<< Предыдущая

стр. 3
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

2
27
60
2
28
110
2
29
130

Решение. Расчет начинается с оценки “хвоста” проекта на шаге 1. Предположим вначале, что здесь наступило состояние 11. В этом случае средняя доходность рыночного пакета, его дисперсия, рыночная цена риска, средний доход проекта и его ковариация с рыночной доходностью составят соответственно:
M[r2|11]=0,2?0,02+0,4?0,06+0,4?0,11=0,072;
D[r2|11]=0,2?(0,02-0,072)2+0,4?(0,06-0,072)2+0,4?(0,11-0,072)2=0,001176;
[l2|11]=(0,072-0,07)/0,001176=1,701;
M[X2|11]=0,2?10+0,4?40+0,4?80=50;
[cov(X2,r2)|11]=0,2?10?0,02+0,4?40?0,06+0,4?80?0,11-50?0,072=0,920.
По этим данным рассчитаем для состояния 11 надежный эквивалент доходов проекта на шаге 2:
.
Аналогично для состояний 12 и 13 получаем:
M[r2|12]=0,122;
M[r2|13]=0,143;
D[r2|12]=0,000976;
D[r2|13]=0,001161;
[l2|12]=43,03;
[l2|13]=28,42;
M[X2|12]=63;
M[X2|12]=87;
[cov(X2,r2)|12]=0,654;
[cov(X2,r2)|13]=0,939;
;
.
Оценим теперь на шаге 1 общую сумму получаемых на этом шаге доходов и надежных эквивалентов доходов будущих периодов. Эта сумма (X1+P1) для состояний 11, 12 и 13 составляет соответственно:
M[X1+P1|11]=-10+45,27=35,27; M[X1+P1|12]=30+34,86=64,86;
M[X1+P1|13]=50+60,31=110,31.
Учитывая вероятности указанных состояний, находим ее среднее значение:
M[X1+P1]=0,15?35,27+0,3?64,86+0,55?110,31=85,41.
Теперь, используя вероятности из рис.1, определим ковариацию указанной суммы с доходностью рыночного пакета:
cov(X1+P1,r1)= =0,14?35,27?0,05+0,3?64,86?0,13+0,55?110,31?0,16-85,41?0,1345=1,013.
В заключение, взяв из примера 10 рыночную стоимость риска, определяем искомый эффект (надежный эквивалент) проекта на шаге 0:

Таким образом, вложения оказываются эффективными. ¦
Как видно из примеров, “строгие” расчеты эффективности многошаговых проектов довольно сложны и требуют достаточно детальной информации об изменениях рыночной ситуации. Во всяком случае, они явно не сводятся к стандартной корректировке ставок дисконта. Заметим также, что важным элементом расчетов является прогнозирование доходностей безрисковых вложений. К тому же, с увеличением периода реализации проекта сложность расчетов растет экспоненциально.
С другой стороны, “строгость” проведенных расчетов чисто теоретическая, ибо ни подтвердить, ни опровергнуть принятые вероятности отдельных ситуаций и отвечающие им доходности рыночного пакета и депозитов никто не может.
3. ОБСУЖДЕНИЕ ИСХОДНЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ CAPM
Вечная трагедия науки: уродливые факты убивают красивые гипотезы.
Томас Гексли
Наука непогрешима, но ученые часто ошибаются.
Анатоль Франс
Как видим, при выводе формулы пришлось сделать большое число допущений. Многие из них неоднократно критиковались (см., например, [3, 7]. Рассмотрим основные из них подробнее.
3.1. Делимость ценных бумаг и тиражируемость операций их купли-продажи
При выводе бета-модели принималось, что количество ФТ каждого выпуска на рынке велико, а стоимость каждого не зависит от объема покупки, так что их можно купить или продать на любую сумму в пределах стоимости всего выпуска (другими словами, ФТ делимы, а операции их купли/продажи тиражируемы).
Эта предпосылка носит “инструментальный” характер и вводится для “линеаризации” модели. Более адекватным был бы учет целочисленности объемов покупаемых ФТ и зависимости стоимости одного титула от объема покупаемого их пакета. Первый фактор не оказывает особого влияния, поскольку обычно финансовых титулов каждого вида достаточно много, но второй фактор более важен.
Во-первых, цена одной акции, скажем, в контрольном пакете совсем не такая, как в небольшом. Однако нестратегические инвесторы, реализующие инвестиционные проекты в реальном секторе, навряд ли будут вкладывать временно свободные средства в приобретение контрольных пакетов акций других предприятий (если только это не предусмотрено самим инвестиционным проектом). Поэтому, если они и будут приобретать акции, то в небольших объемах, а в этом случае объем покупки на цену акции не повлияет.
С другой стороны, с покупкой и продажей ФТ связаны трансакционные издержки. Поэтому при определении доходности ФТ необходимо учесть расходы по их покупке, владению и последующей продаже (например, комиссионные брокеру). Такие затраты могут оказаться существенными, например, при небольших нетто-доходностях ФТ или объемах их купли/продажи. В подобных ситуациях доходность ФТ, рассчитанная с учетом трансакционных издержек, может сильно отличаться от рассчитанной традиционными методами (именно такие доходности публикуются и используются для расчетов бета-коэффициентов). Более того, если бета-модель применяется для оценки бизнеса и предприятий, то при наличии спрэда (различия цен покупки и продажи) оказывается непонятным, какая именно цена получается в результате — цена покупки или цена продажи. Тем не менее, в первом приближении с рассматриваемой предпосылкой можно согласиться.
3.2. Учет налогообложения
В соответствии с Налоговым Кодексом РФ доходы от продажи ценных бумаг и дивиденды по ним облагаются налогом на прибыль, а уплаченные проценты по инвестиционному кредиту — не облагаются. Между тем, в доказательстве бета-модели налог на прибыль не фигурировал. Казалось бы, при учете этого налога бета-модель должна измениться. Оказывается, такие изменения не очень существенны (см. по данному вопросу также [4]).
Действительно, примем для простоты, что и дивиденды и доход от продажи ФТ облагаются налогом на прибыль по одной и той же ставке n. Тогда чистая (за вычетом налога) доходность вложений в ФТ j-го выпуска i-го вида будет не dij, как ранее принималось, а (1-n)dij. За счет этого средние доходности ai заменятся на (1-n)ai, а величины bi не изменятся. Поэтому в основную формулу (28) войдут только посленалоговые средние доходности. Использование кредита этого вывода не меняет.
Например, если инвестор с капиталом 1 берет кредит y под процент a? и вкладывает все средства в i-й ФТ, то его доход до уплаты налога, совпадающий с налогооблагаемой прибылью (проценты по кредиту уменьшают базу налогообложения), составит (1+y)ai-a?y. После уплаты налога доход станет равным (1-n)[(1+y)ai-a?y]. Точно ту же величину мы получили бы, если сразу умножили “доналоговые” доходности ai и a0 и кредитную ставку на (1-n). Поэтому и с учетом налога на прибыль формула (28) будет верна, если кредитная ставка совпадает с депозитной, и неверна в противном случае.
Положение изменится, если, как это имеет место в России, доходы от продажи ценных бумаг и дивиденды облагаются налогом на прибыль по разным ставкам. В этом случае средние посленалоговые доходности каждого вида ФТ необходимо рассчитывать отдельно. Поскольку размеры дивидендов и периодичность их выплат по каждому выпуску ценных бумаг свои, соотношения “посленалоговой” и “доналоговой” доходностей для разных бумаг будут разными. Соответственно, “посленалоговые” беты будут отличаться от “доналоговых”, либо вместо бета-модели придется использовать другую модель, учитывающую особенности налогообложения дивидендов (такого рода модель изложена, например, в [17]).
Однако с налогом на прибыль связано другое весьма неприятное обстоятельство. Доходы от продажи ценных бумаг действительно облагаются налогом на прибыль, однако только тогда, когда эти бумаги продаются. Если инвестор приобрел ценные бумаги и в течение длительного времени не продавал их, его капитал будет расти так, как будто бы налога на указанную прибыль не было вообще. Поэтому доходность ФТ на данном шаге 0 будет зависеть не только от его рыночной стоимости на шагах 0 и 1, но и от того, по какой цене он когда-то была куплен, и от того, собирается ли инвестор продавать его на шаге 1. Учесть это в “одношаговой” оптимизационной модели, какой является CAPM, невозможно. Не случайно поэтому в ряде работ говорится о необходимости применения рассчитанной по CAPM ставке дисконта к “доналоговым” денежным потокам.
3.3. Необходимость условия нормальности или условия квадратичности
С формально математической точки зрения оба условия — нормальности и квадратичности — некорректны. Действительно:
брутто-доходность ФТ, как бы она ни исчислялась, всегда неотрицательна (нетто-доходность не меньше, чем -1). Нормально распределенная случайная величина таким свойством не обладает;
квадратичная функция, имеющая отрицательную вторую производную, не может монотонно возрастать при всех положительных значениях аргумента и, значит, не может быть функцией полезности.
Однако основные возражения против рассматриваемых условий носят совсем иной характер.
Мы можем допустить, что вероятностное распределение доходности близко к нормальному, но в этом случае, используя бета-модель, мы должны знать, что небольшие отклонения распределения от нормального мало влияют на окончательный результат. Такого рода доказательства (кстати, обычные в прикладной статистике) применительно к бета-модели автору неизвестны.
Точно так же, мы можем считать, что в рассматриваемом диапазоне изменения капитала инвестора его функция полезности близка к квадратичной, однако и здесь необходимо доказывать, что малые отклонения от квадратичности (например, малая третья производная функции полезности) мало повлияют на окончательный результат. Такого рода доказательства автору также неизвестны.
В то же время при анализе системы (24), в которой, как было показано, должны иметь место точные равенства, выявилось следующее существенное обстоятельство. Поскольку в ней нет линейно зависимых уравнений, а количество неизвестных равно количеству уравнений, она действительно будет иметь единственное решение. Однако неизвестных в ней столько же, сколько и ФТ, т.е. достаточно много. В такой ситуации системы обычно оказываются плохо обусловленными (имеющими малый детерминант). Но тогда малые колебания исходной информации существенно изменят решение системы. Представим себе, что функция полезности одного их инвесторов немного отличается от квадратичной. Оптимизация инвестиционного портфеля приведет этого инвестора к системе (23). Однако решение этой системы будет уже другим, например, некоторые ФТ вообще не войдут в портфель. Возникшее неравновесие на финансовом рынке приведет к изменению цен ФТ, но совершенно не очевидно, что это изменение будет малым, что оно слабо повлияет на оптимальные портфели других инвесторов, что получившиеся в результате средние доходности ФТ опять расположатся вблизи “рыночной прямой”. Другими словами, неясно, насколько “устойчивым” будет соответствующее рыночное равновесие к подобным колебаниям.
Это позволяет поставить под сомнение принципиальный вывод CAPM: в условиях равновесия на финансовом рынке для каждого i-го вида ФТ существует такая “характеристика риска” bi, зависящая только от совместного распределения доходности этого ФТ и рыночного пакета, что точки с координатами (bi,ai), отвечающие обращающимся на рынке ФТ, располагаются на некоторой линии (не обязательно — прямой) и остаются вблизи нее при небольших изменениях функций полезности отдельных инвесторов. Неясно, можно ли доказать подобное утверждение. А пока этого не сделано, к бета-модели следует отнестись с осторожностью.
Рассмотрим теперь другой аспект проблемы. Условие нормальности потребовалось нам только для того, чтобы иметь дело со случайными величинами, распределение которых определяется несколькими параметрами (в данном случае — двумя: средним и дисперсией) и вид которого сохраняется при формировании пакетов, т.е. при линейных комбинациях. Такого рода распределения давно исследованы в теории вероятностей. Они носят общее название устойчивых распределений.
Распределение случайной величины x называется устойчивым, если для любых чисел a и b найдутся такие c и d, что линейная комбинация ax1+bx2 двух независимых реализаций x имеет то же распределение, что и cx1+d. Характеристические функции всех устойчивых законов распределения известны и в одномерном случае выглядят так:
,
где 0<a< 2, |b|< 1, g> 0,
В эти формулы входят четыре параметра: a — индекс устойчивости; b — параметр асимметрии (skewness); g — параметр масштаба (scale), m — параметр положения (location).
Параметр a определяет убывание “хвостов” распределения. При a=2 распределение — нормальное со средним m и дисперсией 2g. При 0<a< 2 “хвосты” распределения становятся более “тяжелыми” — при z®? вероятности событий {x>z} и {x<-z} убывают как z-a. Поэтому дисперсия x бесконечна, а математическое ожидание конечно только при a>1. При a=1 это устойчивое распределение совпадает с распределением Коши. Анализ [] показал, что для многих ценных бумаг значение a близко к 1,5.
Параметр b характеризует несимметричность распределения. При b=0 распределение симметрично, при b>0 — сильнее скошено слева, а при b<0 — справа.
При a>1 параметр m совпадает с математическим ожиданием x.
Параметр g является масштабным — если увеличить x в h раз, g умножится на ha.
Аналитические формулы функции распределения устойчивых величин известны только для a=1 (распределение Коши), a=1/2 и a=2 (нормальное распределение).
При фиксированном параметре устойчивости a устойчивые законы обладают важным свойством: любая линейная комбинация таких величин является величиной того же типа. А именно, пусть случайные величины xi характеризуются параметрами (gi, mi, bi). Тогда величина будет характеризоваться параметрами
.
Анализ, проведенный в [23, ], показывает, что фактические распределения доходностей ценных бумаг лучше описываются устойчивыми распределениями (с a>1), чем нормальными. Поэтому естественно возникло желание обосновать бета-модель применительно к устойчивым распределениям доходности. Однако при этом возникает серьезная трудность. Многомерное нормальное распределение однозначно определяется вектором средних и матрицей ковариаций, т.е. конечным числом параметров, допускающих простую интерпретацию и оценку по результатам наблюдений. Для устойчивых распределений это не так: в общем случае n-мерное устойчивое распределение, т.е. n-мерный случайный вектор задается некоторой вероятностной мерой G на n-мерной сфере Sn и его производящая функция имеет вид:

где стрелкой отмечены n-мерные вектора, · — знак скалярного произведения, а интегрирование производится по n-мерной сфере Sn.
Справедливость бета-модели (28) удается доказать и здесь, правда, только, если доходности всех ФТ имеют одинаковый индекс устойчивости a и одинаковый параметр сдвига b. Значение бета при этом определяется другой, более сложной формулой (см. [, , ]).
3.4. Существование депозитов и равенство депозитной и кредитной ставок
Существование депозитов (безрисковых ФТ) в условиях переходной экономики вызывает большие сомнения. Даже тезаврация (простое хранение “в чулке”) сопряжена с определенным риском, тем более рискованными представляются частным инвесторам, наученным 70-летним опытом, вложения на депозиты Сбербанка РФ или в государственные обязательства.
Еще более далеким от реальности представляется допущение о равенстве кредитного и депозитного процентов. Между тем, в CAPM предполагается, что безрисковые ФТ должны использоваться не только для вложений, но и для займов. Между тем, если даже представить себе тиражируемый проект, доходность которого не коррелирует с доходностью рыночного пакета, то такой проект нельзя будет использовать для получения заемных средств (т.е. он не может быть рассмотрен как источник финансирования).
Если безрисковые ФТ отсутствуют, то с математической точки зрения это то же самое, как если бы они имели большую отрицательную доходность, которая, естественно, отличалась бы от кредитной ставки. Поэтому неравенство кредитного и депозитного процентов — наиболее общая ситуация. Оказывается, что в этом случае теорема разделения не выполняется и бета-модель оказывается несправедливой. А именно, в этих условиях разные инвесторы могут иметь разные оптимальные пакеты рискованных ФТ, причем рыночный портфель уже не будет оптимальным ни для какого инвестора. Отсюда вытекает другое неприятное обстоятельство.
Рассмотрим некоторый ФТ. Рассчитаем отвечающую ему точку (b,a). Если эта точка лежит выше линии рынка, то в условиях бета-модели инвестор должен как можно быстрее купить ФТ — он будет “абсолютно выгодным” для всех инвесторов, его продажную цену все инвесторы сочтут заниженной. Точно так же точкам (b,a), лежащим ниже линии рынка, будут отвечать “абсолютно невыгодные” для всех инвесторов ФТ. Между тем, при неравенстве кредитного и депозитного процента положение будет иным: каждый инвестор будет приобретать только те ФТ, которые нужны ему для оптимального пакета, и ФТ, не вошедший в портфель одного инвестора, может войти в портфель другого. Поэтому линия рынка перестает быть “всеобщим ориентиром”, и не будет “абсолютно выгодных” и “абсолютно невыгодных” ФТ.
3.5. Учет инфляции
Инфляция, как таковая, в CAPM не учтена. Точнее, она существует “где-то сбоку” как один из факторов, определяющих ситуацию на финансовом рынке. Между тем, учет инфляции при оценке эффективности инвестиционных проектов имеет существенное значение. Попробуем, оставаясь пока в рамках CAPM, выявить ее влияние более явно. Как известно, инфляция подразделяется на общую и структурную. Общая характеризует общее изменение цен в стране, структурная — изменение цен одних товаров относительно других при неизменности общего среднего уровня цен. В CAPM цены ФТ меняются, стало быть, это изменение есть одно из проявлений, прежде всего, структурной инфляции. Рассмотрим поэтому, как влияет на политику управления активами общая инфляция.
Пусть p — индекс общей инфляции на шаге 0. Другими словами, при переходе к шагу 1 цены в стране в номинальном выражении увеличиваются в среднем в p раз. На это, разумеется, накладываются и индивидуальные изменения цен различных ФТ. Поэтому номинальную брутто-доходность каждого ФТ имеет смысл представить произведением xi=pzi, где первый множитель (p) отразит общее изменение цен, второй (zi) — реальную доходность ФТ. Казалось бы, задача оптимизации инвестиционного портфеля (18)-(20) от этого не изменилась. К сожалению, это не так! Всё дело в том, чего в конечном счет добивается инвестор. При изложенном подходе он стремится максимизировать полезность своего капитала. Но тогда увеличение капитала в 1000 раз в результате деноминации он должен был бы оценить как “подарок судьбы”. На самом деле это не происходит — полезность капитала определяется не количеством денежных знаков, а их покупательной способностью. Поэтому в условиях инфляции критерий оптимальности должен отражать ожидаемую полезность реального (дефлированного), а не номинального капитала инвестора:
.
Тогда всё доказательство бета-модели остается без изменения и результат получается “по форме” тот же. Однако в расчетные формулы войдут теперь не номинальные, а реальные доходности ФТ и бета-коэффициенты будут отражать ковариацию реальных, а не номинальных доходностей. Насколько известно, данные о реальной доходности ценных бумаг не публикуются и, за редким исключением, не анализируются. Тем более, никто не рассчитывает и соответствующих реальных бета-коэффициентов.
Но чем же отличаются реальные беты от номинальных? Если бы колебания реальных доходностей никак не зависели от общей инфляции, то реальные беты совпадали бы с номинальными:
.
К сожалению, это не так! Например, при установлении депозитных процентных ставок и доходности государственных долгосрочных ценных бумаг учитывается ожидаемый эмитентами, а не истинный (которого никто не знает) темп инфляции. Чем выше этот темп, тем более осторожны эмитенты, поэтому при высоком ожидаемом темпе инфляции объявленные ставки и доходности в реальном выражении будут ниже (что мы и наблюдаем в России). Примерно то же положение и с доходностями ценных бумаг. Если я ожидаю высокие темпы инфляции, я буду убежден, что менеджеры компаний, акциями которых я владею, постараются уменьшить реальную стоимость выплачиваемых дивидендов, “прикрывшись” их большим ростом в номинальном выражении. Поэтому, скорее всего, между темпами инфляции и ожидаемой доходностью ФТ имеется отрицательная корреляционная связь, а тогда проведенное выше преобразование незаконно и реальные беты могут отличаться от номинальных. “Предельным” примером может быть “безрисковый” ФТ — депозит с индексируемой (по темпу инфляции) ставкой. Его реальная доходность z0 не зависит ни от темпов инфляции, ни от доходности других ФТ, поэтому реальная бета должна быть нулевой. Однако номинальная бета такого депозита будет отлична от нуля, поскольку номинальные доходности депозита и рыночного пакета скоррелированы.
3.6. Вероятностная неопределенность доходностей
Допущение о вероятностной неопределенности доходностей носит чисто модельный характер, поскольку “доказать” случайный характер колебаний экономических показателей теоретически невозможно. К тому же аналогичные гипотезы часто принимаются при анализе других экономических процессов и особых оснований отказываться от них, казалось бы, нет. Увы, здесь не всё так просто!
Дело в том, что в бета-модели отношение субъекта к “степени возможности” различных значений доходностей ФТ описывалось так. Инвестор рассматривает все возможные в будущем “состояния финансового мира” (по [18,19] — “состояния природы”, по Колмогорову — элементарные события), которым соответствуют определенные сочетания доходностей разных ФТ, и образованное этими сочетаниями пространство W, после чего вводит на s-алгебре подмножеств W (событий) некую вероятностную меру. Другими словами, неопределенные состояния природы объявляются случайными, а отвечающие им доходности ФТ становятся случайными величинами в колмогоровской трактовке этого термина. Однако при этом исчезает исходная база для установления законов распределения этих случайных величин, поскольку каждое из возможных сочетаний доходностей ФТ навряд ли может повториться еще раз, а говорить о вероятностях применительно к неповторяющимся событиям не слишком корректно. Во всяком случае, именно в связи с неповторяемостью таких сочетаний введенную вероятностную меру трудно подтвердить результатами наблюдений и она может рассматриваться только как субъективная.
Более того, если даже согласиться с тем, что инвестор адекватно описал пространство W и ввел какую-то вероятностную меру на s-алгебре его подмножеств, то будет невероятно, если все остальные участники рынка поступят точно так же — опишут будущие состояния рынка тем же пространством W и установят ту же меру на той же s-алгебре его подмножеств. Между тем, бета-модель существенно опирается на единообразное “прогнозирование” всеми инвесторами вероятностного распределения доходностей ФТ, т.е. на использование ими одной и той же меры (по [5] — “все хозяйствующие субъекты имеют однородные ожидания будущего”). Подчеркнем, что им надо задать не распределения доходностей отдельных ФТ (они полностью характеризуются графиками функций распределения), а совместное вероятностное распределение взаимозависящих доходностей всех ФТ, обращающихся на рынке, т.е. многомерное распределение вероятностей, которое никакими графиками охарактеризовать невозможно.
Но есть ли разумные альтернативы вероятностной трактовке доходностей ФТ. Оказывается, есть. Из результатов Сэвиджа [18, 19] следует, что при соблюдении ряда требований (аксиом) критерий рационального поведения субъекта — функционал ожидаемой полезности устроен несколько иначе. Мы рассмотрим этот вопрос подробнее в п.4.2. Пока же для нас важно, что соответствующий функционал базируется на некоторой мере, которая является, во-первых, субъективной, а во-вторых, не вероятностной, а конечно-аддитивной нормированной мере P, заданной на всех подмножествах W (о таких мерах применительно к более простым задачам см. []; в [18,19] эти меры именуются “вероятностными”, что не согласуется с определением, принятым в теории вероятностей). Тогда для обеспечения справедливости бета-модели необходимо дополнительно потребовать, чтобы все участники рынка использовали одну и ту же субъективную меру P. Такое предположение весьма спорно, но если с ним согласиться, то все дальнейшие рассуждения не изменятся, поскольку в приведенном доказательстве использовались только такие свойства вероятностных мер, которые справедливы и для конечно-аддитивных нормированных мер. Поэтому бета-модель будет справедлива и при данном предположении. А вот расчеты значений бет по ретроспективным данным при этом потеряют всякий смысл.
Действительно, если неопределенность вероятностная, фактически наблюдаемые значения доходности рассматриваются как реализации неких случайных величин, имеющих одно и то же вероятностное распределение в анализируемом периоде. При этом расчеты бет статистическими методами оправданы, если указанное вероятностное распределение сохранится и в будущем, и для него выполняется закон больших чисел. Однако фактические данные относятся только к фактическим значениям доходностей, но никак не к их ожидаемым значениям. Поэтому “выборочные фактические” значения бет могут не отражать ожидаемой участниками рынка ковариации между доходностями ФТ и рыночного пакета и не обязаны сближаться с “истинными бетами” при увеличении количества наблюдений (так, при стабильности обменного курса доллара участники рынка могут строить свое поведение на том, что в любой момент следует ожидать резких его скачков). Поэтому, если уж принимать, что участники рынка оперируют субъективными мерами, то входящие в бета-модель значения математических ожиданий и ковариаций доходностей должны рассчитываться именно по этим мерам (как это и делалось в примерах 10 и 11), а не путем статистической обработки ретроспективной информации. Другими словами, если уж говорить об информационной базе для расчета бет, то ею должна быть информация об ожиданиях инвесторов, а не о фактическом положении дел.
Чтобы предыдущие рассуждения не показались чрезмерно далекими от практики, приведем заимствованную из [] схему учета политических рисков, демонстрирующую, как надо “рассчитывать” субъективные вероятности некоторых последствий осуществления инвестиций за рубежом (инвестор здесь опасается “правительственного переворота”, приводящего к национализации предприятия с, возможно, несоответствующей компенсацией).

Далее в указанной книге из этой схемы выводятся следующие вероятности различных исходов (их точность потрясает!):
Последствия
Вероятность
Предприятие не национализируется
0,810
Предприятие национализируется:

с соответствующей компенсацией
0,034
с несоответствующей компенсацией
0,061
без компенсации
0,095
А теперь представьте себе, что все остальные инвесторы, руководствуясь той же исходной информацией о политической обстановке в данной стране, оценивают вероятности тех же событий точно так же, с точностью до третьего знака после запятой! К тому же в данном случае сам термин “вероятность” вводит инвесторов в заблуждение. Как, например, они должны понимать вероятность 0,034 — так, что соответствующая компенсация выплачивается в среднем в одной из 30 стран, или, что она может быть получена в данной стране, но только в одном из 30 “правительственных переворотов”?
Но, допустим, что и в подобных случаях использовать субъективные вероятности можно и допустимо, а значения бет можно принимать по аналогии. Можно ли тогда пользоваться бета-моделью? Казалось бы, можно. Однако положение усложняется тем, что в расчетную формулу, помимо бет, входит еще средняя доходность рыночного пакета. Она средняя в том смысле, что является усреднением указанной доходности по субъективной мере. Поэтому, чтобы воспользоваться бета-моделью, в нее недопустимо закладывать сегодняшнее значение доходности! Нет, инвестор должен для каждой из возможных рыночных ситуаций оценить не только “вероятность”, но и отвечающую ей доходность рыночного пакета, а затем усреднить последнюю. Поэтому средняя доходность рыночного пакета будет зависеть от того, какими он видит доходности этого пакета в той или иной ситуации. Ясно, что при этом нельзя ожидать одинаковых инвестиционных решений от разных инвесторов по поводу одного и того же ФТ или проекта. Тем самым, никакой ФТ, никакой проект не могут иметь одной “объективной” рыночной оценки — каждый субъект рынка, даже используя одну и ту же модель и одну и ту же исходную фактическую информацию, будет оценивать их по-разному.
3.7. Применимость модели для оценки инвестиционных проектов
Предложение использовать CAPM для оценки инвестиционных проектов основывается на том, что неопределенность денежных потоков проекта ничем не отличается от неопределенности доходов ФТ. Это действительно так. В принципе, можно представить себе ФТ, доходы которого ведет себя точно так же, как и доходы реального проекта. Однако должны ли совпадать оценки этого ФТ и проекта? Представляется, что в общем случае совпадения здесь быть не должно. Дело в том, что ФТ делимы и спрос на них сбалансирован с предложением. Поэтому средняя доходность такого ФТ, определяемая бета-моделью, обеспечивает равновесие финансового рынка. Среди инвестиционных проектов тоже есть делимые — это, прежде всего, вложения в сами ФТ или пакеты ФТ. Поэтому для таких проектов вполне допустимо сравнение предлагаемой продажной цены с равновесной, определяемой CAPM. В частности, если все ФТ продаются и покупаются по равновесной цене, то ЧДД (NPV) операции их купли-продажи будет равен нулю. Иное положение с проектами в реальном секторе. В отличие от ФТ, такие проекты уникальны и не делимы, так что “просто так” встроить проект в бета-модель, рассматривая его как дополнительный ФТ (с теми же денежными потоками) нельзя. На соответствующем “рынке проектов” равновесия нет, а ЧДД любого проекта, как правило, будет отличен от нуля.
Однако, применяя CAPM для оценки проектов, можно подразумевать и иное: CAPM дает ту ставку дисконта для этой оценки, которая отражает максимальную доходность альтернативных вложений с тем же риском (т.е. с той же неопределенностью денежных потоков), что и у данного проекта. Такое положение представляется достаточно корректным, но только при двух ограничениях.
Во-первых, круг альтернативных вложений ограничивается здесь вложениями в ФТ. Это не очень существенное ограничение. Как мы показывали выше, на самом деле речь должна идти о делимых и тиражируемых вложениях и любое вложение такого рода можно рассматривать как своеобразный ФТ.
Во-вторых, и это наиболее важно, данное положение относится только к “одношаговым” проектам. Для проектов, “растянутых” во времени, по смыслу, ставку дисконта надо выбирать на каждом шаге, тогда как CAPM дает ее значение только на одном, самом первом шаге. К тому же, результат может оказаться нетривиальным. Так, как мы видели в примере 10, у двухшагового депозита, который, казалось бы, должен считаться безрисковым вложением, оказалась ненулевая и даже отрицательная бета. Поэтому отнюдь не очевидно, что можно устанавливать значения бет по аналогии.
4. О КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОГО ПОВЕДЕНИЯ ИНВЕСТОРА В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Истины не меняются — меняются их доказательства.
Оскар Уайльд
4.1. “Прямой” учет волатильности доходов
В ряде работ и популярных учебников исходные предложения бета-модели излагаются несколько иначе. В частности, в них иначе описывается поведение инвестора и критерий его оптимального поведения. А именно, говорится, что инвестор рассматривает любые отклонения доходности акций от средней (разброс, волатильность) как сигнал о риске вложений в эти акции, и этот риск однозначно характеризуется дисперсией доходности (тем самым риск понимается иначе, чем в официальном нормативном документе [6]). На этом основании, формируя свой инвестиционный портфель, инвестор учитывает волатильность, максимизируя среднюю доходность при ограничении на дисперсию.
Отметим в этой связи два обстоятельства. Во-первых, приведенное нами доказательство бета-модели не использовало указанный критерий. Во-вторых, сама бета-модель отражает не совсем тот риск, который выражается в колебаниях доходности ФТ. Действительно, из проведенного доказательства и полученных результатов видно, что превышение средней доходности ФТ над безрисковой, если его и можно назвать премией за риск, отражает только ковариацию между доходностями ФТ и рыночного пакета, которую в литературе именуют систематическим (недиверсифицируемым) риском. К "обычным" рискам проектов (типа аварий, отказов оборудования или срывов заключенных договоров), иной раз сильно влияющим на курсы акций, этот риск практически никакого отношения не имеет.
Тем не менее, поскольку требование максимизации среднего дохода при ограничении на его дисперсию (или наоборот, минимизации дисперсии при ограничении снизу на средний доход) выдвигается во многих работах и упоминается в популярных учебниках, несколько слов о нем стоит сказать.
Начнем с того, что о подобном требовании обычно забывают, рассматривая задачи оценки эффективности инвестиционных проектов или сравнивая варианты проектов — здесь обычно пользуются критерием максимального чистого дисконтированного дохода (NPV) или его математического ожидания, если денежные потоки проекта случайны. Любые ограничения при этом учитывают только в процессе отбора вариантов для сравнения. Между тем в одном инвесторе никак нельзя совместить два разных критерия рационального поведения. С этих позиций невозможно объяснить, почему ставку дисконта надо выбирать с помощью первого критерия, а применять для расчетов второго. Чтобы несовместимость критериев стала совершенно ясной, приведем два упрощенных примера.
Пример 12. Возможны только 2 сценария реализации проекта, имеющие вероятности соответственно 0,8 и 0,2. По первому варианту проекта при этих сценариях чистый доход инвестора составит соответственно +5 и +30, по второму варианту — +15 и -10. Легко проверить, что для инвестора оба варианта равноэффективны, т.е. они дают одни и те же средние доходы (10) и одну и ту же дисперсию дохода (100). Между тем, второй вариант, в отличие от первого, сопряжен с риском убытков. ¦
Пример 13. Допустим, что инвестор, максимизирующий средний доход при ограничениях на его дисперсию, вложил свой капитал 100 в оптимальный пакет акций. На следующем шаге, продав акции (цены покупки и продажи совпадают, т.к. нет трансакционных издержек), инвестор будет иметь случайный капитал со средним 115 и дисперсией 81. Иными словами, средняя доходность его вложений составляет 15%, дисперсия этой доходности — 0,0081, а среднеквадратичное ее отклонение — 0,09 (9%). Однако инвестор мог бы сформировать и другие пакеты акций с большей средней доходностью и большей дисперсией. Возьмем один из них, который дал бы инвестору случайный капитал со средним 120 и дисперсией 101. Инвестор отказался от такого пакета, и это означает, что дисперсия доходности 0,0101 слишком велика для него по отношению к повышенной средней доходности (20%). Поэтому он будет отказываться от любых проектов, доход от которых имеет такое сочетание среднего и дисперсии.
Запомним это, и предложим инвестору бесплатную “ценную бумагу”, дающую право сыграть в такую лотерею. Напишем на бумаге любую цифру от 1 до 9 предложим инвестору угадать ее с пяти попыток. Если он угадает, то получит выигрыш 9, в противном случае не получит ничего. Ясно, что участие в такой лотерее выгодно для любого инвестора. Между тем, доход от лотереи — случайная величина со средним 5 и дисперсией 20. Этот случайный доход никак не коррелирован с доходностью выбранного инвестором пакета акций, поэтому, суммарный доход от этого пакета и от участия в лотерее будет случайной величиной со средним 115+5=120 и дисперсией 81+20=101. Однако именно такое сочетание среднего и дисперсии неприемлемо для инвестора, так что он должен был бы отказаться от участия в лотерее. ¦
Мы видим, что если инвестор действительно будет ограничивать дисперсию дохода и максимизировать средний доход при этом ограничении, его поведение может оказаться нерациональным. Однако это утверждение иногда вызывает следующее возражение: критикуемое описание поведения инвестора приводится лишь для наглядности, на самом же деле инвестор оптимизирует свою политику, учитывая среднее значение и дисперсию дохода, возможно в каком-то более сложном виде. Возможно также, что субъект учитывает не дисперсию, а какой-то иной измеритель отклонения дохода от своего среднего значения, но экономисты пока еще не сумели адекватно формализовать этот измеритель. Такое возражение достаточно серьезно и требует детального рассмотрения.
В этой связи рассмотрим следующую модель поведения инвестора. Для оценки целесообразности вложений, дающих случайный доход q, инвестор использует учитывает средний доход M[q] и n измерителей разброса дохода Ri[q]=M[ui(q-M[q])], где ui — некоторые гладкие функции (для ui(x)=x2 соответствующим измерителем разброса будет дисперсия, для ui(x)=|x| — среднее абсолютное отклонение). В этих целях он максимизирует критерий ожидаемого дохода, имеющий вид:
E[q]=F(M[q], R1[q], R2[q]..., Rn[q]), (32)
где F — некоторая гладкая функция от своих аргументов.
Скажем, что u(x) является В-функцией, если ее производная может принимать сколь угодно большие положительные и отрицательные значения, т.е. если
.
В частности, В-функциями будут функции |x|k при любом k?1.
Семейство {u1(x),u2(x),...,un(x)} назовем В-семейством, если любая линейная комбинация функций ui(x) является В-функцией. Например, {x,x2} будет В-семейством, а {x,x2,(x-5)2} — не будет.
Предположим, что есть два варианта вложений, дающих случайные доходы и таких, что при любом “элементарном событии” доход по второму варианту будет не меньше, чем по первому. Естественно считать, что поведение инвестора будет рациональным только, если второй вариант будет для него не менее предпочтительным, чем первый: J(w)> q(w)?E[J]> E[q]. Это свойство критерия E назовем слабой монотонностью (о формализации подобных понятий в условиях различного типа неопределенности см. [28]). Основным результатом здесь является следующая теорема (несколько более слабое утверждение доказано нами в []).
Теорема. Если {u1(x),u2(x),...,un(x)} — В-семейство, то критерий (32) не обладает слабой монотонностью.
Доказательство. Рассмотрим случайный доход q, в среднем равный нулю, который имеет непрерывную положительную на числовой оси и достаточно быстро убывающую на бесконечности плотность распределения p(x). В этом случае величины gi(z)=M[ui(q-z)] существуют и являются гладкими функциями от z вблизи точки z=0 (обратите внимание, что gi(0)=Ri[q]).
Возьмем некоторое t и малые h>0, D>0, и обозначим через e вероятность попадания случайного дохода q в отрезок (t,t+D). Теперь рассмотрим другой случайный доход J, устроенный так: если оказалось, что t<q<t+D, то J=q+h, в противном случае J=q. Ясно, что для любого инвестора получить J предпочтительнее. Докажем, что при подходящем подборе t, h и D неравенство E[J] > E[q] нарушается.
Для этого оценим среднее значение J и измерители его разброса. Поскольку разность J-q равна 0 с вероятностью 1-e и h с вероятностью e, то M[J]=M[J]-M[q]=eh. Тогда

Поскольку средние значения и измерители разброса для J и q отличаются мало, значение E[J] можно оценить, используя первые члены ряда Тейлора для функции F. Пусть F0 и Fi — производные функции (32) по M[q] и Ri[q]. Тогда:

Обозначив , найдем:
.
Поскольку e<1, то при достаточно малом h отсюда имеем:

Выберем теперь подходящим образом t, h и D, учитывая при этом, что этот выбор никак не повлияет ни на функцию w, на на коэффициент Q. Поскольку w(x), будучи линейной комбинацией ui(x), является В-функцией, найдется такое t, что w?(t)<-Q-1. Стало быть, при достаточно малых h будет w(t+h)-w(t)<-(Q+1)h. Слева в этом неравенстве стоит непрерывная функция от t. Поэтому неравенство w(x+h)-w(x)<-(Q+1)h будет выполняться не только для x=t, но и для x, близких к t, например, при |x-t|<d. Обратим внимание, что при , и выберем D так, чтобы было eh<d, D-eh<d. Тогда при всех x между t и t+D будет выполняться неравенство w(x+h-eh)-w(x-eh)+Qh<-h. Но в этом случае будет:
.
Таким образом, E[J]<E[q], так что критерий (32) не стимулирует рациональное поведение инвестора. ¦
Из теоремы следует, что любой критерий, зависящий только от математического ожидания и любого количества любых (кроме первого абсолютного) моментов дохода, может приводить к нерациональным решениям. В то же время существуют “монотонные” критерии, не подходящие под условия теоремы. Таковы, например, критерии типа при |k|< 1 и a>0. Они достаточно “гладкие” и учитывают малые разбросы так же, как и дисперсия, а большие — как первый абсолютный момент. Подобные критерии монотонны, но имеют другие недостатки (см. [30]) и их не следовало бы использовать инвесторам.
Пример 14. Пусть, например, инвестор оценивает ожидаемый доход по формуле , 0<k<1, основанной на первом абсолютном моменте. Ему предложены проект А, дающий детерминированный доход k2, и проект Б, дающий доходы k2+8k-8 и k2+8k+8 с равными вероятностями. По проекту Б средний доход равен k2+8k, а среднее абсолютное отклонение — 8. В этом случае ожидаемый доход проекта Б будет равен k2, так что оба проекта оказываются эффективными и равноэффективными. Тогда инвестор решает выбрать любой из них, бросая симметричную монету. Казалось бы, в результате должен быть выбран эффективный проект.
Увы, это не так! Случайный выбор из двух проектов — это третий проект В, который дает доходы k2+8k-8, k2+8k+8 и k2 с вероятностями соответственно 1/4, 1/4 и 1/2. Средний доход при этом составит k2+4k, а среднее абсолютное отклонение — 4+2k. При этом ожидаемый доход составит k2+4k-k(4+2k)=-k2, так что от проекта В инвестору придется отказаться. Такое решение не согласуется со “здравым смыслом”. ¦
4.2. Формализованное описание внешней неопределенности
Предыдущее рассмотрение показывает невозможность “непосредственного” (с помощью соответствующих поправок к среднему значению) учета разброса возможных значений дохода. Но почему такой учет должен осуществляться с помощью критерия ожидаемой полезности?
В обосновании этого ссылаются обычно на принцип, сформулированный еще в 1738 г. Даниилом Бернулли [], и обосновывающую этот принцип теорему Неймана-Моргенштерна [20] (ее доказательства приводятся и в [5, 19]). Между тем, эти результаты относятся к ситуации вероятностной неопределенности, когда субъект знает не только множество возможных будущих "состояний природы”, но и их вероятности. Применительно к бросанию костей или карточным играм, которыми занимался Д.Бернулли, это вполне логично, однако применительно к финансовому рынку такой подход не имеет под собой достаточных оснований. Грубо говоря, инвестор может (хотя бы мысленно) представить себе тысячи сочетаний курсов акций, которые могут сложиться на рынке в будущем году (т.е. пространство возможных “состояний природы”), но навряд ли он сможет обоснованно приписать этим сочетаниям какие-то вероятности. В этой ситуации логично было бы, чтобы субъект использовал “субъективные” вероятности, никак их не обосновывая и не согласовывая с другими субъектами. Обоснования использования “субъективных” вероятностей многие видят в теории ожидаемой полезности Сэвиджа [18,19], которая, несомненно, относится к выдающимся научным достижениям. Суть ее в следующем. Рассматривается субъект, сопоставляющий различные альтернативы, результаты которых зависят от неизвестного “состояния природы”, причем пространство всех возможных “состояний природы” S известно (в [28] такая неопределенность именуется “внешней”). Тогда при определенных (достаточно сложно формулируемых) предположениях рациональное поведение Субъекта состоит в том, что он должен задать некоторую (субъективную) конечно-аддитивную нормированную меру на S и некоторую “функцию полезности” на пространстве результатов альтернатив, после чего выбирать наилучшие альтернативы по критерию усреднения полезности получаемых результатов, типа (17).
Однако для наших целей, эта теория, к сожалению, не подходит. Это связано с несколькими обстоятельствами.
Прежде всего, теорема Сэвиджа доказана в предположении, что множество возможных “состояний природы” не только бесконечно, но и неисчислимо (т.е. не является счетным). Между тем, на практике, анализируя возможные в будущем состояния рынка, обычно выделяют какое-то конечное число таких состояний. В таких случаях на теорию Сэвиджа нельзя ссылаться даже формально.
Во-вторых, из теоремы следует, что функция полезности должна быть ограниченной на всем пространстве результатов альтернатив. Тем самым практически исключаются все используемые критерии. Например, максимизация среднего дохода отвечает использованию функции полезности u(x)=x, которая на числовой оси не ограничена. Тем более неограниченными будут любые критерии, включающие дисперсию или иные моменты дохода.
И, наконец, из результатов Сэвиджа не вытекает, что необходимая субъективная мера является вероятностной (хотя он, и не только он, именно так ее называет). А именно, если любая вероятностная мера на S определяется только на некоторых (образующих s-алгебру) подмножествах S и является счетно-аддитивной, то субъективная мера определяется на всех подмножествах S и является лишь конечно-аддитивной. Приведем строгие определения.
Нормированной конечно-аддитивной мерой (НК-мерой) называется неотрицательная функция P(A), определенная для всех событий (подмножеств S) и обладающая следующими свойствами:
P(S)=1; P(AEB)=P(A)+P(B), если ACB=?.
Понятие, аналогичное математическому ожиданию, существует и для НК-мер, хотя они и не являются вероятностными. Чтобы отличать его от “теоретико-вероятностного” математического ожидания, назовем его иначе — усреднение. Определяется оно следующим образом.
Функцию F(s) назовем ступенчатой, если она принимает только конечное число значений. Пусть F(s) принимает только значения f1,...,fm, и Ai — множество тех состояний природы, при которых F(s)=fi. Тогда усреднение F(s) по мере P определяется формулой:
.
Пусть теперь F(s) — произвольная ограниченная функция. Представим ее как общий предел двух последовательностей ступенчатых функций — возрастающей и убывающей. Для этого возьмем натуральное число k, и затем для любого целого i (положительного или отрицательного) обозначим через Ai множество тех состояний природы s, при которых i/2k< F(s)<(i+1)/2k. Поскольку функция F ограничена, то среди таких множеств будет только конечное число непустых. Определим теперь Gk(s) и Hk(s) как ступенчатые функции, которые на каждом непустом Ai принимают значения соответственно i/2k и (i+1)/2k. Тогда Gk(s)< F(s)<Hk(s). Легко видеть, что при k®? Gk(s) и Hk(s) равномерно стремятся к F(s), Gk(s) возрастает, а Hk(s) убывает, причем 0< M[Hk|P]-M[Gk|P]< 2-k. Поэтому последовательности {M[Gk|P]} и {M[Hk|P]} будут иметь один и тот же предел. Этот предел и будет искомым усреднением F(s) по мере P (в функциональном анализе такой объект называется интегралом Радона или Лебега-Стилтьеса, см. [,]). Легко проверяется, что он обладает “обычными” свойствами математического ожидания: усреднением константы будет та же константа, большая функция имеет не меньшее усреднение, а сумме функций отвечает сумма их усреднений. Важно также, что под знаком усреднения можно переходить к пределу: если функции Fn(s) ограничены и равномерно сходятся к ограниченной функции F(s), то и M[Fn|P]®M[F|P].
Оказывается, что введенное понятие усреднения может быть использовано при формировании критерия эффективности инвестиционных проектов, правда, лишь при определенных условиях. “Наиболее мягкие” условия такого рода пока не ясны. Поэтому ниже соответствующий критерий обосновывается при сравнительно жестких (с математической точки зрения) допущениях.
В ситуации внешней (в смысле [28]) неопределенности результат инвестиционного проекта выражается для Субъекта числом — доходом, зависящим от неизвестного “состояния природы” (“state of world”). Множество (конечное или бесконечное) всех возможных состояний природы обозначим через S. Любые множества состояний природы (т.е. подмножества S) будем, как и в теории вероятностей, называть событиями, и обозначать прописными латинскими буквами. Представление S объединением конечного числа непересекающихся событий S=A1E...EAm, где AiCAj=? при i?j, назовем разбиением.
Чтобы в условиях внешней неопределенности Субъект мог оценить некоторый проект F, ему теперь достаточно только знать, какой доход (результат) F(s) он даст при каждом состоянии природы sIS. Тем самым проекты формализуются как некоторые функции от состояния природы — функции дохода, а проблема сводится к установлению “разумного” правила сравнения таких функций. К ее решению можно подойти двояко.
При первом, ординалистском подходе (он реализуется в [18,19,20] и многих других работах по теории полезности) предполагается, что Субъект каким-то образом может сравнивать такие функции и выбирать “лучшую” из них. Используемое при этом правило сравнения должно удовлетворять определенным требованиям (аксиомам), и из этих требований выводится “структура” правила сравнения. Обычно оказывается, что соответствующее “разумное” правило основывается на сравнении проектов по критерию определенной структуры.
Нам, однако, удобнее использовать второй, кардиналистский подход. Суть его в следующем. Из теории полезности следует, что почти во всех случаях “разумные” правила сравнения альтернатив в конечном счете сводятся к сравнению их по некоторому критериальному показателю. Разумеется, есть и исключения. Так, решая, пойти ли на презентацию книги “Моя борьба с Думой” или посмотреть телепередачу “Голая правда женщины”, никто не будет описывать эти альтернативы количественно. Однако, при оценке инвестиционных проектов ситуация иная: Субъект желает не только знать, какая из двух альтернатив лучше, но и то, на сколько именно рублей (или юаней) она лучше. Поэтому примем с самого начала, что инвестиционные проекты F Субъект сравнивает по некоторому критерию E(F), который здесь, следуя [6,7,28], будем называть ожидаемым доходом — в [3] и ряде других работ аналогичный показатель именуется “надежным эквивалентом” (certainty equivalent) неопределенного дохода, в [5] — безрисковым эквивалентом. Поскольку аргументом E является функция от состояния природы, то само E является функцией от функции, т.е. функционалом. Его структура выводится из тех свойств, которыми он должен обладать.
4.3. Критерий ожидаемой полезности
Начнем с того, что ожидаемый эффект естественно определять не для любых проектов. Пусть, например, состояний природы счетное множество и они просто занумерованы по порядку. Здесь совершенно неясно, как можно разумно сравнить два проекта, один из которых дает при всех состояниях природы доход 0, а доходы другого при разных состояниях образуют последовательность {0,1,-2,3,-4,5,...}. Причина понятна — доходы второго проекта могут быть сколь угодно велики по абсолютной величине. Назовем поэтому проект F ограниченным, если существует такое число N, что |F(s)|<N для всех sIS. Будем поэтому выяснять, как устроен функционал ожидаемого эффекта только для ограниченных проектов.
Далее, любому Субъекту “наиболее понятны” детерминированные проекты, доход которых от “состояния природы” не зависит. Обозначим через Ib проект, при всех состояниях природы дающий доход b. Ему отвечает постоянная функция дохода: F(s)?b. Естественно принять, что ожидаемый доход такого проекта совпадает с “обычным” доходом (это требование названо в [28] аксиомой согласованности):
E(Ib)=b "b.
Рассмотрим теперь такие два проекта, что первый при каждом состоянии природы дает доход не меньший, чем второй. Естественно считать, что и ожидаемый доход у первого проекта не меньше, чем у второго (это требование названо в [28] аксиомой монотонности): F(s)> G(s) "s?E(F)> E(G).
Следующие требования, если говорить нестрого, определяют влияние отдельных событий на величину ожидаемого эффекта.
Пусть S=A1E...EAm — некоторое разбиение, а F(s) — ступенчатая функция, принимающая значение xi на множестве Ai. Тогда E(F) будет некоторой функцией от xi: E(F)=f(x1,...,xm). В силу аксиомы монотонности эта функция не убывает по каждому аргументу. Однако этого еще не достаточно. Прежде всего, хотелось бы, чтобы такая функция была гладкой, т.е. имела непрерывные производные по своим аргументам. Кроме того, возможны такие ситуации, когда функция f вообще не зависит от xi (скажем, когда событие Ai субъект считает невозможным). Соответствующее множество Ai будем тогда называть нулевым. Все остальные события назовем ненулевыми, и потребуем, чтобы кроме S (которое, очевидно, является ненулевым), было еще по крайней мере три ненулевых события.
Далее, если уж f зависит от xi, хотелось бы, чтобы с ростом xi ожидаемый доход строго возрастал и, более того, чтобы производная этого ожидаемого дохода по xi была положительной. Это свойство можно сформулировать короче. Назовем функцию g(x) сильно возрастающей по x, если она дифференцируема по x и ее производная в каждой точке непрерывна и положительна. Тогда мы требуем, чтобы ожидаемый доход любой ступенчатой функции дохода, принимающей на ненулевом событии A одно и то же значение x, был сильно возрастающей функцией от x.
Заметим теперь, что в процессе разработки проекта его нередко предлагается так или иначе “улучшить” (например, увеличить или уменьшить предусмотренные проектом резервы и запасы или предусмотреть страхование объекта от какого-либо страхового случая). Подобные предложения характерны тем, что они увеличивают затраты по проекту при одних состояниях природы и уменьшают при других. Учитывая эту особенность, возьмем два ненулевых множества Ai и Aj и рассмотрим f(x1,...,xm) как функцию только от xi и xj. Представим себе, что Субъекту предложена корректировка проекта, изменяющая доходы xi и xj соответственно на x?i и x?j, но не меняющей ни доходы при других событиях, ни ожидаемого дохода. Это означает, что пара (xi,xj) в каком-то смысле эквивалентна паре (x?i,x?j). Хотелось бы, чтобы такая эквивалентность имела место независимо от того, какие доходы дает проект при всех остальных событиях:

Такого типа требования в теории полезности (см., например, [19]) называются аксиомами независимости. В случае малых корректировок проекта эта аксиома немного упрощается. Поскольку функция f сильно возрастающая по xi и xj, написанные равенства определяют x?j как некоторую убывающую гладкую функцию от x?i. Ее производная в точке xi отразит, на сколько надо увеличить xj, чтобы скомпенсировать уменьшение xi на малую единицу. Иными словами, эта производная определит относительную ценность прироста возможного дохода xj по сравнению с приростом возможного дохода xi. Такую величину назовем нормой замещения дохода xi доходом xj и обозначим Zji. Легко видеть, что , причем в силу аксиомы независимости эта величина положительна и зависит только от xi и xj. Именно такое требование мы и предъявим к функционалу E.
Пусть теперь множество Aj — нулевое, а Ai — нет. Тогда изменение дохода xi нельзя компенсировать никаким изменением дохода xj. Естественно считать, что такая же ситуация будет иметь место, какими бы ни были доходы проекта при всех остальных событиях. Иными словами, если событие Aj квалифицируется как нулевое при рассмотрении какого-то одной ступенчатой функции, то оно будет квалифицироваться так же и при рассмотрении любых других ступенчатых функций.
Обратим внимание, что, если бы аксиома независимости не выполнялась, то принятие решений даже о малых корректировках проекта существенно усложнилось: оценивая корректировки, влияющие на доходы только при двух возможных событиях, Субъекту пришлось бы учитывать, какие именно доходы проект мог бы дать при всех остальных событиях. Наоборот, если эта аксиома выполняется, малые корректировки проектов оцениваются очень просто. Так, если предлагаемая корректировка проекта уменьшает доходы на малое bi при осуществлении события i и увеличивает доходы на малое bj при осуществлении события j, то это предложение следует отклонить, если отношение bj/bi<Zji, и принять в противном случае.
Возьмем теперь детерминированный проект Ix. Его тоже можно считать ступенчатым, поэтому и у него есть соответствующие нормы замещения Zji. Однако здесь при всех возможных событиях доходы проекта одни и те же, поэтому будет естественным считать, что нормы замещения не зависят от величины x этого дохода.
Теперь мы можем окончательно сформулировать всю систему требований (аксиом) к критерию ожидаемого дохода E(F), который должен быть определен для любых ограниченных функций F(s).
Ожидаемый доход детерминированного проекта совпадает с “обычным” доходом: E(Ib)=b "b, т.е. f(b,...,b)=b.
Монотонность: F(s)> G(s) "s?E(F)> E(G).
Любое событие AIS может быть либо нулевым, либо ненулевым. При этом в S имеются, по крайней мере, три ненулевых события. Если событие A нулевое, то для любой функции F(s), постоянной на A, величина E(F) не зависит от того, какое именно значение F(s) принимает на A.
Если событие A ненулевое, то для любой функции F(s), принимающей на A значение x, E(F) является сильно возрастающей функцией x.
Если события Ai и Aj ненулевые, а ступенчатая функция F(s) принимает на Ai и Aj постоянные значения соответственно xi и xj, то норма замещения дохода xi доходом xj существует, положительна, непрерывно зависит от xi и xj, и не зависит от значений F(s) вне AiEAj.
если события Ai и Aj ненулевые, то для детерминированного проекта Ix норма замещения Zji не зависит от x.
Нашей целью является доказательство следующей теоремы.
Теорема. Выполнение аксиом 1-5 необходимо и достаточно для того, чтобы существовала такая сильно возрастающая функция полезности u(x), что u(0)=0, u(1)=1, и такая конечно-аддитивная нормированная мера P, определенная на всех подмножествах S, что полезность ожидаемого дохода E(F) любого ограниченного проекта F равна усреднению полезности неопределенного дохода проекта по мере P. Это условие можно записать двумя эквивалентными равенствами:
. (33)
Доказательство. Поскольку функционал указанного вида всегда удовлетворяет аксиомам 1-5, то их необходимость очевидна. Доказательство достаточности этих аксиом проводится в два этапа. Вначале, основываясь на этих аксиомах, мы построим функцию полезности u(x), определим меры некоторых событий и подтвердим справедливость (33) для некоторых ступенчатых функций F(s). На втором этапе мы определим меру для всех событий и покажем, что (33) справедливо для любых ограниченных F(s).
Пусть S=A1E...EAnE...EAm — некоторое разбиение, причем множества An+1, ..., Am — нулевые , а все остальные — ненулевые, причем их количество не меньше трех. Рассмотрим ступенчатую функцию F(s), принимающую на каждом при Ai значение xi. Тогда E(F) является некоторой функцией от x1,..., xn: E(F)=f(x1,...,xm). При этом, в силу аксиомы 4, норма замещения Zji (i,j< n) будет положительной непрерывной функцией от xi и xj: . В частности, для любых трех ненулевых событий Ai, Aj и Ak имеем:
.
Но , поэтому . Положив здесь xk=1, получим:
. (34)
Введем теперь n непрерывных положительных функций одного переменного ri(x) следующими формулами:
ri(x)=Z1i(x,1), (i>1); r1(x)=Z21(x,1)r2(1). (35)
Докажем, что . Действительно, если i,j>1, это равенство следует прямо из (34) при k=1. В остальных случаях оно также следует из (34) и (35):
а) если i=1,j>2, то ;
б) если j=1, i>2, то ;
в) если i=1,j=2, то .
Таким образом, . Но для детерминированного проекта Ix нормы замещения не зависят от x. Это означает, что все функции ri(x) пропорциональны друг другу, а стало быть, и функции . Тогда дроби pi=ri(x)/r(x) будут положительными константами, в сумме равными 1, причем . Определим искомую функцию полезности равенством: . Очевидно, что она сильно возрастающая, u(0)=0, u(1)=1, и
. (36)
Отсюда , так что . Это равенство верно при всех i?j, поэтому . Общим решением этого уравнения в частных производных будет с какой-то функцией h. В частности, . Таким образом, функция h будет просто обратной функцией к u: h=u-1. Поэтому функция h — строго возрастающая. Но тогда .
Определим теперь меры множеств Ai так: P(Ai)=pi для любого ненулевого множества Ai и P(Ai)=0, если Ai — нулевое множество. Для каждого множества A, образованного объединением некоторых из множеств Ai, определим меру P(A) как сумму соответствующих P(Ai). Очевидно, что при этом получим P(S)=1. Докажем, что так определенная мера и функция полезности u(x) — искомые. Это делается в несколько шагов.
1. Предположим вначале, что множество Ai — нулевое. Тогда, какое бы разбиение мы ни взяли, Ai окажется нулевым и ему будет приписана мера 0.
2. Выясним, как изменятся меры ненулевых событий, если в исходном разбиении S=A1E...EAm одно из множеств, например, A1, заменить объединением двух его частей: A1=A?1EA?1.
При такой замене новому разбиению S=A?1EA?1EA2E...EAm отвечают какая-то новая функция полезности v(x) и какие-то новые коэффициенты q?1,q?1,q2,...,qm. Возьмем любую ступенчатую функцию F, которая принимает на A1 одно и то же значение x1.
Тогда норму замещения Zji (i,j> 2) можно будет определить и по “старой” и по “новой” формуле. Отсюда в силу (36) имеем:
. (37)
Это означает, что функции u? и v? пропорциональны, поэтому v(x)=au(x)+b. Однако v(0)=u(0), v(1)=u(1), поэтому v(x)=u(x) при всех x. Тогда v?(x)=u?(x), откуда и из (37) следует, что все отношения qi/pi совпадают при i> 2. Заметим теперь, что увеличение дохода x2 на малую единицу может быть скомпенсировано уменьшением дохода x1 при событии A1 на Z12 единиц, или, что то же самое, таким же уменьшением доходов при событиях A?1 и A?1. Но тогда , так что . Поэтому меры q?1+q?1,q2,... ,qm пропорциональны p1,p2,...,pm. Однако сумма тех и других мер равна 1, поэтому они точно совпадают, а стало быть, p1=q?1+q?1, qi=pi при i> 2. Таким образом, при "измельчении" разбиения функция полезности и все "старые" меры сохраняются, а мера "измельчаемого" события становится равной сумме мер образованных из него событий. Легко видеть, что этот вывод будет справедлив и тогда, когда одно из событий A?1 и A?1 — нулевое.
3. Пусть теперь мы построили функции полезности и меры для двух разных разбиений S=A1E...EAm и S=B1E...EBm, про которые нельзя сказать, что одно из них более мелкое, чем другое. Оказывается, что и в этом случае результат будет тот же. Действительно, для этого рассмотрим третье разбиение, образованное всевозможными непустыми пересечениями AiCBj. Это разбиение будет более мелким, чем оба исходных, поэтому функция полезности для третьего разбиения будет такой же, как для двух первых, а любое событие, которое входит и в первое и во второе разбиение, будет иметь там одну и ту же меру.
Таким образом, функция полезности и мера любого события не зависят от того, применительно к какому разбиению мы их определяем, а мера объединения непересекающихся событий равна сумме мер объединяемых событий. Поэтому построенная мера P является конечно-аддитивной и нормированной.
Вернемся теперь к полученному выше выражению для ожидаемого дохода ступенчатой функции: , и заметим, что , поскольку события с номерами, превосходящими n, имеют нулевую меру. Но последняя сумма является усреднением ступенчатой функции u[F(s)] по мере P, так что . Таким образом, равенство (33) справедливо для любых ступенчатых функций F(s).
Осталось доказать его справедливость для любой ограниченной F(s). Для этого, как и при определении усреднения, построим возрастающую и убывающую последовательности ступенчатых функций Gk(s) и Hk(s), равномерно стремящихся к F(s) и таких, что Gk(s) < F(s) < Hk(s). Из аксиомы монотонности следует, что:
. (38)
Поскольку функция полезности u(x) возрастающая и гладкая, то u[Gk(s)] < u[F(s)] < u[Hk(s)], причем функции u[Gk(s)] и u[Hk(s)] будут равномерно стремиться к u[F(s)], соответственно возрастая и убывая. Так же будут вести себя и усреднения этих функций. Поэтому и стремятся к при k®?. Остается заметить, что обратная функция u-1 непрерывна, поэтому правая и левая части (38) стремятся к при k®?, что и доказывает искомое равенство (33). ¦
Мы получили, таким образом, что оценка инвестиционного проекта в условиях внешней неопределенности может производиться по критерию . Но сравнение проектов (вариантов проекта) по такому критерию дает тот же результат, что и сравнение их по более простому критерию , который принято называть критерием ожидаемой полезности.
С практической точки зрения это тот же результат, который получен и Сэвиджем, однако он получен при иных предположениях и ориентирован на более широкую сферу применения. Укажем лишь одно отличие. При наших предположениях функция полезности может быть и неограниченной, зато мы приняли, что ограничена сама функция дохода F(s). Казалось бы, это почти то же самое. На самом деле это не так. Пусть, например, состояния природы “занумерованы” положительными числами, т.е. пространство S — это положительная числовая полуось. Тогда проект, доход которого в состоянии s равен F(s)=s, может быть оценен по Сэвиджу, поскольку функция u(s) ограничена. Под условия нашей теоремы он не подпадает, т.к. доход проекта может быть сколь угодно большим. С другой стороны, функция полезности u(s)=sn при любом n>0 не удовлетворяет теореме Сэвиджа, но отвечает условиям нашей теоремы.
В заключение полезно отметить следующее обстоятельство. Если Субъект, проанализировав систему своих предпочтений в отношении будущих состояний природы, принял некую субъективную НК-меру на S, то он получает возможность оценивать также некоторые проекты с неограниченными доходами. Иными словами, при заданной мере P операция усреднения применима и к некоторым неограниченным функциям F(s). Это делается так.
Рассмотрим произвольную неограниченную функцию F(s) и разложим ее на положительную и отрицательную части:
F(s)= F+(s)-F-(s), где F+(s)=max{F(s),0}, F-(s)=max{-F(s),0}.
Будем определять усреднение для каждой из этих частей в отдельности. Рассмотрим возрастающие последовательности функций Gn(s)=min{F+(s),n} и Hn(s)=min{F-(s),n}. Поскольку все Gn(s) и Hn(s) ограничены, усреднения gn=M[Gn|P] и hn=M[Hn|P] существуют, неотрицательны и с ростом n не убывают. Поэтому при n®? они имеют конечные или бесконечные пределы, соответственно g и h. В том случае, если оба этих предела конечны, функция F(s) называется суммируемой по мере P, а ее усреднение определяется как разность M[F|P]=g-h. Легко проверить, что “обычные” свойства усреднения при этом сохраняются. Однако важно учесть, что функции F(s), суммируемые по одной мере, могут не быть суммируемыми по другой. Поэтому, если даже в иллюстративных целях, рассматривается оценка проекта, доходы по которому могут быть сколь угодно велики по абсолютной величине, приходится предполагать, что функция его дохода суммируема по субъективной НК-мере.
5. АЛЬТЕРНАТИВНАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА СТАВКИ ДИСКОНТА
Ключевой вопрос математики: не всё ли равно?
Виктор Шендерович
5.1. Общее определение ставки дисконта
В ситуации, когда разные инвесторы имеют различные представления о вероятностном распределении доходностей ФТ, бета-модель может оказаться неверной. Однако и задача, которой мы занимаемся, тоже несколько иная. Мы хотим выяснить, какую ставку дисконта должен использовать конкретный инвестор, оценивая конкретный инвестиционный проект, который ему предлагается. При этом будем опираться на общую модель (18)-(20).
Основные предположения будут следующими:
существование депозитов не предполагается (т.е. безрисковых направлений вложений может и не быть);
инвестор может привлекать кредит в любом объеме по ставке r, которая детерминирована и может не совпадать с депозитной (r=?, если инвестору недоступны кредиты под любые проценты);
на шаге 0 инвестор располагает капиталом K;
он знает множество W возможных состояний рынка на шаге 1, и он установил субъективную конечно-аддитивную нормированную меру P на всех его подмножествах;
ему известны брутто-доходности xi(w) каждого i-го ФТ на шаге 1, отвечающие каждому состоянию рынка wIW;
критерием рационального поведения инвестора является максимизация усреднения функции полезности от его наращенного капитала на шаге 1.
Допустим, что на шаге 0 инвестор берет кредит D и вкладывает сумму K+D в некоторый пакет ФТ, имеющий структуру x и зависящую от состояния рынка доходность , где xi — доля i-х ФТ. Тогда на шаге 1 наращенный капитал инвестора составит V(w)=(K+D)xx(w)-Dr. Оптимальному портфелю отвечает наибольшая ожидаемая полезность: U=M{u[V(w)]}?max, где u(V) — функция полезности инвестора, зависящая от его наращенного капитала V, а символ M здесь и далее обозначает усреднение соответствующего выражения по мере P. В дальнейшем указание на зависимость неопределенных доходностей от состояния рынка w будем опускать.
Таким образом, оптимальный инвестиционный портфель будет решением задачи:
(39)
при ограничениях
; (40)
. (41)
При разных функциях полезности u оптимальные портфели будут, вообще говоря, различаться.
Вначале решим эту задачу для нереального случая, когда функция полезности инвестора — линейная: u(V)=V. Здесь целевая функция будет зависеть только от средних доходностей ФТ:
.
Поэтому решение оказывается тривиальным: все средства инвестор должен вложить в ФТ с наибольшей средней доходностью. Если ставка кредита меньше средней нетто-доходности этого ФТ, кредит не должен привлекаться, если она больше, то кредит следует взять в бесконечно большом (практически — как можно большем) объеме. Если же ставка кредита равна средней нетто-доходности “лучшего” ФТ, то привлечение кредита не изменяет целевую функцию. В реальности инвесторы с линейной функцией полезности почти не встречаются. Однако из изложенного вытекает, что если на финансовом рынке есть участники с почти линейной функцией полезности (т.е. почти нейтральные к риску), то либо кредитные ставки должны быть достаточно высоки, либо кредиты должны лимитироваться, чтобы ограничить спрос инвесторов на “дешевые” кредиты.
Рассмотрим теперь более реальную ситуацию, когда функция полезности инвестора — строго выпуклая вверх. Обозначив через p0 двойственную оценку ограничения (40), мы придем к задаче

при условии (41). Поэтому xi и D удовлетворяют системе:
(42)
(43)
Эту систему можно упростить. Умножив (42) на xi и просуммировав по всем i, с учетом (40) получаем:
(44)
Вычитая отсюда (43), найдем:
(45)
Получаемый оптимальный портфель совсем не обязан быть комбинацией рыночного портфеля и безрисковых вложений. Экспериментальные расчеты показали также, что в него могут не войти акции, чья доходность выше рассчитанной по бета-модели, но могут войти те, чья доходность меньше, чем требует бета-модель.

<< Предыдущая

стр. 3
(из 4 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>