<< Предыдущая

стр. 13
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

известно. Эту величину обозначают:
Z (или U) – если она имеет стандартизированное нормальное рас-
пределение;
Т – если она распределена по закону Стьюдента;
?2 – если она распределена по закону ?2;
F – если она имеет распределение Фишера.
В этом параграфе в целях общности будем обозначать такую СВ
через K.
Таким образом, статистическим критерием называют СВ K, ко-
торая служит для проверки нулевой гипотезы. После выбора опреде-
ленного критерия множество всех его возможных значений разбивают
на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит зна-
чения критерия, при которых нулевая гипотеза отклоняется, другое –
при которых она не отклоняется. Совокупность значений критерия,
при которых нулевую гипотезу отклоняют, называют критической об-
ластью. Совокупность значений критерия, при которых нулевую ги-
потезу не отклоняют, называют областью принятия гипотезы.
Основной принцип проверки статистических гипотез можно
сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия K (вычис-
ленное по выборке) принадлежит критической области, то нулевую
гипотезу отклоняют. Если же наблюдаемое значение критерия K при-
надлежит области принятия гипотезы, то нулевую гипотезу не откло-
няют (принимают).
Точки, разделяющие критическую область и область принятия
гипотезы, называют критическими.
Перейдем к определению критических точек, а следовательно, и
критической области. В основу этого определения положен принцип
практической невозможности маловероятных событий.
Пусть для проверки нулевой гипотезы Н0 служит критерий K.
Предположим, что плотность распределения вероятности СВ K в слу-
чае справедливости Н0 имеет вид f(k|H0), а математическое ожидание
K равно k0. Тогда вероятность того, что СВ K попадет в произвольный
интервал (k1??/2, k?/2), можно найти по формуле:
k б/2
P(k1? б/2 < K < k б/2 ) = ? f(k | H 0 )dk . (3.11)
k 1?б/2

Зададим эту вероятность равной 1 ? ? и вычислим критические
точки (квантили) K-распределения k1??/2, k?/2 из условий:


73
k1? б/2
б
P(K ? k1? б/2 ) = ? f(k | H 0 )dk = ,
2
??
(3.12)
+? б
P(K ? k б/2 ) = ? f(k | H 0 )dk = .
2
k б/2

Следовательно,
P(k1?б/2 < K < k б/2 ) = 1 ? б , а P((K ? k1?б/2 ) ? (K ? k б/2 ) ) = б .
Зададим вероятность ? настолько малой (0.05; 0.01), чтобы по-
падание СВ K за пределы интервала (k1??/2, k?/2) можно было бы счи-
тать маловероятным событием. Тогда, исходя из принципа практиче-
ской невозможности маловероятных событий, можно считать, что ес-
ли Н0 справедлива, то при ее проверке с помощью критерия K по дан-
ным одной выборки наблюдаемое значение K должно наверняка по-
пасть в интервал (k1??/2, k?/2). Если же наблюдаемое значение K попа-
дает за пределы указанного интервала, то произойдет маловероятное,
практически невозможное событие. Это дает основание считать, что с
вероятностью 1 ? ? нулевая гипотеза Н0 несправедлива.
Точки k1??/2, k?/2 являются критическими.

f(k?H0) Область принятия
гипотезы Критическая
область




?/2 ?/2


k1-?/2 k0 k?/2
Рис. 3.5
Критическая область ( ??, k1? б/2 ) ? (k б/2 ,+?) называется двусто-
ронней критической областью. Она определяется в случае, когда аль-
тернативная гипотеза имеет вид: Н1: ? ? ?0. Кроме двусторонней, рас-
сматривают также односторонние критические области – правосто-
роннюю и левостороннюю.
Правосторонней называют критическую область (k?, +?), опре-
деляемую из соотношения P(K > k?) = ?. Она используется в случае,
когда альтернативная гипотеза имеет вид: Н1: ? > ?0 (рис. 3.6, а).

74
Левосторонней называют критическую область (??, k1??), опре-
деляемую из соотношения P( K < k1?? ) = ?. Она используется в слу-
чае, когда альтернативная гипотеза имеет вид: Н1: ? < ?0 (рис. 3.6, б).
f(k?H0) f(k?H0)

P(K > k?) = ? P(K < k1??) = ?
Область принятия Область принятия
гипотезы гипотезы



? ?

k? k k1?? k
а б
Рис. 3.6

Общая схема проверки гипотез
1. Формулировка проверяемой (нулевой – Н0) и альтернативной
(Н1) гипотез;
2. Выбор соответствующего уровня значимости ?;
3. Определение объема выборки n;
4. Выбор критерия K для проверки Н0;
5. Определение критической области и области принятия гипоте-
зы;
6. Вычисление наблюдаемого значения критерия Kнабл.;
7. Принятие статистического решения.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
Проверка гипотез при двусторонней критической области тесно
связана с интервальным оцениванием. При одном и том же уровне
значимости ? и объеме выборки n попадание гипотетического значе-
ния исследуемого параметра в доверительный интервал равносильно
попаданию соответствующего критерия в область принятия гипотезы.
Поэтому для проверки гипотезы в этом случае можно использовать
доверительный интервал. Если гипотетическое значение исследуемого
параметра попадает в этот интервал, то делают вывод, что нет основа-
ний для отклонения выдвигаемой гипотезы. Более подробно данная
связь рассмотрена в примерах 3.2 ? 3.8.



75
3.5. Примеры проверки гипотез
Рассмотрим применение общей схемы проверки гипотез к кон-
кретным задачам проверки гипотез о математическом ожидании, дис-
персии, коэффициенте корреляции, часто встречающимся в экономет-
рическом анализе. Для каждой из этих гипотез конкретизируем выбор
статистики (критерия) и определения критической области.
3.5.1. Проверка гипотезы о математическом ожидании
нормальной СВ при известной дисперсии
Пусть генеральная совокупность Х распределена нормально,
причем ее математическое ожидание m неизвестно, а дисперсия ?2 из-
вестна. Также есть основания предполагать, что m = m0. Тогда
H 0 : m = m0 ,
(1) (2) (3)
H1 : m ? m 0 ( H1 : m > m 0 ; H1 : m < m 0 ).
Для проверки H0 извлекается выборка объема n: x1, x2, ... , xn и в
качестве критерия строится статистика
x ? m0
U= , (3.13)
у/ n
1n
где x = ? x i , у = у 2 . Доказано, что если Н0 справедлива, то стати-
n i =1
стика U имеет стандартизированное нормальное распределение
(U?N(0,1)).
1) Пусть в качестве альтернативной рассматривается гипотеза
(1)
H1 : m ? m 0 . Тогда критические точки u?/2 и u1??/2 = ?u?/2 будут
определяться по таблице функций Лапласа (приложение 1) из ус-
1? б
ловия Ц(u б/2 ) = .
2
x ? m0
Если U набл. = < u б/2 ? нет оснований для отклонения Н0.
у/ n
Если U набл. ? u б/2 ? гипотеза Н0 отклоняется в пользу альтерна-
(1)
тивной гипотезы H1 .
(2)
2) При H1 : m > m 0 критическую точку u? правосторонней
1 ? 2б
критической области находят из равенства Ц(u б ) = .
2

76
Если Uнабл. < u? – нет оснований для отклонения Н0.
(2)
Если Uнабл. ? u? – Н0 отклоняют в пользу H1 .
3) При H1 : m < m 0 критическая точка u1?? = ?u?.
(3)


Если Uнабл. > u1?? – нет оснований для отклонения Н0.
Если Uнабл .? u1?? – Н0 отклоняют в пользу H1 .
(3)


Пример 3.2. В условиях примера 3.1 проверить гипотезу М(Х) = 250 г при
уровне значимости ? = 0.05. Если данное утверждение неверно, то станок-автомат
требует подналадки.
H0: m = 250;
H1: m ? 250.
244 ? 250
= ?3. В
По формуле (3.13) по данным выборки строим статистику U =
10 / 25
данном случае используется двусторонняя критическая область. По таблице
функции Лапласа найдем критическую точку u?/2 = u 0.025 = 1.96. Так как ?Uнабл.?=
= 3 > 1.96 = uкр., то H0 должна быть отклонена в пользу H1. Это свидетельствует о
том, что станок требует подналадки. Аналогичный ответ можно получить, ис-
пользуя интервальную оценку (240.8; 247.92), найденную в примере 3.1. Если ги-
потетическое значение 250 не принадлежит данному интервалу, то обоснован вы-
вод о ложности гипотезы H0.

3.5.2. Проверка гипотезы о математическом ожидании
нормальной СВ при неизвестной дисперсии
Пусть генеральная совокупность Х имеет нормальное распреде-
ление, причем ее математическое ожидание m и дисперсия ?2 неиз-
вестны. Данная ситуация более реалистична по сравнению с преды-
дущей. Пусть есть основания утверждать, что m = m0. Тогда строятся
следующие гипотезы:

H 0 : m = m0 ,
(1) (2) (3)
H1 : m ? m 0 (H1 : m > m 0 ; H1 : m < m 0 ).

Для проверки Н0 извлекается выборка объема n: x1, x2, ... , xn; вы-
1n
числяются выборочное среднее x = ? x i и исправленная выборочная
n i =1
1n
2 2
дисперсия S = ? (x i ? x) , которой соответствует стандартное
n ? 1 i =1
отклонение S = S2 . Далее строится следующая t-статистика:

77
x ? m0
T= , (3.14)
S/ n
имеющая при справедливости H0 распределение Стьюдента с н = n ? 1
степенями свободы. Критическая область строится в зависимости от
вида альтернативной гипотезы по аналогии с разделом 3.5.1.
(1)
1) При H1 : m ? m 0 по таблице критических точек распределе-
ния Стьюдента (приложение 2) по заданному уровню значимости
? и числу степеней свободы н = n ? 1 находятся критические точ-
ки t б/2, n ?1 и t 1?б/2, n ?1 = ? t б/2,n ?1 .
x ? m0
Если Tнабл. = < t б/2, n ?1 – нет оснований для отклонения Н0.
S/ n
(1)
? t б/2, n ?1 – Н0 отклоняют в пользу H1 .
Если Tнабл.
(2)
2) При H1 : m > m 0 определяют критическую точку t?,n-1 право-
сторонней критической области.
Если Tнабл. < t б,n ?1 – нет оснований для отклонения Н0.
Если Tнабл. ? t б,n ?1 – Н0 отклоняется в пользу H1 .
(2)



(3)
3) При H1 : m < m 0 определяют критическую точку t1??,n?1 =
= ? t?,n?1 левосторонней критической области.
Если Tнабл. > ? t б,n ?1 – нет оснований для отклонения Н0.
(3)
Если Tнабл. ? ? t б,n ?1 – Н0 отклоняется в пользу H1 .

Пример 3.3. Анализируется доход Х фирм в отрасли, имеющий нормальное
распределение. Предполагается, что средний доход в данной отрасли составляет
не менее $1 млн. По выборке из 49 фирм получены следующие данные:
x = $0.9 млн и S = $1.15 млн. Не противоречат ли эти результаты выдвинутой
гипотезе при уровне значимости ? = 0.01?
H0: m = 1;
H1: m < 1.
0.9 ? 1
= ?4.67.
Для проверки гипотезы H0 строим критерий Tнабл. =

<< Предыдущая

стр. 13
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>