<< Предыдущая

стр. 3
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

прибыль может быть положительной либо равной нулю).
Вероятность события ? это количественная мера, которая вво-
дится для сравнения событий по степени возможности их появления.
Классическое определение вероятности. Вероятностью события
А называется отношение числа m элементарных событий (исходов),
благоприятствующих появлению события А, к числу n всех элемен-
тарных событий в условиях данного вероятностного эксперимента:
m
P(A) = . (1.1)
n
Из определения вытекают следующие свойства вероятности:
1. 0 ? P(A) ? 1;
2. вероятность достоверного события P(A) = 1;
3. вероятность невозможного события P(A) = 0;
4. если события А и В несовместимы, то P(A+B) = P(A) + P(B);
5. если А и A ? противоположные события, то P( A ) = 1 ? P(A).

15
В экономических исследованиях значения m и n в формуле (1.1)
могут трактоваться несколько иначе. При статистическом определе-
нии вероятности события А под n понимается количество наблюде-
ний результатов эксперимента, в которых событие А встретилось ров-
но m раз. В этом случае отношение m/n называется относительной
частотой события А.
При определении вероятности по методу экспертных оценок под
n понимается количество опрашиваемых экспертов (специалистов в
данной области) на предмет возможности осуществления события А.
При этом m из них утверждают, что произойдет событие А.
В некоторых случаях мы можем располагать историей тех или
иных действий (вероятностных экспериментов). Например, при за-
ключении сделки, определении курса акций и во многих других слу-
чаях вероятностные эксперименты осуществляются в изменяющихся
условиях. В этом случае говорят о субъективной (интуитивной) веро-
ятности, отражающей степень нашей информированности о причи-
нах, которые могут повлиять на исход рассматриваемого события. Эта
вероятность чем-то близка к классической вероятности, но с неравно-
возможными, не всегда элементарными и не однозначно связанными с
изучаемым исходом и его причинами (заменяющими классические
равновозможные элементарные события).
1.2. Случайная величина
Понятие случайного события недостаточно для описания резуль-
татов наблюдений (действий) некоторых величин, имеющих числовое
выражение. Например, при анализе прибыли предприятия в первую
очередь интересуются ее размерами. Поэтому понятие случайного со-
бытия дополняется понятием случайной величины.
Случайной величиной (СВ) называют величину, которая в резуль-
тате наблюдения принимает то или иное значение, заранее неизвест-
ное и зависящее от случайных обстоятельств.
Объем ВНП, количество реализованной продукции, прибыль
фирмы, размер чистого экспорта за год и т. д. являются случайными
величинами.
Различают дискретные и непрерывные СВ. Дискретной называют
такую СВ, которая принимает отдельные, изолированные значения с
определенными вероятностями (такая СВ имеет счетное количество
значений). Непрерывной называют такую СВ, которая может прини-
мать любое значение из некоторого конечного или бесконечного про-
16
межутка (т. е. число возможных значений непрерывной СВ бесконеч-
но). Например, можно считать, что число покупателей в магазине, по-
бывавших там в течение дня; число автомобилей, ремонтируемых
еженедельно в данной мастерской; число находящихся в аэропорту
самолетов являются дискретными СВ. Однако большинство СВ, рас-
сматриваемых в экономике, имеют настолько большое число возмож-
ных значений, что их удобнее представлять в виде непрерывных СВ.
Например, курсы валют, доход, объемы ВНП, ВВП и т. п. обычно рас-
сматриваются как непрерывные СВ.
Для описания дискретной СВ необходимо установить соответст-
вие между всеми возможными значениями СВ и их вероятностями.
Такое соответствие называется законом распределения дискретной
СВ. Его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) либо
графически.
При табличном задании закона распределения дискретной СВ Х
первая строка таблицы содержит ее возможные значения, а вторая ?
их вероятности:
X x1 x2 …… xk
pi p1 p2 …… pk
Обычно х1 < х2 < ...< xk. Обязательно p1 + p2 + … + pk = 1.

Пример 1.1. На станции технического обслуживания анализируются затра-
ты времени на ремонт автомобилей. На основании данных, полученных по 100
автомобилям, выяснилось, что для 25 из них требуется 1 ч для проведения профи-
лактических работ. Мелкий ремонт требуется для 40 автомобилей, что занимает
2 ч. Для 20 автомобилей требуется ремонт с заменой отдельных узлов, что зани-
мает в среднем 5 ч. 10 автомобилей могут быть отремонтированы за 10 ч. Для 5
автомобилей необходимое время ремонта составляет 20 ч. Построить закон рас-
пределения СВ Х ? времени обслуживания случайно выбранного автомобиля.

Х 1 2 5 10 20
pi 0.25 0.40 0.20 0.10 0.05

Аналитически СВ задается либо функцией распределения, либо
плотностью вероятностей.
Функцией распределения СВ Х называют функцию F(x), опреде-
ляющую вероятность того, что случайная величина Х принимает зна-
чение меньше, чем х, т. е.
F(x) = P( X < x ) . (1.2)

17
Иногда эту функцию называют функцией накопленной вероятно-
сти или кумулятивной функцией распределения, что отражает ее суть.
Из определения вытекают свойства функции распределения:
1. 0 ? F(x) ? 1;
2. F(x) ? неубывающая функция, т. е. (х1 < x2) ? F(x1) ? F(x2);
3. lim F(x) = 0 , lim F(x) = 1 ;
x > ?? x > +?

4. P(a ? X < b) = F(b) ? F(a);
5. P(X ? x) = 1 ? F(x);
6. Если возможные значения СВ Х принадлежат отрезку [a, b],
то
?0, если x ? a;
F(x) = ? ?
?1, если x > b.
?
График функции распределения дает наглядное представление о
вероятности изменения значений СВ.
Для примера 1.1 функция распределения F(x) и ее график имеют
вид:
F(x)

1
при x ? 1;
0,
0.95
при 1 < x ? 2;
0.25,
0.85
при 2 < x ? 5;
0.65,
F(x) =
при 5 < x ? 10;
0.85,
0.65
при 10 < x ? 20;
0.95,
при x > 20.
1,
0.25
0 1 2 5 10 20 x

Рис. 1.1

Для непрерывной СВ нельзя определить вероятность того, что
она примет некоторое конкретное значение (точечную вероятность).
Так как в любом интервале содержится бесконечное число значений,
то вероятность выпадения одного из них асимптотически равна нулю.
В результате непрерывную СВ нельзя задать таблично. Однако функ-
ция распределения может быть использована для описания непрерыв-
ной СВ. При этом она является непрерывной неубывающей функцией,
изменяющейся от 0 до 1 (рис. 1.2).
Плотностью вероятности (плотностью распределения вероят-
ностей) непрерывной СВ Х называют функцию
18
P( x ? X < x + ?x )
f(x) = lim . (1.3)
?x
?x > 0

Из свойства 4 функции распределения имеем
F( x + ?x) - F(x)
= F?(x) .
f(x) = lim (1.4)
?x
?x > 0

Итак, плотность вероятности равна производной от функции рас-
пределения (поэтому иногда ее называют дифференциальной функци-
ей распределения).
Свойства плотности вероятности
1. f(x) ? 0;
b
2. P(a ? X ? b) = ? f(x)dx ;
a

3. для непрерывной СВ справедливы равенства
P( a ? X ? b) = P( a < x < b) = P( a ?X < b) = P(a < X ? b);
4. если f(x) – плотность вероятности непрерывной СВ, то
x
функция распределения F(x) = ? f(t)dt ;
??
+?
5. ? f(x)dx = 1 (условие нормировки).
??

На рис. 1.2 и 1.3 изображены характерные графики функции рас-
пределения и плотности вероятности непрерывной СВ.
F(x) f(x)

P(a ? X ? b)
1
f(m)
F(b)


?

F(a)

0 a m b x 0 a m b x
Рис. 1.2 Рис. 1.3
Из свойств функции распределения и плотности вероятности не-
трудно заключить, что f(m) = tg? = F?(x)x=m (? ? угол наклона каса-
тельной к кривой F(x) в точке x = m). Площадь под графиком кривой

19
плотности вероятности f(x) равна единице. Площадь заштрихованной
b
фигуры S = ? f(x)dx = P(a ? X ? b) . Вероятность попадания в “хвосты”
a

распределения СВ равна 1 ? Р( a ? X ? b).
Таким образом, с помощью плотности вероятности f(x) непре-
рывной СВ Х можно определить вероятность ее попадания в заданный
интервал, т. е. P(a ? X ? b), что имеет большое прикладное значение.
1.3. Числовые характеристики случайных величин
Во многих практических случаях информация о СВ, которую да-
ет закон распределения, функция распределения или плотность веро-
ятностей, является избыточной. Иногда даже выгоднее пользоваться
числами, которые описывают СВ суммарно. Такие числа называют
числовыми характеристиками СВ. Условно их подразделяют на ха-
рактеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана,
начальные моменты различных порядков) и характеристики рассеива-
ния (дисперсия, среднее квадратическое отклонение, центральные
моменты различных порядков). Важнейшими из них являются мате-
матическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое
значение СВ, т. е. приближенно равно ее среднему значению. Для ре-
шения многих задач достаточно знать эту величину. Например, при
оценивании покупательной способности населения вполне может хва-
тить знания среднего дохода. При анализе выгодности двух видов
деятельности можно ограничиться сравнением их средних прибыль-
ностей. Знание того, что выпускники данного университета зарабаты-
вают в среднем больше выпускников другого университета, может
послужить основанием для принятия решения о поступлении в выс-
шее учебное заведение и т. д.
Математическое ожидание М(Х) определяется следующим обра-
зом.
Для дискретной СВ:
k
M(X) = ? x i ? p i , (1.5)
i =1
где k ? число всех возможных значений СВ X.

Для непрерывной СВ:
+?
M(X) = ? x ? f(x)dx. (1.6)
??


20
Для СВ из примера 1.1 имеем:
M(X) = 1?0.25 + 2?0.4 + 5?0.2 + 10?0.1 + 20?0.05 = 4.05.
Свойства математического ожидания
1. М(С) = С, где С = const;
2. M(C?X) = C?M(X);
3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y) ;
4. M(a?X + b) = a?M(X) + b;
5. Для независимых СВ M(X ? Y) = M(X) ? M(Y ) .
Таким образом, математическое ожидание рассчитывается в тех
случаях, когда желают определить возможное среднее значение ис-
следуемой величины. Однако для детального анализа поведения СВ
знание лишь среднего значения явно недостаточно. Существуют от-
личные друг от друга случайные величины, имеющие одинаковые ма-
тематические ожидания. Например, средний уровень жизни в Швеции
и США приблизительно одинаков, однако разброс в доходах в этих
странах существенно отличается. Акции двух компаний могут прино-
сить в среднем одинаковые дивиденды, однако вложение денег в одну
из них может быть гораздо более рискованной операцией, чем в дру-
гую. Следовательно, нужна числовая характеристика, которая будет
оценивать разброс возможных значений СВ относительно ее среднего

<< Предыдущая

стр. 3
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>