую политику фирмы в ситуациях “с проектом” и “без проекта” и сравнивая получаемые значения критерия. ¦
В более реальной ситуации, когда фирма испытывает потребность в заемных средствах, определенную роль начинает играть второй член в критерии (13). Суть дела в том, что ввод в действие дополнительных основных средств расширяет возможности фирмы по привлечению заемного капитала, так что при прочих равных условиях варианты с большим объемом ввода становятся более предпочтительными. Другими словами, критерий (13) ориентирует на такие варианты реализации проекта, когда новые фонды вводятся в эксплуатацию к тому моменту, когда у фирмы возникает потребность в привлечении дополнительных средств. В таких случаях ставка дисконта возрастает и, как мы видели, может даже превышать кредитный процент, не говоря уже о депозитном. В практике оценки бизнеса, если фирма нуждается в кредите, это обстоятельство нередко учитывается путем включения в ставку дисконта так называемой премии за риск [5, 8, ]. Наше рассмотрение показывает, что увеличение “обычной” ставки дисконта вызывается объективной необходимостью даже в детерминированной (безрисковой) ситуации. Поэтому, хотя исходные предпосылки применяемого оценщиками метода кажутся нам более чем спорными, практические их действия, безусловно, направлены в нужную сторону.
С другой стороны, как показывает наше рассмотрение, повышенную потребность фирмы в заемных средствах более корректно учитывать, вводя в расчеты эффективности дополнительную оценку ее ликвидного имущества с помощью “оценок кредитной привлекательности” реальных активов bt. Подчеркнем, что эти оценки отражают не “прошлые затраты” и не упущенный доход от продажи имущества, а даваемое этим имуществом право на выпуск долговых обязательств.
В этой связи имеет смысл обратить внимание на одну особенность традиционных методов оценки имущества “доходным методом”. Здесь стоимость имущества оценивается либо доходом от его продажи, либо дисконтированной суммой чистых доходов от его использования. То обстоятельство, что имущество может служить, например, залогом при получении кредита и тем самым облегчает его получение, данный метод не учитывает. Представляется, что данный “элемент стоимости” имущества должен быть учтен и в оценочной деятельности.
Приведем пример применения построенных моделей.
Пример 9. Рассматривается 10-летний расчетный период, в который фирма вступает, располагая только наличностью 100, и не имея реальных активов. Объемы реальных активов и чистые доходы по оцениваемому проекту приведены в первых графах табл. 1. Ежегодно можно вкладывать наличность на депозиты — годовые (ГД), либо двухлетние (ДД), а также брать годовые кредиты (К). В следующих графах таблицы приведены соответствующие ставки d1t, d2t и rt (они относятся к году закрытия депозита или кредита). Объемы кредита должны быть не более 80% от рыночной стоимости имеющихся активов (h=0,8).
Далее в таблице приведены оптимальные решения прямой и двойственной моделей: вложения в депозиты, объемы кредита, ставки дисконта (Et) и оценки кредитной привлекательности (bt).
Таблица 1
t
at
ft
d1t
d2t
rt
ГД
ДД
К
pt
qt
Et
bt
1
0
-125



0,0
55,0
80,0
3,971
0,122
0,259
0,0245
2
120
-28
0,20

0,22
14,4
0,0
140,0
3,155
0,140
0,235
0,0354
3
140
16
0,21
0,48
0,18
0,0
140,7
191,1
2,556
0,065
0,200

стр. 1
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>