<<

. 6
( 19 .)



>>

Ðè±. 7 ðàô íå·åòê®ã® ±®®òâåò-
˜
˜ âåò±òâèÿ ”
±òâèÿ ∆


27
˜ ˜ ˜
à = (X, Y, F ) - íå·åòê®å ±®®òâåò±òâèå, à À – íå·åòê®å ¬í®-
Ïó±òü
¦å±òâ® â • ± ôóíêöèå© ï°èíफå¦í®±òè µÀ .
˜
˜
Ã
Îá°à§®¬ ¬í®¦å±òâà À ï°è ±®®òâåò±òâèè í৻âàåò±ÿ íå·åòê®å
˜˜
¬í®¦å±òâ® Ã (À) â Y, ®ï°å¤å«ÿ嬮å â»°à¦åíèå¬
˜˜
à (À) = {< µ ã (A)( y ), y >}, y ∈Y , ã¤å
µ ã (A)( y ) = ∨ ( µ À ( x )& µ F < x , y >) .
x ∈À
Èíà·å ã®â®°ÿ, ﮱꮫüêó êত»© ý«å¬åíò ó ∈ Y ¬®¦åò ±®®òâåò±òâ®-
˜
âàòü íå±ê®«üêè¬ ý«å¬åíòଠµ∈ À, ã¤å À – í®±èòå«ü ¬í®¦å±òâà À , ò®
§íà·åíèå ôóíêöèè ï°èíफå¦í®±òè ý«å¬åíòà ó íå·åòꮬó ¬í®¦å±òâó
˜˜
à (À) ®ï°å¤å«ÿåò±ÿ êàê íàè᮫üøåå è§ §íà·åíè©, ﮫó·à嬻µ ± ﮬ®-
ùüþ â»á®°à ¬èíè¬à«üí®ã® ¬å¦¤ó §íà·åíèÿ¬è ôóíêöèè ï°èíफå¦í®±-
˜
òè êত®ã® µ∈ À íå·åòꮬó ¬í®¦å±òâó À è §íà·åíèå¬ ôóíêöèè ï°è-
˜
íफå¦í®±òè ïà°» (µ, ó ) íå·åòꮬó ã°àôèêó F . …±«è í൮¤èò±ÿ ®á°à§
˜
˜˜
à (À) ·åòê®ã® ¬í®¦å±òâà À ï°è ±®®òâåò±òâèè à , ò®
˜˜
à (À) = {< µ ã (A)( y ), y >}, y ∈Y , ã¤å
µ ã (A)( y ) = ∪ µ F < x , y > .
x ∈À

˜
à , ã°àô ê®ò®°®ã®
Ï°è¬å° 3. Ïó±òü ¤àí® íå·åòê®å ±®®òâåò±òâèå
觮á°à¦åí íà °è±. 6. „àí® íå·åòê®å ﮤ¬í®¦å±òâ®
˜
À ={< 0,6/x1>,<0,9/x4>, <0,1/µ5>) ¬í®¦å±òâà X. Íå®áµ®¤è¬®
˜
˜
íà©òè ®á°à§ À ï°è ±®®òâåò±òâèè à . ‘ ýò®© öå«üþ ¤«ÿ êত®ã® ó∈“
®ï°å¤å«è¬ §íà·åíèå
µ ã (A)( y1 ) = ( µ À ( x1 )& µ F < x1 , y1 >) ∨ ( µ À ( x4 )& µ F < x4 , y1 >) ∨
∨( µ À ( x5 )& µ F < x5 , y1 >) = 0;
µ ã (A)( y2 ) = ( µ À ( x1 )& µ F < x1 , y2 >) ∨ ( µ À ( x4 )& µ F < x4 , y2 >) ∨

28
∨( µ À ( x5 )& µ F < x5 , y2 > ) = (0,6& 0,2) ∨ ( 0,9& 0,3) ∨ ( 0,1&0,7 ) =
=0,2∨0,3∨0,1=0,3
µ ã (A)( y3 ) = 0,1; µ ã (A)( y4 ) = 0 .
Ï°®¤®«¦àÿ àíà«®ãè·í®, í൮¤è¬
˜ ˜
˜
à = (X, Y, F ) ÿâ«ÿåò±ÿ íå·åò-
Îá°à§®¬ ¬í®¦å±òâà À ï°è ±®®òâåò±òâèè
˜˜
ê®å ¬í®¦å±òâ® Ã (À) = {< 0,3 / y 2 >, < 0,1 / y3 >} .
˜ ˜
„«ÿ ®á°à§®â íå·åòêèµ ï®¤¬í®¦å±òâ À è B ¬í®¦å±òâà • ï°è
˜ ˜
à = (X, Y, F ) ±ï°àâ夫èâ» ±«å¤óþùèå ±â®©±òâà.
íå·åòꮬ ±®®òâåò±òâèè
˜ ˜
…±«è À Ì ‚ , ò®
˜˜ ˜˜
Ã(À) Ì Ã(‚) ,
˜˜ ˜ ˜˜ ˜˜
Ã(À ∪ ‚) ≈ Ã (À) ∪ Ã (‚) ,
˜˜ ˜ ˜˜ ˜˜
Ã(À © ‚) ≈ Ã (À) © Ã (‚)
˜ ˜ ˜ ˜
à = (X, Y, F ∆ = (Y, Z, P ) – íå·åòêèå ±®®òâåò±òâèÿ, à
…±«è )è
˜
˜ ˜
” = (•, Z, S) èµ ê®¬ï®§èöèÿ, ò® ¤«ÿ íå·åòê®ã® ¬í®¦å±òâà À â • è¬ååò
˜˜˜ ˜˜˜
˜˜
¬å±ò® ”(À) ≈ (à o ∆ )(À) ≈ ∆ ( Ã(À)) .
Ï® àíà«®ãèè ± ·åòêè¬è ±®®òâåò±òâèÿ¬è â⮤èò±ÿ ï®íÿòèå ï°®®á°à-
§à íå·åòê®ã® ¬í®¦å±òâà ï°è ¤àíí®¬ íå·åòꮬ ±®®òâåò±òâèè.
˜ ˜ ˜
à = (X, Y, F ) – íå·åòê®å ±®®òâåò±òâèå, à B
Ïó±òü – íå·åòê®å
¬í®¦å±òâ® â Y ± ôóíêöèå© ï°èíफå¦í®±òè µ B . Ï°®®á°à§®¬
˜
˜
˜˜
à ’1(B) ¬í®¦å±òâà B ï°è ±®®òâåò±òâèè à í৻âàåò±ÿ íå·åòê®å ¬í®-
˜˜
¦å±òâ® Ã ’1(B) â •, ®ï°å¤å«ÿå¬®å ±«å¤óþùè¬ â»°à¦åíèå¬:
˜˜
à ’1(B) = {< µ à -1 (B) ( x ), x >}, x ∈ X , ã¤å
µ Ã -1 (B) ( x ) = ∨ ( µ B ( y )& µ F < x , y >) .
y ∈B

˜
Íåò°ó¤í® §à¬åòèòü, ·ò® ï°®®á°à§ ¬í®¦å±òâà B ï°è ±®®òâåò±òâèè
˜ ˜ ˜
à ±®âïà¤àåò ± ®á°à§®¬ B ï°è ±®®òâåò±òâèè à . Îò±þ¤à ±«å¤óåò, ·ò®
’1



29
±â®©±òâà, ê®ò®°»¬è ®á«à¤àåò ï°®®á°à§ íå·åòê®ã® ¬í®¦å±òâà ï°è ±®®òâåò-
˜
à , ±®âïà¤àþò ±® ±â®©±òâà¬è ®á°à§à ýò®ã® ¬í®¦å±òâà ï°è ±®®òâåò-
±òâèè
˜
±òâèè Ã .
’1



3.3. αí®âí»å ±â®©±òâà íå·åòêèµ ±®®òâåò±òâè©
αí®âí»¬è ±â®©±òâà¬è íå·åòêèµ ±®®òâåò±òâè© ÿâ«ÿþò±ÿ íå·åòêàÿ
ôóíêöè®íà«üí®±òü, íå·åòêàÿ èíúåêòèâí®±òü, íå·åòêàÿ â±þ¤ó ®ï°å¤å«åí-
í®±òü, íå·åòêàÿ ±þ°úåêòèâí®±òü, íå·åòêàÿ áèåêòèâí®±òü.
„«ÿ ·åòêèµ ±®®òâåò±òâè© Ã = ( X , Y, F ) ±â®©±òâ® ôóíêöè®íà«ü-
í®±òè, ®ï°å¤å«åíí®å êàê ®ò±óò±òâèå â ã°àôèêå F ¤âóµ ïà° âè¤à <x, y1> è
<x, y2>, y1 ≠ y2 , ¬®¦í® §à¤àòü, è±ï®«ü§óÿ ï®íÿòèå ï°®®á°à§à ï°è ¤àí-
í®¬ ±®®òâåò±òâèè. „婱òâèòå«üí®, ±®®òâåò±òâèå à = ( X , Y, F ) íåôóíê-
öè®íà«üí®, å±«è ¤«ÿ êàêèµ-«èá® ¤âóµ ý«å¬åíò®â y1, y2∈Y è¬ååò ¬å±ò®
Ã-1 (y1 ) © Ã-1 (y 2 ) ≠ … . Îò±þ¤à â ôóíêöè®íà«üí®¬ ±®®òâåò±òâèè ¤«ÿ
«þỵ y1, y2∈Y ±ï°àâ夫èâ® Ã -1 (y1 ) © à -1 (y 2 ) = … . Ýòè °à±±ó¦¤åíèÿ
áó¤å¬ è±ï®«ü§®âàòü â ¤à«üíå©øå¬.
˜
˜
à = (X, “, F ) –
Ïó±òü ï°®è§â®«üí®å íå·åòê®å ±®®òâåò±òâèå.
Çàïèøå¬ ¤«ÿ êত®ã® y∈Y íå·åòê®å ¬í®¦å±òâ® Ã -1 (y) .

à -1 (y) = {< µ à -1 (y) ( x ) / x >} , ã¤å µ à -1 (y) ( x ) = µ F < x , y > , ﮱꮫü-
êó ‚={y}, ൠB = 1 . Ï®«ó·è¬ ±å¬å©±òâ® íå·åòêèµ ï°®®á°à§®â â±åµ ý«å-
˜
¬åíò®â ï°èá»òèÿ ±®®òâåò±òâèÿ à .
˜
Îï°å¤å«åíèå 5. ‘òåïåíü íåôóíêöè®íà«üí®±òè ±®®òâåò±òâèÿ à áó¤å¬
˜
í৻âàòü âå«è·èíó ± ( Ã) fon è ®ï°å¤å«è¬ åå ± ﮬ®ùüþ
â»°à¦åíèÿ

˜
± ( Ã) fon = ∨ ( ∨ ( µ Ã -1 (y ) ( x )& µ Ã -1 (y ) ( x ))) .
yi , y j ∈Y x ∈X i j


˜
± ( Ã) fon ±®âïà¤àåò ± íàè-
ȧ ®ï°å¤å«åíèÿ ±«å¤óåò, ·ò® âå«è·èíà

30
᮫üøè¬ §íà·åíèå¬ ôóíêöèè ï°èíफå¦í®±òè òåµ ý«å¬åíò®â x ∈ X ,
ê®ò®°»å ÿâ«ÿþò±ÿ ®¤í®â°å¬åíí® íå·åòêè¬è ï°®®á°à§à¬è «þỵ ¤âóµ
˜
˜
± ( Ã) fon ≥0,5, ò® ±®®òâåò±òâèå Ã íå·åòê®
ý«å¬åíò®â y1 , y2 ∈Y . …±«è
íåôóíêöè®íà«üí®.
˜
Îï°å¤å«åíèå 6. ‘òåïåíü ôóíêöè®íà«üí®±òè ±®®òâåò±òâèÿ à áó¤å¬ í৻-
˜
âàòü âå«è·èíó β ( Ã) fon è ®ï°å¤å«è¬ åå ± ﮬ®ùüþ â»°à-
˜ ˜
β ( Ã) fon = 1 ’ ± ( Ã) fon .
¦åíèÿ
˜
˜
β ( Ã) fon ≥0,5, ò® ±®®òâåò±òâèå à íå·åòê® ôóíêöè®íà«üí®.
ɱǏ
˜
˜ ˜
…±«è ± ( Ã) fon = β ( Ã) fon =0,5, ò® ±®®òâåò±òâèå à íå·åòê® ôóíêöè®íà«ü-
í® è íå·åòê® íåôóíêöè®íà«üí®, ò.å. ôóíêöè®íà«üí® èí¤èôôå°åíòí®. Íå-
˜
ò°ó¤í® âè¤åòü, ·ò® â ±«ó·àå, ê®ã¤à ±®®òâåò±òâèå à íå·åòê® ôóíêöè®íà«ü-
˜ ˜
í®, ¤«ÿ «þỵ yi , y j ∈Y ±ï°àâ夫èâ®, ·ò® à -1 (y i ) © à -1 (y j ) ≈ … .
˜
˜
à = (X, Y, F
Ï°è¬å° 4. Ïó±òü §à¤àí® íå·åòê®å ±®®òâåò±òâèå ),
ï®êà§àíí®å íà °è±.9.



X1 X2 X3 X4

0,8
0,2 0,7
0,3


˜ 0,4
Ã
0,9 1


Ðè±. 9 ðàô íå·åòê®ã® ±®®òâåò±òâèÿ.
y1 y2 y3




˜
y ∈Y à -1 (y) . Ï®«ó·è¬
„«ÿ êত®ã® ®ï°å¤å«è¬
˜
à -1 ( y2 ) = {< 0,3 / x1 >, < 0,9 / x3 >, < 0,8 / x4 >} ,
˜
à -1 ( y2 ) = {< 0,3 / x1 >, < 0,9 / x3 >, < 0,8 / x4 >} ,
˜
à -1 ( y3 ) = {< 0,7 / x2 >, < 1 / x3 >} .

31
˜
Îï°å¤å«è¬ ± ( Ã) fon .
˜
± ( Ã) fon = (( 0,4&0,3) ∨ (0,4&0) ∨ (0,2&0) ∨ (0,2&0,7) ∨
∨(0&0,9) ∨ (0&1) ∨ (0&0,8) ∨ (0&0) ∨ (0,3&0) ∨ (0&0,7) ∨
∨ ( 0 , 9 & 1 ) ∨ ( 0 ,8 & 0 ) ) = 0 , 3 ∨ 0 , 2 ∨ 0 , 9 = 0 , 9
∨(0,9&1) ∨ (0,8&0)) = 0,3 ∨ 0,2 ∨ 0,9 = 0,9 .
˜ ˜
Îò±þ¤à β ( Ã) fon =0,1. ‘®®òâåò±òâèå à íå·åòê® íåôóíêöè®íà«üí®.
Ëåãê® §à¬åòèòü, ·ò® 屫è í®±èòå«ü Ã(X, Y, F) íå·åòê®ã® ±®®òâåò-
±òâèÿ à (X , Y , ˜ ) ÿâ«ÿåò±ÿ ôóíêöè®íà«üí»¬ ±®®òâåò±òâèå¬ , ò® âå«è·èíà
˜
F
˜ ˜ ˜
± ( Ã) fon =0, β ( Ã) fon =1, ò.å. ±®®òâåò±òâèå à íå·åòê® ôóíêöè®íà«üí®.
Îï°å¤å«è¬ ±òåïåíü íåèíúåêòèâí®±òè è èíúåêòèâí®±òè íå·åòê®ã®
±®®òâåò±òâèÿ. „«ÿ ·åòê®ã® ±®®òâåò±òâèÿ Ã(X, Y, F) ±â®©±òâ® íåèíúåê-
òèâí®±òè ¬®¦í® §àïè±àòü êàê íà«è·èå µ®òÿ á» ¤âóµ òàêèµ ý«å¬åíò®â
x1 , x2 ∈ X , ¤«ÿ ê®ò®°»µ Ã(x1 ) © Ã(x 2 ) ≠ … , à ±â®©±òâ® èíúåêòèâí®±-
xi , x j ∈ X ±ï°àâ夫èâ®
òè §àê«þ·àåò±ÿ â ò®¬, ·ò® ¤«ÿ «þỵ

Ã(x1 ) © Ã(x 2 ) = … .
Ïó±òü à (X , Y , ˜ ) – ï°®è§â®«üí®å íå·åòê®å ±®®òâåò±òâèå. Îï°å¤å-
˜
F
˜
«è¬ ¤«ÿ êত®ã® x∈ X íå·åòê®å ¬í®¦å±òâ® Ã(x) :
˜
Ã(x) = {< µ Ã(x) ( y) / y >}, y ∈Y , ã¤å µ Ã( x ) ( y) = µ F < x , y > ,
ﮱꮫüêó À={x}, µ A ( x ) = 1. Ï®«ó·è¬ ±å¬å©±òâ® íå·åòêèµ ®á°à§®â
˜
¤«ÿ â±åµ ý«å¬åíò®â ®á«à±òè ®òï°àâ«åíèÿ ±®®òâåò±òâèÿ à .
˜
Îï°å¤å«åíèå 7. ‘òåïåíüþ íåèíúåêòèâí®±òè ±®®òâåò±òâèÿ à áó¤å¬ íà-
˜
§»âàòü âå«è·èíó± ( Ã) inj è ®ï°å¤å«è¬ åå ± ﮬ®ùüþ

˜
â»°à¦åíèÿ ± ( Ã) inj = x , x ∈X ¬ ∨ ( µ Ã(x ) ( y )& µ Ã(x ) ( y ))· .
« 
 y∈Y
∨ i j



<<

. 6
( 19 .)



>>