<<

. 8
( 19 .)



>>

íüþ íå·åòê®±òè ®òí®øåíèÿ í৻âàåò±ÿ âå«è·èíà ρ (• ) ,
˜ ˜
ρ (• ) = 1 ’ µ (• , • ) , ã¤å • ’ í®±èòå«ü íå·åòê®ã® ®òí®-
ã¤å
˜
øåíèÿ • .
Íà ®±í®âàíèè ýò®ã® ®ï°å¤å«åíèÿ ¬®¦í® §àïè±àòü
˜ ( µ F < xi , x j >” µ F < xi , x j >) , ã¤å
ρ (• ) = 1 ’ ˜
&
< xi , x j >∈X 2


±1, å ± «è < xi , x j >∈ F ,
µ F < xi , x j >= 
0, å ± «è < xi , x j >∉ F .


µ F < xi , x j >= 0 , ò® < xi , x j >∉ F , ò.å. µ F < xi , x j >= 0 .
…±«è ˜

Îò±þ¤à ±òåïåíü è±òèíí®±òè â»±ê৻âàíèÿ
µ F < xi , x j >” µ F < xi , x j > °àâíà 1. Ï®ýò®¬ó â ô®°¬ó«å
˜

˜
ρ (• ) ¬®¦í® §à¬åíèòü íà . „à«åå, òàê êàê ¤«ÿ â±åµ
& &
< xi , x j >∈F
< xi , x j >∈X 2

˜
< xi , x j >∈ F âå«è·èíà µ F < xi , x j >= 1 , ò® â»°à¦åíèå ρ (• ) ¬®¦-
í® §àïè±àòü â âè¤å
˜ ( µ F < xi , x j >” 1) è«è, ®ê®í·àòå«üí®,
ρ (• ) = 1 ’ ˜
&
< xi , x j >∈F

˜ µ F < xi , x j > .
ρ (• ) = 1 ’ ˜
&
< xi , x j >∈F

˜
˜
„«ÿ «þá®ã® ®òí®øåíèÿ • = ( X , F ) ¬®¦í® ﮫó·èòü å¤èí±òâåí-

í®å ·åòê®å ®òí®øåíèå •* = ( X, F ) , íå·åòê® °àâí®å è«è èí¤èôôå°åíòí®å
*
˜
• . „«ÿ ýò®ã® ±ò°®è¬ ã°àôèê F* ±«å¤óþùè¬ ®á°à§®¬:
F* = {< xi , x j >∈ X 2 }, µ F < xi , x j > > 0,5 .
˜

„«ÿ «þá®ã® ·åòê®ã® ®òí®øåíèÿ ψ = ( X , P ) ¬®¦í® ﮫó·èòü áå±-
˜
ê®íå·í® ¬í®ã® ®òí®øåíè© ψ , íå·åòê® °àâí»µ è«è èí¤èôôå°åíòí»µ ®ò-


38
í®øåíè© ψ . „«ÿ ﮫó·åíèÿ «þá®ã® è§ íèµ ¤®±òàò®·í® â±å¬ ïà°à¬
< xi , x j >∈ P ï°èïè±àòü §íà·åíèÿ ôóíêöèè ï°èíफå¦í®±òè ᮫üøèå
0,5, à â±å¬ ïà°à¬ è§ X 2 \ P – §íà·åíèÿ ¬åíüøèå è«è °àâí»å 0,5. ȧ
ï®±ò°®åíèÿ íå·åòêèµ ®òí®øåíè©, íå·åòê® °àâí»µ ®òí®øåíèþ
ψ = ( X , P ) , è ®ï°å¤å«åíèÿ íå·åòê®ã® °àâåí±òâà ±«å¤óåò, ·ò® â±å ﮫó-
·åíí»µ ï® ψ íå·åòêèå ®òí®øåíèÿ áó¤óò íå·åòê® °àâí» ¬å¦¤ó ±®á®© è«è
â§àè¬í® èí¤èôôå°åíòí».
Ï°èâå¤å¬ ï°å¤ï®«®¦åíèÿ, ﮧ⮫ÿþùèå ó±òàí®âèòü íå·åòê®å °à-
âåí±òâ® è«è íå°àâåí±òâ® ®òí®øåíè© ± ò®·í®±òüþ ¤® â§àè¬í®© èí¤èôôå-
°åíòí®±òè. Ïó±òü §à¤àí» ¤âà íå·åòêèµ ®òí®øåíèÿ
˜˜ ˜
˜
• = ( X , F ),ψ = ( X , P ) . Ï®±ò°®è¬ ¤«ÿ íèµ ·åòêèå ®òí®øåíèÿ
• * = ( X , F* ),ψ * = ( X , P* ) .
• * = ( X , F* ),ψ * = ( X , P* )
Ï°å¤ï®«®¦åíèå 1. …±«è ®òí®øåíèÿ
˜˜ ˜
˜
°àâí», ò® íå·åòêèå ®òí®øåíèÿ • = ( X , F ),ψ = ( X , P ) íå·åòê® °àâí»
è«è â§àè¬í® èí¤èôôå°åíòí».
• * = ( X , F* ),ψ * = ( X , P* )
Ï°å¤ï®«®¦åíèå 2. …±«è ®òí®øåíèÿ
˜˜ ˜
˜
íå °àâí», ò® íå·åòêèå ®òí®øåíèÿ • = ( X , F ),ψ = ( X , P ) íå·åòê® íå
°àâí» è«è â§àè¬í® èí¤èôôå°åíòí».

3.5. Îïå°àöèè íठíå·åòêè¬è ®òí®øåíèÿ¬è
˜˜ ˜
˜
Ïó±òü • = ( X , F ),ψ = ( X , P ) ï°®è§â®«üí»å íå·åòêèå ®òí®øå-
˜
íèÿ íà ¬í®¦å±òâå •. Áó¤å¬ ±·èòàòü, ·ò® ®òí®øåíèå • íå·åòê® âê«þ·àåò-
˜ ˜
˜ ˜
˜
±ÿ â ®òí®øåíèå ψ , 屫è F Ì P . Ýò® ®á®§íà·àåò±ÿ • Ì ψ .
˜˜
Îï°å¤å«åíèå 14. Îáúå¤èíåíèå¬ ®òí®øåíè© • è ψ í৻âàåò±ÿ íå·åòê®å
˜
˜ ˜˜˜
®òí®øåíèå · = ( X , S ) , ®á®§íà·àå¬®å · = • ∪ ψ , 屫è
˜˜˜
S = F ∪ P . Ï°è ýò®¬ ¤«ÿ «þỵ xi , x j ∈ X ±ï°àâå¤-
µ S < xi , x j >= µ F < xi , x j > ∨ µ P < xi , x j > .
«èâ®




39
˜˜
Îï°å¤å«åíèå 15. Ïå°å±å·åíèå¬ ®òí®øåíè© • è ψ í৻âàåò±ÿ íå·åòê®å
˜ ˜˜˜
˜
®òí®øåíèå π = ( X ,U ) , ®á®§íà·à嬮å π = • © ψ , 屫è
˜˜˜
S = F ∪ P . Ï°è ýò®¬ ¤«ÿ «þỵ xi , x j ∈ X ±ï°àâå¤-
µ U < xi , x j >= µ F < xi , x j >& µ P < xi , x j > .
«èâ®
˜
Îï°å¤å«åíèå 16. „®ï®«íåíèå¬ ®òí®øåíèÿ • í৻âàåò±ÿ íå·åòê®å ®òí®-
˜
øåíèå ¬˜ =(X,¬F) . Ï°è ýò®¬ ¤«ÿ «þỵ xi , x j ∈ X

µ ¬F < xi , x j >= 1 ’ µ F < xi , x j > .
±ï°àâ夫èâ®
˜
Îï°å¤å«åíèå 17. Èíâå°±èå© ®òí®øåíèÿ • í৻âàåò±ÿ íå·åòê®å ®òí®øå-
˜ ’1
˜
˜
íèå • ’1 = ( X , F ’1 ) , òàê®å, ·ò® íå·åòêè© ã°àôèê F
˜
ï°å¤±òàâ«ÿåò ±®á®© èíâå°±èþ ã°àôèêà F . Ï°è ýò®¬ ¤«ÿ
«þỵ xi , x j ∈ X ±ï°àâ夫èâ®

µ F ’1 < xi , x j >= µ F < xi , x j > .
˜˜
Îï°å¤å«åíèå 18. Ê®¬ï®§èöèå© ®òí®øåíè© • è ψ í৻âàåò±ÿ íå·åòê®å
˜˜˜
˜ ˜
®òí®øåíèå k = ( X ,V ) , ®á®§íà·à嬮å k = • o ψ , 屫è
˜˜˜
V = F o P . Ï°è ýò®¬ ¤«ÿ «þỵ xi , xj , xk ∈X ±ï°àâ夫è-
â® µ V < xi , x j >= ∪( µ F < xi , x k >& µ P < xi , x j >) .
xk

˜
˜
Ï°è¬å° 7. Ïó±òü ¤àí» íå·åòêèå ®òí®øåíèÿ • ( X , F ) è
˜
˜
ψ = ( X , P ) , ã°àô» ê®ò®°»µ ï®êà§àí» íà °è±. 12. ðàô» íå·åòêèµ
˜ ˜˜ ˜ ˜˜ ˜˜
®òí®øåíè© • ∪ ψ , • © ψ , ¬• , • ’1 , • o ψ ï®êà§àí» íà °è±. 13.




40
Ðè±.12 ȱµ®¤í»å ã°àô» íå·åòêèµ ®òí®øåíè© è§ ï°è¬å°à 7.




Ðè±.13 Ðå§ó«üòè°óþùèå ã°àô» íå·åòêèµ ®òí®øåíè© è§ ï°è¬å°à 7.




41
4.1. Çà¤à·à ï°èíÿòèÿ °åøåíè© ± ®¤íè¬ ýê±ïå°ò®¬
Çà¤àí® ¬í®¦å±ò⮠⮧¬®¦í»µ °åøåíè© è«è à«üòå°íàòèâ U={u1 ,
u2 , …un } è íå·åòí®å ®òí®øåíèå íå±ò°®ã®ã® ï°å¤ï®·òåíèÿ (í.®.ï.) R íà
¬í®¦å±òâå U ± ôóíêöèå© ï°èíफå¦í®±òè µR(ui, uj)∈ [0, 1] – «þá®å
°åô«åê±èâí®å íå·åòê®å ®òí®øåíèå íà U, òàê ·ò® µR(ui, uj)=1, ui∈U.
Í.®.ï. §à¤àåò±ÿ ®á»·í® «èö®¬, ï°èíè¬àþùè¬ °åøåíèÿ â °å§ó«üòàòå
®ï°®±à ýê±ïå°ò®â, ®á«à¤àþùèµ §íàíèÿ¬è è«è ï°å¤±òàâ«åíèÿ¬è ® ±®¤å°-
¦àíèè è«è ±óùå±òâå §à¤à·è, ê®ò®°»å íå ừè ô®°¬à«è§®âàí» â ±è«ó ·°å§-
¬å°í®© ±«®¦í®±òè òàꮩ ô®°¬à«è§àöèè è«è ï® ¤°óãè¬ ï°è·èíà¬.
„«ÿ «þᮩ ïà°» à«üòå°íàòèâ ui, uj∈U §íà·åíèÿ µR(ui, uj) ï®íè¬à-
åò±ÿ êàê ±òåïåíü ï°å¤ï®·òåíèÿ "ui, íå µó¦å uj", â §àïè±è ui ≥uj. Ðàâåí±òâ®
µR(ui, uj)=0 ¬®¦åò ®§íà·àòü êàê ò®, ·ò® µR(uj, ui)>0, ò® å±òü ± ﮫ®¦è-
òå«üí®© ±òåïåíüþ â»ï®«íåí® "®á°àòí®å" ï°å¤ï®·òåíèå uj ≥ui , òàê è ò®,
·ò® è µR(uj, ui)=0, ò® å±òü à«üòå°íàòèâ» uj è ui íå±°àâí謻. Ðåô«åê±èâ-
í®±òü í.®.ï. ®ò°à¦àåò ò®ò å±òå±òâåíí»© ôàêò, ·ò® «þáàÿ à«üòå°íàòèâà íå
µó¦å ±à¬®© ±åáÿ.
Çà¤à·à ï°èíÿòèÿ °åøåíèÿ §àê«þ·àåò±ÿ â °àöè®íà«üí®¬ â»á®°å íàè-
᮫åå ï°å¤ï®·òèòå«üí»µ à«üòå°íàòèâ è§ ¬í®¦å±òâà U, íà ê®ò®°®¬ §à¤àí®
íå·åòê®å ®òí®øåíèå ï°å¤ï®·òåíèÿ R.
À«ã®°èò¬ °åøåíèÿ §à¤à·è
1. ‘ò°®èò±ÿ íå·åòê®å ®òí®øåíèå ±ò°®ã®ã® ï°å¤ï®·òåíèÿ RS, à±±®öè-
è°®âàíí®å ± R, ®ï°å¤å«ÿ嬮å ôóíêöèå© ï°èíफå¦í®±òè

±µ R (u i , u j ) ’ µ R (u j , u i ), µ R (u i , u j ) > µ R (u j , u i ),
(u i , u j ) = 

0, µ R (u i , u j ) ¤ µ R (u j , u i ).

Ýò® ®òí®øåíèå ¬®¦åò á»òü ï°å¤±òàâ«åí® â âè¤å RS=R\RT, ã¤å RT –
"®á°àòí®å" ®òí®øåíèå (¬àò°èöà ®òí®øåíè© RT ﮫó·àåò±ÿ ò°àí±ï®íè°®-
âàíèå¬ ¬àò°èö» ®òí®øåíè© R).
2. ‘ò°®èò±ÿ íå·åòê®å ﮤ¬í®¦å±òâ® URnd ‚ U í央¬èíè°ó嬻µ
à«üòå°íàòèâ, à±±®öèè°®âàíí®å ± R è âê«þ·àþùåå òå à«üòå°íàòèâ», ê®ò®-
°»å íå ¤®¬èíè°óþò±ÿ íèêàêè¬è ¤°óãè¬è, ®ï°å¤å«ÿ嬮å ôóíêöèå© ï°è-
íफå¦í®±òè

µ R nd (ui ) = min {(1 ’ µ R S (u J , ui )} = 1 ’ max {µ R S (u J , ui )}, ui ∈U .
u j ∈U u j ∈U

42
u j ∈U µ R nd (ui )
„«ÿ «þᮩ à«üòå°íàòèâ» §íà·åíèå ï®íè¬à-
åò±ÿ êàê ±òåïåíü í央¬èíè°ó嬮±òè ýò®© à«üòå°íàòèâ», ò® å±òü ±òåïåíü ±
ê®ò®°®© ui íå ¤®¬èíè°óåò±ÿ íè ®¤í®© è§ à«üòå°íàòèâ ¬í®¦å±òâà U;

µ R nd (ui ) = ± ®§íà·àåò , ·ò® íèêàêàÿ à«üòå°íàòèâ» uj íå ¬®¦åò á»òü

«ó·øå ui ±® ±òåïåíüþ ¤®¬èíè°®âàíèÿ ᮫üøå© ±; èíà·å ã®â®°ÿ, ui ¬®¦åò
¤®¬èíè°®âàòü±ÿ ¤°óãè¬è à«üòå°íàòèâà¬è, í® ±® ±òåïåíüþ íå â»øå 1-±.
Ðàöè®íà«üí»¬ å±òå±òâåíí® ±·èòàòü â»á®° à«üòå°íàòèâ, è¬åþùèµ ï® â®§-
¬®¦í®±òè ᮫üøóþ ±òåïåíü ï°èíफå¦í®±òè ¬í®¦å±òâó URnd .

µ R nd (u * )
3. ‚»áè°àåò±ÿ òà à«üòå°íàòèâà u*, ¤«ÿ ê®ò®°®© §íà·åíèå


u* = arg max µ R nd (ui ) .
¬àê±è¬à«üí®:
u i ∈U
Îíà è ¤àåò °åøåíèå §à¤à·è. …±«è íàè᮫üøóþ ±òåïåíü í央¬èíè°ó-
嬮±òè è¬ååò íå ®¤íà, à íå±ê®«üê® à«üòå°íàòèâ, ò® «.ï.°. ¬®¦åò «èá® ±à¬
â»á°àòü ®¤íó è§ íèµ, è±µ®¤ÿ è§ êàêèµ-«èá® ¤®ï®«íèòå«üí»µ ±®®á°à¦åíè©,
«èá® °à±øè°èòü ê°óã ýê±ïå°ò®â ï°è ô®°¬è°®âàíèè è±µ®¤í»µ ¤àíí»µ §à-
¤à·è è ï®âò®°èòü åå °åøåíèå.
Ï°è¬å°.
Íà ¬í®¦å±òâå U è§ ·åò»°åµ à«üòå°íàòèâ u1, u2, u3, u4 §à¤àí® ®òí®øå-
íèå R ¬àò°èöå© M , ò®ã¤à ®òí®øåíèå R ®ï°å¤å«ÿåò±ÿ ¬àò°èöå© M :
S S
R R
®1 0 0,3 0,7  ®0 0 0 0,2 
1 1 0,8 0,1 1 0 0,3 0 
MR =  MR = 
S

0,5 0,5 1 1 0,2 0 0 1
 

0,5 0,5 0 1» 0 0,4 0 0»
   
° °
„«ÿ ï®±ò°®åíèÿ ¬í®¦å±òâà URnd ï°å¤âà°èòå«üí® ®ï°å¤å«ÿþò±ÿ
¬àê±è¬à«üí»å ý«å¬åíò» â ±ò®«áöൠ¬àò°èö» ÌRS:
m=[1; 0,4; 0,3; 1], ò®ã¤à VRnd=[0; 0,6; 0,7; 0].
’àê êàê µ R (u 3 ) = 0,7 = max µ R (u i ), ò® u * = u 3 .
nd nd


…±«è ¦å

43
®1 1 0,1 0,1  ®0 1 0 0
0 1 0,6 0,9   0 0 0,1 0,4 
MR =   MR = 
S

 0,5 0,5 1 0  0, 4 0 0 0 ,

<<

. 8
( 19 .)



>>