<< Предыдущая

стр. 2
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

0,0203
4
120
20
0,16
0,43
0,17
0,0
5,0
208,5
2,129
0,034
0,179
0,0126
5
100
99
0,14
0,40
0,16
0,0
54,0
0,0
1,806
0
0,120
0
6
80
110
0,12
0,32
0,15
0,0
116,6
0,0
1,613
0
0,134
0
7
60
95
0,12
0,27
0,14
0,0
163,6
0,0
1,422
0
0,120
0
8
20
0
0,12
0,27
0,14
0,0
148,1
0,0
1,270
0
0,134
0
9
0
0
0,12
0,27
0,14
207,8
0,0
0,0
1,120
0
0,120
0
10
0
0
0,12
0,27
0,14



1,000



Расчет показывает, что к концу периода в данном случае фирма будет обладать наличностью 420,8. Интересно отметить, что в первые годы ставки дисконта превышают и депозитные и кредитные проценты, а в последние годы — не стабилизируются, как это и было в примере 4.
Из таблицы видно, что оценки кредитной привлекательности невелики. Выясним, однако, как они повлияли на оценку эффективности проекта. Для этого оценим проект двумя способами:
построим оптимальную финансовую политику фирмы в условиях, когда она отказывается от реализации проекта. Оказывается, что величины Et и bt при этом не изменятся, а значение целевой функции (объем наличности в конце периода) уменьшится до 406,8. Таким образом, проект должен быть оценен как эффективный — за счет его реализации величина критерия увеличивается на 14,0. Интегральный эффект проекта при этом будет 14,0/3,971=3,5 — тот же результат дает и формула (13);
рассчитаем интегральный эффект проекта по формуле (1) или, что то же, по формуле (13) без учета влияния реальных активов, но используя указанные в таблице значения ставок дисконта. Такой расчет дает отрицательное значение интегрального эффекта (-2,5) и проект следовало бы оценить как неэффективный.
Мы видим, таким образом, что игнорирование указанного эффекта может привести к неправильным инвестиционным решениям. ¦
Разумеется, мы не можем утверждать, что реальные инвесторы, принимая инвестиционные решения, учитывают нестабильность ставки дисконта во времени и способность имущества облегчать получение кредита и, к тому же, делают это с помощью критерия типа (13). Однако этот критерий, учитывающий вклад связанных активов в критерий оптимальности, нестабильность ставок дисконта во времени и их различие у разных инвесторов, объясняет, почему:
разные инвесторы, оценивая один и тот же проект по одной и той же информации, дают ему разную оценку (одни решают принять в нем участие, другие отказываются);
отказавшись от проекта, инвестор без всякой дополнительной информации о нем через некоторое время меняет свое решение (хотя, казалось бы, эффективность проекта должна уменьшиться за счет задержки);
если в одном из подразделении крупной фирмы реализуется высокоэффективный проект, фирма иногда может сократить или временно прекратить его финансирование (хотя, казалось бы, это существенно снизит эффективность проекта).
решения о реализации крупных проектов часто принимаются после рассмотрения бухгалтерского баланса фирмы.

2. МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ КАПИТАЛЬНЫХ АКТИВОВ
Разработка и обсуждение модели, какой бы несовершенной она ни была, не является напрасным трудом. Для практических работников разработка и обсуждение модели есть то же самое, что и для военных теория военного дела. Это наводит на мысль о целом ряде ситуаций, которые, возможно, никогда и не появятся, но облегчат в нужную минуту точное и быстрое решение.
Пьер Массе
Теория безупречна, когда не поддается проверке практикой.
Даниил Рудый
2.1. Некоторые определения и обозначения
Для обсуждения модели оценки капитальных активов недостаточно упомянуть ее основные предпосылки, надо еще понять, какую роль они играют и во что превратится модель, если от них отказаться. Поэтому нам представляется необходимым изложить один из вариантов доказательства модели, требующий наименее спорных допущений.
Время в модели дискретно. Более того, по существу, она описывает поведение инвестора на шаге 0 с точки зрения результатов, которые он получит на следующем шаге 1. На начальном шаге 0 инвестор располагает некоторым (собственным) капиталом K и вкладывает его в разные виды ФТ. Капитал Ki, вложенный в i-е ФТ, на следующем шаге изменяется за счет получения дивидендов (процентов) по ним и прироста (или снижения) рыночной (курсовой) стоимости ФТ. Новое (измененное) значение собственного капитала — наращенный капитал — обозначим через Pi. Индексы роста xi=Pi/Ki и прироста di=(Pi-Ki)/Ki=xi-1 капитала при указанных вложениях не зависят от объема вложений. Назовем их соответственно брутто- и нетто-доходностью i-х ФТ.
Цены всех ФТ и их дивиденды считаются случайными величинами, поэтому доходности ФТ — также случайные величины, о прежних значениях которых имеется статистическая (биржевая) информация. Более того, считается, что все инвесторы-участники финансового рынка опираясь на одну и ту же информацию, ориентируются на одни и те же вероятностные распределения доходностей различных ФТ. Предполагается, что этим распределениям отвечают конечные математические ожидания M[xi]=ai, M[di]=ai-1=ri и дисперсии D[xi]=D[di]=Di и ковариации . Колебания доходностей ФТ относительно своего среднего значения в общем случае описываются термином волатильность.
К предположению о случайном характере доходностей ФТ следует отнестись достаточно серьезно. По существу, здесь имеются в виду два важных обстоятельства. Во-первых, доходности ФТ рассматриваются как случайные величины не одним рассматриваемым инвестором, а всеми участниками финансового рынка. Это логично, поскольку мы рассматриваем поведение типичного инвестора в окружении таких же типичных инвесторов (возможно, руководствующихся другими целями и интересами). Во-вторых, предполагается, что инвестор представляет себе полный перечень возможных состояний финансового рынка на перспективу (по Сэвиджу [, ] — “состояний природы”, “states of world”, по Колмогорову — пространство элементарных событий W), а также некоторую вероятностную меру, заданную на некоторой s-алгебре подмножеств этого пространства. Существенно, что указанная вероятностная тройка (пространство W, s-алгебра и мера на ней) одна и та же для всех участников рынка. Поэтому, в частности, они одинаково представляют себе вероятностное распределение доходностей каждого вида ФТ, и именно этому распределению отвечают указанные выше математические ожидания и другие характеристики доходностей, которые нам далее понадобятся.
Те ФТ, о которых шла речь до сих пор, будем называть рискованными. Однако, кроме них, предполагается, что на рынке есть и ФТ с детерминированной доходностью — безрисковые. Если имеется несколько выпусков безрисковых ФТ, то все они имеют одну и ту же доходность (поскольку никто не станет приобретать ФТ, дающий маленький доход, если есть возможность приобрести более доходный), и стало быть, для нас они равноценны. Поэтому мы будем считать, что есть только один выпуск безрисковых ФТ. Назовем такие ФТ депозитами и присвоим этому выпуску номер 0.
Существование депозитов означает, что инвесторы всегда имеют возможность дать деньги в долг под твердый (детерминированный) процент r0 — назовем его депозитной ставкой. Предполагается, кроме того, что они могут (при необходимости) занимать любую сумму денег под ту же самую ставку. Естественно, что при этом весь инвестированный капитал будет равен сумме собственного и заемного. Однако займы необходимо погашать (с процентами) на следующем шаге, за счет чего собственный капитал инвестора на следующем шаге уменьшится на сумму процентов. По этой причине общий размер всего инвестированного капитала нас интересовать не будет, а под термином “капитал” мы будем понимать только собственный капитал.
Пакет ФТ разных видов удобно характеризовать его структурой, т.е. вектором x, i-я компонента xi которого отражает долю i-х ФТ в стоимости пакета. Доходность такого пакета будет средней взвешенной из доходностей ФТ, включенных в пакет:
. (15)
Тогда математическое ожидание и дисперсия доходности пакета выражаются следующими формулами:
. (16)
Далее предполагается, что все рискованные ФТ более доходны, чем депозиты, а все ковариации доходностей неотрицательны.
Следующее допущение тоже будет достаточно важным, хотя оно и носит чисто технический характер. Представим себе брокерскую фирму, торгующую сразу некоторыми пакетами ценных бумаг (скажем, по 2 акции фирмы X и 3 акции фирмы Y) или “своей” ценной бумагой, “привязанной” по доходности к подобному пакету. Подобные пакеты (ценные бумаги) тоже можно рассматривать как ФТ и объект вложений. Однако они, по определению, является линейной комбинацией “более простых” ФТ. По этой причине мы будем предполагать, что среди ФТ нет “линейно зависимых”. Однако такого предположения в общем случае недостаточно и мы потребуем, чтобы доходности любых двух пакетов ФТ, образованных разными ФТ, отличались по значениям ковариации с доходностью какого-либо ФТ.
Поскольку основное внимание мы уделяем показателям доходности, которые не зависят от объема пакета, то любые пакеты одинаковой структуры (т.е. характеризуемые одним и тем же вектором x) мы как бы отождествляем. Поэтому, говоря о вложениях в какой-либо пакет ФТ, мы будем подразумевать приобретение инвестором пакета ФТ соответствующей структуры (но, возможно, иного объема). Пакет ФТ данного инвестора будем называть инвестиционным портфелем.
Рыночным пакетом ФТ называется пакет из всех обращающихся на рынке рискованных ФТ. Структуру этого пакета мы характеризуем вектором m (его компоненты неотрицательны и в сумме равны 1). Соответственно, вложениями в рыночный пакет назовем приобретение пакета рискованных ФТ со структурой m. (Случайную) доходность этого пакета обозначим через xm, а ее среднее и дисперсию — соответственно через am и Dm.
До сих пор неявно подразумевалось, что рассматриваемые пакеты не предусматривают кредита. Для таких пакетов все xi неотрицательны. Удобно, однако, считать, что пакет может включать кредит. Получение кредита можно рассматривать как отрицательный депозит: “вложения” в него означают получение денег, а “доходы” — погашение кредита и процентов. Поскольку процент по кредиту такой же, как и по депозиту, будем считать, что отрицательные значения x0 означают получение кредита в соответствующем объеме, а 0-й ФТ именовать депозит/кредит. В таких случаях равенства (15) сохраняются, поскольку сумма всех xi равна 1 (например, если инвестор взял кредит в размере 20% своего капитала и вложил все средства в 1-й ФТ, этому будет отвечать x0=-0,2, x1=1,2). Далее, используя термин “пакет”, мы иногда будем, а иногда не будем включать туда депозиты/кредиты. В последнем случае, там, где это важно, мы будем говорить о “пакете рискованных ФТ”.
2.2. Задача оптимизации инвестиционного портфеля
Приводимый ниже вывод основной формулы CAPM базируется на следующей модели рационального поведения инвестора на финансовом рынке.
Инвестор, располагающий на шаге 0 капиталом K, используя имеющуюся рыночную информацию о доходностях разных ФТ, хочет сформировать такой пакет, вложения в который в максимальной степени отвечали его целям и интересам. При необходимости инвестор может взять кредит и использовать его для приобретения каких-то ФТ — в этом случае стоимость инвестиционного портфеля будет больше 1. Если бы доходности ФТ были детерминированы, инвестору следовало бы сформировать пакет с наибольшей доходностью (он состоял бы только из наиболее доходных ФТ). Это означает, что в детерминированной ситуации инвестор стремится максимизировать собственный капитал. В частности, если инвестор привлекает заемные средства и вкладывает их в ФТ, то критерием будет не общая сумма собственных и заемных средств (стоимость всего инвестированного капитала), а только та ее часть, которая останется в распоряжении инвестора после уплаты долга и процентов. Такой критерий полностью согласуется с одним из подходов к оценке стоимости бизнеса, закрепленным в Международных стандартах оценки: “Подход на основе активов. Средство расчета стоимости бизнеса ... с использованием методов, основанных на рыночной стоимости активов бизнеса за вычетом его обязательств” [16, Международное руководство по оценке №6, п.3.2].
В детерминированной ситуации безразлично, максимизирует ли субъект свой капитал или какую-то возрастающую функцию от него. Однако в условиях, когда доходность любого пакета — случайная величина, это становится важным. Поэтому в модели постулируется иное поведение инвестора: при выборе структуры x оптимального портфеля он руководствуется предложенным Нейманом и Моргенштерном критерием ожидаемой полезности (см. [19, , ]):
M[u(Px)]?max. (17)
Здесь Px — наращенный капитал инвестора на шаге 1 в результате вложений в портфель x, u(P) — функция полезности инвестора, которая предполагается положительной при положительных P, возрастающей и выпуклой вверх. Последнее требование означает, что увеличению капитала инвестор придает меньшую ценность, чем такому же по величине уменьшению капитала. Такое поведение характерно для инвесторов, не склонных к риску (“осторожных”), составляющих большинство на финансовом рынке. Осторожными являются и рассматриваемые нами инвесторы реальных инвестиционных проектов.
Поясним указанные свойства. Сравним, как оценивает инвестор увеличение и уменьшение своего дохода на одну и ту же малую величину h. В первом случае прирост функции полезности составит , во втором — функция полезности уменьшится на . Таким образом, при отрицательной u? (а это означает выпуклость функции u вверх) дополнительный расход инвестор оценит выше, чем такой же по величине дополнительный доход. Пусть теперь наращенный капитал инвестора может принимать два близких значения a-h и a+h с равными вероятностями (среднее у такого распределения равно a, а дисперсия — h2). Легко проверить, что здесь при малых h:
.
Если вторая производная u? отрицательна, и только в этом случае, ожидаемая полезность инвестора будет меньше, чем при гарантированном среднем капитале a. При этом разница будет тем больше, чем больше дисперсия дохода, т.е. чем больше h.
Используя ранее введенные обозначения и (15), критерий ожидаемой полезности можно записать иначе:
. (18)
Таким образом, оптимальный портфель обеспечивает выполнение (18) при естественных ограничениях на начальный капитал инвестора и неотрицательность долей всех ФТ, кроме депозитов:
; (19)
. (20)
Получим теперь специальные линейные ограничения на структуру оптимального портфеля — условия дополняющей нежесткости. Однако для этого оказывается необходимым принять одно из двух дополнительных допущений — нормальности или квадратичности.
2.3. Условия дополняющей нежесткости
А. Допущение нормальности. Допустим, что все случайные величины xi имеют нормальные распределения. В этом случае нормально распределенным будет и наращенный капитал инвестора. Но тогда любая функция ожидаемой полезности от наращенного капитала будет зависеть только от математического ожидания и дисперсии этого капитала. Поэтому в силу (16) можно считать, что
,
где в силу изложенного выше функцию f можно считать возрастающей по первому аргументу и убывающей по второму.
Максимизация этого критерия при условиях (19)-(20) эквивалентна решению задачи при ограничении (20), где J — множитель Лагранжа. Необходимые условия максимума здесь оказываются следующими. Если оптимальное значение xi положительно, или если речь идет о депозитах (i=0), то производная функции Лагранжа по xi должна быть равна нулю. Если же оптимальное xi=0, то при увеличении xi функция Лагранжа должна убывать, так что ее производная должна быть неположительной. Поэтому имеем:
(21)
где — некоторые положительные величины. Далее, поскольку ковариация детерминированной и случайной величин равна нулю, то первое из соотношений (21) можно записать проще: Aa0=J. Вычитая это из двух последних соотношений, для i>0 найдем:

Положив здесь h=A/B, получаем искомые условия:
. (22)
Заметим при этом, что доходность депозита/кредита — детерминированная, поэтому все величины ci0=0 при всех i. Это значит, что сумма в (22) распространяется только на n>0.
Аналогичные соотношения (условия дополняющей нежесткости) выводятся ниже при другом исходном допущении. ¦
Б. Допущение квадратичности. Прежде, чем формулировать это условие, попробуем решить задачу (18)-(20) непосредственно. А именно, обозначив через KJ неотрицательную оценку ограничения (18), мы сведем задачу к нахождению максимума функции Лагранжа при ограничении (19). Если оптимальное значение xi положительно, или если речь идет о депозитах (i=0), то производная функции Лагранжа по xi должна быть равна нулю. Если же оптимальное xi=0, то при увеличении xi функция Лагранжа должна убывать, так что ее производная по xi должна быть неположительной. Поэтому имеем:
(23)
Для упрощения полученной задачи предположим, что в диапазоне возможных изменений доходности функция u?(P) близка к линейной, так что исходная функция полезности близка к квадратичной. Поскольку к тому же u(P) возрастает и выпукла вверх, то ее производная — положительная и убывающая. Примем поэтому, что в рассматриваемом диапазоне производная u? близка к линейной, т.е. имеет (точный или приближенный) вид: u?(P)=A-BP/K с некоторым положительным B. Тогда левая часть (23) оказывается следующей:

где q=A/B; . При этом (23) примет вид:

Поскольку величина x0=a0 — детерминированная, то для i=0 первое соотношение здесь примет вид: Bha0=J. Если вычесть его из двух других, мы получим при i>0 те же соотношения (22).
2.4. Теорема разделения
Итак, объемы xi вложений данного инвестора в рискованные ФТ связаны соотношениями (22). Поскольку этим соотношениям какие-то xi удовлетворяют, то будет разрешима и система
(24)
в которой, кстати, уравнений столько же, сколько и неизвестных. Отбросим все нулевые yi. Мы получим аналогичную систему уравнений, в которой количество уравнений также равно количеству неизвестных. К тому же, среди ФТ нет линейно зависимых, поэтому матрица этой системы (cin) невырожденная, стало быть ее решение y=(y1,...,yn) будет единственным. Но в этом случае решением соответствующей системы (22) будет вектор x=hy.
Рассмотрим теперь другого инвестора, оптимизирующего в тех же условиях свой инвестиционный портфель. Структура x? его оптимального портфеля иная, но для нее также выполняются (22) с, вообще говоря, другим коэффициентом h? (например, из-за использования другой функции полезности). Поэтому должно выполняться и аналогичное равенство: x?=h?y. Это означает, что вектора x? и x параллельны. Таким образом, рискованные части инвестиционных портфелей всех инвесторов пропорциональны, т.е., что любой инвестор вкладывает средства в один и тот же пакет рискованных ФТ. Это означает, что каждый инвестор приобретает ФТ всех видов — если какие-то ФТ не покупает один инвестор, их не купят и все остальные и они перестанут обращаться на рынке. Поэтому для всех видов рискованных ФТ в системе (22) имеет место только знак равенства, а решениями таких систем для разных инвесторов будут параллельные вектора с положительными компонентами.
Обратим особое внимание, что именно в этом месте модель приобретает “общерыночный” характер. До этого момента мы занимались одним инвестором, здесь же мы воспользовались двумя обстоятельствами: 1) на рынке есть много инвесторов, которые ведут себя аналогично, хотя и используют разные критерии рационального поведения, и 2) спрос на ФТ совпадает с предложением, т.е. сумма “оптимальных” пакетов всех инвесторов равна общему пакету акций, находящихся в обращении на рынке.
Рассмотрим теперь рыночный пакет ФТ. Он сформирован из оптимальных портфелей отдельных инвесторов, имеющих одну и ту же структуру. Поэтому рыночный пакет будет иметь ту же структуру, т.е. вектора m и y будут пропорциональны. Отсюда следует, что в условиях рыночного равновесия все субъекты, ведущие себя рационально, должны, независимо от их склонности к риску, иметь пакет рискованных ФТ одной и той же структуры — это утверждение известно как теорема разделения Тобина (см. [4, 5, ]).
2.5. Бета-модель
Рассмотрим вектор y, удовлетворяющий (24). Пусть l — сумма его компонент. Тогда структурой рыночного пакета (который, по определению, не включает депозиты) будет вектор m=y/l, так что y=lm. Подставив это в (24), и учитывая, что там для всех i имеет место точное равенство, находим:
. (25)
Умножив обе части (25) на mi и просуммировав по всем i, получаем:
.
Но , а . Итак, am-a0=lDm, откуда
. (26)
В литературе величина l называется рыночной ценой риска. Подставляя (26) в (25) и обозначая
, (27)
получаем основную формулу CAPM (бета-модель):
ai=a0+bi(am-a0). (28)
Заодно можно получить и явную формулу для структуры оптимального пакета. Действительно, из соотношений y=ml и x=hy получаем, что решением системы (22) является вектор x=lhm. Другими словами, xi=lhmi для i>0. Значение x0 получим, учитывая, что сумма всех xi, как и сумма всех mi, равна 1: x0=1-lh.
Обратим внимание, что, хотя формула (28) выводилась только для рискованных ФТ, она справедлива и для депозита/кредита (i=0), поскольку здесь b0=0. Обычно бета-модель записывают, используя показатели не брутто-, а нетто-доходности, которые к тому же выражают в процентах, а не долях единицы:
ri=r0+bi(rm-r0). (28а)
Величина bi носит название бета-коэффициента i-х ФТ. Для ценных бумаг, обращающихся на рынке, значения бет рассчитываются по формуле (27) с использованием фактических данных за тот или иной предыдущий период и публикуются. У самого рыночного пакета бета равна 1 в силу (27). Обратим, однако, внимание, что ФТ, не являющиеся ценными бумагами (векселя, иностранная валюта, сдаваемая в аренду недвижимость и др.), в таком расчете в рыночный пакет не включаются, и беты для них не рассчитываются (хотя, чисто формально, бета-модель справедлива и здесь).
Как правило, среднерыночная доходность am больше безрисковой (a0). Поэтому, как видно из (28), с ростом bi средняя доходность ai увеличивается. На этом основании значения беты трактуются как мера риска (точнее — систематического риска) получения доходов от соответствующих ФТ, а превышение ai-a0 понимается как “премия за этот риск”. Если расположить на плоскости точки с координатами (bi,ai), то в силу (28) они расположатся на некоторой прямой, которая называется линией рынка.
Полученным результатам обычно дается такое объяснение. В условиях, когда все инвесторы имеют полную информацию о текущей и прошлой рыночной конъюнктуре и одинаково оценивают вероятностное распределение предстоящих изменений рынка, должно выполняться равенство (28). Если для каких-то ценных бумаг в (28) имеет место знак “>”, они становятся привлекательными сразу для всех инвесторов и спрос на них превышает предложение. В результате рыночная цена этих бумаг растет, а доходность снижается до тех пор, пока не восстановится равенство (29). Наоборот, если для каких-то ФТ в (28) имеет место знак “<”, приобретать их становится невыгодно и инвесторы начинают продавать их. Предложение ФТ при этом превышает спрос, рыночная стоимость ФТ снижается, а их доходность растет до тех пор, пока не восстановится равенство (28).
Преимуществом бета-модели является возможность использовать в ней “исторические” значения бет, но текущие (на момент расчета) значения среднерыночной и безрисковой доходностей. Тем самым, по существу, принимается, что значения бет более стабильны, чем доходности депозитов и рыночного пакета.
2.6. Ценовое представление CAPM
Практическое использование CAPM при выборе ставки дисконта для оценки эффективности конкретного инвестиционного проекта базируется на примерно таких рассуждениях.
Если инвестор захочет вложить средства в некоторый проект, он обычно делает это, вкладывая деньги в акции предприятия, которое этот проект реализует. Но тогда он потребует, чтобы доходность проекта была не ниже доходности акций этого или аналогичного предприятия с той же бетой. При этом рассчитанная по CAPM средняя доходность акций такого предприятия будет одновременно максимальной доходностью альтернативных и доступных для инвестора вложений с тем же риском, что и у данного проекта, то есть — ставкой дисконта. Ниже, в разделе 5, эти рассуждения и приведенная трактовка ставки дисконта уточняются.
До сих пор мы анализировали доходности различных ФТ. Займемся теперь анализом их рыночной стоимости, которую ранее мы считали заданной. Предположим, что некий ФТ (или пакет ФТ) дает на шаге 1 случайные денежные поступления (брутто-доход) C1. Спрашивается, какой должна быть “справедливая” рыночная стоимость p этого ФТ на шаге 0. Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что брутто-доходность ФТ равна x=C1/p. Поэтому, чтобы ФТ вошел в оптимальный портфель какого-нибудь инвестора, необходимо соблюдение (25). В данном случае это равенство принимает вид: M[x]-a0=lcov(x,xm). Запишем его в двух эквивалентных формах:
. (29)
Отсюда получим две формулы для “справедливой” цены p:
. (30)
Заметим теперь, что если инвестору предлагают приобрести рассматриваемый ФТ по цене С0, то ему надо сравнить эту цену со “справедливой” ценой p и при С0< p — купить ФТ, а в противном случае — отказаться. Другими словами, критерием эффективности приобретения таких ФТ является величина
. (31)
Оба полученных выражения можно трактовать как специальным образом исчисленный ожидаемый чистый дисконтированный доход (NPV) от проекта приобретения ФТ. При этом:
в первом случае неопределенные денежные поступления (брутто-доходы) шага 1 заменяются своим “надежным (certain) эквивалентом” — средним значением, уменьшенным на “плату за риск” — и дисконтируются к шагу 0 по безрисковой ставке депозита/кредита;
во втором случае неопределенные денежные поступления (брутто-доходы) шага 1 заменяются своим математическим ожиданием и дисконтируются к шагу 0 по ставке дисконта, включающей безрисковую ставку и премию за риск. В частности, при отсутствии систематического риска у ФТ (т.е. при некоррелированности x и xm) ставка дисконта совпадает с безрисковой.
2.7. Использование бета-модели для оценки инвестиционных проектов
Изложенные соображения часто применяют для оценки не ценных бумаг, а инвестиционных проектов. Строго это можно обосновать только для малых проектов следующим образом. Пусть некий малый проект требует на шаге 0 расходов C и дает на шаге 1 брутто-доход F, пока — детерминированный. Если инвестор решил реализовать такой проект, то оставшиеся средства он должен вложить в новый оптимальный пакет. Поскольку проект мал, структура оптимального пакета останется прежней, и ожидаемая полезность доходов инвестора на шаге 1 составит: . Отсюда, учитывая малость проекта и используя ряд Тейлора, находим прирост ожидаемой полезности от реализации проекта:
.
Вспомним теперь, что в силу (23). Поэтому .
В частности, если рассматриваемый проект дает на шаге 0 доход 1, то за счет этого ожидаемая полезность увеличивается на J. Поэтому реализация рассматриваемого проекта дает такое же изменение ожидаемой полезности, что и единовременное получение на шаге 0 суммы . Это позволяет рассматривать полученную сумму как “денежный эквивалент” проекта или как приведенный к шагу 0 его чистый доход. Таким образом, детерминированный доход на шаге 1 можно привести к шагу 0, дисконтируя его по безрисковой депозитной ставке, ибо a0=1+r0.
Пусть теперь доход F случайный. Тогда результат будет иным:
.
Но, при выполнении условия квадратичности, мы имеем:

Вспомним теперь, что Bha0=J, а решением системы (22) является: xi=lhmi для i>0, x0=1-lh. Поэтому
.
Тогда

Теперь имеем окончательно: . Поэтому реализация проекта даст такой же вклад в ожидаемую полезность, как и единовременное получение суммы
.
Полученное выражение совпадает с первой из формул (31), что и доказывает правомерность ее применения. Итак, оценка проектов по показателю типа NPV представляется оправданной, и вопрос сводится только к тому, как при этом правильно учесть факторы риска. Выше были обоснованы два эквивалентных таких способа — корректировка доходов и введение премии за риск. В настоящее время наибольшее распространение получил именно второй, а не первый способ. Чтобы его применить, подбирается предприятие-аналог и условно принимается, что доходность проекта имеет ту же ковариацию со среднерыночной, что и доходность ФТ предприятия-аналога. Тогда входящую во вторую формулу (30) премию за риск lcov(x,xm) можно рассчитать, используя (25), т.е. по формуле bi(am-a0), где bi — бета-коэффициент для предприятия-аналога.
Казалось бы, эти рассуждения вполне корректны, а оба приведенных способа обоснованны. Действительно, не все ли равно, как называется источник доходов — ведь денежные потоки в обоих случаях одинаковы. Оказывается, некоторая разница есть, но она проявляется в более длительных, многошаговых проектах, где инвестиции осуществляются на нескольких шагах. Говорить об их доходности, относя доходы к инвестициям начального шага 0, не слишком уместно. Кроме того, если инвестиции осуществляются не только на шаге 0, но и на следующих, “ковариационная поправка” на этих шагах будет относиться к расходам, а не к доходам. И действительно, наверно, трудно отрицать корреляционную связь между затратами на строительство зданий или закупку оборудования и ситуацией на финансовом рынке. Поэтому соответствующую поправку надо вводить, но она не будет иметь никакого отношения к бета-коэффициентам, ибо последние относятся к акциям действующих предприятий (и, стало быть, к их доходам), а не к расходам по созданию новых предприятий (которые, скорее всего, скоррелированы с доходностью строительных и машиностроительных предприятий). Именно по этой причине, особенно на стадии строительства, использовать беты предприятий-аналогов недопустимо.
В то же время, первый способ приспособлен и к оценке многошаговых проектов. Общий принцип при этом следующий — неопределенные денежные потоки каждого шага последовательно приводятся к их надежным эквивалентам на предыдущем шаге, где суммируются с “настоящими” денежными потоками. В достаточно прозрачной форме это проиллюстрировано в учебнике [5].
Приведем два более показательных примера, использующие одни и те же данные о рынке. На рис.1 приведена схема изменения состояния рынка. В ней в любом состоянии при переходе к следующему шагу возможны 3 ситуации (условно — плохая, средняя и хорошая). В центре каждой ячейки записан номер состояния — первая цифра означает номер шага, вторая — номер ситуации, которая на этом шаге может возникнуть. Выше (кроме шага 0) указана отвечающая этому состоянию доходность вложений предыдущего шага в рыночный пакет, ниже (кроме шага 2) — доходность депозитов, открываемых на этом шаге. Вероятности перехода из одного состояния в другое указаны на соответствующих стрелках.

Рис. 1. Схема изменения рыночной ситуации

Пример 10. Выясним, выгодно ли на шаге 0 вложить 100 в двухшаговый депозит с объявленной доходностью 18% (т.е. получить на шаге 2 сумму 118).
Решение. Сначала будем рассуждать “как обычно”. Средняя ставка депозита на шаге 1 составляет 0,15?0,07+0,3?0,08+0,55?0,11=0,095. Поэтому вложения на одношаговые депозиты на шагах 0 и 1 дадут на шаге 2 доход 100?1,09?1,095=119,4. Поскольку это больше, чем доход по двухшаговому депозиту (118), депонирование на 2 шага будет менее выгодным и от него следует отказаться.
Теперь поведем более точные рассуждения, используя бета-модель.
Каково бы ни было состояние рынка на шаге 2, инвестор получает одну и ту же (не скоррелированную с доходностью рыночного пакета) сумму 118. Поэтому ценность такого дохода на шаге 1 получается дисконтированием по безрисковой ставке. Однако эта ставка в каждом из состояний 11, 12, 13 разная. Соответственно имеем надежные эквиваленты депозита для этих состояний:

Рассчитаем теперь средний надежный эквивалент депозита, среднюю доходность рыночного портфеля и его дисперсию на шаге 1:
M[X1]=0,15?110,28+0,3?109,26+0,55?106,31=107,79;
M[r1]=0,15?0,05+0,3?0,13+0,55?0,16=0,1345;
D[r1]=0,15?(0,05-0,1345)2+0,3?(0,13-0,1345)2+0,55?(0,16-0,1345)2=0,001435.
Далее находим рыночную цену риска:

Для завершения расчета осталось найти ковариацию между надежным эквивалентом депозита и доходностью рыночного пакета:
cov(X1,r1)= =0,15?110,28?0,05+0,3?109,26?0,13+0,55?106,31?0,16-107,79?0,1345=-0,054.
Теперь рассчитаем надежный эквивалент депозита на шаге 0:

Таким образом, эффективность вложений на депозит составит 100,44-100=0,44. Поэтому такое вложение эффективно.
Определим, кстати, хотя это и не вызывается необходимостью, бету рассматриваемого депозита на начальном шаге. Поскольку стоимость депозита — 100, то ковариация его доходности с доходностью рыночного портфеля составляет cov(X1,r1)/100=-0,00054. Тогда из (27) находим: b=-0,00054/0,001435=-0,379.
Обратим внимание, что, казалось бы, безрисковое вложение в двухшаговый депозит под фиксированный процент в связи с неопределенностью доходности депозитов на шаге 1, оказывается рискованным. ¦

Пример 11. Оценим эффективность двухшагового проекта, брутто-доходы которого в разных состояниях указаны в следующей таблице:
Шаг
Состояние
Брутто-доход
0
0
-40
1
11
-10
1
12
30
1
13
50
2
21
10
2
22
40
2
23
80
2
24
30
2
25
60
2
26
90

<< Предыдущая

стр. 2
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>