<< Предыдущая

стр. 33
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

му изменению Х. Действительно, продифференцировав (7.16), имеем:
dY 1 dY абсолютный прирост Y
=в? ? в= = ?
dX относительный прирост X
dX X
X
dX ДX
? dY = в ? ? ДY ? в ? .
X X
Умножив последнее соотношение на 100, получим абсолютный
ДX
прирост Y при процентном изменении Х. Таким образом, если
X
изменилось на 1% (0.01), то Y изменилось на 0.01? в .
Модель (7.11) используется обычно в тех случаях, когда необхо-
димо исследовать влияние процентного изменения независимой пере-
менной на абсолютное изменение зависимой переменной.
Например, если положить Y = GNP (валовой национальный про-
дукт), а X = M (денежная масса), то получим следующую формулу:
GNP = б + в ? lnM + е ,
из которой следует, что если увеличить предложение денег M на 1%,
то ВНП в среднем вырастет на 0.01? в .

7.3. Обратная модель
Модель вида
1
Y = в 0 + в1 ? +е (7.17)
X
называется обратной моделью. Эта модель сводится к линейной заме-
ной X * = 1 . Данная модель обычно применяется в тех случаях, когда
X
неограниченное увеличение объясняющей переменной Х асимптоти-
чески приближает зависимую переменную Y к некоторому пределу (в


185
данном случае к ?0). В зависимости от знаков ?0 и ?1 характерны сле-
дующие ситуации:
?0>0 ?0>0 ?0<0
Y Y Y
?1>0 ?1<0 ?1>0
?0
0 X
0
?0
?0
0 X 0 ??1/?0 X
а б в
Рис. 7.2

График 7.2, а может отражать зависимость между объемом вы-
пуска (Х) и средними фиксированными издержками (Y). График 7.2, б
может отражать зависимость между доходом Х и спросом на блага Y
(например, на товары первой необходимости, либо товары относи-
тельной роскоши) – так называемые функции Торнквиста (в этом слу-
в
чае X = ? 1 – минимально необходимый уровень дохода). Важным
в0
приложением графика, изображенного на рис. 7.2, в является кривая
Филлипса, отражающая зависимость между уровнем безработицы (Х)
в процентах и процентным изменением заработной платы (Y). При
этом точка пересечения кривой с осью 0X определяет естественный
уровень безработицы.

7.4. Степенная модель
Степенная функция вида
Y = в 0 + в 1X + в 2 X 2 + L + в m X m + е (7.18)
зачастую отражает ту или иную экономическую зависимость. Напри-
мер, кубическая функция
Y = в 0 + в 1X + в 2 X 2 + в 3 X 3 + е (7.19)
в микроэкономике моделирует зависимость общих издержек (Y) от
объема выпуска (Х) (рис. 7.3, а).
Аналогично квадратичная функция
Y = в 0 + в 1X + в 2 X 2 + е (7.20)


186
может отражать зависимость между объемом выпуска (Х) и средними
либо предельными издержками (Y) (рис. 7.3, б); или между расходами
на рекламу и прибылью (рис. 7.3, в) и т. д.
?
TC AC

TC MC AC




FC


0 Q0 Q0 C
а б в
Рис. 7.3

Как и ранее рассмотренные модели, модель (7.18) является ли-
нейной относительно коэффициентов регрессии ?0, ?1, …, ?m. Следо-
вательно, ее можно свести к линейной регрессионной модели. Заменяя
X на X1, X2 на Х2, …, X m на Хm, получаем вместо (7.18) модель мно-
жественной линейной регрессии с m переменными X1 , X 2 , K, X m :
Y = в 0 + в 1X1 + в 2 X 2 + L + в m X m + е . (7.21)

7.5. Показательная модель
Показательная функция
Y = ?0e?X (7.22)
также достаточно широко применяется в эконометрическом анализе.
Здесь е = 2.7182818… . Наиболее важным ее приложением является
ситуация, когда анализируется изменение переменной Y с постоян-
ным темпом прироста во времени. В этом случае переменная Х сим-
волически заменяется переменной t:
Y = ?0e?t. (7.23)
Данная функция путем логарифмирования (ln e?t = ?t) сводится к лог-
линейной модели (7.14):
lnY = ln?0 + ?t . (7.24)


187
Заметим, что в общем виде показательная функция имеет вид:
Y = ?0а?X , (7.25)
где а ? произвольная положительная константа (а ?1). Но данная
a
функция сводится к (7.22) вследствие тождества а?X = е?Хln .
Ряд экономических показателей моделируется через функции, яв-
ляющиеся композицией перечисленных функций, что позволяет также
свести их к линейным. Например, широко известна производственная
функция Кобба –Дугласа с учетом научно-технического прогресса:
Y = A ? K б ? Lв ? e гt . (7.26)
Прологарифмировав данную функцию, получим соотношение:
LnY = lnA + ?lnK + ?lnL + ?t, (7.27)
которое сводится к линейному заменами a = lnA, k = lnK, l = lnL,
y = LnY.

7.6. Преобразование случайного отклонения
Как отмечалось ранее, существенную роль для получения качест-
венных оценок имеет выполнимость определенных предпосылок МНК
для случайных отклонений. Наиболее важные из них требуют, чтобы
отклонения ?i являлись нормально распределенными случайными ве-
личинами с нулевым математическим ожиданием и постоянной дис-
персией ?2, а также не коррелировали друг с другом (?i ? N(0, ?2), сov(
?i, ?j) = 0 при i ? j). При невыполнимости указанных предпосылок
оценки, полученные по МНК, не будут обладать свойствами BLUE-
оценок, и проводимые для них тесты окажутся ненадежными.
В случаях, не требующих совокупного логарифмирования, с ад-
дитивным случайным членом выполнимость предпосылок МНК имеет
место, а следовательно, проблем с оцениванием не возникает.
Для описания возможных проблем со случайным отклонением
воспользуемся моделью (7.1) Y = A ? X в , дополнив ее случайным чле-
ном. При этом случайный член ? может входить в соотношение в раз-
личных видах. Рассмотрим три возможных случая:
Y = A ? Xв ? eе , (7.28)
Y = A ? Xв ? е , (7.29)
Y = A ? Xв + е . (7.30)

188
Данные модели являются нелинейными относительно параметров
(точнее, параметра ?). Прологарифмировав каждое из этих соотноше-
ний, соответственно получим:
lnY = a + ??lnX + ?, (7.31)
lnY = a + ??lnX + ln?, (7.32)
lnY = ln(A?X? + ?). (7.33)
Здесь a = lnA.
Использование (7.31) для оценки параметров в (7.28) не вызывает ос-
ложнений, связанных со случайным отклонением.
Преобразование (7.29) в (7.32) приводит к преобразованию слу-
чайных отклонений ?i в ln?i. Использование МНК в (7.32) для нахож-
дения BLUE-оценок параметров требует, чтобы отклонения ?i = ln?i
удовлетворяли предпосылкам МНК: ?i ? N(0, ?2). Но это возможно
только в случае логарифмически нормального распределения СВ ?i с
2 2 2
М(?i) = e у 2 и D(?i) = e у (e у ? 1) .
Логарифмирование соотношения (7.30) не привело к линеариза-
ции соотношения относительно параметров. В этом случае для нахож-
дения оценок необходимо использовать определенные итерационные
процедуры оценки нелинейных регрессий.
Таким образом, при использовании преобразований с целью на-
хождения оценок необходимо особое внимание уделять рассмотрению
свойств случайных отклонений, чтобы полученные в результате оцен-
ки имели высокую статистическую значимость.

7.7. Выбор формы модели
Многообразие и сложность экономических процессов предопре-
деляет многообразие моделей, используемых для эконометрического
анализа. С другой стороны, это существенно усложняет процесс на-
хождения максимально адекватной формулы зависимости. Для случая
парной регрессии подбор модели обычно осуществляется по виду рас-
положения наблюдаемых точек на корреляционном поле. Однако
нередки ситуации, когда расположение точек приблизительно соот-
ветствует нескольким функциям и необходимо из них выявить наи-
лучшую. Например, криволинейные зависимости могут аппроксими-
роваться полиномиальной, показательной, степенной, логарифмиче-
ской функциями. Еще более неоднозначна ситуация для множествен-

189
ной регрессии, так как наглядное представление статистических дан-
ных в этом случае невозможно.
В данной главе перечислены базовые модели, используемые в
эконометрическом моделировании, а также практические задачи, вы-
зывающие необходимость их использования. Правильный выбор вида
модели является отправной точкой для качественного анализа эконо-
мической модели. Безусловно, на практике неизвестно, какая модель
является верной, и зачастую подбирают такую модель, которая наибо-
лее точно соответствует реальным данным. При этом необходимо
учитывать, что идеальной модели не существует. Поэтому, чтобы вы-
брать качественную модель, необходимо ответить на ряд вопросов,
возникающих при ее анализе.
1. Каковы признаки “хорошей” (качественной) модели?
2. Какие ошибки спецификации встречаются, и каковы последствия
данных ошибок?
3. Как обнаружить ошибку спецификации?
4. Каким образом можно исправить ошибку спецификации и перейти
к лучшей (качественной) модели?
7.7.1. Признаки “хорошей” модели
В ряде случаев достаточно очевидно, какая модель лучше. В дру-
гих случаях для принятия обоснованного решения приходится прово-
дить достаточно кропотливый сравнительный анализ. Для этого необ-
ходимо выбрать критерии, которые позволят сделать обоснованный
вывод. Обычно для построения «хорошей» работоспособной модели и
сравнения ее с другими возможными моделями необходимо учиты-
вать следующие свойства (критерии).
Скупость (простота). Модель должна быть максимально про-
стой. Данное свойство определяется тем фактом, что модель не отра-
жает действительность идеально, а является ее упрощением. Поэтому
из двух моделей, приблизительно одинаково отражающих реальность,
предпочтение отдается модели, содержащей меньшее число объяс-
няющих переменных.
Единственность. Для любого набора статистических данных оп-
ределяемые коэффициенты должны вычисляться однозначно.
Максимальное соответствие. Уравнение тем лучше, чем боль-
шую часть разброса зависимой переменной оно может объяснить. По-

190
этому стремятся построить уравнение с максимально возможным
скорректированным коэффициентом детерминации R 2 .
Согласованность с теорией. Никакое уравнение не может быть
признано качественным, если оно не соответствует известным теоре-
тическим предпосылкам. Например, если в функции спроса коэффи-
циент при цене положителен, то даже значительная величина коэффи-
циента детерминации R2 (например, 0,7) не позволит признать урав-
нение удовлетворительным. Другими словами, модель обязательно
должна опираться на теоретический фундамент, т. к. в противном слу-
чае результат использования регрессионного уравнения может быть
весьма плачевным.
Прогнозные качества. Модель может быть признана качествен-
ной, если полученные на ее основе прогнозы подтверждаются реаль-
ностью.
Другим критерием прогнозных качеств оцененной модели регрес-
сии может служить следующее отношение:
S
V= , (7.34)
y
2
? ei
где S = – стандартная ошибка регрессии, y – среднее зна-
n ? m ?1
чение зависимой переменной уравнения регрессии. Если величина V
мала (а она определяет относительную ошибку прогноза в процентах)
и отсутствует автокорреляция остатков (определяемая по величине
статистики DW Дарбина–Уотсона), то прогнозные качества модели
высоки.
Если уравнение регрессии используется для прогнозирования, то
величина V обычно рассчитывается не для того периода, на котором
оценивалось уравнение, а для некоторого следующего за ним времен-
ного интервала, для которого известны значения зависимой и объяс-
няющих переменных. Тем самым на практике проверяются прогноз-
ные качества модели. В случае положительного решения, если можно
спрогнозировать значения объясняющих переменных на некоторый
последующий период, построенная модель обоснованно может быть
использована для прогноза значений объясняемой переменной Y. При
этом следует помнить, что период прогнозирования должен быть, по
крайней мере, в 3 раза короче периода, по которому оценивалось

<< Предыдущая

стр. 33
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>