<<

. 16
( 19 .)



>>

øåíèå¬ §à¤à·è ® ±®á±òâåíí®¬ §íà·åíèè Àw=nw, w = ( w1 ,..., wn ) /
„®êà§àòå«ü±òâ®. ’àê êàê «þᮩ ±ò®«áåö ¬àò°èö» è¬åå¬ âè¤

w1 / w j , w2 / w j ,..., wn / w j , ò® ®í ÿâ«ÿåò±ÿ ï°®±ò® ê°àòí»¬ w è, ±«å-
T


¤®âàòå«üí®, °åøåíèå¬ §à¤à·è.
ȧ ï®±«å¤íå© ò宰嬻 ﮫó·àåò±ÿ ï°å¤»¤óùàÿ òå®°å¬à, òàê êàê 屫è
(a1 , a2 ,..., an ),
À
®á®§íà·èòü ±ò®«áö» ·å°å§ ò®
A … A = (a1 , a2 ,..., an ) = (na1 , na2 ,..., nan ) = nA .
’å®°å¬à 25. Ëþáàÿ ±ò°®êà ¬àò°èö» A = ( wi / w j ) å±òü °åøåíèå
§à¤à·è vA=nv.
„®êà§àòå«ü±òâ® ®·åâè¤í®.
‘«å¤±òâèå. Ê®¬ï®íåíò» ï°àâ®ã® è «åâ®ã® ±®á±òâåíí»µ âåêò®°à, w è
v, ÿâ«ÿþò±ÿ ®á°àòí»¬è âå«è·èíà¬è ± ò®·í®±òüþ ¤® ï®±ò®ÿíí®ã® ¬í®¦è-
òå«ÿ. (Áó¤å¬ í৻âàòü èµ ¤â®©±òâåíí»¬è âåêò®°à¬è).
Îï°å¤å«è¬ í®°¬ó ¬àò°èö» A êàê A = e Ae (ò.å. ®íà ÿâ«ÿåò±ÿ
T


±ó¬¬®© â±åµ ý«å¬åíò®â À).


e j
Êàê è§âå±òí®, ¤«ÿ ï°è¬èòèâí®© ¬àò°èö» À

lim A k e / A k = cwmax , ã¤å ± – ï®±ò®ÿííàÿ, wmax – í®°¬à«è§®-
k ’∞

âàíí»© ã«àâí»© ±®á±òâåíí»© âåêò®° À. ‘«å¤óþùàÿ òå®°å¬à ÿâ«ÿåò±ÿ óï-
°®ùåíí®© âå°±èå© ýò®© ò宰嬻 ¤«ÿ ±®ã«à±®âàíí»µ ¬àò°èö.
’å®°å¬à 26. …±«è À ﮫ®¦èòå«üíàÿ ±®ã«à±®âàííàÿ (nxn)-¬àò°èöà,
Àe=Cw, ã¤å ‘>0 ï®±ò®ÿííàÿ è w ó¤®â«åòâ®°ÿåò °àâåí±òâó Àw=nw.
„®êà§àòå«ü±òâ®. ‚åêò®° Àå ÿâ«ÿåò±ÿ ±ó¬¬®© ±ò°®ê À è, ®·åâè¤í®
ï®±ò®ÿíí»¬ ¬í®¦èòå«å¬ «þá®ã® ±ò®«áöà. Ï®ýò®¬ó ®í ÿâ«ÿåò±ÿ °åøåíè-
å¬ §à¤à·è ® ±®á±òâåíí®¬ §íà·åíèè.
„°ó㮩 âà°èàíò ¤®êà§àòå«ü±òâà. Ëåãê® ï®êà§àòü, ·ò® À è¬ååò å¤è-
íè·í»© °àíã ò®ã¤à è ò®«üê® ò®ã¤à, ê®ã¤à ±óùå±òâóþò âåêò®°» µ è y, òàêèå,
·ò® A = xy T . Îò±þ¤à


81
Aw = ( y, w) x = nw, ( y, w) = y1w1 +...+ yn wn , è ±«å¤®âàòå«üí®,
n
Ae = ( y , e) x = ( y , e) = Cw .
( y , w)
n

‘«å¤±òâèå 1. …±«è A = ( wi / w j ) , ò® Cwi = wi / ‘w . i
i =1
‘«å¤±òâèå 2.

Ak e n k ’1 Ae Ae
= C ( w1 ,..., wn ), C > 0
e T A k e n e Ae e Ae
= k ’1 T =T
‘«å¤óþùàÿ òå®°å¬à ï®ê৻âàåò, ·ò® â ±«ó·àå ±®ã«à±®âàíí»µ ¬àò-
°èö ꮬï®íåíò» ±®á±òâåíí®ã® âåêò®°à 觬åíÿþò±ÿ ¬®í®ò®íí® ± 觬åíå-
íèÿ¬è ®ò¤å«üí»µ ý«å¬åíò®â.
’å®°å¬à 27. (Î ¬®í®ò®íí®±òè). Ïó±òü A = ( aij ) – ﮫ®¦èòå«üíàÿ
±®ã«à±®âàííàÿ ¬àò°èöà ± ã«àâí»¬ ±®á±òâåíí»¬ âåêò®°®¬
w= ( w1 ,..., wn ) . Çà¬åíè¬ ®¤èí ý«å¬åíò a xy íà a xy + µ > 0 è, è±ï®«ü-
§óÿ ±ò°®êó µ, ï®±ò°®è¬ í®âóþ ±®ã«à±®âàííóþ ¬àò°èöó A* = ( a *ij ) .

Ïó±òü w* = ( w*1 ,..., w* n ) – ã«àâí»© ±®á±òâåíí»© âåêò®° ¬àò°èö» A* .

’®ã¤à wx * > wx .

„®êà§àòå«ü±òâ®. ’àê êàê è À, è A ±®ã«à±®âàíí», «þᮩ í®°¬à«è-
*

§®âàíí»© ±ò®«áåö ¤àåò ã«àâí»© ±®á±òâåíí»© âåêò®°. Ðà±±¬®ò°è¬ ±ò®«-
áåö, ±®¤å°¦àùè© 1 / a xy â ¬àò°èöå À, è ±®®òâåò±òâóþùè© ±ò®«áåö, ±®¤å°-

¦àùè© 1 / ( a xy + µ ) â ¬àò°èöå A . „âà ±ò®«áöà è¤åíòè·í» §à è±ê«þ·å-
*



íèå¬ ýò®ã® å¤èí±òâåíí®ã® ý«å¬åíòà. ‘ó¬¬à ý«å¬åíò®â ±ò®«áöà â A ¬åíü-
*

øå, ·å¬ ±ó¬¬à ý«å¬åíò®â ±ò®«áöà â À. Ï®ýò®¬ó, í®°¬à«è§óÿ ¤àíí»© ±ò®«-
áåö, ﮫó·àå¬ á®«üøåå ®òí®øåíèå ¤«ÿ â±åµ òåµ ý«å¬åíò®â, ê®ò®°»å íå
¬åíÿþò±ÿ â ®áåèµ ¬àò°èöàµ. ‚ ·à±òí®±òè, ýò® âå°í® ¤«ÿ wx * , ï®ýò®¬ó

wx > wx .
*



82
’å®°å¬à 28. …±«è À – ﮫ®¦èòå«üíàÿ ±®ã«à±®âàííàÿ ¬àò°èöà è A
/


ﮫó·åíà è§ À â»·å°êèâàíèå¬ i-© ±ò°®êè è i-ã® ±ò®«áöà, ò® A / – ±®ã«à±®-
âàííà è åå ±®®òâåò±òâóþùè© ±®á±òâåíí»© âåêò®° ﮫó·àåò±ÿ è§ À, 屫è
wi = 0 è í®°¬à«è§®âàòü ꮬï®íåíò».
ﮫ®¦èòü
„®êà§àòå«ü±òâ®. „«ÿ «þᮩ §à¤àíí®© ±ò°®êè À, íàï°è¬å°, ¤«ÿ ïå°-
⮩, è¬åå¬ a ji = a1i / a1 j , j=1, ..., n, è i-ÿ ±ò°®êà À §àâè±èò ®ò ý«å¬åíòà

i-ã® ±ò®«áöà â åã® ïå°â®© ±ò°®êå. Àíà«®ãè·í®å ±«å¤óåò è§ a jk = a1k / a1 j .
Ï®ýò®¬ó íè ®¤èí ý«å¬åíò â A íå §àâè±èò ®ò i-© ±ò°®êè è«è i-ã® ±ò®«áöà À
/


è, ±«å¤®âàòå«üí®, A òàê¦å ±®ã«à±®âàííà. ’àê êàê èµ ý«å¬åíò» ±®âïà¤àþò
/

§à è±ê«þ·åíèå¬ i-© ±ò°®êè è«è i-ã® ±ò®«áöà À è °åøåíèå §à¤à·è ® ±®á-
±òâåíí®¬ §íà·åíèè ï°è ±®ã«à±®âàíí®© ¬àò°èöå ﮫó·àåò±ÿ è§ «þá®ã®
í®°¬à«è§®âàíí®ã® ±ò®«áöà, ﮫó·àå¬ óòâå°¦¤åíèå ò宰嬻.
Çà¬å·àíèå. ‚ ®áùå¬ ±«ó·àå, 屫è A = ( aij ) – ¬àò°èöà ïà°í»µ ±°àâ-

íåíè©, à A = ( aij ) ï°è
/

aij = aij , i , j = 1,..., n, i ≠ k , j ≠ k , aij = 0, i = k è«è j=k, è 屫è
′ ′
Aw = » max w è
í®°¬à«è§®âàíí»å ±®á±òâåíí»å âåêò®°» ó°àâíåíè©
A′w′ = » max w′ – ±®®òâåò±òâåíí® w, w′ , ò® wk = 0 , ®¤íàê®

w± / wβ ≠ w± / wβ ¤«ÿ â±åµ ± è β . „°óãè¬è ±«®âà¬è, è±ê«þ·åíèå ®¤-
′ ′
í®© ±ò°®êè è§ ¬àò°èö» ïà°í»µ ±°àâíåíè© íå ⻧»âàåò ﰮﮰöè®íà«üí®-
ã® ïå°å°à±ï°å¤å«åíèÿ â屮⠱°å¤è ¤°óãèµ ±ò°®ê.
‘«å¤óþùàÿ òå®°å¬à ï®ê৻âàåò, ·ò® ®òí®øåíèÿ ï®°ÿ¤êà ¬å¦¤ó ®ò-
¤å«üí»¬è aij è wi / w j ¤®â®«üí® ±«®¦í»¬ ®á°à§®¬ §àâè±ÿò ®ò â±å© ¬àò-
°èö» À è åå ±òåïåíå©.
’å®°å¬à 29. „«ÿ ï°è¬èòèâí®© ¬àò°èö» À è¬åå¬, ·ò® aij ≥ a kl , ò®ã-

¤à è ò®«üê® ò®ã¤à, ê®ã¤à wi / w j ≥ wk / wl , ï°è 󱫮âèè, ·ò®




83
‘a ( A m e) p ‘a ( A m e) q
ip kq

lim ≥ lim
p≠ j q ≠l

( A m e) j ( A m e) l
m’∞ m’∞


( ( .)p – ®§íà·àåò °-þ ꮬï®íåíòó âåêò®°à).
„®êà§àòå«ü±òâ®.
n

‘a w = »wi è¬åå¬
ȧ °àâåí±òâà ij j
j =1


aij = »wi / w j ’ (1 / w j ) ‘ aip w p
p≠ j

a kl = »wk / wl ’ (1 / wl ) ‘ a kq wq
p≠l


Ï®ýò®¬ó aij ≥ a kl ò®«üê® ï°è

»wi / w j ≥ »wk / wl + (1 / w j ) ‘ aip w p ’ (1 / wl ) ‘ a kq wq
.
p≠ j p≠l

‘«å¤®âàòå«üí®, òå®°å¬à âå°íà, 屫è è¬ååò ¬å±ò® ±«å¤óþùåå íå°à-
âåí±òâ®:
(1 / w j ) ‘ aip w p ≥ (1 / wl ) ‘ a kq wq
.
p≠ j p ≠l

ȱﮫü§óÿ òå®°å¬ó ® ï°å¤å«å ¤«ÿ ï°è¬èòèâí®© ¬àò°èö», §à¬åíè¬

( A m e) s
êত»© ws íà lim T m , ·ò® §àâå°øàåò ¤®êà§àòå«ü±òâ®.
m’∞ e A e

’å®°å¬à 30. (‘òåïåíí®© §àê®í ±®á±òâåíí®ã® §íà·åíèÿ).

…±«è ¬àò°èöà À= aij ( wi / w j ) ï®°ÿ¤êà n ó¤®â«åòâ®°ÿåò ®á®á-
ùåíí®¬ó 󱫮âèþ ±®ã«à±®âàíí®±òè, ò® §à¤à·à ® ±®á±òâåíí®¬ §íà·åíèè
n

‘a ( wi / w j )q j ( w j ) = nqi ( wi ), i = 1,..., n è¬ååò °åøåíèå â
ij
j =1

âè¤å ±®á±òâåíí®ã® âåêò®°à


84
( w1 ,..., wn ) ≡ q1 ( w1 ),..., qn ( wn ) .
± ±


„®êà§àòå«ü±òâ®. ‚»°à¦åíèå aij ( wi / w j ) = gi ( wi ) / g j ( w j ) è¬å-

åò ¬å±ò® ï°è °åøåíèè gi ( wi ) , i=1,..,n, §à¤à·è ® ±®á±òâåíí®¬ §íà·åíèè.
…±«è ﮤ±òàâè¬ åã® â 󱫮âèå ±®ã«à±®âàíí®±òè, ò® ﮫó·è¬

f gi ( wi ) / g j ( w j ) f g j ( w j ) / gk ( wk ) =

o g (w ) / g (w ) f t
f g j ( w j ) / gk ( wk ) .
i i j j


È«è, 屫è ﮫ®¦è¬ x = gi ( wi ) / g j ( w j ) , y = g j ( w j ) / g k ( wk ) ,
ò® ﮫó·è¬ f(x)f(y)=f(xy). Ýò® ôóíêöè®íà«üí®å ó°àâíåíèå è¬ååò ®á-
ùåå °åøåíèå f ( x ) = x ± .
’àêè¬ ®á°à§®¬, ®á®áùàÿ 󱫮âèå ±®ã«à±®âàíí®±òè ¤«ÿ À í൮¤è¬,
·ò® ®á®áùåíèå ±®®òâåò±òâóþùå© §à¤à·è ® ±®á±òâåíí®¬ §íà·åíèè (±
» max = n ) ⮧¬®¦í®, å±«è §à¬åíè¬ aij íà ï®±ò®ÿííóþ ±òåïåíü a åã®
à°ãó¬åíòà. Τíàê®, aij = wi / w j ï°è à=1, ï®ýò®¬ó, â®®áùå ã®â®°ÿ,

aij = ( wi / w j )± , è§ ·åã® ±«å¤óåò, ·ò® gi ( wi ) / g j ( w j ) = ( wi / w j )± ,
i, j =1,..,n, gi ( wi ) = wi ± = g ( wi ), i = 1,..., n .
Ýòà òå®°å¬à ï®ê৻âàåò, ·ò® °åøåíèå §à¤à·è ® ±®á±òâåíí®¬ §íà·å-
íèè, ó¤®â«åòâ®°ÿþùå© ó±«®âèþ ±®ã«à±®âàíí®±òè, ¤àåò ®öåíêè â ±òåïåí-
í®© øêà«å.
Çà¬å·àíèå. Ð৫è·í»å ¬àò°èö» ï®ïà°í»µ ±°àâíåíè© ¬®ãóò ¤àâàòü
®¤èí è ò®ò ¦å ±®á±òâåíí»© âåêò®°. Ýò® ¤®â®«üí® ó¤à·í®å ®á±ò®ÿòå«ü±òâ®,
òàê êàê ﮧ⮫ÿåò §à¬åíÿòü ï°è§íàêè è â±å ¦å ﮫó·àòü ò®ò ¦å ±à¬»© ±®á-
±òâåíí»© âåêò®° â êà·å±òâå ®òâåòà. Ï®ýò®¬ó ¬®¦í® ﮫó·èòü ®¤èí è ò®ò
¦å °å§ó«üòàò ± °à§«è·í»µ ò®·åê §°åíèÿ è â»á°àòü òå ¬àò°èö», ê®ò®°»å ¬»
ï°å¤ï®·èòàå¬.
’å®°å¬à 31. ‘®á±òâåíí»å §íà·åíèÿ ﮫ®¦èòå«üí®© ®á°àòí®±è¬¬åò-
°è·í®© ¬àò°èö» ó¤®â«åòâ®°ÿþò ±«å¤óþùå¬ó ó°àâíåíèþ:

= 0.
‘» » i k
i ,k
i≠ k


85
„®êà§àòå«ü±òâ®.
» 1 +...+ » n = tr ( A) = n, » 12 +...+ » n 2 = tr ( A 2 ) = n 2 , òàê êàê
» i 2 – ±®á±òâåíí®å §íà·åíèå A2 . Ï®ýò®¬ó

» 1 +...+ » n = tr ( A) = n 2 = ( » 1 +...+ » n ) 2 = ‘ » i 2 + ‘ » i » k ,
i =1 i ,k
i≠k

è§ ·åã® ±«å¤óåò, ·ò® âò®°®å ±«àãàå¬®å ±ï°àâà °àâí® íó«þ.
’å®°å¬à 32. Ïó±òü A = ( aij ) å±òü (nxn)-¬àò°èöà ﮫ®¦èòå«üí»µ

. À ±®ã«à±®âàííà ò®ã¤à è ò®«üê® ò®ã¤à, ê®ã¤à
ý«å¬åíò®â ± aij = a ji
’1


» max = n.
n
» = ‘ aij w j wi
„®êà§àòå«ü±òâ®. ȧ ó°àâíåíèÿ ﮫó·àå¬
’1

j =1

<<

. 16
( 19 .)



>>