<<

. 7
( 19 .)



>>

˜

i j



˜
…±«è ± ( Ã) inj ≥0,5, ò® ±®®òâåò±òâèå à íå·åòê® íåèíúåêòèâí®.


32
˜
Îï°å¤å«åíèå 8. ‘òåïåíüþ èíúåêòèâí®±òè ±®®òâåò±òâèÿ à áó¤å¬ í৻-
˜
âàòü âå«è·èíó β ( à ) in j è ®ï°å¤å«è¬ åå ± ﮬ®ùüþ â»°à-
˜ ˜
β ( Ã) inj = 1 ’ ± ( Ã) inj .
¦åíèÿ
˜
˜
≥0,5, ò® ±®®òâåò±òâèå Ã íå·åòê® èíúåêòèâí®.
…±«è β ( à ) inj
˜
˜ ˜
…±«è ± ( Ã) inj = β ( à ) inj =0,5, ò® ±®®òâåò±òâèå à íå·åòê® èíúåê-
òèâí® è íå·åòê® íåèíúåêòèâí®, ò.å. èíúåêòèâí® èí¤èôôå°åíòí®. ‚ ±«ó·àå,
˜
ê®ã¤à ±®®òâåò±òâèå à íå·åòê® èíúåêòèâí®, ¤«ÿ «þỵ xi , x j ∈ X ±ï°àâå¤-
˜ ˜
à -1 (x i ) © à -1 (x j ) ≈ … .
«èâ®, ·ò®

Ëåãê® §à¬åòèòü, ·ò® 屫è í®±èòå«ü Ã(X, Y, F) íå·åòê®ã® ±®®òâåò-
±òâèÿ à (X , Y , ˜ ) ÿâ«ÿåò±ÿ èíúåíêòèâí»¬ ±®®òâåò±òâèå¬ , ò® âå«è·èíà
˜
F
˜ ˜ ˜
± ( Ã) inj =0, β ( Ã ) inj =1, ò.å. ±®®òâåò±òâèå Ã íå·åòê® èíúåíêòèâí®.
˜
Îï°å¤å«åíèå 9. ‘òåïåíüþ â±þ¤ó ®ï°å¤å«åíí®±òè ±®®òâåò±òâèÿ à áó¤å¬
˜
í৻âàòü âå«è·èíó β ( Ã) def è ®ï°å¤å«è¬ åå ± ﮬ®ùüþ

â»°à¦åíèÿ β ( Ã) def = & ¬ ∨ µ Ã( x ) ( y )· .
˜ « 
x ∈X  y∈Ã( x )
˜
˜



β ( Ã) def ≥0,5, ò® ±®®òâåò±òâèå à íå·åòê® â±þ¤ó ®ï°å¤å«åí®.
ɱǏ
˜
˜
…±«è β ( Ã) def ¤0,5, ò® ±®®òâåò±òâèå à íå·åòê® íå â±þ¤ó ®ï°å¤å«åí®.
˜
˜
…±«è β ( Ã) def =0,5, ò® ±®®òâåò±òâèå à èí¤èôôå°åíòí® ®òí®±èòå«ü-
˜
í® â±þ¤ó ®ï°å¤å«åíí®±òè. ‚ ±«ó·àå, ê®ã¤à ±®®òâåò±òâèå à íå·åòê® â±þ¤ó
˜
®ï°å¤å«åí®, ¤«ÿ «þá®ã® x ∈ X ±ï°àâ夫èâ® Ã(x) » ….
…±«è í®±èòå«ü Ã(X,Y, F) íå·åòê®ã® ±®®òâåò±òâèÿ à (X , Y , ˜ ) ÿâ-
˜
F
˜
«ÿåò±ÿ íå â±þ¤ó ®ï°å¤å«åíí»¬ ±®®òâåò±òâèå¬, ò® β ( Ã) def =0.




33
Îï°å¤å«åíèå 10. ‘òåïåíüþ íå·åòꮩ ±þ°úåêòèâí®±òè ±®®òâåò±òâèÿ
˜ ˜
à áó¤å¬ í৻âàòü âå«è·èíó β ( Ã) sur è ®ï°å¤å«è¬ åå ±
ﮬ®ùüþ â»°à¦åíèÿ

˜
β ( Ã) sur = & ¬ µ Ã-1 ( y ) ( x )· .
« 
y∈  x∈Ã-1 ( y )
Y


˜
˜
…±«è β ( Ã) sur ≥0,5, ò® ±®®òâåò±òâèå à íå·åòê® ±þ°úåêòèâí®. …±«è
˜
˜
β ( Ã) sur ¤0,5, ò® ±®®òâåò±òâèå à íå·åòê® íå ±þ°úåêòèâí®. …±«è
˜
˜
β ( Ã) sur =0,5, ò® ±®®òâåò±òâèå à ±þ°úåêòèâí® èí¤èôôå°åíòí®.
˜
‚ ±«ó·àå, ê®ã¤à ±®®òâåò±òâèå à íå·åòê® ±þ°úåêòèâí®, ¤«ÿ «þá®ã®
˜
y ∈ Y ±ï°àâ夫èâ® Ã-1(y) » ….
…±«è í®±èòå«ü Ã(X,Y, F) íå·åòê®ã® ±®®òâåò±òâèÿ à (X , Y , ˜ ) ÿâ-
˜
F
˜
«ÿåò±ÿ íå±þ°úåêòèâí»¬ ±®®òâåò±òâèå¬, ò® β ( Ã) sur =0.

Ï°è¬å° 5. Ðà±±¬®ò°è¬ íå·åòê®å ±®®òâåò±òâèå à (X , Y , ˜ ) , ï®êà§àí-
˜
F
˜
í®å íà °è± 10. „«ÿ êত®ã® x ∈ X §àïèøå¬ Ã( x ) . Ï®«ó·è¬
˜
Ã( x1 ) = {< 0,3 / y1 >, < 0,8 / y 2 >} ,
˜
Ã( x2 ) = {< 0,1 / y1 >, < 0,7 / y 2 > , < 0,5 / y 3 >} ,
˜
Ã( x3 ) = {< 0,6 / y1 >, < 0,4 / y 2 > , < 0,2 / y 3 > , < 0,9 / y 4 >} .
Í੤å¬
˜
β( Ã) def = (0,3 ∨ 0,8)& (0,1 ∨ 0,7 ∨ 0,5)& (0,6 ∨ 0,4 ∨ 0,2 ∨ 0,9) =
= 0,8&0,7&0,9 = 0,7 .
˜
‘«å¤®âàòå«üí®, ±®®òâåò±òâèå à ÿâ«ÿåò±ÿ íå·åòê® â±þ¤ó ®ï°å¤å«åí-
í»¬. Çàïèøå¬ ¤«ÿ êত®ã® y ∈ Y ýò®ã® ¦å ±®®òâåò±òâèÿ ¬í®¦å±òâà
˜ ˜
à -1 . Ï®«ó·è¬ à -1 ( y1 ) = {< 0,3 / x1 >, < 0,1 / x2 > , < 0,6 / x3 >} ,
˜
à -1 ( y2 ) = {< 0,8 / x1 >, < 0,7 / x2 > , < 0,4 / x3 >} ,

34
˜
à -1 ( y3 ) = {< 0,5 / x2 >, < 0,2 / x3 >} ,
˜
à -1 ( y4 ) = {< 0,9 / x3 >} .
Í൮¤è¬
˜
β( Ã) sur = (0,3 ∨ 0,1 ∨ 0,6)& (0,8 ∨ 0,7 ∨ 0,4)& (0,5 ∨ 0,2)& (0,9) =
˜
= 0,6&0,8&0,5&0,9 = 0,5 . Îò±þ¤à ±«å¤óåò, ·ò® ±®®òâåò±òâèå à ±þ°ú-
åêòèâí® èí¤èôôå°åíòí®.




Ðè±. 10 ðàô íå·åòê®ã® ±®-
®òâåò±òâèÿ è§ ï°è¬å°à 5.

˜
Îï°å¤å«åíèå 10. ‘òåïåíüþ íå·åòꮩ áèåêòèâí®±òè ±®®òâåò±òâèÿ à áó-
˜
¤å¬ í৻âàòü âå«è·èíó β ( Ã) bij è ®ï°å¤å«è¬ åå ± ﮬ®-
ùüþ â»°à¦åíèÿ
˜ ˜ ˜ ˜
β ( Ã) bij = β ( Ã) fon & β ( Ã) def & β ( Ã) sur .
˜
˜
…±«è β ( Ã) bij ≥0,5, ò® ±®®òâåò±òâèå à íå·åòê® áèåêòèâí®. …±«è
˜
˜
β ( Ã) bij ¤0,5, ò® ±®®òâåò±òâèå à íå·åòê® íåáèåêòèâí®. …±«è
˜
˜
β ( Ã) bij =0,5, ò® ±®®òâåò±òâèå à áèåêòèâí® èí¤èôôå°åíòí®.

3.4. ‘ï®±®á» §à¤àíèÿ íå·åòêèµ ®òí®øåíè©
Îï°å¤å«åíèå 11. Íå·åòêè¬ ®òí®øåíèå¬ íà íåï°®è§â®«üí®¬ íåïó±ò®¬
˜
˜
¬í®¦å±òâå • í৻âàåò±ÿ è ·å°å§ • ( X , F ) ®á®§íà·àåò±ÿ
˜
ïà°à ¬í®¦å±òâ, â ê®ò®°®© F ÿâ«ÿåò±ÿ íå·åòêè¬ ï®¤¬í®-
¦å±ò⮬ •2.


35
˜
˜
• ( X , F ) ¬í®¦å±òâ® • í৻âàåò±ÿ ®á«à±òüþ §à¤à-
‚ ®òí®øåíèè
˜
íèÿ, à F íå·åòêè¬ ã°àôèꮬ ®òí®øåíèÿ. Íåò°ó¤í® âè¤åòü, ·ò® íå·åòê®å
®òí®øåíèå ï°å¤±òàâ«ÿåò ±®á®© ·à±òí»© ±«ó·à© íå·åòê®ã® ±®®òâåò±òâèÿ
˜ ˜
à = ( X , Y , F ) , ó ê®ò®°®ã® •=Y.
˜
˜
Í®±èòå«å¬ íå·åòê®ã® ®òí®øåíèÿ • ( X , F ) , í৻âàåò±ÿ ·åòê®å ®ò-
˜
˜
í®øåíèå •( X , F ) , ó ê®ò®°®ã® ã°àôèê F ÿâ«ÿåò±ÿ í®±èòå«å¬ ã°àôèêà F .
‘óùå±òâóþò ·åò»°å ±ï®±®áà §à¤àíèÿ íå·åòêèµ ®òí®øåíè©: òå®°åòèê®-¬í®-
¦å±òâåíí»©, ã°àôè·å±êè© è ± ﮬ®ùüþ íå·åòêèµ ï°å¤èêàò®â.
„«ÿ §à¤àíèÿ íå·åòê®ã® ®òí®øåíèÿ â òå®°åòèê®-¬í®¦å±òâåíí®¬ âè¤å
íå®áµ®¤è¬® ïå°å·è±«èòü ¬í®¦å±òâ® •={xi} (i∈I={1,2...,n}) è §à¤àòü
˜
F = {< µ F < xi , x j >, < xi , x j >>}, < xi , x j >∈ X 2 .
íå·åòêè© ã°àôèê
˜
‚ ¬àò°è·í®¬ âè¤å íå·åòê®å ®òí®øåíèå • §à¤àåò±ÿ ± ﮬ®ùüþ ¬àò-

°èö» ±¬å¦í®±òè R• , ±ò°®êè è ±ò®«áö» ê®ò®°®© ﮬå·åí» ý«å¬åíòà¬è
x ∈ X , à íà ïå°å±å·åíèè i-© ±ò°®êè è j-ã® ±ò®«áöà ±òàâèò±ÿ ý«å¬åíò
rij = µ F < xi , x j > , ã¤å µ F - ôóíêöèÿ ï°èíफå¦í®±òè ý«å¬åíò®â è§ •2
˜
íå·åòꮬó ã°àôèêó F .
˜
˜
Íå·åòê®å ®òí®øåíèå • ( X , F ) ¬®¦í® §à¤àòü â âè¤å ã°àôà ± ¬í®¦å-
< xi , x j > ê®ò®°®ã® ï°èïè±àí® ±®®òâåò±òâóþùåå
±ò⮬ âå°øèí •, ¤óãà¬
µ F < xi , x j > ôóíêöèè ï°èíफå¦í®±òè.
§íà·åíèå

˜
˜
Ï°è¬å° 6. Çà¤à¤è¬ íåê®ò®°®å íå·åòê®å ®òí®øåíèå • ( X , F ) , ó
ê®ò®°®ã® •={x ,x ,...,x }, à íå·åòêè© ã°àôèê
˜
12 6
F = {< 0,5/ < x1 , x6 >>,
< 0,7 / < x1 , x5 >>, < 0,4 / < x2 , x3 >>, < 0,8/ < x3 , x3 >>,
< 0,2 / < x4 , x3 >>, < 0,1/ < x4 , x1 >>, < 0,3/ < x4 , x6 >>,
< 0,6/ < x6 , x4 >>, < 1/ < x6 , x3 >>, < 1/ < x6 , x6 >>}.
Ìàò°èöà ±¬å¦í®±òè è ã°àô ýò®ã® ®òí®øåíèÿ ï®êà§àí» íà °è±.11.

36
Ðè±. 11 Ìàò°èöà ±¬å¦í®±òè è ã°àô ®òí®øåíèÿ è§ ï°è¬å°à 6.
˜
•( X , F ) - ï°®è§â®«üí®å íå·åòê®å ®òí®øåíèå. …±«è
Ïó±òü
˜ ˜
< µ F < a , b > / < a , b >>∈ F , a , b ∈ X , ò® â»°à¦åíèå a•b ï°å¤±òàâ-
«ÿåò ±®á®© íå·åòê®å «®ãè·å±ê®å â»±ê৻âàíèå , §íà·åíèå è±òèíí®±òè ê®-
µ F < a , b > . Îò±þ¤à ±«å¤óåò, ·ò® ¤«ÿ §à¤àíèÿ íåê®ò®°®ã®
ò®°®ã® °àâí®
˜
˜
íå·åòê®ã® ®òí®øåíèÿ • íà • íå·åòêóþ «®ãè·å±êóþ ô®°¬ó«ó xi•x j ®ò
¤âóµ ïå°å¬åíí»µ è«è íå·åòêè© ï°å¤èêàò, ê®ò®°»© ®ï°å¤å«åí íà ¬í®¦å-
±òâå •2, à §íà·åíèå ï°èíè¬àåò è§ èíòå°âà«à [0;1].
˜ ˜
˜ ˜
Îï°å¤å«åíèå 12. Ïó±òü • ( X , F ) è ψ ( X , P ) – íåê®ò®°»å ®òí®øåíèÿ
˜˜
íà • . ‘òåïåíü °àâåí±òâà ®òí®øåíè© • ,ψ ®á®§íà·àåò-
˜˜
±ÿ µ (• ,ψ ) , ã¤å
˜˜ ( µ F < xi , x j >” µ P < xi , x j >) .
µ (• ,ψ ) = &
< xi , x j >∈X 2

˜˜ ˜˜
µ (• ,ψ ) ≥0,5, ò® ®òí®øåíèÿ • ,ψ áó¤å¬ í৻âàòü íå·åòê®
ɱǏ
˜˜ ˜˜ ˜˜
°àâí»¬è è ®á®§íà·àòü • ≈ ψ . …±«è µ (• ,ψ ) ¤0,5 ò® ®òí®øåíèÿ • ,ψ
˜˜ ˜˜
µ (• ,ψ ) =0,5,
íå·åòê® íå °àâí» è ®á®§íà·àòü • » ψ . ‚ ±«ó·àå, ê®ã¤à
˜˜
®òí®øåíèÿ • ,ψ ®¤í®â°å¬åíí® íå·åòê® °àâí» è íå·åòê® íå °àâí», ò.å.
˜˜
â§àè¬í® èí¤èôôå°åíòí», ·ò® ®á®§íà·àåò±ÿ • ∼ ψ .




37
˜
˜
Îï°å¤å«åíèå 13. Ïó±òü • ( X , F ) - íåê®ò®°®å ®òí®øåíèå íà • . ‘òåïå-
˜

<<

. 7
( 19 .)



>>