<<

. 15
( 19 .)



>>




74
δ ij = 0 ï°è «þᮬ â»á®°å i è j, ±«å¤®âàòå«üí®, ¬àò°èöà À – ±®ã«à±®âàí-
íà.
’àêè¬ ®á°à§®¬, ¤«ÿ ¤®±òè¦åíèÿ ±®ã«à±®âàíí®±òè ¦å«àòå«üí®, ·ò®-
á» µ ừ® á«è§ê® ê íó«þ, è«è, ·ò® ò® ¦å ±à¬®å, » max ừ® á«è§ê® ê ±â®å©
íè¦íå© ã°àíèöå n. Èíòå°å±í® ®ò¬åòèòü, ·ò® (» max ’ n) / (n ’ 1) ¬®¦í®
èíòå°ï°åòè°®âàòü â òå°¬èíൠ±òàòè±òè·å±ê®© ±°å¤íåêâरàòè·í®© ®øèá-

δ 3ij
êè. „婱òâèòå«üí®, ¤®ïó±òè¬, ·ò® δ ij < 1 (è, ±«å¤®âàòå«üí®,
1 + δ ij
¬à«® ï® ±°àâíåíèþ ± δ 2 ij ). Ýò® °à§ó¬í®å ¤®ïóùåíèå ¤«ÿ "í屬åùåíí®-
ã®" ±ó¦¤åíèÿ, ê®ò®°®å ®ã°àíè·åí® "å±òå±òâåíí®©" íàè᮫üøå© íè¦íå©
ã°àíèöå© – 1 ¤«ÿ δ ij (òàê êàê aij ¤®«¦í® á»òü ᮫üøå íó«ÿ) è áó¤åò ±ò°å-
¬èòü±ÿ ê ±è¬¬åò°è·å±ê®© ®öåíêå ®ê®«® íó«ÿ â èíòå°âà«å
µ ’ 0 ï°è δ ij ’ 0 . “¬í®¦åíèå íà 2 ¤àåò ¤è±ïå°±èþ
(–1;1). ’åïå°ü

δ ij . Ï®ýò®¬ó 2µ è å±òü ýòà ¤è±ïå°±èÿ.
Ìà«»å ⮧¬óùåíèÿ ý«å¬åíò®â ﮫ®¦èòå«üí®© ®á°àòí®±è¬¬åò°è·-
í®© ¬àò°èö» ⻧»âàþò ¬à«»å ⮧¬óùåíèÿ â ±®á±òâåíí»µ §íà·åíèÿµ ®ò
è±µ®¤í®© âå«è·èí». ‚®®áùå ã®â®°ÿ, ýò® íåâå°í® ¤«ÿ ﮫ®¦èòå«üí»µ ¬àò-
°èö. „®êà¦å¬ ýò®ò ôàêò ¤«ÿ » max .
’å®°å¬à 18. Ïó±òü δ = max δ ij , ò®ã¤à
i, j


n ’1
1
» max ’ n < ‘¤δ 2ij ¤ 2 δ 2 .
n 1¤i < j n
„®êà§àòå«ü±òâ® ®·åâè¤í®.
’àêè¬ ®á°à§®¬, 屫è ⮧¬óùåíèå (è«è ®øèáêà â ±ó¦¤åíèè) ¬à«®, è
·è±«® ±°àâíèâà嬻µ ý«å¬åíò®â òàê¦å ¬à«® (íàï°è¬å°, ¬åíåå ¤å±ÿòè), ò®
» max ®ò n òàê¦å ¬à«®. Îò¬åòè¬, ·ò® ¤«ÿ ò®ã®, ·ò®á» ®±òàòü±ÿ
®òê«®íåíèå
âá«è§è ±®ã«à±®âàíí®±òè, íó¦í®, ·ò®á» n ừ® ¬à«®. Íàï°è¬å° δ =0,1;
n=7 ¤àåò » max ’ n <0,04, a δ =0,9; n=7 ¤àåò » max ’ n <2,43.


75
Çà¬å·àíèå. Íå®ò°èöàòå«üíàÿ ¬àò°èöà À=( aij ) ± ai ,i +1 =1 è ai , j = 0
– ¤«ÿ ®±òà«üí»µ i, j è¬ååò â±å ±®á±òâåíí»å §íà·åíèÿ °àâí»¬è íó«þ, í® òà
an1 , §à¬åíåíí»¬ íà µ , ã¤å µ > 0 ¬à«®, è¬ååò ¬àê±è-
¦å ±à¬àÿ ¬àò°èöà ±

¬à«üí®å ±®á±òâåíí®å §íà·åíèå » max = µ 1/ n , ê®ò®°®å ±ò°å¬èò±ÿ ê å¤èíèöå
ï°è óâå«è·åíèè n. Ï®ýò®¬ó, µ®òÿ » max 觬åíÿåò±ÿ íåï°å°»âí® ± ê®ýôôè-
öèåíò®¬ µ , åå âå«è·èíà ±òàí®âèò±ÿ ᮫üø®© ¤à¦å ¤«ÿ ±à¬»µ ¬à«»µ µ .
ȱﮫü§óÿ ±â®©±òâ® ®á°àòí®© ±è¬¬åò°è·í®±òè aij = 1 / a ji è§ °à-

âåí±òâà aij a jk = aik , è¬åå¬ aij a jk a ki = 1 . ‘«å¤®âàòå«üí®, ±®ã«à±®âàí-
í®±òü ¤«ÿ ®á°àòí®±è¬¬åò°è·í®© ¬àò°èö» §íà·èò, ·ò® â±å ê®íòó°» ¤«èí»
ò°è è¬åþò å¤èíè·íóþ èíòåí±èâí®±òü.

δ ij < 1 è °à±±¬àò°èâàÿ ò°åó㮫üí»å ê®íòó°», í൮-
Ï°å¤ï®«àãàÿ
¤è¬
aij a jk a ki = (1 + δ ij )(1 + δ jk )(1 ’ δ ik ) ≈ 1 + δ ij + δ jk ’ δ ik , è, ï®-
n

‘a a a ki = n 2 » max .
±ê®«üêó » max = ‘ µ ij , è¬åå¬ ij jk
j =1 i , j ,k

i ≠ j , j ≠ k , i ≠ k ýòà
„«ÿ ±ó¬¬à ±òàí®âèò±ÿ °àâí®©

n 2 ( » max ’ n) + n(n ’ 1)(n ’ 2) , òàê êàê, ﮤ±òàâ«ÿÿ a pp = 1, a pq = aqp ,
è¬åå¬ n 2 + 2n( n ’ 1) ·«åí®â, âå«è·èíà ê®ò®°»µ °àâíà å¤èíèöå. “±°å¤-
íÿÿ ï® ê®«è·å±òâó ·«åí®â, ò.å. n(n-1)(n-2), â °å§ó«üòàòå ﮫó·àå¬
n / (n ’ 2) (» max ’ n) / (n ’ 1) + 1 , ·ò® ±ï°àâ夫èâ® ï°è n ≥ 3 . ‚ «þ-
ᮬ ±«ó·àå ï°å¤¬åò®¬ íàøåã® âíè¬àíèÿ ÿâ«ÿåò±ÿ °à§í®±òü » max ’ n .
’åïå°ü ï°®âå°è¬ ãèï®òå§ó ® ±®ã«à±®âàíí®±òè. Ï®«íàÿ ±®ã«à±®âàí-
í®±òü ¬®¦åò á»òü ±ô®°¬ó«è°®âàíà â âè¤å íó«å⮩ ãèï®ò姻:
H0 : µ = 0 , è ¬» ï°®âå°ÿå¬ åå ï® ®òí®øåíèþ ê ®¤í®±ò®°®ííå© à«ü-
H1: µ > 0 . ‘®®òâåò±òâóþùàÿ òå±ò®âàÿ ±òàòè±òèêà áó¤åò
òå°íàòèâå



76
˜
» max ’ n ˜
m= , ã¤å » max – ¬àê±è¬à«üí®å íàá«þ¤àå¬®å ±®á±òâåíí®å §íà-
n ’1
·åíèå ¬àò°èö», ý«å¬åíò» ê®ò®°®© aij ±®¤å°¦àò ±«ó·à©íóþ ®øèáêó. “±-
òàí®â«åíèå ±òàòè±òè·å±ê®© ¬å°» ¤«ÿ ±®ã«à±®âàíí®±òè ò°åáóåò í൮¦¤å-
íèÿ °à±ï°å¤å«åíèÿ ±òàòè±òèêè m. Í屬®ò°ÿ íà ò®, ·ò® åå ±ïåöèôè·å±êàÿ
ô®°¬à ⻵®¤èò §à °à¬êè ¬àòå°èà«à ýò®© ã«àâ, §à¬åòè¬, ·ò® m ±®®òâåò-
±òâóåò íå®ò°èöàòå«üí®¬ó âå°®ÿòí®±òí®¬ó °à±ï°å¤å«åíèþ, ¤è±ïå°±èÿ ê®-
ò®°®ã® å±òü ó¤â®åíí®å ±°å¤íåå µ, è ï°å¤±òàâ«ÿåò±ÿ ±®âå°øåíí® àíà«®ãè·-
å±òü N(0, δ )2
í»¬ °à±ï°å¤å«åíèþ χ 2 , 屫è ï°å¤ï®«®¦èòü, ·ò® â±å δ ij

íà èíòå°âà«å (-1,1).
„«ÿ íàøå© öå«è ï°è íåè§âå±òí®¬ °à±ï°å¤å«åíèè è±ï®«ü§óå¬ ®áùå-
ï°èíÿò®å ®òí®øåíèå ( x ’ µ 0 ) / 2 x , µ 0 = 0 , ò.å. è±ï®«ü§óå¬ x / 2 â
êà·å±òâåíí®¬ òå±òå ¤«ÿ ﮤòâå°¦¤åíèÿ íó«å⮩ ãèï®ò姻, ê®ã¤à òå±ò®âàÿ
±òàòè±òèêà, ¤®ïó±òè¬ ¤ 1. Ï®ýò®¬ó ï°è µ>2, ¬®¦í® 觬å°ÿòü íå±®ã«à±®-
âàíí®±òü.
Á®«åå ﮤµ®¤ÿùè© ¬åò®¤ ï°®âå°êè ±òàòè±òèêè m §àê«þ·àåò±ÿ â è±-
ﮫü§ó嬮¬ íà¬è ±°àâíåíèè È‘ ± ‘È.
Çà¬å·àíèå. Çà¬åòè¬, ·ò® ¤«ÿ ¬àò°èö À = ( aij ), W = ( wi / w j ) è¬å-
å¬
( A ’ W ) w = ( » max ’ n) w , ®òêó¤à âè¤í®, ·ò® àïï°®ê±è¬àöèÿ ( aij )
ï®±°å¤±ò⮬ ( wi / w j ) «ó·øå, ·å¬ á«è¦å » max ê n. ‚®§â°àùàÿ±ü ê ï°å¤-
±òàâ«åíèþ
aij = w j / wi + ( wi / w j )δ ij , í൮¤è¬, ·ò®

δ 2 ij = aij ( wi / w j ) ’ 1 . ’àêè¬ ®á°à§®¬, §à¬åíèâ aij íà wi / w j ,
2



δ 2 ij = 0 , ±âå¤ÿ òå¬ ±à¬»¬ ê íó«þ âå«è·èíó
ﮫó·è¬

2( » max ’ n) / (n ’ 1) .
δ ij < 1 , àïï°®ê±è¬àöèÿ «þá®ã®
‘«å¤®âàòå«üí®, â±ÿêè© °à§, ê®ã¤à


77
aij âå«è·èí®© wi / w j ï°èá«è¦àåò íà± ê ±®ã«à±®âàíí®±òè.
’å®°å¬à 19. …±«è ﮫ®¦èòå«üíàÿ ¬àò°èöà À ±®ã«à±®âàííà, ò® êà¦-
¤àÿ ±ò°®êà ÿâ«ÿåò±ÿ ﮫ®¦èòå«üí»¬ ê°àòí»¬ «þᮩ ¤àíí®© ±ò°®êè.
„®êà§àòå«ü±òâ®. Áå§ ®ã°àíè·åíèÿ ®áùí®±òè áó¤å¬ ±·èòàòü, ·ò® êà¦-
¤àÿ ±ò°®êà ÿâ«ÿåò±ÿ ﮫ®¦èòå«üí»¬ ¬í®¦èòå«å¬ i-®© ±ò°®êè. ȧ ®òí®øå-
íèÿ a jk = aik / aij ±«å¤óåò, ·ò®, §àôèê±è°®âàâ j è ﮫ®¦èâ k=1, 2, ..., n, j
- ÿ ±ò°®êà áó¤åò °àâíà i-© ±ò°®êå, ó¬í®¦åíí®© íà ﮫ®¦èòå«üíóþ ï®±ò®-
ÿííóþ (1/ aij ).
Çà¬å·àíèå. ηåâè¤í®, ·ò® ®á°àòí®å óòâå°¦¤åíèå ò宰嬻 íåâå°í®.
Ìàò°èöà å¤èíè·í®ã® °àíãà ¬®¦åò è íå á»òü ±®ã«à±®âàíí®©. Íàï°è¬å°, â


LM1 2OP ý«å¬åíò a
¬àò°èöå



N2 4Q íå °àâåí a11 / a12 .
21


aii =1 ï°èíè¬àåò ±«å-
’àêè¬ ®á°à§®¬, ±®ã«à±®âàííàÿ ¬àò°èöà ï°è



LMa OP
¤óþùè© ®áùè© âè¤:




MMa PP
/ ai1 ai 2 / ai1 K ain / ai1
i1

i1 / ai 2 ai 2 / ai 2 K ain / ai 2

MM a PP
M M M M

MM PP
i 1 / aij K K ain / aij .


Na Q
M M M M
i 1 / ain ai 2 / ain K ain / ain

’àê êàê ¬àò°èöà A = ( wi / w j ) è¬ååò âè¤ ò°àí±ï®íè°®âàíí®© ï®
®òí®øåíèþ ê ï°èâå¤åíí®© ¬àò°èöå, ®íà ±®ã«à±®âàííà.
’å®°å¬à 20. …±«è À – ﮫ®¦èòå«üíàÿ è ±®ã«à±®âàííàÿ ¬àò°èöà, ò®
aij = 1 / a ji , aii = 1 .
aii = aii aii è, ±«å¤®âà-
„®êà§àòå«ü±òâ®. ȧ ®ï°å¤å«åíèÿ ±«å¤óåò, ·ò®

òå«üí®, aii = 1 ¤«ÿ â±åµ i. ’àê¦å è§ aii = aij a ji ±«å¤óåò, ·ò®

78
aij = aii / a ji = 1 / a ji .
’å®°å¬à 21. Ï®«®¦èòå«üíàÿ ¬àò°èöà À ±®ã«à±®âàííà â ò®¬ è ò®«üê®
â ò®¬ ±«ó·àå, å±«è ®íà å¤èíè·í®ã® °àíãà è ý«å¬åíò» åå ã«àâí®© ¤èàã®íà«è
°àâí» å¤èíèöå.
aii = 1 .’àê¦å
„®êà§àòå«ü±òâ®. …±«è À ±®ã«à±®âàííàÿ, ò®
aij = a1 j / a1i = (1 / ai1 )a1 j è i-ÿ ±ò°®êà å±òü ïå°âàÿ ±ò°®êà, ó¬í®¦åííàÿ
a1i ), è, ±«å¤®âàòå«üí®, °àíã À °àâåí å¤èíèöå. Íà®á®°®ò, å±«è °àíã
íà (1/
À °àâåí å¤èíèöå è aii = 1 ¤«ÿ â±åµ i, ò® êতàÿ ±ò°®êà ÿâ«ÿåò±ÿ ê°àòí®©
ïå°â®© ±ò°®êå, ò.å.
aij = ci a1 j , a jk = c j a1k , aik = ci a1k , aij = c j a1 j ,
aij a jk = ci c j a1 j a1k = ci c j a1 j (a1k / ci ) = c j a1 j aik = a jj aik = aik ,
è ¬àò°èöà À ±®ã«à±®âàííà.
Ðà±±¬®ò°è¬ è««þ±ò°àöèþ ï®íÿòèÿ ±®ã«à±®âàíí®±òè íà ÿ§»êå òå®-
°èè ã°àô®â.
Îï°å¤å«åíèå 15. Èíòåí±èâí®±òü ±ó¦¤åíè©, ®òí®±ÿùèµ±ÿ ê ïóòè è§ i â j
(í৻âàå¬àÿ èíòåí±èâí®±òüþ ïóòè), °àâíà ï°®è§âå¤åíèþ
èíòåí±èâí®±òå©, ±®®òâåò±òâóþùèµ ¤óãଠýò®ã® ïóòè.
Íàﮬíè¬, ·ò® ïå°åê°»âàþùåå±ÿ ¤å°åâ® ± n âå°øèíà¬è è¬ååò
n-1 °åáå°. Îí® ÿâ«ÿåò±ÿ ±âÿ§í»¬ ã°àô®¬, âê«þ·àþùè¬ â±å âå°øèí» è
íå è¬åþùè¬ ê®íòó°®â. Ï®ýò®¬ó è¬ååò±ÿ å¤èí±òâåíí»© ïóòü ¬å¦¤ó «þ-
ᮩ ïà°®© âå°øèí.
’å®°å¬à 22. Íå®áµ®¤è¬»¬ è ¤®±òàò®·í»¬ 󱫮âèå¬ ±óùå±òâ®âà-
íèÿ å¤èí±òâåíí®© ﮫ®¦èòå«üí®© ±®ã«à±®âàíí®© ¬àò°èö» ÿâ«ÿåò±ÿ ò®, ·ò®
®áúåêò» (êàê âå°øèí») è ±®å¤èíÿþùèå èµ ±ó¦¤åíèÿ (êàê ¤óãè) ô®°¬è°ó-
þò ïå°åê°»âàþùåå±ÿ ¤å°åâ®.
„®êà§àòå«ü±òâ®. Íå®áµ®¤è¬®±òü. …±«è ®áúåêò» ô®°¬è°óþò ê®íòó°,
ò® è¬ååò±ÿ íå å¤èí±òâåíí»© ïóòü ¬å¦¤ó ¤âó¬ÿ âå°øèíà¬è â ê®íòó°å, ·ò®
¤àåò ¤âà °à§«è·í»µ §íà·åíèÿ ¤«ÿ ®¤í®ã® è ò®ã® ¦å ý«å¬åíòà. ‚±å ®áúåêò»
¤®«¦í» ®á°à§®â»âàòü ¤å°åâ®, èíà·å ±ó¦¤åíèÿ ¤«ÿ ±âÿ§»âàíèÿ 觮«è°®-
âàíí»µ ®áúåêò®â ừè á» ï°®è§â®«üí»¬è, ·ò® íà°óøè«® á» å¤èí±òâåí-
í®±òü ¬àò°èö».
„®±òàò®·í®±òü. „«ÿ êত®© ¤óãè ïå°åê°»âàþùåã® ¤å°åâà ¬» è±-
ﮫü§óå¬ èíòåí±èâí®±òü ⤮«ü å¤èí±òâåíí®ã® ïóòè ¤«ÿ ﮫó·åíèÿ èíòåí-
±èâí®±òå© ¬å¦¤ó ®áúåêòà¬è i è j. Ýò® ®ï°å¤å«ÿåò ¬àò°èöó À=( aij ).
79
„«ÿ ¤®êà§àòå«ü±òâà ±®ã«à±®âàíí®±òè ¬àò°èö» À °à±±¬®ò°è¬ «þ-
áóþ ±ò°®êó, íàï°è¬å°, i-þ. „«ÿ «þᮩ ïà°» âå°øèí j è k íó¦í® ï®êà§àòü,
·ò® a jk , ®ï°å¤å«åííàÿ ï°®è§âå¤åíèå¬ ¤óã íà ïóòè jk, ¤àíà âå«è·èí®©

aik / aij , ã¤å aik , aij – ±®®òâåò±òâóþùèå ï°®è§âå¤åíèÿ èíòåí±èâí®±òå©
¤óã íà ïóòÿµ, ±®å¤èíÿþùèµ i ± k è i ± j.
Ðà±±¬®ò°è¬ ¤âà ±«ó·àÿ:
1. i «å¦èò íà ïóòè ¬å¦¤ó j è k. ‚ ýò®¬ ±«ó·àå a jk = a ji aik = aik / aij .
2. i íå «å¦èò ¬å¦¤ó j è k , ò®ã¤à:
à) i, j, k ®á°à§óþò ïóòü; â ýò®¬ ±«ó·àå ïóòü, ®ï°å¤å«ÿþùè© a jk ,

¤àåò±ÿ âå«è·èí®© aik / aij , 屫è j í൮¤èò±ÿ ¬å¦¤ó i è k, è ®á°àòí®©

âå«è·èí®© aij / aik , ò.å. aik / aij , 屫è k í൮¤èò±ÿ ¬å¦¤ó i è j, òàê êàê ïóòü
¤®«¦åí ï°®µ®¤èòü ®ò j ê k, à íå ®ò k ê j;
á) i, j, k ®á°à§óþò âè«êó â m .
’®ã¤à a jk = aim amk = a jm ami aim amk = a ji aik = aik / aij .
’å®°å¬à 23. …±«è À – ±®ã«à±®âàííàÿ ¬àò°èöà,
ò® A = n A .
k k ’1

„®êà§àòå«ü±òâ®.
ȧ ò宰嬻 ‘è«üâå±ò°à è¬åå¬

∏( A ’ » I) i
n
f ( A) = ‘ f ( » )
i≠ j

∏ (» ’ » ) .
i
i =1 i j
j ≠i


Ýòà ô®°¬ó«à ±ï°àâ夫èâà è ¤«ÿ ±«ó·àÿ f ( A) = A k (¤«ÿ ê°àòí»µ
±®á±òâåíí»µ §íà·åíè©), ê®ã¤à ê°àòí®å ±®á±òâåíí®å §íà·åíèå °àâí® íó«þ.
Ï®¤±òàâ«ÿÿ ±íà·à«à f(A)=A, à §àòå¬ f ( A) = A k , â ®á®èµ ±«ó·àÿ ï°è

» i = n, » j = 0, j ≠ 1 , ﮫó·àå¬
A n ’1 = n n ’ 2 A, A k = n k ’ n ’1 A n ’1 ±®®òâåò±òâåíí®. Ï®¤±òàí®âêà


80
A n’1 è§ ïå°â®ã® °å§ó«üòàòà â® âò®°®© ¤àåò A k = n k ’1 A .
’å®°å¬à 24. Ëþᮩ ±ò®«áåö ¬àò°èö» A = ( wi / w j ) ÿâ«ÿåò±ÿ °å-

<<

. 15
( 19 .)



>>