<<

. 5
( 19 .)



>>

˜ ˜
˜ ˜
( À Ì ‚ )≈( ‚ Ì À )
15.
˜ ˜ ˜
˜ ˜ ˜
( À Ì ( ‚ ∨ ‚ ))≈(( À § À )Ì ‚ )
16.
˜˜ ˜˜
˜ ˜ ˜ ˜
(( À § À )Ì ( ‚ ∨ C ))≈(( ‚ § ‚ )Ì ( À ∨ C )
17.


22
˜˜
˜
À ∨…≈ À À §…≈…
18.
˜ ˜
˜
À §•≈ À
À ∨•≈•
19.
Ïå°å·è±«åíí»å â»øå ®±í®âí»å ±â®©±òâà íå·åòêèµ ¬í®¦å±òâ åùå
íå ÿâ«ÿþò±ÿ ±è±ò嬮© àê±è®¬. ‘ò°®ãàÿ ¦å ±è±òå¬à àê±è®¬, à¤åêâàòíàÿ, â
·à±òí®±òè, à«ãåá°å íå·åòêèµ ¬í®¦å±òâ á»«à ±ô®°¬ó«è°®âàíà §à 7 «åò ¤®
èµ â®§íèêí®âåíèÿ. ‘®®®òâåò±òâóþùàÿ à«ãåá°àè·å±êàÿ ±ò°óêòó°à ®ï°å¤å-
«ÿåò±ÿ íà ¬í®¦å±òâå • ± ¤âó¬ÿ ±è±òå¬à¬è ®ïå°àöè©: <•, +, *, , 0,1>
è«è <•, ∨, §, , 0,1>, ã¤å x § y=(x+ y)*y, x∨ y=(x* y)+y
(±è¬â®«» ®ïå°àöè© â»á°àí» ¤«ÿ ï°®±ò®ò» ô®°¬ó«è°®â®ê, èµ íå ±«å¤óåò
â®±ï°èíè¬àòü áóêâà«üí®, êàê ±®®òâåò±òâóþùèå à°èô¬åòè·å±êèå è«è «®-
ãè·å±êèå ®ïå°àöèè).
‘è±òå¬à àê±è®¬

4. Çà¤à·è ï°èíÿòèÿ °åøåíèÿ íà áà§å íå·åòꮩ
«®ãèêè
‚ [3] ⻤å«ÿåò±ÿ íå±ê®«üê® òèï®â §à¤à· ï°èíÿòèÿ °åøåíè© íà áà§å
íå·åòꮩ «®ãèêè.

1. µ+y=y+x 1'. µ*y=y*x
2. x + (y + z) = (x + y) + z 2'. x * (y * z) = (x * y) * z
x+ ù x = 1 x*ùx=1
3. 3'.
4. x+1=1 4'. x*0=0
5. x+0=x 5'. x*1=x
(x + y) = ù x * ù y (x * y) = ù x + ù y
6. 6'.
x = ù (ù x)
7.
8. 0=1
9'. x ™ y = y ™ x
xÚy=yÚx
9.
10'. x ™ (y ™ z)= (x ™ y) ™ z
x Ú (y Ú z)= (x Ú y) Ú z
10.
11'. x * (y Ú z)=(x*y)Ú(x * z)
x + (y ™ z) = (x + y)™(x + z)
11.


Ýòà ±è±òå¬à àê±è®¬ ﮫíà. Ï®¤à«ãåá°à ‚• òåµ ý«å¬åíò®â è§ •, ¤«ÿ
ê®ò®°»µ µ + µ = µ (è«è, ·ò® °àâí®±è«üí® µ*µ=µ), ÿâ«ÿåò±ÿ áó«å⮩
à«ãåá°®©, â ê®ò®°®© x + y = x ∨ y, x*y = x § y.
‘âÿ§ü ± íå·åòêè¬è ¬í®¦å±òâà¬è ±òàí®âèò±ÿ ÿ±í®© ï®±«å °à±±¬®ò-
°åíèÿ ê«à±±à ï°è¬å°®â òàêèµ à«ãåá°, ®á°à§®âàíí®ã® ¬í®¦å±òâà¬è S ¤å©-
±òâèòå«üí»µ ·è±å« ¬å¦¤ó 0 è 1, ó¤®â«åòâ®°ÿþùè¬è 󱫮âèÿ¬ (¤â®©í»å


23
++, -- ®á®§íà·àþò ®á»·í»å à°èô¬åòè·å±êèå ®ïå°àöèè):
1. 0∈ S è 1∈ S;
2. 屫è x, y ∈ S, ò® min(1, x++y)∈ S;
3. 屫è x, y ∈ S, ò® max(0, x++y – 1)∈ S;
4. 屫è x ∈ S, ò® 1—x∈ S.
Îïå°àöèè â S ®ï°å¤å«ÿþò±ÿ ±«å¤óþùè¬ ®á°à§®¬:
x + y = min(1, x++y), x*y = max(0, x++y – 1),  x = 1 - x,
x∨y = max(x,y), x§y=min(x,y).
Áå§ ò°ó¤à ï°®âå°ÿåò±ÿ, ·ò® òàê ®ï°å¤å«åííàÿ ±ò°óêòó°à ó¤®â«åòâ®°ÿ-
åò ï°èâå¤åíí»¬ àê±è®¬à¬, í® íå àê±è®¬à¬ áó«å⮩ à«ãåá°». ‘ô®°¬ó«è-
°®âàíí»¬ 󱫮âèÿ¬ 1 – 4 ó¤®â«åòâ®°ÿþò °à§«è·í»å ê®íê°åòí»å ¬í®¦å-
±òâà, íàï°è¬å°, S={0,1}; S=[0,1]; S={â±å °àöè®íà«üí»å ·è±«à ¬å¦¤ó
0 è 1}; S(m)={â±å °àöè®íà«üí»å ·è±«à âè¤à n/m ¤«ÿ íåê®ò®°®ã® ôèê±è-
°®âàíí®ã® íàòó°à«üí®ã® m è öå«»µ 0¤ n ¤ m}, ± ®ïå°àöèÿ¬è
Íå·åòê®å ﮤ¬í®¦å±òâ® À óíèâå°±à«üí®ã® ¬í®¦å±òâà U ¬®¦åò á»òü
®ï°å¤å«åí® ôóíêöèå© ï°èíफå¦í®±òè µ(À,µ)∈•, ã¤å • ó¤®â«åòâ®°ÿåò
ò°åáó嬻¬ àê±è®¬à¬ (ò°à¤èöè®íí® •=S=[0,1]); µ(U,u) = 1. Îïå°à-
öèè íठíå·åòêè¬è ¬í®¦å±òâà¬è ®ï°å¤å«ÿþò±ÿ â òå°¬èíàµ èµ ôóíêöè©
ï°èíफå¦í®±òè è ±â®¤ÿò±ÿ (“ï®ò®·å·í®”) ê ®ïå°àöèÿ¬ íठ§íà·åíèÿ¬
ï®±«å¤íèµ, ò® å±òü ê ®ïå°àöèÿ¬ â •.
Îïå°àöèè  , +, * â ±«ó·àå •=S =[0,1] è ÿâ«ÿþò±ÿ è§âå±òí»¬è â
òå®°èè íå·åòêèµ ¬í®¦å±òâ ¤®ï®«íåíèå¬, ã°àíè·í»¬è ±ó¬¬®© è ï°®è§âå-
¤åíèå¬, ¬åíåå ï®ïó«ÿ°í»¬è, ·å¬ ∨, §, í® í൮¤ÿùè¬è ±â®å ®á®±í®âà-
íèå â í®â®¬ ê®íòåê±òå. ‚íå ýò®ã® ê®íòåê±òà, (â ·à±òí®±òè, â °à¬êൠáó«å⮩
à«ãåá°») íåï®±°å¤±òâåííóþ ±âÿ§ü ¬å¦¤ó ®ïå°àöèÿ¬è §, ∨ è  íठíå·åò-
êè¬è ¬í®¦å±òâà¬è ó±òàí®âèòü §àò°ó¤íèòå«üí®.




24
3. Íå·åòêèå ±®®òâåò±òâèÿ è ®òí®øåíèÿ

3.1. ‘ï®±®á» §à¤àíèÿ íå·åòêèµ ±®®òâåò±òâè©


Îï°å¤å«åíèå 1. Íå·åòêè¬ ±®®òâåò±òâèå¬ ¬å¦¤ó ¬í®¦å±òâà¬è • è Y íà-
˜ ˜
§»âàåò±ÿ è ·å°å§ à = (•, Y, F ) ®á®§íà·àåò±ÿ ò°®©êà
¬í®¦å±òâ, â ê®ò®°®© X, Y – ï°®è§â®«üí»å ·åòêèå ¬í®¦å-
˜
±òâà, F - íå·åòê®å ¬í®¦å±òâ® â •µY. Ï®¤®áí® íà§âàíèÿ¬
ý«å¬åíò®â ·åòê®ã® ±®®òâåò±òâèÿ ¬í®¦å±òâ® • í৻âàþò
®á«à±òüþ ®òï°àâ«åíèÿ, ¬í®¦å±òâ® Y- ®á«à±òüþ ï°èá»-
˜
F
òèÿ, à – íå·åòêè¬ ã°àôèꮬ íå·åòê®ã® ±®®òâåò±òâèÿ.
˜ ˜
Í৮âå¬ í®±èòå«å¬ íå·åòê®ã® ±®®òâåò±òâèÿ à = (•, Y, F ) ±®®ò-
âåò±òâèå à = (X, Y, F), ó ê®ò®°®ã® ã°àôèê F ÿâ«ÿåò±ÿ í®±èòå«å¬ íå·åòê®-
˜
ã® ã°àôèêà F .
Íå·åòê®å ±®®òâåò±òâèå ¬®¦åò á»òü §à¤àí® òå®°åòèê®-¬í®¦å±òâåí-
í®, ã°àôè·å±êè è â ¬àò°è·í®¬ âè¤å.
„«ÿ òå®°åòèê®-¬í®¦å±òâåíí®ã® §à¤àíèÿ íå·åòê®ã® ±®®òâåò±òâèÿ íå-
®áµ®¤è¬® ïå°å·è±«èòü ý«å¬åíò» ¬í®¦å±òâ • è Yè §à¤àòü íå·åòê®å ¬í®-
˜
¦å±òâ® F â •µY.
˜ ˜
‚ ¬àò°è·í®¬ âè¤å íå·åòê®å ±®®òâåò±òâèå à = (•, Y, F ) §à¤àåò±ÿ ±
ﮬ®ùüþ ¬àò°èö» èíöè¤åíöè© Rà , ±ò°®êè ê®ò®°®© ﮬå·åí» ý«å¬åíòà-
¬è x i ∈X (i∈I={1, 2, ..., n}), ±ò®«áö» – ý«å¬åíòà¬è y i ∈Y
(j∈ £={1, 2, ...,m}), à íà ïå°å±å·åíèè ±ò°®êè µi è ±ò®«áöà ój ±òàâèò±ÿ
ý«å¬åíò rij=mF<xi,yj>, ã¤å mF – ôóíêöèÿ ï°èíफå¦í®±òè ý«å¬åíò®â è§
•xY íå·åòꮬó ã°àôèêó.
Íå·åòê®å ±®®òâåò±òâèå ¬®¦í® §à¤àòü â âè¤å ®°èåíòè°®âàíí®ã® ã°à-
ôà ± ¬í®¦å±ò⮬ âå°øèí X∪ Y, êত®© ¤óãå <x , y >, ê®ò®°®ã® ï°èïè-
ij
±àí® §íà·åíèå µF<xi ,yj > ôóíêöèè ï°èíफå¦í®±òè.
˜ ˜
Ï°è¬å° 1. Çà¤à¤è¬ íåê®ò®°®å íå·åòê®å ±®®òâåò±òâèå à = (X,“, F ),
®ï°å¤å«èâøè X è Y êàê •= {µ1,µ2,...,µ5}, Y={ó1, y2, y§, y4},


25
˜
F ={<0,2/<x1,y2>>, <1/<x3,y1>>, <0,4/<x3,y3>>,
<0,3/<x4,y2>>, <0,7/<x5,y2>>, <0,8/<x5,y3>>}. Ìàò°èöà
èíöè¤åíöè© Rã è ã°àô íå·åòê®ã® ±®®òâåò±òâèÿ 觮á°à¦åí» íà °è±. 6.


y1 y2 y3 y4
x1 x2 x3 x4 x5


x1 0 0,2 0 0
x2 00 0 0
˜
0,4


à Rà = x3 1 0 0,4 0
0,2 1 0,7 0,8

0,3



x4 0 0,3 0 0
x5 0 0,7 0,8 0
y1 y2 y3 y4




Ðè±. 6 ðàôè·å±ê®å è ¬àò°è·í®å §à¤àíèå íå·åòê®ã® ±®®òâåò-
˜ ˜
±òâèÿ Ã = (X, “, F ).
Àíà«®ãè·í® ±òåïåíè °àâåí±òâà ¬í®¦å±òâ ââå¤å¬ ï®íÿòèå ±òåïåíè
°àâåí±òâà ¤âóµ íå·åòêèµ ±®®òâåò±òâè©.
˜ ˜˜ ˜
Îï°å¤å«åíèå 2. Ïó±òü à =(X, “, F ), ∆ = (X, “, P ) – íåê®ò®°»å íå·åò-
êèå ±®®òâåò±òâèÿ ¬å¦¤ó ¬í®¦å±òâà¬è • è Y. Îï°å¤å«è¬
˜˜
±òåïåíü °àâåí±òâà µ( à , ∆ ) ± ﮬ®ùüþ â»°à¦åíèÿ
˜˜
µ ( Ã , ∆) = ( µ F < x, y >” µ p < x, y >)
&
< x , y∈ XxY >
˜˜ ˜˜
…±«è µ ( à , ∆ ) ≥ 0,5, ò® áó¤å¬ ﮫàãàòü, ·ò® ±®®òâåò±òâèÿ Ãè∆
˜˜
˜˜
à ≈ ∆ . …±«è µ ( à , ∆ )¤0,5, ò® ﮫàãà-
íå·åòê® °àâí», è ®á®§íà·àòü ýò®
˜˜ ˜˜
à è ∆ íå·åòê® íå °àâí», è ®á®§íà·àå¬ ýò® à » ∆ . ‚ ±«ó·àå,
å¬, ·ò®
˜˜
˜˜
ê®ã¤à µ ( à , ∆ )=0,5, ±®®òâåò±òâèÿ à è ∆ ®¤í®â°å¬åíí® íå·åòê® °àâí»
˜˜
è íå °àâí», ò.å. â§àè¬í® èí¤èôôå°åíòí». Ýò® ®á®§íà·àåò±ÿ à ˜ ∆ .




26
3.2. Îá°à§ è ï°®®á°à§ ¬í®¦å±òâà ï°è íå·åòꮬ ±®®òâåò-
±òâèè
„à¤è¬ ®ï°å¤å«åíèÿ èíâå°±èè è ꮬﮧèöèè íå·åòêèµ c®®òâåò±òâè©.
˜ ˜
à = (X, “, F )®á®-
Îï°å¤å«åíèå 3. Èíâå°±èå© íå·åòê®ã® ±®®òâåò±òâèÿ
˜ ˜
§íà·àåò±ÿ íå·åòê®å ±®®òâåò±òâèå à -1 = (X, “, F -1 ) , ó
˜ ˜
ê®ò®°®ã® ã°àôèê F -1 ÿâ«ÿåò±ÿ èíâå°±èå© ã°àôèêà F , ¬í®-
¦å±òâ® Y – ®á«à±òüþ ®òï°àâ«åíèÿ, à • – ®á«à±òüþ ï°èá»-
òèÿ.
˜ ˜
à = (X, “, F
Îï°å¤å«åíèå 4. Ê®¬ï®§èöèå© íå·åòêèµ ±®®òâåò±òâè© )è
˜ ˜
∆ = (Y, Z, P ) í৻âàåò±ÿ íå·åòê®å ±®®òâåò±òâèå
˜ ˜ ˜˜˜
” = (•, Z, S) , ®á®§íà·àå¬®å ” = à o ∆ , ó ê®ò®°®ã®
®á«à±òü ®òï°àâ«åíèÿ ±®âïà¤àåò ± ®á«à±òüþ ®òï°àâ«åíèÿ
˜
±®®òâåò±òâèÿ à , ®á«à±òü ï°èá»òèÿ – ± ®á«à±òüþ ï°èá»-
˜
˜
òèÿ ±®®òâåò±òâèÿ ∆ , à ã°àôèꮬ S ÿâ«ÿåò±ÿ ꮬﮧèöèÿ
˜ ˜
ã°àôèê®â F è P .
˜ ˜
Ï°è¬å° 2. Ïó±òü à è ∆ — íå·åòêèå ±®®òâåò±òâèÿ, ã°àô» ê®ò®°»µ
®ï°å¤å«åíèþ ꮬﮧèöèè, ï®êà§àí íà °è±. 6 è °è±. 7. ðàô ±®®òâåò±òâèÿ
˜˜˜
” = à o ∆ , ï®±ò°®åíí®ã® ï® ®ï°å¤å«åíèþ ꮬﮧèöèè, ï®êà§àí íà °è±. 8.


y1 y2 y3 y4 X1 X2 X3 X4 X5

0,5 0,1


˜
0,5

˜
0,5 0,4


0,8
0,7
0,7
∆ 0,4 1 0,6 0,1

0,3
0,2 0,4
0,2 0,3


z1 z2 z3 z4 z5 z6 z1 z2 z3 z4 z5 z6



Ðè±. 8 ðàô íå·åòê®ã® ±®®ò-

<<

. 5
( 19 .)



>>