<< Предыдущая

стр. 14
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

0.15 / 7
Критическую точку левосторонней критической области определяем по таблице
критических точек распределения Стьюдента tкр. = ? t0.01, 48 = ? 2.404. Поскольку
Tнабл. = ?4.67 < ?2.404 = tкр., то H0 должна быть отклонена в пользу H1, что дает
основание считать, что средний доход в отрасли меньше, чем $1 млн.

78
3.5.3. Проверка гипотезы о величине дисперсии нормальной СВ
Многие экономические решения связаны с анализом возможных
результатов, точнее, с разбросом возможных результатов. Например,
при покупке акций какой-либо компании весьма важно оценить риск
от такого вложения, который определяется рассеиванием годовых ди-
видендов по данным акциям за продолжительный период времени.
Такую оценку можно осуществлять на базе анализа дисперсии СВ ?
размера дивидендов. Следовательно, при изучении многих экономи-
ческих проблем приходится иметь дело с выдвижением и проверкой
гипотез о величине дисперсии. Одной из самых распространенных яв-
ляется гипотеза о величине дисперсии нормальной СВ.
Пусть СВ Х ? N(m, ?2); m и ?2 неизвестны. Проверяется гипотеза
о равенстве дисперсии ?2 нормально распределенной генеральной со-
2
вокупности Х гипотетическому (предполагаемому) значению у 0 .
Тогда:
H0 : у 2 = у0 ,
2


(1) 2 (2) 2 (3) 2
H1 : у ? у 0 (H1 : у > у 0 ; H1 : у < у 0 ).
Для проверки Н0 извлекается выборка объема n: x1, x2, ... , xn; вы-
1n
числяются выборочное среднее x = ? x i , исправленная выборочная
n i =1
1n
2 2
дисперсия S = ? (x i ? x) . Тогда критерий проверки Н0 имеет
n ? 1 i =1
вид:
(n ? 1) ? S2
ч= . (3.15)
2

у02



При справедливости Н0 построенная статистика ?2 имеет ?2-распреде-
ление с н = n ? 1 степенями свободы.
1) При H1 : у 2 ? у 0 по таблице критических точек ?2-распреде-
(1) 2

ления (приложение 3) по заданному уровню значимости ? и чис-
лу степеней свободы н = n ? 1 находят критические точки
2 2
ч1?б/2,n ?1 и ч б/2,n ?1 двусторонней критической области.
2 2 2
Если ч1?б/2,n ?1 < ч набл. < ч б/2,n ?1 – нет оснований для отклонения Н0.
2 2 2 2
Если ч набл. ? ч1?б/2,n ?1 или ч набл. ? ч б/2,n ?1 – Н0 отклоняется в пользу
(1)
H1 .

79
2) При H1 : у 2 > у 0 находят критическую точку ч б, n ?1 правосто-
(2) 2 2

ронней критической области.
Если ч 2 < ч б, n ?1 – нет оснований для отклонения Н0.
2
набл.
(2)
Если ч 2 ? ч б, n ?1 – Н0 должна быть отклонена в пользу H1 .
2
набл.

3) При H1 : у 2 < у 0 находят критическую точку ч1? б, n ?1 лево-
(3) 2 2

сторонней критической области.
Если ч 2 > ч1? б, n ?1 – нет оснований для отклонения Н0.
2
набл.
(3)
Если ч 2 < ч1? б, n ?1 – Н0 отклоняется в пользу H1 .
2
набл.

Пример 3.4. Точность работы станка-автомата, заполняющего пакеты по-
рошком, определяется совпадением веса пакетов. Дисперсия веса не должна пре-
2
вышать 25 (г) . По выборке из 20 пакетов определена исправленная дисперсия
1 20 2
2 2
S= ? (x i ? x) = 30(г) .
20 ? 1 i =1
Определите, требуется ли срочная подналадка станка? Принять ? = 0.05.
Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы, соответствующие ус-
ловию задачи:
2
H0 : ? = 25;
2
H1 : ? > 25.
2
Рассчитаем наблюдаемое значение критерия ? в соответствии с (3.15):
19 ? 30
ч2 = = 22.8. ч 2 = ч 0.05; 19. = 30.14.
2
набл. кр.
25
2
Так как ч 2 = 22.8 < 30.14 = ч кр. , то нет оснований для отклонения H0. Другими
набл.
словами, имеющиеся данные не дают основания считать, что станок требует
срочной подналадки.

3.5.4. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий
двух нормальных СВ при известных дисперсиях
При анализе многих экономических показателей приходится
сравнивать две генеральные совокупности. Например, можно сравни-
вать уровни жизни в двух странах по размеру дохода на душу населе-
ния; можно сравнивать два варианта инвестирования по размерам
средних дивидендов; качество знаний студентов двух университетов –
по среднему баллу на комплексном тестовом экзамене. В этих случа-
ях логично провести сравнение по схеме анализа равенства математи-
ческих ожиданий двух генеральных совокупностей X и Y.

80
Пусть X ? N(mx, у 2 ) и Y ? N(my, у 2 ), причем их дисперсии у 2 и у 2
x y
x y

известны (например, из предшествующих наблюдений или определе-
ны теоретически). По двум выборкам x1, x2, ... , xn и y1, y2, ..., yk, объ-
емов n и k соответственно необходимо проверить гипотезу
M(X) = M(Y) , т. е.
H 0 : M(X) = M(Y),
(1) (2) (3)
H1 : M(X) ? M(Y) (H1 : M(X) > M(Y); H1 : M(X) < M(Y)).
В качестве критерия проверки Н0 принимается СВ U:
x?y
U= . (3.16)
у2
у2 y
+
x
n k

При справедливости Н0 СВ U ? N(0, 1).
(1)
1) При H1 : M(X) ? M(Y) по таблице функции Лапласа (прило-
жение 1) определяют две критические точки u1??/2 и u?/2 из усло-
вий
1? б
Ц(u б/2 ) = , u1?б/2 = u б/2 .
2
Если U набл. < u б/2 – нет оснований для отклонения Н0.
(1)
Если U набл. > u б/2 – Н0 отклоняется в пользу H1 .
(2)
2) При H1 : M(X) > M(Y) критическую точку u? правосторон-
1 ? 2б
ней критической области находят из равенства Ц(u б ) = .
2
Если U набл. < u б – нет оснований для отклонения Н0.
(2)
Если U набл. ? u б – Н0 отклоняется в пользу H1 .
(3)
3) При H1 : M(X) < M(Y) критическая точка u1?? левосторонней
критической области определяется из соотношения u1? б = ? u б .
Если U набл. > u1?б – нет оснований для отклонения Н0.
(3)
Если U набл. ? u1?б – Н0 отклоняется в пользу H1 .




81
3.5.5. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий
двух нормальных СВ при неизвестных дисперсиях
Более реалистичной по сравнению с предыдущей ситуацией яв-
ляется случай, когда дисперсии рассматриваемых СВ неизвестны.
Пусть X ? N(mx, у 2 ) и Y ? N(my, у 2 ), причем их дисперсии
x y

у 2 и у 2 неизвестны. Выдвигается гипотеза о равенстве математиче-
x y
ских ожиданий:
H 0 : M(X) = M(Y),
(1) (2) (3)
H1 : M(X) ? M(Y) (H1 : M(X) > M(Y); H1 : M(X) < M(Y)).

При этих условиях в качестве критерия проверки Н0 принимают СВ Т:

x?y n ? k ? (n + k ? 2)
T= ? , (3.17)
n+k
? 1) ? S2 ? 1) ? S2
+ (k
(n x y

где n, k – объемы выборок x1, x2,... , xn и y1, y2,... ,yk соответственно;
1n 1n 1k 1k
2 2 2 2
x = ? x i , Sx = ? (x i ? x) , y = ? y i , S y = ? (y i ? y) .
n ? 1 i =1 k ? 1 i =1
n i =1 k i =1
При справедливости Н0 построенная статистика Т имеет t-распре-
деление Стьюдента с н = n + k ? 2 степенями свободы.
(1)
1) При H1 : M(X) ? M(Y) по таблице критических точек распре-
деления Стьюдента (приложение 2) по заданному уровню значи-
мости ? и числу степеней свободы н = n + k ? 2 определяются
критические точки t 1?б/2,n + k ?2 и t б/2, n + k ?2 ( t 1?б/2, n + k ?2 = ? t б/2,n + k ?2 )
двусторонней критической области.
Если Tнабл. < t б/2,n + k ?2 – нет оснований для отклонения Н0.
(1)
Если Tнабл. ? t б/2,n + k ?2 – Н0 отклоняется в пользу H1 .
(2)
2) При H1 : M(X) > M(Y) находят критическую точку t?,n+k-2
правосторонней критической области.
Если Tнабл. < t б,n +k ?2 – нет оснований для отклонения Н0.
(2)
Если Tнабл. ? t б, n + k ?2 – Н0 отклоняется в пользу H1 .



82
(3)
3) При H1 : M(X) < M(Y) находят критическую точку
t1? б, n + k ? 2 = ? t б, n + k ? 2 левосторонней критической области.
Если Tнабл. > ? t б,n + k ?2 – нет оснований для отклонения Н0.
(3)
Если Tнабл. ? ? t б, n + k ?2 – Н0 отклоняется в пользу H1 .
Пример 3.5. В университете проведен анализ успеваемости среди студен-
тов и студенток за последние 25 лет. СВ X и Y ? их суммарный балл за время
2
учебы. Получены следующие результаты: x = 400; S 2 = 300; y = 420; S y = 150.
x

Можно ли утверждать, что девушки в среднем учатся лучше ребят? Принять ? =
= 0.05.
Для ответа на данный вопрос фактически необходимо проверить следую-
щую гипотезу:
H0 : M(X) = M(Y);
H1 : M(X) < M(Y).
По формуле (3.17) строим статистику Т с учетом, что n = k = 25:
400 ? 420 25 ? 25 ? ( 25 + 25 ? 2)
? = ? 4.71; tкр.= ?t0.05;25+25?2 = ?1.68.
Tнабл. =
25 + 25
24 ? 300 + 24 ? 150
Поскольку Tнабл. = ? 4.71 < ?1.68 = tкр., то H0 должна быть отклонена в поль-
зу H1, что дает основание утверждать, что в данном университете девушки в
среднем учатся лучше ребят.
3.5.6. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
двух нормальных СВ
Зачастую при сравнении двух экономических показателей на
первый план выходит анализ разброса значений рассматриваемых СВ.
Например, при решении вопроса об инвестировании в одну из двух
отраслей остро стоит проблема риска вложений. При сравнении уров-
ней жизни в двух странах среднедушевой доход может оказаться при-
близительно равным. Сопоставив разброс в доходах, мы получаем бо-
лее точное представление об интересуемом нас вопросе. Анализ, ана-
логичный описанному выше, целесообразно проводить путем сравне-
ния дисперсий исследуемых СВ.
Пусть X ? N(mx, у 2 ) и Y ? N(my, у 2 ), причем их дисперсии у 2 и
x y x

у 2 неизвестны. Выдвигается гипотеза о равенстве дисперсий у 2 и у 2 :
y x y

<< Предыдущая

стр. 14
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>