<< Предыдущая

стр. 19
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

чае рассмотрения отдельного домохозяйства (оно может тратить на-
копленные или одолженные средства), но для совокупности домохо-
зяйств это теряет смысл. В любом случае значение коэффициента b0
определяет точку пересечения прямой регрессии с осью ординат и ха-
рактеризует сдвиг линии регрессии вдоль оси Y.
Следует помнить, что эмпирические коэффициенты регрессии
b0 и b1 являются лишь оценками теоретических коэффициентов ?0 и
?1, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении
рассматриваемых переменных. Индивидуальные значения перемен-
ных в силу различных причин (см. п. 4.2) могут отклоняться от мо-
дельных значений. В нашем примере эти отклонения выражены через
значения ei. Эти отклонения являются оценками отклонений ?i для ге-
неральной совокупности.
Однако при определенных условиях уравнение регрессии служит
незаменимым и очень качественным инструментом анализа и прогно-
зирования. Обсуждение этих условий будет проведено в последую-
щих главах.
После интерпретации результатов закономерен вопрос о качест-
ве оценок и самого уравнения в целом. Это составит предмет обсуж-
дения следующей главы.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое функция регрессии?
2. Чем регрессионная модель отличается от функции регрессии?
3. Назовите основные причины наличия в регрессионной модели случайного от-
клонения.
4. Назовите основные этапы регрессионного анализа.
5. Что понимается под спецификацией модели, и как она осуществляется?
6. В чем состоит различие между теоретическим и эмпирическим уравнениями
регрессии?
7. Дайте определение теоретической линейной регрессионной модели.
8. В чем суть метода наименьших квадратов (МНК)?
9. Приведите формулы расчета коэффициентов эмпирического парного линейно-
го уравнения регрессии по МНК.
10. Как связаны эмпирические коэффициенты линейной регрессии с выборочным
коэффициентом корреляции между переменными уравнения регрессии?
11. Какие выводы можно сделать об оценках коэффициентов регрессии и случай-
ного отклонения, полученных по МНК?
12. Проинтерпретируйте коэффициенты эмпирического парного линейного урав-
нения регрессии.


107
13. Объясните, какое из следующих утверждений истинно, ложно, не определено
и почему?
а) Случайная погрешность ?i и отклонение еi совпадают.
б) В регрессионной модели объясняющая переменная является фактором из-
менения зависимой переменной.
в) Линейное уравнение регрессии является линейной функцией относительно
входящих в него переменных.
г) Коэффициенты теоретического и эмпирического уравнений регрессии яв-
ляются по сути случайными величинами.
д) Значения объясняющей переменной парного линейного уравнения регрес-
сии являются случайными величинами.
е) Коэффициент b1 эмпирического парного линейного уравнения регрессии
показывает процентное изменение зависимой переменной Y при однопро-
центном изменении Х.
ж) Коэффициент b1 регрессии Y на X имеет тот же знак, что и коэффициент
корреляции rxy.
з) МНК удобен тем, что нахождение оценок коэффициентов регрессии сво-
дится к решению системы линейных алгебраических уравнений.
и) Парная линейная регрессионная модель имеет слабую практическую зна-
чимость, т. к. любая экономическая переменная зависит не от одного, а от
большого числа факторов.
14. Можно ли ожидать, с вашей точки зрения, наличия зависимости между сле-
дующими показателями:
а) ВНП и объем чистого экспорта;
б) объем инвестиций и процентная ставка;
в) расходы на оборону и расходы на образование;
г) оценки в школе и оценки в университете;
д) объем импорта и доход на душу населения в некоторой стране;
е) цена на кофе и цена на чай.
В случае положительного ответа оцените направление зависимости (прямая
или обратная), а также решите, какая из переменных будет в этих случаях
объясняющей, а какая ? зависимой.
15. Как вы считаете, если по одной и той же выборке рассчитаны регрессии Y на
X и X на Y, то совпадут ли в этом случае линии регрессии?
16. Суть метода наименьших квадратов состоит в:
а) минимизации суммы квадратов коэффициентов регрессии;
б) минимизации суммы квадратов значений зависимой переменной;
в) минимизации суммы квадратов отклонений точек наблюдений от уравне-
ния регрессии;
г) минимизации суммы квадратов отклонений точек эмпирического уравне-
ния регрессии от точек теоретического уравнения регрессии.
Выберите правильные ответы.
17. Фактор Y практически линейно зависит от Х. Только в начальный момент
времени в силу некоторого нерегулярного внешнего воздействия значение Y


108
сильно отклонилось от общей траектории. По выборочным данным построены
две прямые регрессии L1 и L2 (рис. 4.5). Одна ? по методу наименьшей суммы
2
модулей отклонений ?| ei | , другая ? по методу наименьших квадратов ?ei .
Какая из линий, по вашему мнению, соответствует каждому из этих методов?
Ответ поясните.
Y
L1

••
L2
• •
• •

• •


• •
X
Рис. 4.5
18. Если переменная Х принимает среднее по выборке значение x , то:
а) наблюдаемая величина зависимой переменной Y равна среднему значе-
нию y ;
б) рассчитанное по уравнению регрессии Y = b0 + b1X значение переменной Y
в среднем равно y , но не обязательно равно ему в каждом конкретном случае;
в) рассчитанное по уравнению регрессии Y = b0 + b1X значение переменной Y
равно среднему значению y ;
г) отклонение еi значения y( x ) минимально среди всех других отклонений.
Какой из выводов вам представляется верным и почему?

Упражнения и задачи
В следующей выборке представлены данные по цене P некоторого блага и
1.
количеству данного блага, приобретаемому домохозяйством ежемесячно в
течение года.
месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P 10 20 15 25 30 35 40 35 25 40 45 40
Q 110 75 100 80 60 55 40 80 60 30 40 30

а) Постройте корреляционное поле и по его виду определите формулу зави-
симости между P и Q.
б) Оцените по методу наименьших квадратов параметры уравнения линей-
ной регрессии.
в) Оцените выборочный коэффициент корреляции rpq.
г) Проинтерпретируйте результаты.

109
Дана таблица недельного дохода (Х) и недельного потребления (Y) для 60
2.
домашних хозяйств.

X Y

100 60, 65, 75, 85, 90
120 70, 70, 80, 85, 90, 100
140 90, 95, 95, 100, 100,120
160 100, 110, 115, 120, 125, 125, 130
180 110, 120, 120, 130, 135, 140, 150, 150
200 120, 125, 130, 135, 140, 150, 160, 165
220 120, 140, 145, 145, 155, 165, 180
240 150, 160, 170, 190, 200
260 140, 160, 180, 210, 220
280 180, 210, 230

а) Для каждого уровня дохода рассчитайте среднее потребление, являющее-
ся оценкой условного математического ожидания М(Y?X = xi).
б) Постройте корреляционное поле для данной выборки.
в) Постройте эмпирическое линейное уравнение регрессии, используя все
данные.
г) Постройте эмпирическое линейное уравнение регрессии, используя толь-
ко средние значения потребления для каждого уровня дохода.
д) Сравните построенные уравнения. Какое из них, с вашей точки зрения,
ближе к теоретическому?
е) Рассчитайте выборочный коэффициент корреляции для в) и г). Будет ли
линейная связь между данными переменными существенной? Обоснуйте от-
вет.

По 10 парам наблюдений получены следующие результаты:
3.
2 2
? x i = 100 ; ? y i = 200 ; ? x i y i = 21000 ; ? x i = 12000 ; ? y i = 45000 .
По МНК оцените коэффициенты уравнений регрессии Y на X и X на Y.
Оцените коэффициент корреляции rxy.

Дана следующая эмпирическая регрессионная модель:
4.
yt = b0 + b1xt + et, t = 1, 2, …, T.
Докажите, что ? et = 0; ? etxt = 0.

По выборке объема n = 10 получены следующие данные:
5.
2
? x i = 993.4 ; ? y i = 531.3 ; ? x i y i = 53196.61 ; ? x i = 105004.5 ; rxy = 0.75.
Рассчитайте оценки коэффициентов регрессии Y на X и X на Y.

110
Даны две регрессии, рассчитанные по 25 годовым наблюдениям:
6.
а) yt = ? 30 + 0.18xt (yt ? расходы на оплату жилья, xt ? доход);
б) yt = 50 + 4.5t (yt ? расходы на оплату жилья, t ? время). Дайте экономиче-
скую интерпретацию построенных регрессий. Согласуются ли они друг с
другом?

Определите точечные оценки коэффициентов линейного уравнения регрес-
7.
сии методом максимального правдоподобия, методом моментов. Сравните
результаты с МНК.

Пусть при исследовании зависимости потребления (CONS) от дохода (INC) в
8.
качестве модели выбрана парная линейная регрессия:
CONS = ?0 + ?1INC + ?.
а) Как в этом случае интерпретируется коэффициент ?1?
б) Как в этом случае интерпретируется коэффициент ?0?
в) Пусть на основании наблюдений за 100 домохозяйствами построено сле-
дующее эмпирическое уравнение регрессии:
?
CONS = ?145.65 + 0.825 ? INC.
г) Соответствуют ли знаки и значения коэффициентов регрессии теоретиче-
ским представлениям?
д) Какова величина предполагаемого потребления домохозяйства с доходом
$20000?
е) Чему равна по данной модели предельная склонность к потреблению
(MPC)?
ж) Можно ли по имеющимся статистическим данным построить эмпириче-
ское уравнение регрессии, в котором зависимой переменной является сред-
няя склонность к потреблению (APC)?
з) Построить график приведенного эмпирического уравнения регрессии. Как
на его основании можно определить MPC и APC?




111
5. ПРОВЕРКА КАЧЕСТВА УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

5.1. Классическая линейная регрессионная модель.
Предпосылки метода наименьших квадратов
Регрессионный анализ позволяет определить оценки коэффици-
ентов регрессии. Но, являясь лишь оценками, они не позволяют сде-
лать вывод, насколько точно эмпирическое уравнение регрессии соот-
ветствует уравнению для всей генеральной совокупности, насколько
близки оценки b0 и b1 коэффициентов своим теоретическим прототи-
)
пам ?0 и ?1, как близко оцененное значение y i к условному матема-
тическому ожиданию M(Y?X = xi), насколько надежны найденные
оценки. Для ответа на эти вопросы необходимы определенные допол-
нительные исследования.
Как следует из соотношения (4.6), значения уi зависят от значе-
ний xi и случайных отклонений ?i. Следовательно, переменная Y явля-
ется случайной величиной, напрямую связанной с ?i. Это означает, что
до тех пор, пока не будет определенности в вероятностном поведении
?i, мы не сможем быть уверенными в качестве оценок. Действительно,
можно показать, что оценки коэффициентов регрессии ? случайные
величины, зависящие от случайного члена в уравнении регрессии.
Рассмотрим модель парной линейной регрессии
Y = ?0 + ?1Х + ?. (5.1)
Пусть на основе выборки из n наблюдений оценивается регрессия
)
Y = b0 + b1X. (5.2)
Как показано в формуле (4.14),
S xy
b1 = , (5.3)
S2
x
что означает, что коэффициент b1 также является случайным. В самом
деле, значение выборочной ковариации Sxy зависит от того, какие зна-
чения принимают X и Y. Если Х можно рассматривать как экзогенный
фактор, значения которого известны, то значения Y зависят от слу-
чайной составляющей ?i. Теоретически коэффициент b1 можно разло-
жить на неслучайную и случайную составляющие.
Sxy = COV(X, ?0 + ?1Х + ?) = COV(X, ?0) + COV(X, ?1Х) + COV(X, ?).
Sxy = ?1 S2 + COV( X, ?).
? (5.4)
x

112
Здесь использовались правила вычисления ковариации:
COV(X, ?0) = 0, т. к. ?0 = const, COV(X, ?1Х) = ?1COV( X, Х) = ?1 S2 .
x
Следовательно,

<< Предыдущая

стр. 19
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>