<< Предыдущая

стр. 30
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ределенную специфику в каждом конкретном случае. Однако базовы-
ми пунктами такого анализа, отраженными во всех эконометрических
пакетах, являются описанные в данной главе проверка статистической
значимости коэффициентов регрессии и коэффициента детерминации,
анализ статистики Дарбина–Уотсона.
Пример 6.1. Анализируется объем S сбережений некого домохозяйства за
10 лет. Предполагается, что его размер st в текущем году t зависит от величины
yt?1 располагаемого дохода Y в предыдущем году и от величины rt реальной про-
центной ставки R в рассматриваемом году. Статистические данные представлены
в табл. 6.1.
Таблица 6.1
Год 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
Y(тыс. у.е.) 100 110 140 150 160 160 180 200 230 250 260
Z( % ) 2 2 3 2 3 4 4 3 4 5 5
S(тыс. у.е.) 20 25 30 30 35 38 40 38 44 50 55



168
Необходимо:
а) по МНК оценить коэффициенты линейной регрессии S = ?0 + ?1Y + ?2Z;
б) оценить статистическую значимость найденных эмпирических коэффици-
ентов регрессии b0, b1, b2;
в) построить 95%-ные доверительные интервалы для найденных коэффици-
ентов;
2
г) вычислить коэффициент детерминации R и оценить его статистическую
значимость при ? = 0.05;
д) определить, какой процент разброса зависимой переменной объясняется
данной регрессией;
2
e) сравнить коэффициент детерминации R со скорректированным коэффи-
2
циентом детерминации R ;
ж) вычислить статистику DW Дарбина–Уотсона и оценить наличие авто-
корреляции;
з) сделать выводы по качеству построенной модели;
и) оценить предельную склонность MPS к сбережению, существенно ли она
отличается от 0.5;
к) увеличивается или уменьшается объем сбережений с ростом процентной
ставки; будет ли ответ статистически обоснованным;
л) спрогнозируйте средний объем сбережений в 1991 г., если предполагае-
мый доход составит 270 тыс. у. е., а процентная ставка будет равна 5.5.

а) Для наглядности изложения приведем таблицы промежуточных вычислений:
Y2 Z2
Год Y Z S Y?Z Y?S Z?S
80 100 2 20 10000 4 200 2000 40
81 110 2 25 12100 4 220 2750 50
82 140 3 30 19600 9 420 4200 90
83 150 2 30 22500 4 300 4500 60
84 160 3 35 25600 9 480 5600 105
85 160 4 38 25600 16 640 6080 152
86 180 4 40 32400 16 720 7200 160
87 200 3 38 40000 9 600 7600 114
88 230 4 44 52900 16 920 10120 176
89 250 5 50 62500 25 1250 12500 250
90 260 5 55 67600 25 1300 14300 275
Cумма 1940 37 405 370800 137 7050 76850 1472
Среднее 176.3636 3.3636 36.8182 33709.0909 12.4546 640.9091 6986.3636 133.8182



?(yi ? y) ? (z i ? z) ?(si ? s) ?(yi ? y)(zi ? z) ? (yi ? y)(si ? s) ? (z i ? z)(s i ? s )
2
2
2



28654.55 12.5455 1087.636 524.5451 5422.727 109.7272




169
Расчет коэффициентов проводится по формулам (6.20):
b0 = 2.9619423 b1 = 0.124189 b2 = 3.553841
Таким образом, эмпирическое уравнение регрессии имеет вид:
s t = 2.9619423 + 0.124189 ? y t + 3.553841 ? z t .
)
Найденное уравнение позволяет рассчитать модельные значения st зависимой
переменной S и вычислить отклонения ei реальных значений от модельных:
)
Год S 2
(ei ? ei?1)2
ei ? ei?1
S ei ei
? ?
80 20 22.48852 -2.48852 6.19273
81 25 23.73041 1.269594 1.61187 3.75811 14.12339
82 30 31.00991 -1.00991 1.01992 -2.27950 5.19612
83 30 28.69796 1.30204 1.69523 2.31194 5.34507
84 35 33.49369 1.50631 2.26896 0.20427 0.04173
85 38 37.04753 0.95247 0.90719 -0.55384 0.30674
86 40 39.53131 0.46869 0.21967 -0.48378 0.23404
87 38 38.46125 -0.46125 0.21275 -0.92994 0.86479
88 44 45.74076 -1.74076 3.03024 -1.27951 1.63714
89 50 51.77838 -1.77838 3.16263 -0.03762 0.00141
90 55 53.02027 1.97973 3.91933 3.75811 14.12332
?0 ?
Cумма 405 405 24.24058 41.87375
Среднее 36,81818 36.81818 – – – –

б) Проанализируем статистическую значимость коэффициентов регрессии,
предварительно рассчитав их стандартные ошибки по формулам (6.24). Попутно
заметим, что дисперсия регрессии вычисляется по формуле (6.22):
2
? ei 24.24058
2
= 3.03 .
S= =
n ? m ?1 8
Тогда стандартная ошибка регрессии S = 1.7407.
Следовательно, дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов равны:
? 1 31104.119 ? 12.54545 + 11.314 ? 28654.55 ? 2 ? 176.3636 ? 3.3636 ? 524.5451 ?
2
? ?3.03= 3.5832;
Sb 0 = ? +
? 11 ?
28654.55 ? 12.54545 ? 275147.56
12.54545
2
S b1 = = 0.00045;
? 3.03
28654.55 ? 12.54545 ? 275147.56
28654.55
2
Sb 2 = = 1.0294.
? 3.03
28654.55 ? 12.54545 ? 275147.56

S b 0 = 1.8929; S b1 = 0.0212; S b 2 = 1.0146.

Рассчитаем по формуле (6.33) соответствующие t-статистики:
t b 0 = 1.565; t b1 = 5.858; t b 2 = 3.503.
На первый взгляд (используя “грубое” правило) только статистическая значи-
мость свободного члена вызывает сомнения. Два других коэффициента имеют t-
статистики, превышающие тройку, что является признаком их высокой статисти-
ческой значимости. Однако убедимся в таком выводе на основе более детального


170
анализа. Для использования таблиц критических точек необходимо выбрать тре-
буемый уровень значимости. Обычно это прерогатива исследователя. Часто тре-
буемая точность анализа определяется субъектами, для которых этот анализ осу-
ществляется. В нашем примере мы возьмем в качестве уровней значимости самые
популярные в экономическом анализе значения: ? = 0.05; ? = 0.01. Тогда для оп-
ределения статистической значимости коэффициентов по таблице критических
точек распределения Стьюдента (приложение 2) определяются соответствующие
критические точки tкр. = t б : t0.025; 8 = 2.306, t0.005; 8 = 3.355.
, n ? m ?1
2
Таким образом,? t b1 ?> tкр., ? t b 2 ?> tкр. при обоих уровнях значимости. Следова-
тельно, оба этих коэффициента статистически значимы, а значит, переменные Y и
R имеют существенное линейное влияние на S. Так как t b0 < tкр., то b0 статисти-
чески незначим (значимость свободного члена невысока), и он на данном этапе
может не использоваться в модели. Однако наличие свободного члена в линейном
уравнении может лишь уточнить вид зависимости. В экономическом смысле сво-
бодный член отражает экзогенную среду. Поэтому, если нет серьезных причин
для удаления свободного члена из уравнения регрессии, то лучше его использо-
вать в модели.
в) 95 %-ные доверительные интервалы для коэффициентов определяем по
формуле (6.30):
2.9619423 ? 2.306?1.8929 < ?0 < 2.9619423 + 2.306?1.8929;
0.124189 ? 2.306?0.0212 < ?1 < 0.124189 + 2.306?0.0212;
3.553841 ? 2.306?1.0146 < ?2 < 3.553841 + 2.306?1.0146.
-1.4031 < ?0 < 7.3270; 0.0753 < ?1 < 0.1731; 1.2142 < ?2 < 5.8935.
г) Коэффициент детерминации R2 рассчитывается по формуле (6.34):
24.2408
2
R =1? = 0.9777.
1087.636
2
Анализ статистической значимости коэффициента детерминации R осуществ-
ляется на основе F-статистики (6.38):
0.9777 8
? = 175.3732.
F=
1 ? 0.9777 2
Для определения статистической значимости F-статистики сравним ее с соот-
ветствующей критической точкой распределения Фишера (приложение 4):
Fкр. = F?; m; n?m?1 = F0.05;2;8 = 4.46.
Так как Fнабл. = 175.3732 > Fкр. = 4.46, то статистика F, а следовательно, и ко-
2
эффициент детерминации R статистически значимы. Это означает, что совокуп-
ное влияние переменных Y и SR на переменную S существенно. Этот же вывод
можно было бы сделать без особых проверок только по уровню коэффициента
детерминации. Он весьма близок к единице.
д) На основе проведенных рассуждений и вычислений можно сделать вывод,
что построенное уравнение регрессии объясняет 97.77 % разброса зависимой пе-
ременной S. Однако напомним, что коэффициент детерминации может быть дос-

171
таточно высоким и при наличии совпадающих трендов у рассматриваемых пере-
менных. Поэтому для уверенности в его обоснованности необходимы дополни-
тельные исследования, например, по величине статистики Дарбина–Уотсона.
е) Скорректированный коэффициент детерминации R 2 рассчитывается по
формуле (6.36):
11 ? 1
2
R = 1 ? (1 ?0.9777)? = 0.9721.
8
Как и следовало ожидать, он меньше обычного коэффициента детерминации.
ж) Статистику DW Дарбина–Уотсона вычислим по формуле (6.47):
41.87375
DW = = 1.72742.
24.24058
Для проверки статистической значимости DW воспользуемся таблицей крити-
ческих точек Дарбина–Уотсона (приложение 5). При уровне значимости ? = 0.05
и числе наблюдений n = 11 имеем:
dl = 0.658; du = 1.604.
Так как 1.604 < DW < 2.396 (du < DW < 4 ? du), то гипотеза об отсутствии авто-
корреляции не отклоняется, т. е. имеются основания считать, что автокорреляция
остатков отсутствует. Это является одним из подтверждений высокого качества
модели. Здесь, правда, необходимо отметить, что для обоснованного вывода о на-
личии автокорреляции число наблюдений должно быть достаточно велико. В ре-
альности обычно число наблюдений n существенно превышает число наблюдений
для нашего примера, и предложенная схема анализа весьма эффективна.
з) По всем статистическим показателям модель может быть признана удовле-
творительной. У нее высокие t-статистики. Очень хороший коэффициент детер-
2
минации R . В модели отсутствует автокорреляция остатков. Все это дает основа-
ние считать построенную модель весьма удачной. Она может быть использована
для целей анализа и прогнозирования.
и) Склонность к сбережению MPS в данной модели отражается через коэффи-
циент b1, определяющий, на какую величину вырастет объем сбережений при
росте располагаемого дохода на одну единицу. Таким образом, MPS = 0.124189.
Для анализа, существенно или нет MPS отличается от 0.5, используем схему
проверки следующей гипотезы:
H0: M(?1) = 0.5,
H1: M(?1) < 0.5.
Для проверки данной гипотезы воспользуемся статистикой (6.26), которая при
справедливости Н0 имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы
? = 11?2?1 = 8.
0.124189 ? 0.5
= ?17.7269.
T=
0.0212
Критическая точка tкр. = t?; n?m?1 для проверки гипотезы отыскивается по таб-
лице критических точек распределения Стьюдента (приложение 2): t0.05; 8 = 1.860.



172
Так как ?Тнабл.? = 17.7269 > 1.860 = tкр., то Н0 должна быть отклонена в пользу
Н1. Действительно гипотетическая склонность к сбережению в 50 % явно завы-
шена по сравнению с модельными (полученными по реальным данным) в 12.4 %.
к) В силу того, что коэффициент b2 является статистически значимым, то
можно утверждать, что с ростом процентной ставки увеличивается объем сбере-
жений (коэффициент b2 имеет положительный знак). Ответ будет статистически
обоснованным.
л) Средний объем сбережений в 1991 г., если предполагаемый доход составит
270 тыс. у. е., а процентная ставка будет равна 5.5,
)
M(S Y = 270, RS = 5.5) = 2.9619423 + 0.124189?270 + 3.553841?5.5 = 56.039.
Полученная точечная оценка условного математического ожидания может
быть дополнена интервальной оценкой, получаемой по формуле (6.32). Для на-
глядности приведем ряд промежуточных результатов:
?1.182602134 - 0.005314218 - 0.04592? ?1?
(Х Х) = ?- 0.00531422 0.000148755 - 0.00622? ; Х1991 = ? 270? ;
Т ?1
? ? ??
- 0.04592002 - 0.006219683 0.339765 ? ? 5 .5 ?
?
X1991 = [1 270 5.5] ;
?1
T T T
X1991 ( X X ) X1991 = 0.457475.
Тогда при уровне значимости ? = 0.05 по формуле (6.32) имеем:

<< Предыдущая

стр. 30
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>