<< Предыдущая

стр. 31
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

56.039 ? 2.306?1.7407 0.457475 < M(S ?X1991) < 56.039 + 2.306?1.7407 0.457475 ;
53.324 < M(S ?X1991) < 58.754.
Таким образом, среднее значение потребления S в 1991 г. при планируемых
уровне дохода Y = 270 и процентной ставке SR = 5.5 с вероятностью 95 % будет
находиться в интервале (53.324; 58.754).

Вопросы для самопроверки
1. Как определяется модель множественной линейной регрессии?
2. Перечислите предпосылки МНК. Каковы последствия их невыполнимости?
3. Что характеризуют коэффициенты регрессии?
4. В чем суть МНК для построения множественного линейного уравнения ре-
грессии?
5. Опишите алгоритм определения коэффициентов множественной линейной
регрессии по МНК в матричной форме.
6. Приведите формулы расчета дисперсий и стандартных ошибок коэффициен-
тов регрессии.
7. Как определяется статистическая значимость коэффициентов регрессии?
8. Как строятся интервальные оценки коэффициентов регрессии и в чем их суть?
2
9. В чем суть коэффициента детерминации R ?
10. Чем скорректированный коэффициент детерминации отличается от обычного?



173
11. Какие значения могут принимать обычный и скорректированный коэффици-
ент детерминации при наличии свободного члена в уравнении регрессии?
12. Как осуществляется анализ статистической значимости коэффициента детер-
минации?
13. Как используется F-статистика в регрессионном анализе?
14. Что такое автокорреляция остатков и каковы ее виды?
15. В чем суть статистики Дарбина–Уотсона и как она связана с коэффициентом
корреляции между соседними отклонениями?
16. Как анализируется статистическая значимость статистики Дарбина–Уотсона?
17. Определите с приведением соответствующих аргументов истинны, ложны
или являются неопределенными следующие утверждения:
а) МНК является наилучшим методом определения коэффициентов множест-
венной линейной регрессии;
б) выполнение соответствующих предпосылок является обязательным усло-
вием применения МНК;
в) близость к нулю коэффициента детерминации означает его статистическую
незначимость;
г) стандартные ошибки коэффициентов регрессии определяются значениями
всех коэффициентов регрессии;
д) скорректированный и обычный коэффициенты детерминации совпадают
2 2
только в случаях, когда R = 1 или R = 0;
е) значения t-статистик для коэффициентов регрессии во многом определяют-
ся числом степеней свободы;
ж) чем больше число степеней свободы, тем точнее оценки коэффициентов
регрессии;
2
з) если коэффициент детерминации R статистически значим, то статистиче-
ски значимы и все коэффициенты регрессии и наоборот;
2 2
и) если R = 1, то F = 1; если R = 0, то F = 0;
к) если для уравнения регрессии все t-статистики, статистики F и DW являют-
ся высокими, то уравнение регрессии является качественным;
л) для статистики Дарбина–Уотсона всегда выполняется соотношение
0 ? DW ? 4;
м) число степеней свободы для общей суммы квадратов отклонений при лю-
бом числе объясняющих переменных равно (n ?1) при объеме выборки n;
2
н) в качественном уравнении регрессии коэффициент детерминации R всегда
больше, чем 0.9;
о) увеличение количества объясняющих переменных всегда увеличивает
скорректированный коэффициент детерминации;
п) коэффициент детерминации является мерой сравнения качества любых
регрессионных моделей.
18. Дано уравнение множественной регрессии Y = ?0 + ?1X1 + ?2X2 + ?3X3 + ?.
Как проверить гипотезы Н0: ?1 = ?2; Н0: ?3 = 2?



174
Упражнения и задачи
1. Вычислите величину стандартной ошибки регрессии, если
2
а) ? e i = 750; n = 50; m = 3;
2
б) ? e i = 600; n = 25; m = 3; модель не содержит свободного члена.

2. По следующим статистическим данным постройте три регрессионные модели
Y X1 X2
а) Y = ?0 + ?1X1+ ?,
1 0 3
б) Y = ?0 + ?2X2 + ?,
3 1 1
в) Y = ?0 + ?1X1 + ?2X2 + ?.
5 3 0
?2
11 4

а) Будут ли справедливы гипотезы Н0: ?1 = ?1; Н0: ?2 = ?2?
б) Каковы выводы из построенных моделей?

3. Проверяются две регрессии для описания поведения зависимой переменной
Y:
Y = ?0 + ?1X1+ ?,
Y = ?0 + ?1X1 + ?2X2 + ?.
При каких условиях будут справедливы следующие утверждения для оценок
данных регрессий:
а) a1 = b1;
б) ? e i2 ? ? v i2 ;
в) коэффициент a1 статистически значим при 5 %-ном уровне значимости, а
коэффициент b1 ? нет;
г) коэффициент b1 статистически значим при 5 %-ном уровне значимости, а
коэффициент a1 ? нет.

4. Предполагается, что объем Q предложения некоторого блага для функцио-
нирующей в условиях конкуренции фирмы зависит линейно от цены P дан-
ного блага и заработной платы W сотрудников фирмы, производящих дан-
ное благо:
Q = ?0 + ?1P + ?2W2 + ?.
Статистические данные, собранные за 16 месяцев, занесены в следующую
таблицу:
Q 20 35 30 45 60 69 75 90 105 110 120 130 130 130 135 140
P 10 15 20 25 40 37 43 35 38 55 50 35 40 55 45 65
W 12 10 9 9 8 8 6 4 4 5 3 1 2 3 12

а) Оцените по МНК коэффициенты уравнения регрессии.




175
б) Проверьте гипотезы о том, что при прочих равных условиях рост цены
товара увеличивает предложение; рост заработной платы снижает предло-
жение.
в) Определите интервальные оценки коэффициентов при уровне значимости
? = 0.1. Как с их помощью проверить гипотезу о статистической значимости
коэффициентов регрессии.
г) Оцените общее качество уравнения регрессии.
2
д) Является ли статистически значимым коэффициент детерминации R ?
е) Проверьте гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.
ж) Сделайте выводы по построенной модели.

5. Для объяснения изменения ВНП за 10 лет строится регрессионная модель с
объясняющими переменными ? потреблением (С) и инвестициями (I). Полу-
чены следующие статистические данные:
C( $млрд) 8 9.5 11 12 13 14 15 16.5 17 18
I ($млрд) 1.65 1.8 2.0 2.1 2.2 2.4 2.65 2.85 3.2 3.55
ВНП($млрд) 14 16 18 20 23 23.5 25 26.5 28.5 30.5

а) Оцените, используя матричную алгебру, коэффициенты линейной регрес-
сионной модели
ВНП = ?0 + ?1I + ?2C + ?.
б) Оцените стандартную ошибку регрессии и стандартные ошибки коэффи-
циентов.
2
в) Вычислите коэффициент детерминации R и скорректированный коэффи-
циент детерминации R 2 ; сравните их значения. Оцените статистическую
2
значимость R при уровне значимости 0.01.
г) Определите значение статистики DW Дарбина–Уотсона. Имеет ли место
автокорреляция остатков?
д) Сделайте вывод по качеству модели.
е) Через три года предполагаются следующие уровни потребления и инве-
стиций: С = 22, I = 3.8. Какой уровень ВНП ожидается при этом?

6. По 20 наблюдениям получены следующие результаты:
2 2
? xi1 = 4.88; ? x i1 = 2.518; ? xi2 = 26.7; ?yi = 44.7;
? x i2 = 75.15;
2 2
? xi1xi2 = 13.75; ? xi1yi = 22.1; ? xi2yi = 125.75; ? y i = 210.4; ? e i = 0.015.
а) Оцените коэффициенты линейной регрессии Y = ?0 + ?1X1 + ?2X2 + ?.
б) Определите стандартные ошибки коэффициентов.
2
в) Вычислите R и R 2 .
г) Оцените 95 %-ные доверительные интервалы для коэффициентов ?1 и ?2 .
д) Оцените статистическую значимость коэффициентов регрессии и детер-
минации при уровне значимости ? = 0.05.
е) Сделайте выводы по модели.

176
По результатам одинакового количества наблюдений построены два уравне-
7.
ния регрессии:
2
Y = 1 + 2X1 + e, R 1 = 0.2;
(t) = (2) (4)
R 2 = 0.6;
Y = 1.5 + 3X1 + 4X2 + e, 2
(t) = (1.8) (2) (3)
Определите размер выборки. Произошло ли существенное улучшение каче-
ства модели?

По 25 наблюдениям оценена парная линейная регрессия со свободным чле-
8.
2
ном. При этом R = 0.8. В уравнение добавили еще одну объясняющую пе-
ременную и оценили по тем же 25 наблюдениям новое уравнение. Коэффи-
циент детерминации для новой модели составил 0.9, а оцененный коэффи-
циент регрессии при добавленной переменной оказался равным ?2.0. Какова
дисперсия оценки?

По 20 наблюдениям получены следующие результаты:
9.
x1 = 7.3; x 2 = 420.7; y = 350.3; ? (y i ? y) 2 = 62050.35; ? (x i1 ? x1 ) 2 = 265.52;
2
? (x i2 ? x 2 ) = 92845.072; ? (x i1 ? x1 )(x i2 ? x 2 ) = 4803.5;
? (x i1 ? x1 )(y i ? y) = 3950.9; ? (x i2 ? x 2 )(y i ? y) = 75380.645.
Необходимо:
а) оценить коэффициенты линейной регрессии Y = ?0 + ?1X1 + ?2X2 + ?;
б) оценить статистическую значимость коэффициентов;
2
в) определить коэффициент детерминации R и скорректированный коэф-
фициент детерминации R 2 ;
г) оценить общее качество модели.

10. Докажите, что формула (6.18) расчета коэффициента b1 идентична следую-
щей формуле:
? (y i ? y)[(x i1 ? x1 ) ? b12 (x i2 ? x 2 )]
b1 = =
? [(x i1 ? x1 ) ? b12 (x i2 ? x 2 )]
2

ковариация между Х1 и Y, очищенная от влияния Х 2
= ,
разброс Х1 , очищенный от влияния Х 2
где b12 ? коэффициент регрессии Х1 на Х2: Х1 = а + b12Х2.

11. Рассматриваются две модели:
А: Y = ?0 + ?1X1 + ?2X2 + ?.
Б: (Y ? X2) = ?0 + ?1X1 + ?2X2 + ?.
а) Совпадут ли оценки МНК для свободных членов ?0 и ?0?
б) Совпадут ли оценки МНК для ?1 и ?1?

177
в) Как будут связаны коэффициенты ?2 и ?2?
г) Можем ли мы сравнивать качество построенных моделей, опираясь на ко-
эффициенты детерминации?

12. Оценивается по МНК регрессионная модель Y = ?0 + ?1X1 + ?2X2 + ?3X3 + ?.
По 25 наблюдениям получена следующая регрессия:
)
R 2 = 0.978.
y t = 4 + 7x t1 + 1.4x t2 + 4.2x t3 ,
(t) = (1.9) (2.3) (3)
По тем же данным построена модель с ограничением ?1 = ?2:
)
R 2 = 0.864.
y t = 3 + 5.8(x t1 + x t2 ) ? 1.3x t3 ,
(t) = (2.7) (2.5)
а) Проверьте гипотезу Н0: ?1 = ?2. Какую статистику вы использовали и при
каких условиях данная проверка обоснована?
б) При отбрасывании из модели X2 произойдет ли уменьшение скорректиро-
ванного коэффициента детерминации R 2 ?
2
в) Уменьшится или увеличится при этом коэффициент детерминации R ?
г) Какую бы из моделей вы отобрали для объяснения поведения зависимой
переменной Y?

13. Рассматривается модель линейной регрессии без свободного члена:
Y = ?1X1 + ?2X2 + ?.
а) В каких случаях она используется?
б) Как в этом случае оцениваются коэффициенты регрессии?
в) Будут ли справедливы для этой модели следующие равенства:
? e i = 0; ? e i x i1 = 0; ? e i x i2 = 0 ?

S21 = 2.15; S2 2 = 0.056;
14. Оценена регрессия Y = 10 + 5X1 + 0.16X2 + ?. b b
Cov(b1, b2) = 0.05.
Необходимо проверить гипотезу о том, что коэффициенты b1 и b2 являются
обратными числами.

Для оценки коэффициентов уравнения регрессии Y = ?0 + ?1X1 + ?2X2 + ?
15.

<< Предыдущая

стр. 31
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>