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. 12
( 19 .)



>>



Çà¬åòè¬, ·ò® ꮬï«åê±íàÿ ¬àò°èöà À íåï°è⮤è¬à â ò®¬ è ò®«üê®
â ò®¬ ±«ó·àå, 屫è åå íàï°àâ«åíí»© ã°àô D(À) – ±è«üí® ±âÿ§í»©.
’å®°å¬à 5. Êâरàòíàÿ ¬àò°èöà è«è íåï°è⮤è¬à, è«è íå ¬®¦åò
á»òü ï°èâå¤åíà ïóòå¬ ïå°å±òàí®â®ê èí¤åê±®â ê âè¤ó:



60
LM A OP
MM 0 PP
L L
0 0 0 0
1

A2 L L
0 0 0

MM 0 P
0P
M M M M M

MM A 0 P.
L Ak L
0 0

P
MM M MP
Ak +1,2 L Ak +1,k Ak +1 L


AP
k +1,1




NA Q
M M M
Am2 L Amk Am k +1 L
m1 m


±®¤å°¦àùå¬ó á«®ê – ¤èàã®íà«üíóþ ¬àò°èöó ± íåï°è⮤謻¬è ¬àò-
°èöà¬è Ài íà ¤èàã®íà«è. Ï°è ýò®¬, ï® ê°à©íå© ¬å°å, ®¤íà è§ ¬àò°èö ±
¤â®©í»¬ èí¤åê±®¬ â êত®© ±ò°®êå, â ê®ò®°®© ®íè ï®ÿâ«ÿþò±ÿ – íó«åâàÿ.
’å®°å¬à 6. (Ïå°°®í-”°®áåíèó±).
Ïó±òü À >=0 – íåï°è⮤è¬àÿ ¬àò°èöà. ’®ã¤à:
1. À è¬ååò ¤å©±òâèòå«üí®å ﮫ®¦èòå«üí®© ï°®±ò®å (ò.å. íå ê°àòí®å)
±®á±òâåíí®å §íà·åíèå »max, ê®ò®°®å ï® ¬®¤ó«þ íå ¬åíüøå «þá®ã® ¤°óã®-
ã® ±®á±òâåíí®ã® §íà·åíèÿ ¬àò°èö» À (íåê®ò®°»å è§ ê®ò®°»µ ¬®ãóò á»òü
ꮬï«åê±í»¬è ·è±«à¬è).
2. ‘®á±òâåíí»© âåêò®° À, ±®®òâåò±òâóþùè© ±®á±òâåíí®¬ó §íà·å-
íèþ »max , è¬ååò ﮫ®¦èòå«üí»å ꮬï®íåíò» è, ï® ±óùå±òâó (± ò®·í®±-
òüþ ¤® ï®±ò®ÿíí®ã® ¬í®¦èòå«ÿ), å¤èí±òâåíåí.
3. —豫® »max (èí®ã¤à í৻âà嬮å ê®°íå¬ Ïå°°®íà ¬àò°èö» À) ó¤®â-
«åòâ®°ÿåò 󱫮âèþ
( Ax ) i ( Ax ) i
; x ≥ 0 – ï°®è§â®«üí®.
» max = max min = min max
xi xi
x ≥0 1¤ i ¤ n x ≥ 0 1¤i ¤ n


‘«å¤±òâèå. Ïó±òü À>=0 íåï°è⮤è¬à è ïó±òü µ>=0 ï°®è§â®«ü-
í®. ’®ã¤à ê®°åíü Ïå°°®íà ó¤®â«åòâ®°ÿåò 󱫮âèþ
( Ax ) i ( Ax ) i
min ¤ » max ¤ max .
xi xi
1¤i ¤ n 1¤i ¤ n

„®êà§àòå«ü±òâ® ò宰嬻 Ïå°°°®íà ®ïè°àåò±ÿ íà ±«å¤óþùèå ôàêò»
® ﮫ®¦èòå«üí»µ (nxn) ¬àò°èöàµ:


61
Ïó±òü À – ﮫ®¦èòå«üíàÿ (nxn) ¬àò°èöà, »max – åå íàè᮫üøåå ±®á-
±òâåíí®å §íà·åíèå, ò®ã¤à
1. »max ®ã°àíè·åí® ±âå°µó è ±íè§ó ±®®òâåò±òâåíí® ¬àê±è¬à«üí®© è
¬èíè¬à«üí®© ±ò°®·í»¬è ±ó¬¬à¬è ¬àò°èö» À. ‘«å¤®âàòå«üí®, 屫è À –
±ò®µà±òè·å±êàÿ ¬àò°èöà, ò.å. 屫è åå ±ò°®·í»å ±ó¬¬» °àâí» å¤èíèöå, ò®
»max=1.
2. „«ÿ ±ò®µà±òè·å±ê®© ¬àò°èö» À, k ’∞ A = ev , ã¤å v – ﮫ®¦è-
lim k



n

‘v = 1 , e = (11,...,1) T .
,
òå«üí»© âåêò®°-±ò°®êà, v=(v1, v2, ..., vn), i
i =1

3. „«ÿ ﮫ®¦èòå«üí®© ¬àò°èö» À ±óùå±òâóåò ﮫ®¦èòå«üí®å ·è±«®
íó«åâàÿ âåêò®°-±ò°®êà v è íåíó«å⮩ âåêò®°-±ò®«áåö w, òàêèå, ·ò®
»,
Ak
= wv .
lim
k ’∞ »k

4. » å±òü íàè᮫üøåå ±®á±òâåíí®å §íà·åíèå À è í৻âàåò±ÿ ã«àâí»¬
±®á±òâåíí»¬ §íà·åíèå¬, à w è v – ã«àâí»å ±®á±òâåíí»å âåêò®°», å¤èí-
±òâåíí»å ± ò®·í®±òüþ ¤® ï®±ò®ÿíí®ã® ¬í®¦èòå«ÿ.
5. w ®°ò®ã®íà«åí â±å¬ íå ã«àâí»¬ ±®á±òâåíí»¬ âåêò®°à¬-±ò®«á-
öà¬, à v – â±å¬ íå ã«àâí»¬ ±®á±òâåíí»¬ âåêò®°à¬-±ò°®êà¬.
6. …±«è » i – íàè᮫üøåå ±®á±òâåíí®å §íà·åíèå À, ï°è·å¬
» i ≠ » j ; i ≠ j , i , j = 1,2,..., n è 屫è wi – ï°à⻩ ±®á±òâåíí»© âåêò®°,

Ak e
±®®òâåò±òâóþùè© »i, ò® lim T k = cw1 .
k ’∞ e A e




LMmin ‘ a
’å®°å¬à 7.



MM
n n
¤ » max ¤ max ‘ aij ;


MNmin ‘ a
ij
j j
i =1 i =1

1. n n
¤ » max ¤ max ‘ aij ;
ij
i i
j =1 j =1

Íå°àâåí±òâ® è¬ååò ¬å±ò®, ê®ã¤à ±ó¬¬» íå ®¤èíàê®â».

62
» max = lim tr ( A k ) .
1/ k
2.
k ’∞

n n

‘a u ‘a u
ij j ij j

» max = max min = min max
3. .
j =1 j =1

ui ui
u >0 i u>0 i


n n

‘a u ‘a u
ij i ij i
» max = max min = min max
4. .
i =1 i =1
uj uj
j u>0 j
u>0

„®êà§àòå«ü±òâ®.
Ê®¬ï®íåíò» âåêò®°à Àå ï°å¤±òàâ«ÿþò ±®á®© ±ó¬¬» ±ò°®ê ¬àò°è-
ö» À. Ïó±òü íàè᮫üøàÿ ±ó¬¬à ±ò°®ê å±òü Ì, à íàè¬åíüøàÿ – m. ’®ã¤à
me¤Àå¤Ìå , à °àâåí±òâ® è¬ååò ¬å±ò® ò®«üê® ï°è m=Ì.
vA = » max v vAe = » max ve ,
ȧ â»°à¦åíèÿ è¬åå¬
vme ¤ » max ve ¤ vMe . …±«è òåïå°ü °à§¤å«èòü íå°àâåí±òâ® íà ﮫ®¦è-
m ¤ » max ¤ M , ï°è·å¬ °àâåí±òâ® âí®âü
òå«üí®å ·è±«® ve, ò® ﮫó·è¬
áó¤åò è¬åòü ¬å±ò®, 屫è m=M. Àíà«®ãè·í® ¤«ÿ ±ó¬¬ ±ò®«áö®â.
„®êà§àòå«ü±òâ® (2) ﮫó·àåò±ÿ «èá® è§ â»°à¦åíèÿ

lim tr1 / »k A k = 1 = 1 / » lim trA k
1/ k 1/ k
,
k ’∞ k ’∞

»k1 +...+ »kn = tr A k . Ïó±òü â® âò®°®¬ ±«ó·àå » 1 = » max ,
«èá® è§

» 1 1+ (» 2 / » 1 ) k +...+ ( » n / » 1 ) k = tr A k , ï°è k ’ ∞ ,
1/ k
ò®ã¤à

» 1 ’ tr A k . αòà«üíàÿ ·à±òü ¤®êà§àòå«ü±òâà íå ï°è⮤èò±ÿ.
’å®°å¬à 8. …±«è À – ﮫ®¦èòå«üíàÿ (nxn) - ¬àò°èöà, ó ê®ò®°®© ±ó¬-
¬à ý«å¬åíò®â êত®© ±ò°®êè °àâíà å¤èíèöå, ò® ±óùå±òâóåò ﮫ®¦èòå«ü-
n
= 1 , òàêàÿ, ·ò® m’∞ A = ev , ã¤å
íàÿ âåêò®°-±ò°®êà v, lim m
‘v i
i =1

e=(1,1,...,1)T.
63
„®êà§àòå«ü±òâ®. Ïó±òü y0 – «þᮩ n-¬å°í»© âåêò®°-±ò®«áåö. Îï°å-
¤å«è¬ óm=Àmy0 è ïó±òü am è bm – ¬àê±è¬à«üíàÿ è ¬èíè¬à«üíàÿ ꮬï®-
íåíò» ym ±®®òâåò±òâåíí®. Ïó±òü a – ¬èíè¬à«üí»© ý«å¬åíò ¬àò°èö» À.
’àê êàê ym+1=Aym, «þáàÿ ꮬï®íåíòà âåêò®°à ym+1 ﮫó·àåò±ÿ ó¬í®¦å-
íèå¬ ±ò°®êè À íà óm , è, ±«å¤®âàòå«üí®, è¬åå¬ ±«å¤óþùèå ã°àíèö» ¤«ÿ


b1 ’ ± gb
ï°®è§â®«üí®© ꮬï®íåíò» ± âåêò®°à óm+1:
+ ±am ¤ c ¤ ±bm + (1 ’ ± )am .
m
Ýò® íå°àâåí±ò® ®±òàåò±ÿ â ±è«å ¤«ÿ íàè᮫üøå© è íàè¬åíüøå© ê®¬-
ym+1 , ®òêó¤à
ï®íåíò



bg
am+1 ¤ ±bm + (1 ’ ± )am (±«å¤®âàòå«üí®, àm ¬®í®ò®íí® â®§°à±òà-
åò) è 1 ’ ± bm + ±am ¤ bm + 1 (±«å¤®âàòå«üí® bm ¬®í®ò®íí® óá»âàåò),
è«è
’bm+1 ¤ ’(1 ’ ± )bm ’ ±am è am+1 ’ bm+1 < (1 ’ 2± )(am ’ bm ).
Îò±þ¤à ï® èí¤óêöèè ﮫó·àå¬
am ’ bm ¤ (1 ’ 2± ) m (a0 ’ b0 ) . ’àê êàê ï°àâàÿ ·à±òü ýò®ã® íå°à-
âåí±òâà ±ò°å¬èòü±ÿ ê íó«þ, ò® àm èbm ±µ®¤ÿò±ÿ ê ®áùå¬ó ï°å¤å«ó, è, ±«å¤®-
âàòå«üí®, â±å ꮬï®íåíò» óm ï°èá«è¦àþò±ÿ ê íå¬ó ¦å, ò.å. lim ym = Ce
m’∞




c h
b0 ¤ C ¤ a0 (°àâåí±òâ® è¬ååò ¬å±ò® ò®«üê® ï°è à0=b0). Ïó±òü
ï°è

y0 = y0 , y0 ,..., y0 , y0 = 1, y0j = 0, j ≠ i. ’®ã¤à ym å±òü i-© ±ò®«áåö
1 2 n i



¬àò°èö» Àm, è , êàê ó¦å ó±òàí®â«åí® ym ’ ( ci ,... ci ) T , ï°è·å¬ b0=0,

ci >b0=0. ‘«å¤®âàòå«üí®, lim Am = ev. Îò¬åòè¬, ·ò® ﮱꮫüêó êতàÿ
m’∞

n

‘v = 1.
±ò°®·íàÿ ±ó¬¬à À °àâíà å¤èíèöå, ò®
m
i
i =1


Ak
’å®°å¬à 9. …±«è À – ﮫ®¦èòå«üíàÿ (nxn) ¬àò°èöà, ò® lim k = wv ,
»
ã¤å » – ﮫ®¦èòå«üíàÿ ï®±ò®ÿííàÿ, v – íåíó«åâàÿ âåêò®°-±ò°®êà, à w –


64
íåíó«å⮩ âåêò®°-±ò®«áåö.
Ê°àòê®å ¤®êà§àòå«ü±òâ®.
n

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. 12
( 19 .)



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