<<

. 13
( 19 .)



>>

Ïó±òü S = {x| x = ( x1 ,..., xn ) , xt ≥ 0, i=1,...,n, ‘x = 1 , ò.å.
T
i
i =1




LM 1 OP Ax, x ∈ S. Ýò® ®ò®á°à¦å-
fx=1}, ã¤å f=(1,1,1...,1).


N fA Q
Ðà±±¬®ò°è¬ ®ò®á°à¦åíèå Tx =
x




LM 1 OP fAx = 1 , è ï®ýò®-
íèå ﮫ®¦èòå«üí®: òàê êàê fx=1, ò® µ è¬ååò íåíó«åâóþ ꮬï®íåíòó, è,



N fA Q
±«å¤®âàòå«üí®, Àµ>0 è fAx>0. „à«åå fTx =
x

¬ó ’ ®ò®á°à¦àåò S â S. ’àê êàê À íåï°å°»âíà, ï® òå®°å¬å Á°àóå°à ®


LM 1 OP A
íåﮤâè¦í®© ò®·êå í੤åò±ÿ ò®·êà w, ·ò®



N fA Q
= w . Ï®±ê®«üêó «åâàÿ ·à±òü ﮫ®¦èòå«üíà, w – ﮫ®-
w
w

» = fAw > 0 . ‘«å¤®âàòå«üí®, Àw=lw, l>0, w>0. Íàê®íåö,
¦èòå«üíà è
ïó±òü D – ¤èàã®íà«üíàÿ ¬àò°èöà ± dij=wi è dij=0, i ≠ j . ’àê êàê w>0,
D è¬ååò ®á°àòíóþ ¬àò°èöó D-1, òàê¦å ¤èàã®íà«üíóþ, ± ¤èàã®íà«üí»¬è
ý«å¬åíòà¬è 1/wi, ò.å. w=De è

D ’1 (1 / » ) AD e = D ’1 (1 / » ) A w = D ’1w = e.

Îò±þ¤à ±«å¤óåò, ·ò® ±ó¬¬» ±ò°®ê ¬àò°èö» D (1 / » ) AD °àâí»
’1


å¤èíèöå, ò.å. ýò® ¬àò°èöà – ±ò®µà±òè·å±êàÿ, è, è±µ®¤ÿ è§ ï°å¤»¤óùå© òå®-
°å¬», í੤åò±ÿ òàêàÿ âåêò®°-±ò°®êà V*, ·ò®

ev* = lim D ’1 (1 / » ) AD = lim D ’1 (1 / »k ) A k D , (ò.å. ±ò°®êè
k

k ’∞ k ’∞
ï°å¤å«üí®© ¬àò°èö» â±å ®¤èíàê®â»), ®òêó¤à íåï®±°å¤±òâåíí® ï®«ó·àå¬
lim(1 / »k ) A k = Dev * D ’1 = wv * D ’1 = wv .
k ’∞



65
’å®°å¬à 10. v è w – ±®á±òâåíí»å âåêò®°» ¬àò°èöà À, ±®®òâåò±òâó-
þùèå ±®á±òâåíí®¬ó §íà·åíèþ l.
„®êà§àòå«ü±òâ®.
(1 / » ) Awv = (1 / » ) A lim(1 / » ) k A k = lim(1 / » ) k +1 A k +1 = wv
k ’∞ k ’∞

®òêó¤à è¬åå¬ Àwv=»wv è Awve=»wve, è òàê êàê ve ï®±ò®ÿííàÿ, ò®
Aw=»w. Àíà«®ãè·í® vA=»v.
‘«å¤±òâèå. ‚åêò®°» v è w ﮫ®¦èòå«üí».
„®êà§àòå«ü±òâ®.
ȧ °àâåí±òâà Aw=»w è¬åå¬ (1/l)Aw=w. ’àê êàê », À – ﮫ®¦è-
òå«üí», à w – íå®ò°èöàòå«åí (± íåê®ò®°»¬è íåíó«å⻬è ꮬï®íåíòà¬è),
â±å ꮬï®íåíò» «å⮩ ·à±òè °àâåí±òâà ﮫ®¦èòå«üí», è, ±«å¤®âàòå«üí®,
w – ﮫ®¦èòå«åí; àíà«®ãè·í® ¤«ÿ v.
’å®°å¬à 11. ‚±å ±®á±òâåíí»å âåêò®°», ±®®òâåò±òâóþùèå ±®á±òâåí-
í®¬ó §íà·åíèþ », ÿâ«ÿþò±ÿ ï®±ò®ÿíí»¬è ¬í®¦èòå«ÿ¬è w è v.
„®êà§àòå«ü±òâ®. …±«è Àu=»u, ò® A k u = »k u , à (1 / »k ) A k u = u
¤«ÿ â±åµ k. Ï°è k’ ∞ è¬åå¬ wvu=u. Àíà«®ãè·í® ¤«ÿ âåêò®°®â-±ò°®ê.
’å®°å¬à 12. Ì®¤ó«ü «þá®ã® ¤°óã®ã® ±®á±òâåíí®ã® §íà·åíèÿ h ¬àò-
°èö» À ó¤®â«åòâ®°ÿåò íå°àâåí±òâó |h|<l.
„®êà§àòå«ü±òâ®.
…±«è Àh=hu, ò® Àku=hku, à (1/»)kAku=(h/»)ku. Ïå°åµ®¤ÿ ê ï°å¤å-
«ó ï°è k’ ∞ , è¬åå¬

wvu = lim h / » u , è ï°å¤å« â ï°à⮩ ±ò®°®íå ¤®«¦åí ±óùå±òâ®-
k

k ’∞

âàòü, ·ò® ⮧¬®¦í® ò®«üê® ï°è h=» è«è |h|<», ï°è·å¬ â ï®±«å¤íå¬ ±«ó-
·àå ï°å¤å« °àâåí íó«þ. ‘®á±òâåíí®å §íà·åíèå » å±òü ã«àâí®å ±®á±òâåíí®å
§íà·åíèå ¬àò°èö» À, ê®ò®°®å ®á®§íà·àåò±ÿ »max, à v è w – ã«àâí»å ±®á-
±òâåíí»å âåêò®°» ¬àò°èö» À.
‘«å¤±òâèå. ëàâí»© ±®á±òâåíí»© âåêò®°-±ò°®êà (±ò®«áåö) – v(w)
®°ò®ã®íà«åí ê® â±å¬ íå ã«àâí»¬ ±®á±òâåíí»¬ âåêò®°à¬-±ò®«áöଠ(±ò°®-
êà¬) ¬àò°èö» À.
„®êà§àòå«ü±òâ®.
Ðà±±¬®ò°è¬ °àâåí±òâ® wvu=0 è§ ¤®êà§àòå«ü±òâà ï°å¤»¤óùå© òå®-
°å¬». ’àê êàê w>0, è¬åå¬ vu=0, è, ±«å¤®âàòå«üí®, v ®°ò®ã®íà«åí âåêò®-

66
°ó-±ò®«áöó u. Àíà«®ãè·í»© à°ãó¬åíò ¬®¦í® è±ï®«ü§®âàòü, ·ò®á» ï®êà-
§àòü ®°ò®ã®íà«üí®±òü w ê® â±å¬ íå ã«àâí»¬ ±®á±òâåíí»¬ âåêò®°à¬-±ò°®-
êଠ¬àò°èö» À.
‘«å¤±òâèå. vw=1.
„®êà§àòå«ü±òâ®. ‚ 󱫮âèÿµ ò宰嬻 ïó±òü u=w, ò®ã¤à h=»,
wvw=w. ’àê êàê vw – ·è±«®, ﮫó·àå¬ vw=1.
Çà¬å·àå¬, vw å±òü ±«å¤ ¬àò°èö» wv, è, ±«å¤®âàòå«üí®, ýò®ò ±«å¤
â±åã¤à °àâåí å¤èíèöå.
n

‘a x j = bi , i = 1,..., n. ã¤å aij≥0, dij>0,
Çà¬å·àíèå. ‘è±òå¬à ij
j =1

è¬ååò íå®ò°èöàòå«üí®å °åøåíèå xj≥0, j=1,..., n, 屫è

a11 a12 a13
a11 a12
a11 > 0, > 0, a21 a22 a23 > 0,...,| A| > 0.
a21 a22
a31 a32 a33
’å®°å¬à 13. …±«è À – íå®ò°èöàòå«üíàÿ íåï°è⮤è¬àÿ ¬àò°èöà, ò®
§íà·åíèå »max ⮧°à±òàåò ± óâå«è·åíèå¬ «þá®ã® ý«å¬åíòà aij.
„®êà§àòå«ü±òâ®. Ïó±òü À – íå®ò°èöàòå«üíàÿ ¬àò°èöà, ®ï°å¤å«è¬
‚(p)=pI-A, ã¤å ° – ¤å©±òâèòå«üí»© ïà°à¬åò°. Ïó±òü Ì – ¬í®¦å±òâ® â±åµ
°, ¤«ÿ ê®ò®°»µ ±óùå±òâóåò è íå ®ò°èöàòå«üíà ®á°àòíàÿ ¬àò°èöà (°I-À)-1.
Ìí®¦å±òâ® Ì íåïó±ò® ¤«ÿ µ>0 è ®±òàåò±ÿ òàêè¬ ¤«ÿ ±°àâíèòå«üí® á®«ü-
ø®ã® °, °µ>Ax, ò.å. °µ-Àµ>0, è ýò® 󱫮âèå ®áå±ïå·èâàåò ±óùå±òâ®âà-
íèå íå®ò°èöàòå«üí®ã® °åøåíèÿ è ýêâèâà«åíòí® â»øå®ïè±àíí®¬ó 󱫮-
âèþ íà ã«àâí»å ¬èí®°». ’àê êàê Ì §àâè±èò ®ò À, ®á®§íà·è¬ åã® Ì(À).
Ïó±òü À – íå®ò°èöàòå«üíàÿ ¬àò°èöà, ®ï°å¤å«è¬ ‚(r)=rI-A, ã¤å r –
¤å©±òâèòå«üí»© ïà°à¬åò°. Ïó±òü Ì – ¬í®¦å±òâ® â±åµ r, ¤«ÿ ê®ò®°»µ ±ó-
ùå±òâóåò íå ®ò°èöàòå«üíàÿ êâरàòíàÿ ¬àò°èöà (rI-A)-1. Ìí®¦å±òâ® Ì
íåïó±ò® ¤«ÿ µ>0 è ®±òàåò±ÿ òàêè¬ ¤«ÿ ±°àâíèòå«üí® á®«üø®ã® r, rµ>Aµ,
ò.å. rµ - Àµ>0, è ýò® 󱫮âèå ®áå±ïå·èâàåò ±óùå±òâ®âàíèå íå®ò°èöàòå«ü-
í®ã® °åøåíèÿ è ýêâèâà«åíòí® â»øå®ïè±àíí®¬ó 󱫮âèþ íà ã«àâí»å ¬è-
í®°». ’àê êàê Ì §àâè±èò ®ò À, ®á®§íà·è¬ åã® Ì(À).
Ïó±òü À/>=A//>=0. ’®ã¤à Ì(À/)Ì Ì(À//). ‚ ±à¬®¬ ¤å«å, §à¬å-

67
òè¬, ·ò® 屫è r∈ Ì(À/), ò® (rI- À/)x>0 ¤«ÿ íåê®ò®°®ã® µ>0 è òàê êàê rI-
À/ >=rI- À/, (rI-À//)x>0 ¤«ÿ ò®ã® ¦å ±à¬®ã® µ, è, ±«å¤®âàòå«üí®, r∈
Ì(À//). ’åïå°ü ¬àê±è¬à«üí®å ±®á±òâåíí®å §íà·åíèå »max ¬àò°èö» À>0
infp , ¤«ÿ ê®ò®°®ã® (rI- À/)-1 ±óùå±òâóåò, ò.å. ýò® ïå°â®å §íà·åíèå,
å±òü ρ∈M(A)

¤«ÿ ê®ò®°®ã® |rI-À/|=0, èá® â±å ¤°óãèå ±®á±òâåíí»å §íà·åíèÿ íå ï°åâ®±-
µ®¤ÿò »max. Ï®ýò®¬ó
infp infp
»max(À/)= ρ∈M(A) ≥ ρ∈M(A ′′) =»max(À//).
‘«å¤®âàòå«üí®, »max– ¬®í®ò®ííàÿ ôóíêöèÿ À.
Íè¦å ï®êà§àí âà¦í»© °å§ó«üòàò, ê®ò®°»© §àê«þ·àåò±ÿ â ò®¬, ·ò®
±®á±òâåíí»© âåêò®°, ±®®òâåò±òâóþùè© »max, ï°å¤±òàâ«ÿåò ±®á®© í®°¬à-
«è§®âàíí»å ±ó¬¬» ý«å¬åíò®â ±ò°®ê ï°å¤å«üí®© ¬àò°èö» â ò®·í®±òè k-©
±òåïåíè Àk ¬àò°èö» À (à íå ±ó¬¬» â±åµ ±òåïåíå© À).
’å®°å¬à 14.

Ak e
= cw1 ,
lim
k ’∞ e T A k e

ã¤å À>0, w1 – ã«àâí»© ±®á±òâåíí»© âåêò®°, ±®òâåò±òâóþùè© ¬àê±è-
¬à«üí®¬ó ±®á±òâåíí®¬ó §íà·åíèþ »1, »i≠»j ¤«ÿ â±åµ i è j, wi – ï°à⻩
±®á±òâåíí»© âåêò®°, ±®®òâåò±òâóþùè© »i, à ± – ï®±ò®ÿííàÿ.
„®êà§àòå«ü±òâ®
e=a1w1+...+anwn, ã¤å ài, i=1,...,n – ï®±ò®ÿíí»å.
A k e = a1» 1 w1 +...+ an » n wn = » 1 a1 w1 + a2 ( » 2 / » 1 ) k w2 +...+
k k k
» »

+...+ an ( » n / » 1 ) k wn ,

e T A k e = » 1 b1 + b2 ( » 2 / » 1 ) k +...+bn ( » n / » 1 ) k ; bi = ai e T wi .
k


’àê êàê w1>0, b≠0, ·ò® è ò°åá®âà«®±ü ¤®êà§àòü.
Îá®áùè¬ ýòó òå®°å¬ó.
Íå®ò°èöàòå«üíàÿ íåï°è⮤è¬àÿ ¬àò°èöà À ï°è¬èòèâíà ò®ã¤à è
ò®«üê® ò®ã¤à, ê®ã¤à ±óùå±òâóåò öå«®å m≥1, òàê®å, ·ò® Àm>0. ‚ ï°®òèâí®¬
±«ó·àå ¬àò°èöó í৻âàþò è¬ï°è¬èòèâí®©. ðàô ï°è¬èòèâí®© ¬àò°èö»
è¬ååò ¤«èíó ïóòè ¬å¦¤ó «þá»¬è ¤âó¬ÿ âå°øèíà¬è ≥ m.

68
ȧâå±òí®, ·ò® íå®ò°èöàòå«üíàÿ íåï°è⮤è¬àÿ ¬àò°èöà À ï°è¬èòèâ-
íà ò®ã¤à è ò®«üê® ò®ã¤à, ê®ã¤à À è¬ååò å¤èí±òâåíí»© µà°àêòå°è±òè·å±êè©
ê®°åíü ± ¬àê±è¬à«üí»¬ ¬®¤ó«å¬, è ýò®ò ê®°åíü è¬ååò ê°àòí®±òü, °àâíóþ
å¤èíèöå.
’å®°å¬à 15. „«ÿ ï°è¬èòèâí®© ¬àò°èö» À


Ak e
lim k = cw, A k = e T A k e , ã¤å ± – ï®±ò®ÿííàÿ, à w – ±®á±òâåíí»©
k ’∞ A


âåêò®°, ±®®òâåò±òâóþùè© »max ≡ »1.
„®êà§àòå«ü±òâ®.
„®ïó±òè¬ À>0. Ðà±±¬®ò°è¬ ¦®°¤àí®âó êàí®íè·å±êóþ ô®°¬ó ‚


LM» OP
¬àò°èö» À. ’®ã¤à ¤«ÿ íåê®ò®°®© íåâ»°®¦¤åíí®© ¬àò°èö» N



=M P
0

MM ... ... P =‚,
1




BP
N0 Q
NAN ’1 B2

r

ã¤å ‚i, i=2, ..., r å±òü mi x mi ¦®°¤àí®âà á«®·íàÿ ô®°¬à, ê®ò®°àÿ
è¬ååò âè¤

LM» OP
MM 1 PP
i

0

M PP
B =M
MM ... .. P
»i
1

PP , ã¤å l2, ..., lr – °à§«è·í»å ±®á±òâåíí»å §íà-
MM 0
... ... .. .. ..
i




PP
MN »Q
»i
1
i




r
·åíèÿ ± ê°àòí®±òÿ¬è m2, mr ±®®òâåò±òâåíí®, à 1 + ‘m = n – °à§¬å°-
i
i =2

í®±òü ¬àò°èö» À. ‚»áè°àå¬ ±®®òâåò±òâóþùèå áà§è±í»å âåêò®°» ¤«ÿ êà¦-
¤®ã® ﮤﰮ±ò°àí±òâà ¦®°¤àí®â®© ô®°¬»

<<

. 13
( 19 .)



>>