<< Предыдущая

стр. 16
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

в) Каким должно быть количество обследованных, чтобы абсолютное значе-
ние ошибки оценивания m не превзошло $50 с вероятностью 0.9?

12. Клиенты банка в среднем снимают со своего счета $100 при среднем квадра-
тическом отклонении ? = $50. Если выплаты отдельным клиентам незави-
симы, то сколько денег должно быть зарезервировано в банке на выплаты
клиентам, чтобы их хватило на 100 человек с вероятностью 0.95? Каков бу-
дет при этом остаток денег, гарантированный с той же надежностью, если
для выплат зарезервировано $6000?

13. При анализе зависимости между двумя показателями Х и Y по 25 наблюде-
ниям получены следующие данные: x = 100; y = 75; ? (x i ? x) 2 = 625; ? x i y i =
2
= 187000; ? (y i ? y) = 484. Оценить наличие линейной зависимости между
Х и Y. Будет ли коэффициент корреляции ?xy статистически значимым?

14. Проверить значимость коэффициента корреляции по следующим данным:
а) rxy = ?0.43, n = 60, ? = 0.1 при альтернативной гипотезе H1: ?xy < 0;
б) rxy = 0.2, n = 45, ? = 0.05 при альтернативной гипотезе H1: ?xy ? 0;
в) rxy = ?0.35, n = 100, ? = 0.01 при альтернативной гипотезе H1: ?xy ? 0.

15. Исследуется зависимость между количеством (N) покупателей в ювелирном
магазине и количеством (Q) проданных товаров. За 10 дней наблюдений по-
лучены следующие данные:
N 50 61 72 43 60 65 76 55 62 40
Q 10 12 20 9 15 15 21 14 18 7
Оцените наличие и степень линейной зависимости между N и Q.

89
Пусть СВ Х ? ежемесячный доход(млн руб.) определенной группы населе-
16.
2
ния. При этом X ? N(m = 25, ? = 36). Производится случайная выборка из
25 представителей данной группы. Какова вероятность, что их средний до-
ход лежит в интервале от 15 до 30 млн руб.?

17. Анализируется зависимость между доходом горожан (СВ Х), имеющих ин-
дивидуальные домовладения, и рыночной стоимостью их домов (СВ Y). По
случайной выборке из 450 горожан данной категории получены следующие
результаты:
?xi = 25200; ?yi = 110500; ? (x i ? x) 2 = 72300;
2
? (yi ? y) = 1500200; ? (x i ? x)(y i ? y) = 201350.
2


а) Вычислите выборочные средние и стандартные отклонения для обоих по-
казателей.
б) Можно ли было ожидать, что стандартные отклонения для рассматривае-
мых случайных величин приблизительно равны между собой? Проверьте это
предположение при уровне значимости ? = 0.05.
в) Постройте 95%-ный доверительный интервал для средней стоимости до-
мов. Какое предположение вы сделали при этом?
г) Проверьте гипотезу о наличии сильной линейной зависимости между ис-
следуемыми показателями (? = 0.01).




90
4. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
4.1. Взаимосвязи экономических переменных
С тех пор, как экономика стала серьезной самостоятельной нау-
кой, исследователи пытаются дать свое представление о возможных
путях экономического развития, спрогнозировать ту или иную ситуа-
цию, предвидеть будущие значения экономических показателей, ука-
зать инструменты изменения ситуации в желательном направлении. С
другой стороны, во многих случаях различные экономисты предлага-
ют разные, а зачастую противоположные методы решения той или
иной задачи. Политики либо управляющие производством, выбирая
одну из возможных стратегий решения, получают определенный ре-
зультат. Плох он или хорош, и можно ли было получить лучший ре-
зультат, проверить весьма затруднительно. Экономическая ситуация
практически никогда не повторяется в точности, а следовательно, не
позволяет применить две стратегии при одних и тех же условиях с це-
лью сравнения конечного результата. Поэтому одной из центральных
задач экономического анализа является предсказание либо прогнози-
рование развития некоторого экономического объекта при создании
тех или иных условий. Поняв глубинные движущие силы исследуемо-
го процесса, можно научиться рационально управлять его развитием.
Поведение и значение любого экономического показателя зависят
практически от бесконечного количества факторов, и все их учесть
нереально. Но в этом и нет необходимости. Обычно среди факторов,
воздействующих на исследуемый экономический показатель, сущест-
вует лишь ограниченное количество тех, влияние которых действи-
тельно существенно. Доля оставшихся факторов столь незначительна,
что их игнорирование не может привести к существенным отклонени-
ям в поведении исследуемого объекта. Выделение и учет в модели
лишь ограниченного числа реально доминирующих факторов и явля-
ется серьезной предпосылкой для качественного анализа, прогнозиро-
вания и управления ситуацией. Экономическая теория выявила и ис-
следовала значительное число устоявшихся и стабильных связей меж-
ду различными показателями. Например, хорошо изученными явля-
ются зависимости спроса или потребления от уровня дохода и цен на
товары; зависимость между уровнями безработицы и инфляции; зави-
симость объема производства от целого ряда факторов (размера ос-
новных фондов, их возраста, качества персонала и т. д.); зависимость


91
между производительностью труда и уровнем механизации, а также
многие другие зависимости.
Любая экономическая политика заключается в регулировании
экономических переменных, и она должна базироваться на знании то-
го, как эти переменные связаны с другими переменными, ключевыми
для принимающего решения политика или предпринимателя. Так, в
рыночной экономике нельзя непосредственно регулировать темп ин-
фляции, но на него можно воздействовать средствами фискальной
(бюджетно-налоговой) и монетарной (кредитно-денежной) политики.
Поэтому, в частности, должна быть изучена зависимость между пред-
ложением денег и уровнем цен.
Однако в реальных ситуациях даже устоявшиеся зависимости мо-
гут проявляться по-разному. Еще более сложной является задача ана-
лиза малоизученных и нестабильных зависимостей, построение моде-
лей которых является краеугольным камнем эконометрики. Здесь сле-
дует отметить, что такие экономические модели невозможно строить,
проверять и совершенствовать без статистического анализа входящих
в них переменных с использованием реальных статистических дан-
ных. Инструментарием такого анализа являются методы статистики и
эконометрики, в частности регрессионного и корреляционного анали-
за. Следует сказать, что статистический анализ зависимостей сам по
себе не вскрывает существо причинных связей между явлениями, т. е.
он не решает вопрос, в силу каких причин одна переменная влияет на
другую. Решение такой задачи лежит в иной плоскости и является ре-
зультатом качественного (содержательного) изучения связей, которое
обязательно должно либо предшествовать статистическому анализу,
либо сопровождать его.
В естественных науках большей частью имеют дело со строгими
(функциональными) зависимостями, при которых каждому значению
одной переменной соответствует единственное значение другой.
Однако в подавляющем большинстве случаев между экономиче-
скими переменными таких зависимостей нет. Например, нет строгой
зависимости между доходом и потреблением, ценой и спросом, про-
изводительностью труда и стажем работы и т. д. Это связано с целым
рядом причин и, в частности, с тем, что, во-первых, при анализе влия-
ния одной переменной на другую не учитывается целый ряд других
факторов, влияющих на нее; во-вторых, это влияние может быть не
прямым, а проявляться через цепочку других факторов; в-третьих,
многие такие воздействия носят случайный характер и т. д. Поэтому в

92
экономике говорят не о функциональных, а о корреляционных, либо
статистических зависимостях. Нахождение, оценка и анализ таких
зависимостей, построение формул зависимостей и оценка их парамет-
ров являются одним из важнейших разделов эконометрики.
Статистической называют зависимость, при которой изменение
одной из величин влечет изменение распределения другой. В частно-
сти, статистическая зависимость проявляется в том, что при измене-
нии одной из величин изменяется среднее значение другой. Такую
статистическую зависимость называют корреляционной.
4.2. Суть регрессионного анализа
Можно указать два варианта рассмотрения взаимосвязей между
двумя переменными X и Y. В первом случае обе переменные счита-
ются равноценными в том смысле, что они не подразделяются на пер-
вичную и вторичную (независимую и зависимую) переменные. Ос-
новным в этом случае является вопрос о наличии и силе взаимосвязи
между этими переменными. Например, между ценой товара и объе-
мом спроса на него, между урожаем картофеля и урожаем зерна, меж-
ду интенсивностью движения и числом аварий. При исследовании си-
лы линейной зависимости между такими переменными мы попадаем в
область корреляционного анализа, основной мерой которого является
коэффициент корреляции. Вполне вероятно, что связь в этом случае
вообще не носит направленного характера. Например, урожайность
картофеля и зерновых обычно изменяется в одном и том же направле-
нии, однако очевидно, что ни одна из этих переменных не является
определяющей.
Другой вариант рассмотрения взаимосвязей выделяет одну из ве-
личин как независимую (объясняющую), а другую ? как зависимую
(объясняемую). В этом случае изменение первой из них может слу-
жить причиной для изменения другой. Например, рост дохода ведет к
увеличению потребления. Рост цены ? к снижению спроса. Снижение
процентной ставки увеличивает инвестиции. Увеличение обменного
курса валюты сокращает объем чистого экспорта и т. д. Однако такая
зависимость не является однозначной в том смысле, что каждому кон-
кретному значению объясняющей переменной (набору объясняющих
переменных) может соответствовать не одно, а множество значений
из некоторой области. Другими словами, каждому конкретному зна-
чению объясняющей переменной (набору объясняющих переменных)
соответствует некоторое вероятностное распределение зависимой пе-

93
ременной (рассматриваемой как СВ). Поэтому анализируют, как объ-
ясняющая(ие) переменная(ые) влияет(ют) на зависимую переменную
“в среднем”. Зависимость такого типа, выражаемая соотношением

M(Y?x) = f(x), (4.1)

называется функцией регрессии Y на X. При этом X называется незави-
симой (объясняющей) переменной (регрессором), Y ? зависимой (объ-
ясняемой) переменной. При рассмотрении зависимости двух СВ гово-
рят о парной регрессии. Зависимость нескольких переменных, выра-
жаемая функцией
М(Y?x1, x2, …, xm) = f(x1, x2, …, xm), (4.2)
называют множественной регрессией.
Термин регрессия (движение назад, возвращение в прежнее со-
стояние) был введен Фрэнсисом Галтоном в конце XIX века при ана-
лизе зависимости между ростом родителей и ростом детей. Галтон за-
метил, что рост детей у очень высоких родителей в среднем меньше,
чем средний рост родителей. У очень низких родителей, наоборот,
средний рост детей выше. И в том и в другом случае средний рост де-
тей стремится (возвращается) к среднему росту людей в данном ре-
гионе. Отсюда и выбор термина, отражающего такую зависимость.
В настоящее время под регрессией понимается функциональная
зависимость между объясняющими переменными и условным мате-
матическим ожиданием (средним значением) зависимой переменной,
которая строится с целью предсказания (прогнозирования) этого
среднего значения при фиксированных значениях первых.
Для отражения того факта, что реальные значения зависимой пе-
ременной не всегда совпадают с ее условными математическими ожи-
даниями и могут быть различными при одном и том же значении объ-
ясняющей переменной (наборе объясняющих переменных), фактиче-
ская зависимость должна быть дополнена некоторым слагаемым ?, ко-
торое, по существу, является случайной величиной и указывает на
стохастическую суть зависимости. Из этого следует, что связи между
зависимой и объясняющей(ими) переменными выражаются соотно-
шениями
Y = M(Y?x) + ?, (4.3)
Y = М(Y?x1, x2, …, xm) + ?, (4.4)
называемыми регрессионными моделями (уравнениями).

94
Обсуждение регрессионных моделей в следующих главах помо-
жет углублению понимания данного понятия.
Возникает вопрос, в чем причина обязательного присутствия в
регрессионных моделях случайного фактора (отклонения). Этому мо-
жет быть достаточно много объяснений, среди которых выделим наи-
более существенные.
1. Невключение в модель всех объясняющих переменных. Любая
регрессионная (в частности, эконометрическая) модель является уп-
рощением реальной ситуации. Реальная ситуация всегда представляет
собой сложнейшее переплетение различных факторов, многие из ко-
торых в модели не учитываются, что порождает отклонение реальных
значений зависимой переменной от ее модельных значений. Напри-
мер, спрос (Q) на товар определяется его ценой (P), ценой (Ps) на това-
ры-заменители, ценой (Pc) на дополняющие товары, доходом (I) по-
требителей, их количеством (N), вкусами (T), ожиданиями (W) и т. д.
Безусловно, перечислить все объясняющие переменные здесь практи-
чески невозможно. Например, мы не учли такие факторы, как тради-
ции, национальные или религиозные особенности, географическое
положение региона, погода и многие другие, влияние которых приве-
дет к некоторым отклонениям реальных наблюдений от модельных,
которые выразим через случайный член ?: Q = f(P, Ps, Pc, I, N, T, W, ?).
Проблема здесь еще в том, что никогда заранее неизвестно, какие
факторы при создавшихся условиях действительно являются опреде-
ляющими, а какими можно пренебречь. Здесь уместно отметить, что в
ряде случаев учесть непосредственно какой-то фактор нельзя в силу
невозможности получения по нему статистических данных. Напри-
мер, величина сбережений домохозяйств может определяться не толь-
ко доходами его членов, но и, например, их здоровьем, информация о
котором в цивилизованных странах составляет врачебную тайну и не
раскрывается. Кроме того, ряд факторов носит принципиально слу-
чайный характер (например, погода), что добавляет неоднозначности
при рассмотрении некоторых моделей (например, модель, прогнози-
рующая объем урожая).
2. Неправильный выбор функциональной формы модели. Из-за
слабой изученности исследуемого процесса, либо из-за его перемен-
чивости может быть неверно подобрана функция, его моделирующая.
Это, безусловно, скажется на отклонении модели от реальности, что
отразится на величине случайного члена. Например, производствен-
ная функция (Y) одного фактора (X) может моделироваться функцией

95
Y = a + b?X, хотя скорее должна была использоваться другая модель
Y = a?Xb (0 < b < 1), учитывающая закон убывающей эффективности.
Кроме того, неверным может быть подбор объясняющих переменных.
3. Агрегирование переменных. Во многих моделях рассматрива-
ются зависимости между факторами, которые сами представляют
сложную комбинацию других, более простых переменных. Например,
при рассмотрении в качестве зависимой переменной совокупного
спроса проводится анализ зависимости, в которой объясняемая пере-

<< Предыдущая

стр. 16
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>