<< Предыдущая

стр. 6
(из 45 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Произведение силы на время ее действия (F•dt ) называется импульсом силы. Поэтому соотношение (5.19) читается так: изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы.
Для решения практических задач соотношение (5.19) применяют к процессам малой длительности и записывают в следующем виде
Дp = F-Дt. (5.20)
Здесь Др = р - р0 — изменение вектора импульса, а Дt — длительность процесса.
Пример

Пусть человек массой 70 кг прыгает вверх с места. Скорость его центра масс при отрыве от земли равна 3,5 м/с, продолжительность фазы отталкивания Дt = 0,2 с. Определить силу, развиваемую мышцами ног при толчке.
Решение. Начальная скорость равна нулю, поэтому р0 = 0. В конечной фазе отталкивания импульс р = m?v = 70?3,5 = 245 кг?м/с и, следовательно, Др = р — р0 = 245 кг?м/с. Используя (5.20), находим F = Др/Дt = 245/0,2 = 1225 Н.

Глава 6 ВИДЫ СИЛ В ПРИРОДЕ
6.1. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения
В природе существуют различные силы, которые характеризуют взаимодействие тел. Рассмотрим те силы, которые встречаются в механике.

Гравитационные силы

Вероятно, самой первой силой, существование которой осознал человек, являлась сила притяжения, действующая на тела со стороны Земли. И потребовались многие века для того, чтобы люди поняли, что сила тяготения действует между любыми телами. Первым этот факт понял английский физик Ньютон. Анализируя законы, которым подчиняется движение планет (законы Кеплера), он пришел к выводу, что наблюдаемые законы движения планет вокруг Солнца могут выполняться только в том случае, если между ними действует сила притяжения, прямо пропорциональная их массам и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними. Понимая, что планеты и Солнце ничем, кроме размеров и масс, не отличаются от других тел, Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения.
Любые два тела притягиваются друг к другу. Сила притяжения между точечными телами направлена по прямой, их соединяющей, прямо пропорциональна массам обоих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Под точечными телами в данном случае понимают тела, размеры которых во много раз меньше расстояния между ними.
Силы всемирного тяготения называют гравитационными силами. Коэффициент пропорциональности G называют гравитационной постоянной. Его значение было определено экспериментально: G = 6,7?10-11 Н?м2/кг2.
Сила тяготения, действующая вблизи поверхности Земли, направлена к ее центру и вычисляется по формуле
F = m?g.(6.2)

где g — ускорение свободного падения.
Роль силы тяготения в живой природе очень значительна так как от ее величины во многом зависят размеры, формы и пропорции живых существ.
6.2. Силы упругости. Закон Гука.
Силы, действующие на тело, не только создают его ускорение, но и меняют его форму — создают деформацию.
Например, если один конец пружины закрепить, а на другой конец подействовать силой F (потянуть рукой), то длина пружины увеличится на некоторую величину (х), после чего изменение длины прекратится, рис. 6.1.

Рис. 6.1. Возникновение силы упругости

Прекращение растяжения пружины объясняется тем, что при деформации пружины появляется сила, действующая в противоположную сторону и компенсирующая силу F.
Сила, возникающая при деформации тела и направленная в сторону, противоположную смещению частиц тела, называется силой упругости (Fу).
Сила упругости действует со стороны деформированного тела на тело, с которым оно соприкасается (в данном случае — со стороны пружины на руку).
Растяжение или сжатие под действием приложенной силы испытывает не только пружина, но и все твердые тела. Английский ученый Роберт Гук экспериментально установил следующий закон.
Сила упругости (F ), возникающая при малой (по сравнению с размерами тела) деформации, прямо пропорциональна величине деформации (х) и направлена в сторону, противоположную смещению частиц тела:
Fу = — k?x. (6.3)

Коэффициент пропорциональности k называется жесткостью тела (зависит от размеров, формы и материала). В СИ жесткость выражается в ньютонах на метр (Н/м).
При сжатии динамометра, растяжении эспандера, прыжках на батуте возникает сила упругости. В некоторых случаях, например, при прыжке с трамплина (рис. 6.2), очень важен процесс восстановления формы деформированного тела. Так, при прыжках в воду используют упругий трамплин, который, распрямляясь, сообщает телу спортсмена дополнительную скорость и он прыгает выше (сила упругости деформированного трамплина совершает положительную работу).

Рис. 6.2. Прыжок в воду с использованием трамплина

6.3. Силы трения покоя и скольжения. Коэффициент трения скольжения

Силы, мешающие движению, знакомы человеку с глубокой древности. Каждому известно, как трудно передвигать тяжелые предметы. Это связано с тем, что поверхность твердого тела не является идеально гладкой и содержит множество зазубрин (они имеют различные размеры, которые уменьшаются при шлифовке). При соприкосновении поверхностей двух тел происходит сцепление зазубрин. Пусть к одному из тел приложена небольшая сила (F), направленная по касательной к соприкасающимся поверхностям. Под действием этой силы зазубрины будут деформироваться (изгибаться). Поэтому появится сила упругости, направленная вдоль соприкасающихся поверхностей. Сила упругости, действующая на тело, к которому приложена сила F, компенсирует ее и тело останется в покое.
Сила трения покоя — сила, возникающая на границе соприкасающихся тел при отсутствии их относительного движения.
Сила трения покоя направлена по касательной к поверхности соприкосновения тел (рис. 6.3) в сторону, противоположную силе F, и равна ей по величине: F тр = - F.


Рис. 6.3. Сила трения покоя

При увеличении модуля силы F изгиб зацепившихся зазубрин будет возрастать и, в конце концов, они начнут ломаться. Тело придет в движение.
Сила трения скольжения — сила, возникающая на границе соприкасающихся тел при их относительном движении.
Вектор силы трения скольжения направлен противоположно вектору скорости движения тела относительно поверхности, по которой оно скользит.
Тело, скользящее по твердой поверхности, прижимается к ней какой-либо внешней силой Р (например, силой тяжести), направленной по нормали. В результате этого поверхность прогибается и появляется сила упругости N (сила нормального давления или реакция опоры), которая компенсирует прижимающую силу Р (N = -Р). Чем больше сила N, тем глубже сцепление зазубрин и тем труднее их сломать. Опыт показывает, что модуль силы трения скольжения пропорционален силе нормального давления:
Fcк=м?N. (6.4)

Безразмерный коэффициент м называется коэффициентом трения скольжения. Он зависит от материалов соприкасающихся поверхностей и степени их шлифовки. Например, при передвижении на лыжах коэффициент трения скольжения зависит от качества смазки (сорт мази, толщина слоя мази, качество разравнивания слоя), поверхности лыжни (мягкая, сыпучая, уплотненная, оледенелая, той или иной степени влажности и с тем или иным строением снега в зависимости от температуры и влажности воздуха и др). Большое количество переменных факторов делает сам коэффициент непостоянным. Если коэффициент трения лежит в пределах 0,045—0,055 скольжение считается хорошим.
Можно считать, что максимальное значение силы трения покоя равно силе трения, действующей при скольжении:

В табл. 6.1 приведены значения коэффициента трения скольжения для различных соприкасающихся тел.
Таблица 6.1
Коэффициенты трения скольжения для различных случаев
Условия скольжения
м
Лыжи по снегу
0,045—0,055
Сталь по льду (коньки)
0,015
Шина по сухому асфальту
0,50-0,70
Шина по мокрому асфальту
0,35—0,45
Шина по сухой грунтовой дороге
0,40—0,50
Шина по мокрой грунтовой дороге
0,30-0,40
Шина по гладкому льду
0,15—0,20
Сила трения скольжения всегда мешает движению, а роль силы трения покоя во многих случаях позитивна. Именно благодаря этой силе возможно передвижение человека, животных и наземного транспорта.
Так, при ходьбе (рис. 6.4, а) человек, напрягая мышцы опорной ноги, отталкивается от земли, стараясь сдвинуть подошву назад. Этому препятствует сила трения покоя направленная в обратную сторону — вперед. Она и сообщает ускорение человеку. Для тренировок спортсменов (космонавтов) применяются специальные дорожки, установленные на подвижных роликах (рис. 6.4, б). В этом случае бегущий человек, отталкивая дорожку, заставляет ее двигаться в обратную сторону. Таким же образом отталкиваются от дороги и колеса автомобиля (рис. 6.4, в).
Сила трения снижает спортивные результаты, поэтому ведутся непрерывные исследования по ее уменьшению. Одним из направлений повышения результатов в лыжном спорте является совершенствование мазей.
Первоначально в качестве мазей для лыж использовались пчелиный воск, смола деревьев, растительные масла. В настоящее время появились новые мази — научно разработанные составы для обработки скользящей поверхности.


Рис. 6.4. Проявления силы трения покоя: а) обычная ходьба, б) бег по дорожке на роликах, в) колесо автомобиля

6.4. Сила трения качения

Этот вид трения проявляется при качении и связан не с деформацией зазубрин, а с деформацией дороги (прогиб) и самого колеса (небольшое сплющивание), рис. 6.5.
При качении по мягкому покрытию колесо вдавливается в опору, образуя ямку, через край которой ему все время приходится перекатываться, рис. 6.5, а. Французский физик Ш. Кулон на основе опытов нашел, что сила трения качения (Fкач) пропорциональна силе нормального давления N и обратно пропорциональна радиусу г колеса:


Рис. 6.5. Возникновение силы трения качения при езде на велосипеде

b
Fкач = N?------
r
Из формулы видно, что коэффициент трения качения зависит от радиуса колеса и выражается в единицах длины (м или см). Значения коэффициента трения качения для некоторых веществ приведены в табл. 6.2.
При движении по твердому покрытию сила трения качения связана с деформацией самого колеса. С этой силой особенно приходится считаться в вело- и мотоспорте. Ее величина определяется по формуле:

Таблица 6.2
Коэффициент трения качения, см
Условия качения
k
Колесо стальное по стальному рельсу
0,05
Деревянный каток по дереву
0,05—0,08
Стальное колесо по дереву
0,15—0,25
Резиновая шина по асфальту
0,02
Дерево по стали
0,03-0,04
Шарик из стали по стали
0,0005-0,0010
где N — сила нормального давления; b — расстояние между теоретической точкой опоры шины и фактической первой точкой встречи шины с поверхностью, по которой проходит перемещение, рис. 6.5, б.
Сила трения качения много меньше силы трения скольжения, поэтому колесо широко используется в различных видах транспорта.
111
6.5. Сила сопротивления при движении в жидкости или газе

Силы трения, рассмотренные выше, не зависели от скорости движения тела. Иначе обстоит дело при движении тела в жидкой или газообразной среде. Сила, действующая на тело в этом, случае, называется силой сопротивления. Силы сопротивления очень зависят от формы тела и возрастают при увеличении скорости его движения относительно среды. Если тело не движется относительно среды, то сила сопротивления равна нулю, т. е. аналога силе трения покоя в данном случае нет. Зависит сила сопротивления и от качества поверхности тела. Именно этим объясняется, что пловцы все чаще выступают в специальных костюмах, снижающих силу сопротивления.
Скорость спортсмена и сила сопротивления встречного потока воздуха связаны между собой следующим соотношением:

где S — величина, пропорциональная поверхности сопротивления (которая зависит от положение тела); где kс — коэффициент сопротивления (который зависит от обтекаемости фигуры, поверхности одежды, а также от плотности прилегания спортивной формы к туловищу); р — плотность воздуха.
Сопротивление воздуха растет пропорционально квадрату скорости. Это означает, например, что при увеличении скорости на 20% сила сопротивления возрастает на 44%. Отметим, что v — это скорость движения относительно воздуха. Поэтому наличие ветра и его направление оказывают существенное влияние на силу сопротивления воздуха. Если скорость движения спортсмена v , а скорость ветра и, то при встречном ветре v1 = vд + и, а при попутном ветре v2 = vд — и. Если взять vд = 10 м/с, а и = 1 м/с, то

Глава 7 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

7.1. Плечо силы. Момент силы. Момент инерции тела. Кинетическая энергия вращающегося тела. Основное уравнение динамики вращательного движения
При вращении твердого тела относительно оси, скорости точек, лежащих на разных расстояниях от оси вращения, различны, в то время как угловые скорости всех его точек одинаковы. Поэтому для описания вращения твердого тела используют, в основном, угловую скорость и угловое ускорение его вращения. В подразделе (4.5) были введены понятия момента силы (4.12) и момента инерции (4.14) для материальной точки, с помощью которых был записан закон вращения (4.15). Распространим эти понятия на твердое тело, вращающееся вокруг оси (О) под действием некоторой силы. Если сила (Fд) не перпендикулярна оси вращения, то ее раскладывают на две составляющие, одна из которых параллельна оси вращения, а вторая лежит в плоскости, перпендикулярной оси (рис. 7.1).
Составляющая силы, направленная параллельно оси (Р0), не может вызвать вращения (она стремится двигать тело вдоль оси) и в дальнейшем рассматриваться не будет. Поэтому при описании вращательного движения будем принимать во внимание только те составляющие сил, которые лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вращения и на рисунках изображать только их.


Рис. 7.1. Составляющие силы, действующей на вращающееся тело
Момент и плечо силы определяются точно так же, как и для вращения материальной точки (рис. 7.2).


Рис. 7.2 Плечо (h) силы (F) относительно оси вращения
Плечом силы (h), лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения, называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.
Моментом силы (М) относительно оси вращения называется произведение величины силы на ее плечо:

Момент силы берется со знаком «+», если сила стремится повернуть тело по часовой стрелке и со знаком «—» в противном случае (на рис. 7.2 момент силы F равен М = —F?h).
Моментом инерции твердого тела относительно оси называется сумма моментов инерции всех его точек.
Для тел, обладающих симметрией, момент инерции находится методом интегрирования. Для примера найдем момент инерции стержня массой т и длиной l, расположенного перпендикулярно оси, проходящей через его конец (рис. 7.3).

Рис. 7.3. К вычислению момента инерции стержня
Выделим элементарный участок стержня длиной dx, находящийся на расстоянии х от оси вращения. Его масса от dm = . Момент инерции выделенного участка найдем по формуле (4.14) для материальной точки:

Величина х может изменяться в пределах от 0 до l, поэтому момент инерции всего стержня равен интегралу в этих пределах:

Момент инерции используется при вычислении кинетической энергии вращающегося тела и при описании самого вращения.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг оси равна половине произведения его момента инерции на квадрат угловой скорости:

Уравнение, описывающее вращение твердого тела, называется основным уравнением динамики вращательного движения и фактически не отличается от уравнения (4.15) для материальной точки:
угловое ускорение (е) при вращении тела вокруг неподвижной оси прямо пропорционально суммарному моменту (М) действующих сил и обратно пропорционально моменту инерции тела (J) относительно оси вращения:


7.2. Момент импульса тела. Изменение момента импульса
Основное уравнение вращательного движения (7.3) можно преобразовать к виду, который оказывается полезным при решении многих задач:

Выражение, стоящее в скобках, называется моментом импульса тела.
Моментом импульса (L) тела, вращающегося вокруг оси, называется величина, равная произведению момента инерции относительно данной оси на угловую скорость вращения:
L = J ?(щ). (7.5)
Размерность момента импульса в СИ — кг?м2/с.
Примечание. В тех случаях, когда угловую скорость вращения рассматривают как вектор, момент импульса тоже является вектором. В настоящем учебнике такие случаи не рассматриваются.
С учетом этого определения выражение (7.4) принимает вид:
dL
М= —— или
at

Важное следствие уравнения (7.6) будет рассмотрено в разделе «Законы сохранения».

7.3. Моменты инерции некоторых тел
Моменты инерции некоторых симметричных тел представлены на рис. 7.4.
Приблизительные значения моментов инерции туловища человека и его конечностей вычисляются по формулам для цилиндра или с помощью опытных данных. Для длинных звеньев конечностей моменты инерции приближенно равны 0,3 ml2 (где т — масса звена, l — его длина). Моменты инерции элементов конечностей представлены в табл. 7.1.
На рис. 7.5 показаны моменты инерции тела относительно разных осей.
Момент инерции тела человека относительно заданной оси определяется как сумма моментов инерции всех звеньев тела относительно той же оси. Наименьший момент инерции тело человека имеет в выпрямленном состоянии относительно продольной оси тела, проходящей через его центр масс. Целенаправленное изменение момента инерции тела человека широко используется при управлении вращательными движениями в различных видах cпорта.




Рис. 7.4. Моменты инерции некоторых однородных тел

Таблица 7.1
Моменты инерции элементов конечностей
Название звена тела человека
Момент инерции, кгм2
Верхняя конечность (масса 4,2 кг)
0,3
Нижняя конечность
1,7
Большой палец руки
0,00006
Средний палец руки
0,00014
Мизинец руки
0,00004



Рис. 7.5. Моменты инерции тела вокруг разных осей (в относительных единицах)
Момент инерции относительно вертикальной оси вращения, проходящей через центр масс (центр масс человека находится в саггитальной плоскости несколько впереди второго крестцового позвонка) в зависимости от положения человека, имеет следующие значения, рис. 7.6: а) 1,2 кг?м2 — при стойке «смирно», б) 8 кг?м2 — при стойке «арабеск», в) 17 кг?м2 — в горизонтальном положении.


Рис. 7.6. К определению момента инерции тела в различных положениях: а) «смирно», б) «арабеск», в) горизонтальное положение
Пример
Вращательные движения без опоры.
В случае вращения вокруг свободных осей, внешнего удерживающего тела не существует. Звенья вращающегося тела спортсмена удерживаются на криволинейных траекториях внутренними связями. Ось вращения неизменно проходит через ОЦМ тела, рис. 7.7.

Рис. 7.7. Вращательное движение на перекладине и соскок дугой с сальто

При соскоке дугой с сальто вперед из положения упора на перекладине стоя согнувшись, гимнаст под действием силы тяжести совершает движение вокруг оси перекладины назад. Из позы 2, резко разгибая ноги в тазобедренных суставах и сгибая в коленных, гимнаст отпускает перекладину и переходит в позу 3. Вращательное движение вокруг свободной оси, проходящей через ОЦМ, созданное к моменту отрыва от перекладины, резко ускоряется благодаря энергичному группированию — сгибанию тела вперед. Части тела приближаются к оси вращения, уменьшают момент инерции относительно поперечной оси. По закону сохранения момента инерции до позы 5 происходит нарастание скорости. Начиная с позы 5 гимнаст распрямляет тело, момент инерции относительно поперечной оси увеличивается, и вращение вокруг нее перед приземлением замедляется, поза 6.

7.4. Свободные оси

Тело может вращаться не только вокруг закрепленной оси, но и вокруг оси, которая не закреплена. В любом теле можно выбрать такие оси, направление которых при вращении вокруг них будет сохраняться без каких либо специальных устройств (например, подшипников). Такие оси называют свободными.
Свободные оси — оси, которые без специального закрепления сохраняют свое направление в пространстве.
Пример: ось вращения Земли и волчка, ось всякого брошенного и свободно вращающегося тела.
Очевидно, что для однородных тел свободной осью является ось полной геометрической симметрии. Можно доказать, что в любом теле имеется не менее трех взаимно перпендикулярных свободных осей вращения, эти оси называются главными осями инерции. При этом оказывается, что при отсутствии внешних воздействий устойчивым является вращение тела только вокруг двух осей, относительно которых оно имеет наибольший или наименьший момент инерции. Например, если, подбросив тело, привести его во вращение относительно произвольной оси, то, падая, оно само по себе перейдет к вращению вокруг оси, которой соответствует или наибольший, или наименьший момент инерции. В некоторых случаях, когда тело вращается около свободной оси с малым моментом инерции, оно самопроизвольно изменяет эту ось на ось с наибольшим моментом. На рис. 7.8 показана иллюстрация этого явления.



Рис. 7.8. Изменение свободной оси
К электродвигателю подвешено на нити цилиндрическое тело, которое может вращаться вокруг своей вертикальной геометрической оси (а) с моментом инерции J1 = . При достаточно большой угловой скорости тело изменит свое положение (б). Момент инерции относительно новой оси равен J2 = . Если L2 > 6 R2, то J2 > J1,. Вращение вокруг новой оси будет устойчивым.
Вращение человека в свободном полете и при различных прыжках происходит вокруг главной оси с наибольшим или наименьшим моментом инерции. Так как положение центра масс зависит от позы, то при различных позах направления главных осей будут различны.
У человека из-за наличия многозвенных, большей частью открытых в ходе движения кинематических цепей, имеется большое число степеней свободы. Так, подвижность кончиков пальцев относительно грудной клетки определяется 12 степенями свободы; запястья относительно лопатки — 7; а общее число степеней свободы всего тела — трехзначное число.




Пример
На рис. 7.9. представлена упрощенная модель скелета руки. Кинематическая схема показывает подвижные звенья скелета и типы шарнирных соединений (два шаровых шарнира и один цилиндрический). Эта модель имеет семь степеней свободы: три степени свободы в плечевом поясе, одна степень свободы в локтевом суставе и три степени свободы у кисти. На динамической схеме стрелками показаны оси вращения, соответствующие этим степеням свободы.

7.5. Статика. Центр тяжести. Рычаги и блоки

Часть динамики, изучающая условия равновесия тел, называется статикой ( rp. states — стоящий).
Равновесием тела называется такое его положение, которое сохраняется без дополнительных воздействий. Опираясь на уравнения динамики поступательного и вращательного движений, можно сформулировать следующие условия равновесия твердого тела.
• Тело не начнет двигаться поступательно, если сумма сил, действующих на него, равна нулю:
F1+F2+F3+... = 0. (7.7)

• Тело не придет во вращательное движение, если для любой оси сумма моментов сил, действующих на него, равна нулю:
М1+М2+М3+...=0. (7.8)

Равенство (7.8) называется правилом моментов.
Условиями равновесия покоящегося тела являются одновременное равенство нулю суммы сил и суммы моментов сил, действующих на тело.
Выясним, какое положение должна занимать ось вращения, чтобы закрепленное на ней тело оставалось в равновесии под действием сил тяжести. Для этого разобьем тело на множество маленьких кусочков и нарисуем действующие на них силы тяжести (рис. 7.10).


Рис. 7.10. Центр тяжести тела

В соответствии с правилом моментов для равновесия необходимо, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно оси равнялась нулю.
Можно показать, что для каждого тела существует единственная точка, где сумма моментов сил тяжести относительно любой оси, проходящей через эту точку, равна нулю. Эта точка называется центром тяжести (обычно совпадает с центром масс).
Центром, тяжести тела (ЦТ) называется точка, относительно которой сумма моментов сил тяжести, действующих на все частицы тела, равна нулю.
Таким образом, сила тяжести не вызывают вращения тела вокруг центра тяжести. Поэтому все силы тяжести можно было бы заменить единственной силой, которая приложена к этой точке и равна силе тяжести.
Для тела спортсмена часто вводится общий центр тяжести (ОЦТ).
Основные свойства центра тяжести:
1) если тело закреплено на оси, проходящей через центр тяжести, то сила тяжести не будет вызывать его вращения;
2) центр тяжести является точкой приложения силы тяжести;
3) в однородном поле тяжести центр тяжести совпадает с центром масс.
Равновесным называется такое положение тела, при которым оно может оставаться в покое сколь угодно долго. При
отклонении тела от положения равновесия, силы, действующие на него, изменяются, и равновесие сил нарушается. Существуют различные виды равновесия (рис. 7.11) для тела, опирающегося на одну точку:
• устойчивое равновесие (рис. 7.11, а) — при малом отклонении тела от положения равновесия возникает сила, стремящаяся возвратить тело в исходное состояние;
• безразличное равновесие (рис. 7.11, б) — при малом отклонении тело остается в положении равновесия;
• неустойчивое равновесие (рис. 7.11, в) — при малом отклонении тела из положения равновесия возникают силы, стремящиеся увеличить это отклонение.

Рис. 7.11, Равновесие тела на поверхности: устойчивое (а), безразличное (б) и неустойчивое (в)

<< Предыдущая

стр. 6
(из 45 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>