<< Предыдущая

стр. 32
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

вычисления проведены в матричной форме при n =15:
? 20 140 ? ? 31240 ?
32800
Х Х = ?32800 72560 290540? ; X Y = ?66300920? ;
Т T
? ? ? ?
? 140 290540 1280 ? ? 255430 ?
? ? ? ?
y = 2010; x1 = 2200; x 2 = 10.
а) Определите эмпирические коэффициенты регрессии.
б) Оцените их дисперсию и ковариацию Cov(b1, b2).
в) Проверьте гипотезу Н0: ?1 = ?2 = 0.


178
По 30 наблюдениям оценивается уравнение регрессии Y = ?0 + ?1X1+ ?2X2 + ?.
16.
Есть основания считать, что модель будет более реалистичной, если весь ин-
тервал наблюдений разбить на два подынтервала и оценивать свою ре-
грессию для каждого из них отдельно. Это связано с изменением институ-
циональных условий между 20 и 21 наблюдениями. Рассчитаны суммы
квадратов отклонений S0, S1, S2 для общей выборки, для первого и второго
подынтервалов соответственно.
S0 = 150, S1 = 90, S2 = 40.
Есть ли основания считать, что проведенное разбиение целесообразно для
повышения качества модели?

17. Для регрессионной модели с тремя объясняющими переменными имеется
следующая информация:
Сумма квадратов Значение Степень свободы Дисперсия
отклонений
… …
84320
Объясненная ( ? k i )
2
… …

Необъясненная ( ? e i )
2

Общая …
87540 19

а) Проставьте в таблице отсутствующие данные.
2
б) Определите коэффициент детерминации R и скорректированный коэф-
фициент детерминации R 2 .
в) Проверьте гипотезу Н0: ?1 = ?2 = ?3 = 0.
г) Что можно сказать об индивидуальном влиянии каждой из объясняющих
переменных на зависимую переменную Y?

18. По месячным данным за 6 лет была построена следующая регрессия:
)
R 2 = 0.976,
Y = ? 12.23 + 0.91 ? DINC ? 2.1 ? SR,
t = ( ?3.38) (123.7) ( ?3.2) DW = 1.79.
Здесь Y ? потребление; DINC ? располагаемый доход; SR ? процентная бан-
ковская ставка по вкладам.
а) Оцените, не прибегая к таблицам, качество построенной модели.
б) Совпадает ли направление влияния объясняющих переменных с теорети-
ческим?
в) Можно ли по модели оценить предельную склонность к потреблению?
г) Есть ли основания считать, что практически весь доход уходит на
потребление?
д) Рассчитайте стандартные ошибки коэффициентов.
е) Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его
статистическую значимость.
ж) Определите, имеет ли место автокорреляция остатков первого порядка. з)
Имеет ли смысл добавить в уравнение регрессии еще какую-либо объяс-
няющую переменную?


179
7. НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Во многих практических случаях моделирование экономических
зависимостей линейными уравнениями дает вполне удовлетворитель-
ный результат и может использоваться для целей анализа и прогнози-
рования. Однако в силу многообразия и сложности экономических
процессов ограничиваться лишь рассмотрением линейных регресси-
онных моделей невозможно. Многие экономические зависимости не
являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование ли-
нейными уравнениями регрессии, безусловно, не даст положительного
результата. Например, при рассмотрении спроса Y на некоторый то-
вар от цены Х данного товара в ряде случаев можно ограничиться ли-
нейным уравнением регрессии: Y = в 0 + в 1X . Здесь ?1 характеризует
абсолютное изменение Y (в среднем) при единичном изменении Х.
Если же мы хотим проанализировать эластичность спроса по цене, то
приведенное уравнение не позволит это осуществить. В этом случае
целесообразно рассмотреть так называемую логарифмическую модель
(см. параграф 7.1). При анализе издержек Y от объема выпуска Х наи-
более обоснованной является полиномиальная (точнее, кубическая)
модель (см. параграф 7.4). При рассмотрении производственных
функций линейная модель является нереалистичной. В этом случае
обычно используются степенные модели. Например, широкую извест-
ность имеет производственная функция Кобба?Дугласа Y = A ? K б ? Lв
(здесь Y – объем выпуска; K и L – затраты капитала и труда соответ-
ственно; A, ? и ? – параметры модели). Достаточно широко применя-
ются в современном эконометрическом анализе и многие другие мо-
дели, в частности обратная и экспоненциальная модели. Построение и
анализ нелинейных моделей имеют свою специфику и отличие.
Приведенные выше рассуждения и примеры дают основания бо-
лее детально рассмотреть возможные нелинейные модели. В рамках
вводного курса мы ограничимся рассмотрением нелинейных моделей,
допускающих их сведение к линейным. Обычно это так называемые
линейные относительно параметров модели. Для простоты изложе-
ния и графической иллюстрации будем рассматривать модели парной
регрессии с последующим естественным переходом к моделям мно-
жественной регрессии.

7.1. Логарифмические (лог-линейные) модели
180
Пусть некоторая экономическая зависимость моделируется фор-
мулой
Y = A ? Xв , (7.1)
где А и ? – параметры модели (т. е. константы, подлежащие определе-
нию).
Эта функция может отражать зависимость спроса Y на благо от
его цены X (в данном случае ? < 0) или от дохода Х (в данном случае
? > 0; при такой интерпретации переменных Х и Y функция (7.1) на-
зывается функцией Энгеля). Функция (7.1) может отражать также за-
висимость объема выпуска Y от использования ресурса Х (производ-
ственная функция), в которой 0 < ? < 1, а также ряд других зависимо-
стей. Для упрощения выкладок случайное отклонение ? введем в со-
отношение позднее. Модель (7.1) не является линейной функцией от-
носительно Х (производная зависимой переменной Y по Х, указы-
вающая на изменение Y по отношению к изменению Х будет зависеть
dY
= A ? в ? X в ?1 , т. е. не будет константой, что присуще только
от Х:
dX
нелинейным моделям). Стандартным и широко используемым подхо-
дом к анализу функций данного рода в эконометрике является лога-
рифмирование по экспоненте (по основанию e = 2.71828…). Такие ло-
гарифмы называются натуральными логарифмами и обозначаются
lnY, lnX.
Прологарифмировав обе части (7.1), имеем:
lnY = lnA + вlnX . (7.2)
После замены lnA = ?0, (7.2) примет вид:
lnY = в 0 + вlnX . (7.3)
С целью статистической оценки коэффициентов добавим в мо-
дель случайную погрешность ? и получим так называемую двойную
логарифмическую модель (и зависимая переменная и объясняющая
переменная заданы в логарифмическом виде):
lnY = в 0 + вlnX + е . (7.4)
Не являясь линейным относительно X и Y, данное уравнение яв-
ляется линейным относительно lnX и lnY, а также относительно пара-
метров ?0 и ?1. Вводя замены Y * = lnY и X * = lnX , (7.4) можно пере-
писать в виде:
181
Y * = в 0 + вX * + е . (7.5)
Модель (7.5) является линейной моделью, подробно рассмотрен-
ной в гл. 4, 5. Если все необходимые предпосылки классической ли-
нейной регрессионной модели для (7.5) выполнены, то по МНК можно
определить наилучшие линейные несмещенные оценки коэффициен-
тов ?0 и ?.
Отметим, что коэффициент ? определяет эластичность перемен-
ной Y по переменной Х, т. е. процентное изменение Y для данного
процентного изменения Х. Действительно, продифференцировав ле-
вую и правую части (7.4) по Х, получим:
1 dY 1 dY X
? =в? ?в = ? = Е X (Y) . (7.6)
Y dX x dX Y
Отметим, что в данном случае коэффициент ? является констан-
той, указывая на постоянную эластичность. Поэтому зачастую двой-
ная логарифмическая модель называется моделью постоянной эла-
стичности. Суть полученных выводов наглядно представлена на рис.
7.1.
Y ln Y



Y = A?X? LnY = ? + ??
?




0 Х 0 Х
Рис. 7.1

Заметим, что в случае парной регрессии обоснованность исполь-
зования логарифмической модели проверить достаточно просто. Вме-
сто наблюдений (xi, yi) рассматриваются наблюдения (lnxi, lnyi), i = 1,
2, …, n. Вновь полученные точки наносятся на корреляционное поле.
Если их расположение соответствует прямой линии, то произведенная
замена удачна и использование логарифмической модели обосновано.
Данная модель легко обобщается на большее число переменных.
Например,

182
lnY = в 0 + в 1lnX1 + в 2 lnX 2 + е . (7.7)
Здесь коэффициенты ?1, ?2 являются эластичностями переменной Y
по переменным Х1 и Х2 соответственно. Зачастую данная модель ис-
пользуется при анализе производительных функций. Например, хо-
рошо известна производственная функция Кобба–Дугласа
Y = A ? K б ? Lв . (7.8)
После логарифмирования обеих частей (7.8) имеем:
lnY = lnA + бlnK + вlnL . (7.9)
Здесь ? и ? – эластичности выпуска по затратам капитала и труда
соответственно. Сумма этих коэффициентов является таким важным
экономическим показателем, как отдача от масштаба. При б + в = 1
мы имеем постоянную отдачу от масштаба (во сколько раз увеличи-
ваются затраты ресурсов, во столько же раз увеличивается выпуск).
При б + в < 1 мы имеем убывающую отдачу от масштаба (увеличе-
ние объема выпуска меньше увеличения затрат ресурсов). При
б + в > 1 мы имеем возрастающую отдачу от масштаба (увеличе-
ние объема выпуска больше увеличения затрат ресурсов).

7.2. Полулогарифмические модели
Модели вида
lnY = в 0 + вX + е , (7.10)
Y = в 0 + вlnX + е (7.11)
называются полулогарифмическими моделями.
Такие модели обычно используют в тех случаях, когда необходи-
мо определять темп роста или прироста каких-либо экономических
показателей. Например, при анализе банковского вклада по первона-
чальному вкладу и процентной ставке, прироста объема выпуска от
относительного (процентного) увеличения затрат ресурса, бюджетный
дефицит от темпа роста ВНП, темп роста инфляции от объема денеж-
ной массы и т. д.

7.2.1. Лог-линейная модель


183
Рассмотрим зависимость, хорошо известную в банковском и фи-
нансовом анализе
Yt = Y0 (1 + r) t , (7.12)
где Y0 – начальная величина переменной Y (например, первоначаль-
ный вклад в банке); r – сложный темп прироста величины Y (процент-
ная ставка); Yt – значение величины Y в момент времени t (вклад в
банке в момент времени t). Модель (7.12) легко сводится к полулога-
рифмической модели (7.10). Действительно, прологарифмировав
(7.12), имеем:
lnYt = lnY0 + t ? ln(1 + r) . (7.13)
Введем обозначения: lnY0 = в 0 , ln(1 + r) = в . Тогда (7.13) примет вид:
lnYt = в 0 + вt + е t . (7.14)
В (7.14) мы использовали дополнительно случайное слагаемое ?t
в силу возможной изменчивости процентной ставки.
Полулогарифмическая модель (7.10) легко сводится к линейной
модели заменой Y * = lnY .
Коэффициент ? в модели (7.10) имеет смысл темпа прироста пе-
ременной Y по переменной Х, т. е. характеризует отношение относи-
тельного изменения Y к абсолютному изменению Х. Действительно,
продифференцировав (7.10) по Х, имеем:
dY
1 dY относительное изменение Y
=в ? в = Y =
? .
Y dX dX абсолютное изменение X
Умножив полученное ? на 100, мы получим процентное измене-
ние переменной Y (темп прироста переменной Y). Поэтому полулога-
рифмическая модель (7.10) обычно используется для измерения темпа
прироста экономических показателей. Заметим, что из соотношения
в = ln(1 + r) определяется темп прироста r показателя Y:

1 + r = eв ? r = eв ? 1. (7.15)
Отметим, что коэффициент ? в (7.14) определяет мгновенный
темп прироста, а r в (7.15) определяет обобщенный (сложный) темп
прироста. Поэтому в общем случае они отличаются друг от друга.
7.2.2. Линейно-логарифмическая модель

184
Рассмотрим так называемую линейно-логарифмическую модель
Y = в 0 + вlnX + е . (7.16)
Она сводится к линейной модели заменой X * = lnX . В данной
модели коэффициент ? определяет изменение переменной Y вследст-
вие единичного относительного прироста Х (например, на 1%), т. е.
характеризует отношение абсолютного изменения Y к относительно-

<< Предыдущая

стр. 32
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>