<< Предыдущая

стр. 22
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

n?2
2
n ? ? (x i ? x)
Следовательно, b0 ? N(?0, D(b0)), b1 ? N(?1, D(b1)).
Тогда, как отмечалось выше, статистики
b0 ? в 0 b ? в1
t b0 = t b1 = 1
, (5.18)
S(b 0 ) S(b1 )
имеют распределение Стьюдента с числом степеней свободы ? = n ? 2.
Далее для определения 100(1 ? ?)%-ного доверительного интервала
по таблицам критических точек распределения Стьюдента по довери-
тельной вероятности ? =1 ? ? и числу степеней свободы ? определяют
критическое значение t б , удовлетворяющее условию
,n ? 2
2
P( t < t б ) =1? б . (5.19)
,n ? 2
2
Подставив каждую из формул (5.18) в (5.19), получаем
b ? в0
P( ? t б <0 < tб ) =1? б ;
S(b 0 )
,n ? 2 ,n ? 2
2 2
(5.20)
b1 ? в 1
P( ? t б < < tб ) =1? б .
S(b1 )
,n ? 2 ,n ? 2
2 2
После преобразований выражений, стоящих в скобках, имеем:

124
P(b 0 ? t б S(b 0 ) < в 0 < b 0 + t б S(b 0 )) = 1 ? б , (5.21)
,n ? 2 ,n ? 2
2 2
P(b1 ? t б S(b1 ) < в 1 < b1 + t б S(b1 )) = 1 ? б . (5.22)
,n ? 2 ,n ? 2
2 2

C учетом (5.12), (5.13) получаем
S2 ? x i2 S2 ? x i2
P(b 0 ? t б < в 0 < b0 + t б ) = 1 ? б ; (5.23)
2 2
n ? (x i ? x) , n ? 2 n ? (x ? x)
,n ?2
i
2 2


S2 S2
P(b1 ? t б < в1 < b1 + t б ) =1? б . (5.24)
2 2
? (x i ? x) , n ? 2 ? (x ? x)
,n ?2
i
2 2

Соотношения (5.23), (5.24) определяют доверительные интервалы
? ?
?b 0 ? t б S(b 0 ); b 0 + t б S(b 0 )? , (5.25)
? ?
,n ? 2 ,n ? 2
? ?
2 2

? ?
?b1 ? t б S(b1 ); b1 + t б S(b1 )? , (5.26)
? ?
,n ? 2 ,n ? 2
? ?
2 2
которые с надежностью (1 ? ?) накрывают определяемые параметры
?0 и ?1.
Для примера 4.1 95%-ные доверительные интервалы для коэффициентов бу-
дут следующими:
(3.699 ? 2.228?6.044; 3.699 + 2.228?6.044) = (?9.767; 17.165);
(0.9339 ? 2.228?0.0485; 0.9339 + 2.228?0.0485) = (0.826; 1.042).
Фактически доверительный интервал определяет значения теоре-
тических коэффициентов регрессии ?0 и ?0, которые будут приемле-
мыми с надежностью (1 ? ?) при найденных оценках b0 и b1.

5.5. Доверительные интервалы для зависимой переменной
Одной из центральных задач эконометрического моделирования
является предсказание (прогнозирование) значений зависимой пере-
менной при определенных значениях объясняющих переменных.
Здесь возможен двоякий подход: либо предсказать условное матема-
тическое ожидание зависимой переменной при определенных значе-
ниях объясняющих переменных (предсказание среднего значения),
либо прогнозировать некоторое конкретное значение зависимой пере-
менной (предсказание конкретного значения).

125
Предсказание среднего значения. Пусть построено уравнение
)
парной регрессии y i = b 0 + b1x i , на основе которого необходимо пред-
сказать условное математическое ожидание M(Y?X = xp) переменной
)
Y при X = xp. В данном случае значение y p = b 0 + b1x p является оцен-
кой M(Y?X = xp). Тогда естественным является вопрос, как сильно
)
может уклониться модельное среднее значение y p , рассчитанное по
эмпирическому уравнению регрессии, от соответствующего условно-
го математического ожидания. Ответ на этот вопрос дается на основе
интервальных оценок, построенных с заданной надежностью (1 ? ?)
при любом конкретном значении xp объясняющей переменной.
)
Чтобы построить доверительный интервал, покажем, что СВ Yp
имеет нормальное распределение с конкретными параметрами. Ис-
пользуя формулы (5.7), (5.8), имеем:
)
Yp = b0 + b1xp = ? diyi + (? ciyi)xp = ?(di + cixp)yi.
)
Следовательно, Yp является линейной комбинацией нормальных
СВ и, значит, сама имеет нормальное распределение.
)
M( Yp ) = M(b0 + b1xp) = M(b0) + M(b1)xp = ?0 + ?1xp ,
(5.27)
)
D( Yp ) = D(b0 + b1xp) = D(b0) + D(b1) x 2 + 2cov(b0, b1) xp
p

(здесь используем формулы: D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2cov(X, Y);
D(cX) = c2D(X); cov(X, bY) = b?cov(X, Y)).
cov(b0, b1) = M[(b0 ? M(b0))(b1 ? M(b1))] = M[(b0 ? ?0)(b1 ? ?1)] =
= M[( y ? b1x ? ( y ? в 1x ))(b1 ? ?1)] = ? x M[(b1 ? ?1)(b1 ? ?1)] =
у2
= ? x D(b1) = ? x .?
2
? (x i ? x)
у 2 ? x i2 у2 у2
) 2
x p ?2 x
D( Yp ) = + xp =
2 2 2
n ? (x i ? x) ? (x i ? x) ? (x i ? x)
? (x ? x p ) 2 ?
у2 21
2
[ x ? 2xx p + x p ] = ? ? +
= . (5.28)
2?
2
? (x i ? x) ? n ? (x i ? x) ?
? ?
2
? ei
2 2
Подставив вместо ? ее несмещенную оценку S = , получим
n?2
)
выборочную исправленную дисперсию S2( Yp ) рассматриваемой СВ.

126
Тогда СВ
)
Yp ? (в 0 + в 1x p )
Т= (5.29)
)
S(Yp )
имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы ? = n ? 2.
Следовательно, по таблице критических точек распределения Стью-
дента по требуемому уровню значимости ? и числу степеней свободы
? = n ? 2 можно определить критическую точку t б , удовлетворяю-
,n ? 2
2
щую условию P( T < t б ) = 1 ? б . С учетом (5.29) имеем:
,n ? 2
2
)
?
? Yp ? (в 0 + в 1x p )
< t б ? = 1 ? ?.
P? (5.30)
)
? ,n ?2 ?
S(Yp )
? ?
2

После алгебраических преобразований получим:
) )
P(b0 +b1xp? t б S( Yp )<?0+?1xp<b0+b1xp+ t б S( Yp )) =1??. (5.31)
,n ? 2 ,n ? 2
2 2

Таким образом, доверительный интервал для M(Y?X = xp) = ?0 + ?1xp
имеет вид:
2 2
1 (x ? x p ) 1 (x ? x p )
+ +
b0 + b1xp ? t б ; b0 +b1xp+ t б
S? S? .
2
n ? (x i ? x) 2
n ? (x i ? x)
,n ? 2 ,n ? 2
2 2

(5.32)
Y

Доверительный интервал
для M(Y?X = xp) )
Y = b 0 + b1X

)
yp
y




xp X
x
Рис. 5.4
127
Для проверки гипотезы
Н0 : M(Y?X = xp) = yp;
Н1 : M(Y?X = xp) ? yp
используется следующая статистика:
M(Y X = x p ) ? y p
T= , (5.33)
2
1 (x ? x p )
S? +
n ? (x i ? x) 2
имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы ? =
=n?2. Поэтому Н0 отклоняется, если ?Тнабл.? ? t б ( ? ? требуемый
,n ? 2
2
уровень значимости).

Предсказание индивидуальных значений зависимой переменной.
На практике иногда более важно знать дисперсию Y, чем ее средние
значения или доверительные интервалы для условных математиче-
ских ожиданий. Это позволяет определить допустимые границы для
конкретного значения Y.
Пусть нас интересует некоторое возможное значение у0 перемен-
ной Y при определенном значении xp объясняющей переменной Х.
Предсказанное по уравнению регрессии значение Y при X = xp со-
ставляет yp. Если рассматривать значение у0 как СВ Y0, а yp ? как СВ
Yp, то можно отметить, что
? 1 (x ? x p ) 2 ?
Y0 ? N(?0 + ?1xp, ?2), а Yp ? N(b0 + b1xp, ?2 ? + ).
2?
? n ? (x i ? x) ?
? ?
СВ Y0 и Yp являются независимыми, а следовательно, СВ U = Y0 ? Yp
имеет нормальное распределение с
? 1 (x ? x p ) 2 ?
M(U) = 0 и D(U) = ?2 ?1 + + 2?
.
? n ? (x i ? x) ?
? ?
Y0 ? Yp
U
=
Но тогда можно показать, что СВ
Su 2
1 (x ? x p )
S? 1+ +
n ? (x i ? x) 2
имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы ? = n ? 2.
На основании этого можно сделать вывод, что

128
Y0 ? Yp
P ( ? tб < < tб ) = 1 ? ?. (5.34)

<< Предыдущая

стр. 22
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>