<< Предыдущая

стр. 18
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

данные наблюдений. Так как функция Q непрерывна, выпукла и огра-
ничена снизу (Q ? 0) , то она имеет минимум.
Необходимым условием существования минимума функции двух
n
переменных Q(b0, b1) = ? (y i ? b 0 ? b1x i ) 2 является равенство нулю ее
i =1

частных производных по неизвестным параметрам b0 и b1. В после-
n
дующих формулах для упрощения знаки сумм ? будем писать без
i =1
индексов ?, предполагая, что суммирование ведется от i = 1 до i = n.
? ?Q
? ?b = ?2? (y i ? b0 ? b1x i ) = 0;
?0
? (4.11)
?
? ?Q = ?2 (y ? b ? b x )x = 0.
? i 0 1i i
? ?b
?1

?nb0 + b1 ? x i = ? y i ;
?
(4.12)
?
?b0 ? x i + b1 ? x i2 = ? x i y i .
?
Разделив оба уравнения системы (4.12) на n, получим:
xy ? x ? y
?
b0 + b1x = y; b1 =
? ;
? ? 2 2
? x ?x (4.13)
? ?
?b0 x + b1x = xy.
2
? b = y ? b x.
?
?0 1
1 1 1 1
Здесь x = ? x i , x 2 = ? x i2 , y = ? yi , xy = ? x i yi .
n n n n
Таким образом, по МНК оценки параметров b0 и b1 определяют-
ся по формулам (4.13).
Нетрудно заметить, что b1 можно вычислить по формуле:
(x ? x)(y i ? y) Sxy
b1 = ? i = 2. (4.14)
? (x i ? x) 2
Sx
Тогда
S xy S xy S y Sy
b1 = 2 = ? = rxy ? , (4.15)
Sx Sx Sy Sx Sx

102
где rxy ? выборочный коэффициент корреляции; Sx, Sy ? стандартные
отклонения. Таким образом, коэффициент регрессии пропорционален
ковариации и коэффициенту корреляции, а коэффициенты пропор-
циональности служат для соизмерения перечисленных разномерных
величин.
Итак, если коэффициент корреляции rxy уже рассчитан, то легко
может быть найден коэффициент b1 парной регрессии по формуле
(4.15).
)
Если, кроме уравнения регрессии Y на X (Y = b 0 + b x X) , для тех
же эмпирических данных найдено уравнение регрессии X на Y
) 2
(X = c 0 + b y Y) , то произведение коэффициентов bx и by равно rxy :
Sy Sx 2
bx?by = rxy ? ? rxy ? = rxy . (4.16)
Sx Sy
Отметим, что коэффициенты c0 и by находятся по формулам,
аналогичным формулам (4.13):
xy ? x ? y
?
by = ;
? 2 2
y ?y (4.17)
?
?c = x ? b y.
?0 y

Проведенные рассуждения и формулы позволяют сделать ряд
выводов:
1. Оценки МНК являются функциями от выборки, что позволяет их
легко рассчитывать.
2. Оценки МНК являются точечными оценками теоретических коэф-
фициентов регрессии.
3. Согласно второй формуле соотношения (4.12) эмпирическая прямая
регрессии обязательно проходит через точку ( x, y ).
4. Эмпирическое уравнение регрессии построено таким образом, что
сумма отклонений ? ei , а также среднее значение отклонения
e равны нулю.
Действительно, из формулы ? 2? (yi ? b 0 ? b1x i ) = 0 в соотношении
1
(4.11) следует, что ?2 ? ei = 0. ? ? ei = 0. ? ? ei = 0. ? e = 0.
n
5. Случайные отклонения еi не коррелированны с наблюдаемыми
значениями yi зависимой переменной Y.
Для обоснования данного утверждения покажем, что ковариация
между Y и е равна нулю. Действительно,
103
1 1
? (yi ? y)(ei ? e) = ? (yi ? y)ei .
Sye =
n n
____
Покажем, что ?(yi ? y )ei = 0. Просуммировав по i (i = 1,n ) все соот-
ношения (4.9), получим:
?yi = nb0 + b1?xi + ?ei = nb0 + b1?xi (т. к. ?ei = 0).
Разделив последнее соотношение на n, имеем:
y = b0 + b1 x .
Вычитая из (4.9) полученное соотношение, приходим к следующей
формуле:
yi ? y = b1(xi ? x ) + ei. (4.18)
Тогда ?(yi ? y )ei = b1?(xi ? x )ei = b1?(xi ? x )((yi ? y ) ? b1(xi? x )) =
= b1?(xi ? x )(yi ? y ) ? b1 ?(xi ? x )2 =
2


= b1 ?(xi ? x )2 ? b1 ?(xi ? x )2 = 0.
2 2



Следовательно, Sye = 0.
6. Случайные отклонения еi не коррелированны с наблюдаемыми
значениями xi независимой переменной X.
Действительно, Sxe = 0 в силу второй формулы системы (4.11) (до-
казательство выносится для самостоятельной работы). Случайные
отклонения еi не коррелированны с наблюдаемыми значениями yi
зависимой переменной Y.
Для иллюстрации МНК рассмотрим следующий пример.
Пример 4.1. Для анализа зависимости объема потребления Y (у. е.) домохо-
зяйства в зависимости от располагаемого дохода X (у. е.) отобрана выборка объ-
ема n = 12 (помесячно в течение года), результаты которой приведены в табл. 4.1.
Необходимо определить вид зависимости; по методу наименьших квадратов оце-
нить параметры уравнения регрессии Y на X; оценить силу линейной зависимо-
сти между X и Y; спрогнозировать потребление при доходе X = 160.
Таблица 4.1
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

xi 107 109 110 113 120 122 123 128 136 140 145 150

yi 102 105 108 110 115 117 119 125 132 130 141 144

Для определения вида зависимости построим корреляционное поле:


104
Y

144
141


132 •
130

125 •

119 •
117 •
115 •

110 •
108 •
105 •
102 •


107 110 113 120 123 128 136 140 145 150 X
Рис. 4.4
По расположению точек на корреляционном поле полагаем, что зависимость
)
между X и Y ? линейная: Y = b 0 + b1 X .
Для наглядности вычислений по МНК построим следующую таблицу:
Таблица 4.2
)
2 2
2 yi
yi ei
i xi yi xiyi ei
xi
?1.63
1 107 102 11449 10914 10404 103.63 2.66
?0.49
2 109 105 11881 11445 11025 105.49 0.24
3 110 108 12100 11880 11664 106.43 1.57 2.46
4 113 110 12769 12430 12100 109.23 0.77 0.59
?0.77
5 120 115 14400 13800 13225 115.77 0.59
?0.63
6 122 117 14884 14274 13689 117.63 0.40
7 123 119 15129 14637 14161 118.57 0.43 0.18
8 128 125 16384 16000 15625 123.24 1.76 3.10
9 136 132 18496 17952 17424 130.71 1.29 1.66
?4.45
10 140 130 19600 18200 16900 134.45 19.8
11 145 141 21025 20445 19881 139.11 1.89 3.57
12 150 144 22500 21600 20736 143.78 0.22 0.05
**
?0
?
Сумма 1503 1448 190617 183577 176834 35.3
Среднее? 125.25 120.67 15884.75 15298.08 14736.17 – – –
?
значения округляются до сотых.
??
учитываются погрешности округлений.


105
По МНК имеем
xy ? x ? y 15298.08 ? 125.25 ? 120.67 184.1625
?
b1 = = = = 0.9339;
? 15884.75 ? (125.25) 2 197.1875
x ?x
2 2
?
?b = y ? bx = 120.67 ? 0.9339 ? 125.25 = 3.699.
?2
Таким образом, уравнение парной линейной регрессии имеет вид:
)
Y = 3.699 + 0.9339X . Построим данную прямую регрессии на корреляционное
поле.
)
)
По этому уравнению рассчитаем y i , а также e i = y i ? y i .
Для анализа силы линейной зависимости вычислим коэффициент корреляции:
xy ? x ? y 184.1625
rxy = = = 0.9914 .
14.04 ?13.23
x ?x ? y ?y
2 2 2 2



Данное значение коэффициента корреляции позволяет сделать вывод о
сильной (прямой) линейной зависимости между рассматриваемыми переменными
X и Y. Это также подтверждается расположением точек на корреляционном поле.
Прогнозируемое потребление при располагаемом доходе х = 160 по данной
)
модели составит y(160) ? 153.12.
Построенное уравнение регрессии в любом случае требует опре-
деленной интерпретации и анализа. Интерпретация требует словесно-
го описания полученных результатов с трактовкой найденных коэф-
фициентов, с тем чтобы построенная зависимость стала понятной че-
ловеку, не являющемуся специалистом в эконометрическом анализе.
В нашем примере коэффициент b1 может трактоваться как предельная
склонность к потреблению (MPC ? 0.9339). Фактически он показыва-
ет, на какую величину изменится объем потребления, если распола-
гаемый доход возрастает на одну единицу. На графике коэффициент
b1 определяет тангенс угла наклона прямой регрессии относительно
положительного направления оси абсцисс (объясняющей перемен-
ной). Поэтому часто он называется угловым коэффициентом.
Свободный член b0 уравнения регрессии определяет прогнози-
руемое значение Y при величине располагаемого дохода Х, равной
нулю (т. е. автономное потребление). Однако здесь необходима опре-
деленная осторожность. Очень важно, насколько далеко данные на-
блюдений за объясняющей переменной отстоят от оси ординат (зави-
симой переменной), так как даже при удачном подборе уравнения
регрессии для интервала наблюдений нет гарантии, что оно останется
таковым и вдали от выборки. В нашем случае значение b0 = 3.699 го-
ворит о том, что при нулевом располагаемом доходе расходы на по-
требление составят в среднем 3.699 у. е. Это можно объяснить в слу-
106

<< Предыдущая

стр. 18
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>