<<

. 3
( 19 .)



>>

˜&˜ ≈ ˜
(2) µµµ
˜∨˜ ≈ ˜
µµµ
˜&˜ ≈ ˜&˜
(3) µyyµ
˜∨ ˜ ≈ ˜∨˜
µyyµ
˜ & ( ˜ & ˜) ≈ ( ˜ & ˜) & ˜ ≈ ˜ & ˜ & ˜
(4) µ yz µy zxyz
˜ ∨ ( ˜ ∨ ˜) ≈ (˜ ∨ ˜) ∨ ˜ ≈ ˜ ∨ ˜ ∨ ˜
µ yz µy zxyz
˜ & ( ˜ ∨ ˜) ≈ ( ˜ & ˜) ∨ ( ˜ & ˜)
(5) µ yz µy xz
˜ ∨ ( ˜ & ˜) ≈ ( ˜ ∨ ˜) & ( ˜ ∨ ˜)
µ yz µy xz
¬ ( ˜ & ˜ ) ≈ ¬˜ ∨ ¬˜
(6) µy x y
¬ ( ˜ ∨ ˜ ) ≈ ¬˜ & ¬˜
µy x y
˜ & ( ˜ ∨ ˜ ) ≈ ˜ , ˜ ∨ ( ˜ & ˜) ≈ ˜
xµ µy x
µ µy
(7)



12
( ˜ ∨ ˜ ) ∨ ( ˜ & ˜) ≈ ˜ ∨ ˜
(8) µy µy xy
( ˜ ∨ ˜) & ( ˜ & ˜) ≈ ˜ & ˜
(9) µy µy xy
(10) ˜ & ¬˜ ≈ ˜ & ¬˜
µ µ y y
(11) ˜ ∨ ¬˜ ∨ ˜ ≈ ˜ ∨ ¬˜ ∨ ˜
µ µ yy yx
(12) ( ˜ & ¬˜ ) & ( ˜ ∨ ¬˜ ) ≈ ˜ & ¬˜
x x y y x x
( ˜ ∨ ¬˜ ) ∨ ( ˜ & ¬˜ ) ≈ ˜ ∨ ¬˜
x x y y x x
(13) ˜ ’ ˜ ≈ ¬˜ ’ ¬˜
x y y x
(14) ¬˜ ’ ˜ ≈ ¬˜ ’ ˜ ≈ ˜ ∨ ˜
x y y xxy
(15) ˜ ’ ( ˜ ∨ ¬˜ ) ≈ ( ˜ & ¬˜ ) ’ ˜
x y y x x y
(16) ( ˜ & ¬˜ ) ’ ( ˜ ∨ ˜ ) ≈ ( ˜ & ¬˜ ) ’ ˜ ∨ ˜
x x yz y y xz
Ê°®¬å ò®ã®, ïó±òü 0, ±, 1 – ê®í±òàíò» è 0<c<1, ò®ã¤à
˜ & 0 ≈ 0, ˜ & 1 ≈ ˜
x x x
˜ ∨ 0 ≈ ˜, ˜ ∨ 1 ≈ 1
x xx
˜ ˜
˜ & c ≈ ± x , 屫è x ¤ c,
x ˜
±, 屫è x ≥ c.


˜
˜ ∨ c ≈ ±±, 屫è x ¤ c,
x ˜ ˜
 x , 屫è x ≥ c.
„«ÿ ¤®êà§àòå«ü±òâà êত®ã® è§ â»°à¦åíè© íå®áµ®¤è¬® ï®êà§àòü, ·ò®
˜˜
˜˜
µ ( A1 , A2 ) ®á°à§óþùèµ åã® ô®°¬ó« A1 , A2 ᮫ü-
±òåïåíü °àâí®±è«üí®±òè
øå è«è °àâí® 0,5.
˜˜
Ýò® ⮧¬®¦í® ò®ã¤à, ê®ã¤à ô®°¬ó«» A1 , A2 ï°èíè¬àþò ®¤íè è òå ¦å
§íà·åíèÿ ±òåïåíè è±òèíí®±òè íà ®¤èíàê®â»µ íà᮰ൠïå°å¬åíí»µ, «èá®
è¬åþò ±òåïåíü è±òèíí®±òè ®¤í®â°å¬åíí® ¬åíüøå è«è °àâí® 0,5 è«è ᮫üøå
è«è °àâí® 0,5 íà ®¤èíàê®â»µ íà᮰ൠïå°å¬åíí»µ.
„®êà¦å¬ ô®°¬ó«ó (6) ¬ ( ˜ & ˜ ) ≈ ¬˜ ∨ ¬˜ ; ®á®§íà·è¬
µy x y
˜ ˜
A1 ( ˜, ˜ ) = ¬ ( ˜ & ˜ ) , A2 ( ˜, ˜ ) = ¬˜ ∨ ¬˜ .
µy µy µy x y

13
˜
d ( A1 ( ˜ , ˜ )) = 1 ’ min( ˜ , ˜ ) ,
xy xy
˜
d ( A 2 ( ˜ , ˜ )) = max(1 ’ ˜ , 1 ’ ˜ ) . …±«è ˜ < ˜ , ò®ã¤à
xy
xy x y
˜
˜
d( A1 ( ˜, ˜ ) )= 1 ’ ˜ è d( A2 ( ˜, ˜ ) )= 1 ’ ˜ , ò.å. ï°è â±åµ ˜ ±òåïåíè
µy µy x
µ
µ
˜ ˜
è±òèíí®±òè ô®°¬ó« A ( ˜, ˜ ) è A ( ˜, ˜ ) ±®âïà¤àþò, ®òêó¤à ±«å¤óåò
µy µy
1 2
˜˜
µ ( A1 , A2 ) ≥ 0,5.
˜ ˜˜
˜ ˜˜
…±«è ˜ > ˜ , ò® d( A1 ( µ , y ) )= 1 ’ ˜ , d( A2 ( µ , y ) )= 1 ’ ˜ , ®ò-
xy y y
˜˜
µ ( A1 , A2 ) ≥ 0,5.
êó¤à ±«å¤óåò
˜ ˜˜
˜ ˜˜ ˜
…±«è ˜ = ˜ , ò® d( A1 ( µ , y ) )= 1 ’ ˜ , d( A2 ( µ , y ) ) = 1 ’ y , ®ò-
x
xy
˜˜
êó¤à ±«å¤óåò µ ( A1 , A2 ) ≥0,5.

1.5. Íå·åòêèå ï°å¤èêàò» è êâàíò®°»
Îï°å¤å«åíèå 15. Íå·åòêèå «®ãè·å±êèå ô®°¬ó«», ê®ò®°»å ®ï°å¤å«åí» íà
êàꮬ-«èá® ¬í®¦å±òâå • è ï°èíè¬àþò ±â®è §íà·åíèÿ è§
§à¬êíóò®ã® èíòå°âà«à [0, 1] í৻âàþò íå·åòêè¬ ï°å¤è-
êàò®¬.
Íàï°è¬å°, µ A – ôóíêöèÿ ï°èíफå¦í®±òè ÿâ«ÿåò±ÿ ®¤í®¬å±òí»¬
íå·åòêè¬ ï°å¤èêàò®¬.
Ï°è¬å° 9. •={1, 2, 3, …, 10}, ò®ã¤à íå·åòêè© ï°å¤èêàò "á»òü
˜
íå᮫üøè¬ ·è±«®¬" ï°èíè¬àåò ±«å¤óþùèå §íà·åíèÿ: À (1)=1,
˜
˜ ˜
˜ ˜ ˜
À (2)=0,9, À (3)=0,7, À (4)=0,5, À (5)=0,1, À (6)=0, À (7)=0,
˜
˜ ˜
À (8)=0, À (9)=0, À (10)=0 è ôàêòè·å±êè §à¤àåò íå·åòê®å ¬í®¦å-
˜
±òâ® À ={(1; 1), (2; 0,9), (3; 0,7), (4; 0,3), (5; 0,1)} â ¬í®¦å±òâå •.
˜
Ïó±òü ®á«à±òüþ ®ï°å¤å«åíèÿ íå·åòê®ã® ï°å¤èêàòà À ÿâ«ÿåò±ÿ ¬í®-
¦å±òâ® •={µ 1 , µ 2 , µ 3 , …, µ n }, ò®ã¤à ¤«ÿ êত®ã® µ ∈ • ¬®¦åò á»òü
˜
⻷豫åí® §íà·åíèå µ A (µ) ï°å¤èêàòà À (µ).



14
˜
µ ( A) = µ A (µ 1)& µ A (µ2)& µ A (µ3)&…
Îï°å¤å«åíèå 16. ‚å«è·èíà

& µ A (µn ) = & µ À ( µ) í৻âàåò±ÿ ±òåïåíüþ ®áùí®±òè
µ∈•
˜
±â®©±òâ À (µ) ¤«ÿ ý«å¬åíò®â ¬í®¦å±òâà •.
˜
˜
µ ( A) ≥ 0,5, ò® íà «®ãè·å±êóþ ô®°¬ó«ó À (µ) ¬®¦åò á»òü
ɱǏ
˜
íàâåøàí êâàíò®° íå·åòꮩ ®áùí®±òè ∀ , ê®ò®°»© ·èòàåò±ÿ "¤«ÿ â±åµ" è«è
"¤«ÿ «þá®ã®".
˜
ν (A) = µ A (µ1)∨ µ A (µ2)∨ µ A (µ3)∨ µ A (µn) =
Îï°å¤å«åíèå 17. ‚å«è·èíà

µ À ( µ) í৻âàåò±ÿ ±òåïåíüþ ±óùå±òâ®âàíèÿ ±â®©-
=∨
µ∈•
˜
±òâà À (µ) ¤«ÿ ý«å¬åíò®â ¬í®¦å±òâà •.
˜ ˜
…±«è ν (A) ≥0,5, ò® íà «®ãè·å±êóþ ô®°¬ó«ó À (µ) ¬®¦åò á»òü íà-
˜
âåøàí êâàíò®° íå·åòê®ã® ±óùå±òâ®âàíèÿ ∃ , ê®ò®°»© ·èòàåò±ÿ "±óùå-
±òâóåò òàꮩ" è«è "è¬ååò±ÿ òàꮩ".
˜
Ïó±òü À (µ) – íå·åòêàÿ «®ãè·å±êàÿ ô®°¬ó«à ®ò ®¤í®© ïå°å¬åíí®©,
˜
˜
ï°èíè¬àþùå© §íà·åíèÿ è§ •. ‚»°à¦åíèå ( ∀ µ∈ •) À (µ) ÿâ«ÿåò±ÿ íå-
·åòê® è±òèíí®© ô®°¬ó«®© è ·èòàåò±ÿ "¤«ÿ «þá®ã® µ∈ • ±òåïåíü è±òèíí®-
˜
±òè À (µ) ᮫üøå è«è °àâí® 0,5".




15
2. Îïå°àöèè íठíå·åòêè¬è ¬í®¦å±òâà¬è

2.1. Íå·åòê®å âê«þ·åíèå è íå·åòê®å
°àâåí±òâ® ¬í®¦å±òâ
’àê ¦å êàê íठ·åòêè¬è ¬í®¦å±òâà¬è ®ï°å¤å«ÿþò±ÿ ®òí®øåíèÿ
âê«þ·åíèÿ, °àâåí±òâà, ®ïå°àöèè ®áúå¤èíåíèÿ, ïå°å±å·åíèÿ, ¤®ï®«íåíèÿ,
è ò.¤., ®ï°å¤å«ÿþò±ÿ ®íè è íठíå·åòêè¬è ¬í®¦å±òâà¬è, ò®«üê® ¤å«àåò±ÿ
ýò® ï°è ﮬ®ùè ôóíêöèè ï°èíफå¦í®±òè.
˜˜
Îï°å¤å«åíèå 1. Ïó±òü §à¤àí» íå·åòêèå ﮤ¬í®¦å±òâà À, ‚ ¬í®¦å±òâà
˜˜
•. ‘òåïåíü âê«þ·åíèÿ ν ( À, ‚ ) íå·åòê®ã® ¬í®¦å±òâà
˜ ˜
À â íå·åòê®å ¬í®¦å±òâ® ‚ í൮¤èò±ÿ ï® ô®°¬ó«å
˜˜
ν( À, ‚ )= & ( µ À ( µ) ’ µ ‚ ( µ)) , ã¤å µ À ( µ), µ ‚ ( µ)
µ∈ •
ï®íè¬àþò±ÿ êàê íå·åòêèå â»±ê৻âàòå«üí»å ïå°å¬åíí»å,
’ – è¬ï«èêàöèÿ, & – ®ïå°àöèÿ ê®íúþíêöèè, ê®ò®°àÿ
áå°åò±ÿ ï® â±å¬ µ∈ •.
˜
˜
˜˜
…±«è ν ( À, ‚ )≥ 0,5, ò® À íå·åòê® âê«þ·àåò±ÿ â ¬í®¦å±òâ® ‚ è
˜
˜˜
˜ ˜
®á®§íà·àåò±ÿ À Ì ‚ . …±«è ν ( À, ‚ )¤ 0,5, ò® À íå·åòê® íå âê«þ·àåò±ÿ
˜
˜ ˜
â ¬í®¦å±òâ® ‚ è ®á®§íà·àåò±ÿ À Ì ‚ . Ýò® ï®íÿòèå ÿâ«ÿåò±ÿ
®á®áùåíèå¬ ï®íÿòèÿ âê«þ·åíèÿ ¤«ÿ ·åòêèµ ¬í®¦å±òâ. „婱òâèòå«üí®,
ïó±òü À è B – ·åòêèå ¬í®¦å±òâà è À⊆ ‚, ®ò±þ¤à ±«å¤óåò ν (À,‚)=1.
…±«è ¦å À„ ‚, ò® ν (À,‚)=0.
˜
Ï°è¬å° 1. •={µ1, µ2, …,µn}. À ={(µ2;0,3), (µ3;0,6),
˜
(µ5;0,4)}, ‚ ={(µ1;0,8), (µ2;0,5), (µ3;0,7), (µ5;0,6)}, ò®ã¤à
˜˜
ν( À, ‚ ) =(0 ’0,8)&(0,3’0,5)&(0,6’0,7)&(0,4’0,6)=
=1& 0,7&0,7& 1&0,6= 0,6.
˜˜
Àíà«®ãè·í® ¬®¦í® ⻷豫èòü ν ( ‚ , À )=0,2, ®òêó¤à ±«å¤óåò
˜ ˜
˜
˜
À Ì ‚ , í® ‚ Ì À .

16
˜ ˜
˜ ˜
Îï°å¤å«åíèå 2. Ìí®¦å±òâ® À âê«þ·àåò±ÿ â® ¬í®¦å±òâ® ‚ — À ‚ ‚
屫è ∀ µ ∈ •, µ À (µ) ¤ µ ‚ (µ).
˜
‘ï°àâ夫èâ® ±«å¤óþùåå óòâå°¦¤åíèå: 屫è íå·åòê®å ¬í®¦å±òâ® À
˜
âê«þ·àåò±ÿ â íå·åòê®å ¬í®¦å±òâ® ‚ (±¬. ®ï°å¤å«åíèå 2), ò® â»ï®«íÿåò±ÿ
˜ ˜
è íå·åòê®å âê«þ·åíèå À Ì ‚ .
„婱òâèòå«üí®, ïó±òü â»ï®«íÿåò±ÿ ∀ µ∈ •, (µ) ¤ µ ‚ (µ),
˜˜
µ À

¤®êà¦å¬, ·ò® ν ( À, ‚ )≥ 0,5. …±«è (µ) ¤ µ (µ) ¤ 0,5, ò®
µ À ‚
˜˜
ν ( À, ‚ )=(µ À (µ1) ’µ ‚ (µ1 ))& (µ À(µ2 ) ’µ ‚ (µ2 ))&…(µ À (µn ) ’µ‚ (µn))=
=(max(1-µÀ (µ1 ), µ ‚ (µ1 )))& (max(1-µ À (µ2 ), µ ‚ (µ2 )))&…
& (max(1-µ À (µn ), µ ‚ (µn ))) = (1-µ À (µ1 ))& (1-µ À (µ2 ))& …
& (1-µ À (µn )). ȧ ®ï°å¤å«åíèÿ ®ïå°àöèè ê®íúþíêöèè ±«å¤óåò, ·ò®
°å§ó«üòàò áó¤åò ¬èíè¬à«üí»¬ è§ â±åµ (1-µ À (µi)), i=1..n. À ﮱꮫüêó
˜˜
¤«ÿ ∀ µ ∈ • µ À (µ)¤ 0,5, ò® ν ( À, ‚ )≥0,5.
…±«è 0,5<µ À (µ) ¤ µ ‚ (µ), ò®
˜˜
ν ( À, ‚ )=(µÀ ( µ1 ) ’µ ‚ ( µ1 ))& (µ À (µ2 ) ’µ ‚ (µ2 ))& …
& (µ À (µ n )’µ ‚ (µ n ))=(max(1-µ À (µ 1 ), µ ‚ (µ 1 ))) &
& (max(1-µ À (µ 2), µ‚(µ2)))&... & (max(1-µ À (µn), µ ‚ (µn))) =
=(µ ‚ (µ 1 )) & (µ ‚ (µ 2 )) & …& ( µ ‚ (µn)).
˜˜
’àê êàê ¤«ÿ ∀ µ ∈ • µ ‚ (µ)>0,5, ò® ν ( À, ‚ )>0,5.
˜˜
’® å±òü, ¤«ÿ «þỵ ν ( À, ‚ )≥0,5 ¤«ÿ «þỵ §íà·åíè© ôóíêöè©
ï°èíफå¦í®±òè µ À (µ) è µ ‚ (µ), ∀ µ ∈ •.
˜˜

<<

. 3
( 19 .)



>>