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. 11
( 19 .)



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íåï®±°å¤±òâåíí® ïå°å¤ íè¬, è è±ò®·íèꮬ ï®±«å¤óþùå©
§à íè¬ ¤óãè. Îáå ê®íöåâ»å ò®·êè êত®© ¤óãè í൮¤ÿò±ÿ â
ï®±«å¤®âàòå«üí®±òè. „«èíà ¬à°ø°óòà å±òü ·è±«® ¤óã â ï®±-
«å¤®âàòå«üí®±òè. Ìà°ø°óò ¤«èí» k í৻âå¬ "k-¬à°ø°ó-
ò®¬".
Îï°å¤å«åíèå 9. Èíòåí±èâí®±òü ¬à°ø°óòà ¤«èí» k ®ò ó§«à i ¤® ó§«à j å±òü
ï°®è§âå¤åíèå èíòåí±èâí®±òå© ¤óã â ¬à°ø°óòå.
Îï°å¤å«åíèå 10. Îáùàÿ èíòåí±èâí®±òü â±åµ k-¬à°ø°óò®â ®ò ó§«à i ¤®
ó§«à j å±òü ±ó¬¬à èíòåí±èâí®±òå© ¬à°ø°óò®â.
Îò¬åòè¬, ·ò® ¤«ÿ ®áùå© èíòåí±èâí®±òè 1-¬à°ø°óò®â (ïå°â»µ ¬à°-
òø°óò®â) áå°åò±ÿ ±ó¬¬à èíòåí±èâí®±òå© â±åµ 1-¬à°ø°óò®â ®ò i ¤® j. ‚±å
èíòåí±èâí®±òè ⤮«ü ¤óãè i, j ±·èòàþò±ÿ °àâí»¬è. Ï®ýò®¬ó ®áùàÿ èíòåí-
±èâí®±òü ®ò i ¤® j ﮫó·àåò±ÿ °àâí®© tij = pij qij , ã¤å pij – ·è±«® ¤óã ®ò i


56
¤® j, à qij èíòåí±èâí®±òü êত®© ¤óãè.
Îï°å¤å«åíèå 11. „«ÿ §à¤àíí®ã® íàï°àâ«åíí®ã® ã°àôà D ¬àò°èöà èíòåí-
±èâí®±òè-èíöè¤åíòí®±òè U=(uij) ®ï°å¤å«ÿåò±ÿ êàê ¬àò-
°èöà, ý«å¬åíòà¬è ê®ò®°®© ÿâ«ÿþò±ÿ uij=tij ¤«ÿ â±åµ i è j.
Ï°è¬å° 2. Íà °è±óíêå ·è±«® °ÿ¤®¬ ± êত®© ¤ó㮩 ï®ê৻âàåò åå


LM 1 OP
èíòåí±èâí®±òü. Ìàò°èöà èíòåí±èâí®±òè-èíöè¤åíòí®±òè U=(u ), à±±®-
ij




MM 3 PP
3/ 2 2


N 1Q
U = 2/3 1 3 . Îáùàÿ èíòåí-
öèè°óå¬àÿ ± ýòè¬ ã°àô®¬, áó¤åò
2
1




±èâí®±òü 1-µ ¬à°ø°óò®â ®ò i ¤® j ï°å¤-
1




±òàâ«åíà (i,j)-¬ ý«å¬åíò®¬ ýò®© ¬àò-
1




°èö».
1/2

1/2
1/2




Îáùàÿ èíòåí±èâí®±òü ¬à°ø°ó-
òà ¤«èí» 2 ®ò ó§«à 1 ¤® ó§«à 3 °àâíà
1

1/3
 1/3
1




±ó¬¬å ±«å¤óþùèµ ò°åµ âå«è·èí â¬å-
1
1
1
1




±òå ± ±®®òâåò±òâóþùè¬ ¬à°ø°óò®¬,
觮á°à¦åíí»¬ ±ï°àâà:
!
1

1




3 (1 / 2 — 1) + (1 / 2 — 1) + (1 / 2 — 1) : x12 , x23
1 1




2(1 — 1) : x11 , x13
2(1 — 1) : x13 , x33


Ï°è ýò®¬ êতàÿ ¤óãà ¬å¦¤ó ïå°â»¬è ¤âó¬ÿ ó§«à¬è áå°åò±ÿ ï®
®¤í®¬ó °à§ó ± êত®© ¤ó㮩 ¬å¦¤ó ¤âó¬ÿ âò®°»¬è ó§«à¬è. ‘ó¬¬à ýòèµ
âå«è·èí °àâíà 17/2. Ýò® å±òü ý«å¬åíò (1,3) ¬àò°èö» U2. ’àêè¬ ®á°à§®¬
¬®¦í® ï®êà§àòü, ·ò® ¤«ÿ â±åµ i è j ®áùàÿ èíòåí±èâí®±òü 2-¬à°ø°óò®â ®ò


LM 8 OP
ó§«à i ¤® ó§«à j áó¤åò (i,j)-¬ ý«å¬åíò®¬ ¬àò°èö»



MM 22 / 3P . Îá®áùè¬ °å§ó«üòàò.
7 17 / 2


13 P
N22 / 3 Q
U2 = 31 / 3 8
17 / 2

57
’å®°å¬à 3. uij ( k ) ’ (i , j ) -© ý«å¬åíò ¬àò°èö» Uk ÿâ«ÿåò±ÿ ®áùå©
èíòåí±èâí®ò±üþ k-¬à°ø°óò®â ®ò ó§«à i ¤® ó§«à j.
‘«å¤±òâèå. …±«è qij =1 ¤«ÿ â±åµ i è j, ò® (i , j ) -© ý«å¬åíò â Uk ÿâ«ÿ-
åò±ÿ ·è±«®¬ k-¬à°ø°óò®â ®ò i ¤® j.
„«ÿ °à±±¬àò°èâà嬮© ï°®á«å¬» âà¦íà ®á°àòíàÿ §à¤à·à èíòå°ï°å-
òàöèè ±òåïåíå© ¬àò°èö» ¤«ÿ ﮤ±·åòà èíòåí±èâí®±òè ¬à°ø°óò®â.
Áó¤å¬ à±±®öèè°®âàòü ± êত»¬ è§ n â褮⠤åÿòå«üí®±òè íàøå© ï°®-
öå¤ó°» ïà°í»µ ±°àâíåíåè© ó§å« íàï°àâ«åíí®ã® ã°àôà D. ‚ ýò®¬ ±«ó·àå
¬àò°èöà èíòåí±èâí®±òè-èíöè¤åíòí®±òè U å±òü íå ·ò® èí®å, êàê ¬àò°èöà
±ó¦¤åíè©. —豫èòå«ü pij (i,j)-ã® ý«å¬åíòà òàꮩ ¬àò°èö» (ﮫàãàÿ, ·ò® ®í
¤àí â ±°àâíèòå«üí® ï°®±ò®© ¤°®áí®© ô®°¬å) ï°å¤±òàâ«ÿåò ±®á®© ·è±«®
¤óã, íàï°àâ«åíí»µ ®ò âå°øèí» i ê âå°øèíå j. Èíòåí±èâí®±òü êত®© ¤óãè
®ò i ¤® j ®¤íà è òà ¦å è °àâíà ®á°àòí®© âå«è·èíå qij §íà¬åíàòå«ÿ ý«å¬åí-
òà. Ýò® å±òå±òâåíí»© ±ï®±®á ®ï°å¤å«åíèÿ ±®®òâåò±òâóþùåã® ã°àôà, òàê
êàê ¤«ÿ qij =1 ®í ±â®¤èò±ÿ ê ®á»·í®© ¬àò°èöå âå°øèí, k-àÿ ±òåïåíü
ê®ò®°®© ¤àåò ·è±«® ¬à°ø°óò®â ¤«èí» k.
Èíòå°ï°åòè°®âàòü (i,j)-© ý«å¬åíò ¬àò°èöà À ¬®¦í® êàê ï°ÿ¬®å
ï°åâ®±µ®¤±òâ®, è«è èíòåí±èâí®±òü âà¦í®±òè âè¤à ¤åÿòå«üí®±òè i ®òí®±è-
òå«üí® âè¤à ¤åÿòå«üí®±òè j. Îí â»°à¦àåò ®òí®±èòå«üí»© âê«à¤, ê®ò®°»©
âè¤ ¤åÿòå«üí®±òè i âí®±èò â ¤®±òè¦åíèå ®ï°å¤å«åíí®© öå«è ï® ±°àâíåíèþ
± âê«à¤®¬, âí®±è¬»¬ â褮¬ ¤åÿòå«üí®±òè j. Í®°¬à«è§®âàíí»å ±ó¬¬»
±ò°®ê ¬àò°èö» À ï°å¤±òàâ«ÿþò ±®á®© ó°®âåíü âê«à¤à ±®®òâåò±òâóþùèµ
â褮⠤åÿòå«üí®±òè ®òí®±èòå«üí® â±åµ ¤°óãèµ â褮⠤åÿòå«üí®±òè, à ¬àò-
°èöà À2 – èí¤åê± ®í®±èòå«üí®© âà¦í®±òè ï°åâ®±µ®¤±òâà ± ó·åò®¬ â±åµ 2-
¬à°ø°óò®â. Ï®±«å¤íè© ®áå±ïå·èâàåò ê®±âåíí®å ±°àâíåíèå ïà° ·å°å§ ®¤íó
ï°®¬å¦óò®·íóþ âå°øèíó. ‘«å¤®âàòå«üí®, ó°®âåíü âà¦í®±òè âè¤à ¤åÿ-
òå«üí®±òè ï®â»øàåò±ÿ è«è ±íè¦àåò±ÿ â ±®®òâåò±òâèè ± åã® â§à謮±âÿ§üþ ±
¤°óãè¬è âè¤à¬è ¤åÿòå«üí®±òè. ‚ ®áùå¬ ±«ó·àå ýôôåêò ï°åâ®±µ®¤±òâà ¬å¦-
¤ó âè¤à¬è ¤åÿòå«üí®±òè ¬®¦í® ﮫó·èòü, ⻷豫ÿÿ ï°å¤å«üí®å §íà·åíèå
±ó¬¬» ±ò°®ê Ak ¬àò°èöà À k-®© ±òåïåíè. Êত®å ·è±«®, í®°¬à«è§®âàí-
í®å ï®±°å¤±ò⮬ ±ó¬¬» ýòèµ âå«è·èí, ±«ó¦èò ®áùè¬ èí¤åê±®¬ ï°åâ®±-
µ®¤±òâà, è«è ï°è®°èòåò®¬, ±°å¤è â褮⠤åÿòå«üí®±òè.
”®°¬à«üí®å ï®íÿòèå ®òí®±èòå«üí®ã® ï°åâ®±µ®¤±òâà âè¤à ¤åÿòå«ü-


58
í®±òè i íठâ褮¬ ¤åÿòå«üí®±òè j §à k-øàã®â ¬®¦í® °à§úÿ±íèòü â òå°¬è-
íൠ®áùå© èíòåí±èâí®±òè â±åµ k-¬à°ø°óò®â ®ò ó§«à i ¤® ó§«à j. Îòí®±è-
òå«üí®å ï°åâ®±µ®¤±òâ® âè¤à ¤åÿòå«üí®±òè i íठ¤°óãè¬ â褮¬ ¤åÿòå«üí®±-
òè j ï°ÿ¬® è ê®±âåíí®, ·å°å§ ï°®¬å¦óò®·í»å â褻 ¤åÿòå«üí®±òè, §à k-
øàã®â ï°å¤±òàâ«åí (i,j)-¬ ý«å¬åíò®¬ ¬àò°èö» Ak. ȧ-§à íà«è·èÿ ïåò«è
íà êত®© âå°øèíå ﮫó·àåò±ÿ, ·ò® êত»© âµ®¤ ¬àò°èö» Ak ÿâ«ÿåò±ÿ
±ó¬¬®© â±åµ ¬à°ø°óò®â ¤«èí», ¬åíüøå© è«è °àâí®© k. ‘ꮫüê® °à§ âê«þ-
·åí êত»© ¬à°ø°óò §àâè±èò ®ò åã® ¤«èí» è ®ò ·è±«à ï°å±òàí®â®ê åã®
ïåòå«ü ï°è ﮫó·åíèè è±ê®¬®© ¤«èí» ¬à°ø°óòà. Ïåò«ÿ ±à¬à ï® ±åáå ï°è-
¤àåò å¤èíè·íóþ èíòåí±èâí®±òü ¬à°ø°óòó. ‘«å¤®âàòå«üí®, ®áùàÿ èíòåí-
±èâí®±òü ¬à°ø°óòà íå ¬åíÿåò±ÿ ï°è ï°®µ®¦¤åíèè ⤮«ü ïåò«è íå±ê®«üê®
°à§.
’å®°å¬à 4. Ïó±òü A=(aij) – (nxm)-¬àò°èöà ±°àâíåíè©; aij(k) –
(i,j)-© ý«å¬åíò ¬àò°èö» Ak ï°å¤±òàâ«ÿåò ±®á®© ®òí®±èòå«üí®å ï°åâ®±µ®¤-
±òâ® (è«è âà¦í®±òü) âè¤à ¤åÿòå«üí®±òè i íठâ褮¬ ¤åÿòå«üí®±òè j §à k-
øàã®â.
Îï°å¤å«åíèå 12. Èí¤åê± ï°åâ®±µ®¤±òâà wi(k) âè¤à ¤åÿåò«üí®±òè i íà¤
â±å¬è ¤°óãè¬è âè¤à¬è ¤åÿòå«üí®±òè §à k-øàã®â ®ï°å¤å«ÿ-
n n n
åò±ÿ êàê wi ( k ) = ‘a ( k ) / ‘ ‘ aij ( k ). ’àêè¬ ®á°à-
ij
j =1 i =1 j =1

§®¬, wi(k) – ±ó¬¬à i-®© ±ò°®êè Ak, ¤å«åííàÿ íà ±ó¬¬ó
±ò°®ê.
Îï°å¤å«åíèå 13. Îáùè© èí¤åê± ï°åâ®±µ®¤±òâà wi âè¤à ¤åÿòå«üí®±òè i íà¤


F I
â±å¬è ¤°óãè¬è âè¤à¬è ¤åÿòå«üí®±òè ®ï°å¤å«ÿåò±ÿ êàê


w = lim w ( k ) = limG ‘ a ( k ) / ‘ ‘ a ( k )J
H K.
n n n

i i ij ij
k ’∞ k ’∞
j =1 i = 1 j =1

Îï°å¤å«åíèå 14. Èí¤åê± ï°è®°èòåòà, à±±®öèè°ó¬»© ± â褮¬ ¤åÿòå«üí®±òè
i, ÿâ«ÿåò±ÿ ®áùè¬ èí¤åê±®¬ åã® ï°åâ®±µ®¤±òâà wi.
5.1.4. Ï®«®¦èòå«üí»å ®á°àòí®±è¬¬åò°è·í»å ¬àò°èö» è èµ ±®á±òâåí-
í»å §íà·åíèÿ
Êâरàòí»å ¬àò°èö» À=(àij), ¤«ÿ ê®ò®°»µ àij>0, i, j = 1,2 ...n,
àij=1/ àij, i,j= 1,2 ...n, áó¤å¬ í৻âàòü ﮫ®¦èòå«üí»¬è, ®á°àòí®±è¬-
¬åò°è·í»¬è ¬àò°èöà¬è.
59
Ï®«®¦èòå«üí»å ®á°àòí®±è¬¬åò°è·í»å ¬àò°èö» À=(àij), ¤«ÿ ý«å-
¬åíò®â ê®ò®°»µ â»ï®«íÿåò±ÿ ±®®òí®øåíèå aik=aijajk , i,j,k = 1,2,...,n
ÿâ«ÿþò±ÿ ±®ã«à±®âàíí»¬è.
5.1.5. Íåï°èâ®¤è¬»å ¬àò°èö»
Îá°àòí®±è¬¬åò°è·í»å ¬àò°èö» ï®ïà°í®ã® ±°àâíåíèÿ íå ±®¤å°¦àò
íó«å©, ±«å¤®âàòå«üí® ®íè â±åã¤à íåï°è⮤謻.


LM A OP
Îï°å¤å«åíèå 15. Êâरàòíàÿ ¬àò°èöà – íåï°è⮤è¬àÿ, å±«è ®íà íå ¬®¦åò



NA Q
0
, ã¤å À1 è À3 – êâà¤-
1
á»òü ï°å¤±òàâ«åíà â âè¤å
A3
2

°àòí»å ¬àò°èö», 0 – íó«åâàÿ ¬àò°èöà. ‚ ï°®òèâí®¬ ±«ó-


LM’2 OP
·àå ¬àò°èöó í৻âàþò ï°è⮤謮©.



Ï°è¬å° 3. Ìàò°èöà A = M 1 PP
01

MN 3 Q
3 4 ï°è⮤è¬à.
02
ðàô, ±®®òâåò±òâóþùè© ýò®© ¬àò°èöå è¬ååò ¤óãó è§ ïå°â®© â ïå°-
âóþ è ò°åòüþ âå°øèí» è àíà«®ãè·í® è§ ò°åòüå© â ïå°âóþ è ò°åòüþ âå°øè-
í», í® ïå°åµ®¤ â® âò®°óþ âå°øèíó íå⮧¬®¦åí. ‘® âò®°®© âå°øèí» ¬®¦í®
ïå°å©òè â® â±å ò°è âå°øèí».
’àêè¬ ®á°à§®¬, ïå°âàÿ è ò°åòüÿ âå°øèí» ®á°à§óþò íåï°è⮤è¬óþ
ꮬï®íåíòó, à âò®°àÿ ±âÿ§àíà ± íè¬è.
1




4

1 2 3


3 2
1




-2
3


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