<< Предыдущая

стр. 37
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

206
Каким образом можно проверить гипотезу о том, что эластичность издержек
по выпуску равна нулю?

10. По имеющимся статистическим данным исследуется зависимость между
щ ? щt ?1
темпом прироста заработной платы щt = t ? 100% и уровнем
&
щt
безработицы ut.
Год 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
щt 1.61 1.66 1.80 1.95 2.05 2.12 2.25 2.45 2.55 2.67
ut 1.0 1.38 1.15 1.50 1.55 1.20 1.1 1.0 1.35 1.8

Год 80 81 82 83 84 85 86 87 88
щt 2.73 2.80 2.93 3.02 3.15 3.27 3.45 3.60 3.80
ut 1.9 1.45 1.85 1.2 1.5 1.25 1.4 1.3 1.6

Для отражения рассматриваемой зависимости рекомендуется использовать
?1?
кривую Филлипса щt = в 0 + в1 ? ? + е t .
& ?u ?
? t?
а) По МНК найдите оценки b0, b1 коэффициентов ?0, ?1.
б) Совпадают ли знаки b0, b1 с предполагаемыми по теории. Каков экономи-
ческий смысл коэффициента ?1?
в) Постройте корреляционное поле, отложив значения ut по горизонтальной
оси, а значения щt ? по вертикальной.
&
г) Определите 95%-ные доверительные интервалы для коэффициентов ?0, ?1.
д) Найдите оценку естественного уровня безработицы u0 для рассматривае-
мой страны (естественный уровень безработицы u0 ? это такой уровень, при
котором щt = 0).
&

&
е) Найти оценки для производной при u = 1 и при u = 3. Каков экономи-
du
ческий смысл указанной производной? Какие выводы по найденным оцен-
кам можно сделать?
ж) По расположению точек на корреляционном поле попытайтесь подо-
брать другую модель для описания зависимости между щt и ut. Найдите
&
оценки параметров предложенной модели.
з) Сравните качество построенных моделей.

11. В следующей таблице приведены данные по объемам выпуска Q, затрат ка-
питала K и труда L в некоторой отрасли за 20 лет.

Qt 46000 59000 37500 107000 130000 128000 154000 226500 146500 31500

207
Kt 2 5.6 2 5.6 2 10.4 5.6 10.4 10.4 2
Lt 2 2 4 4 6 2 6 4 6 2

Qt 70500 70500 108000 90500 74000 160000 225000 167500 88500 54000
Kt 2 5.6 5.6 2 10.4 5.6 10.4 10.4 5.6 2
Lt 4 2 4 6 2 6 4 6 4 2
Используя эти данные, оцените производственную функцию Кобба – Дугла-
б в
са Qt = A? K t ? L t .
а) Сведите данную модель к линейной модели: qt = ?0 + ?1kt + ?2lt + ?. Как
это можно осуществить?
б) Оцените коэффициенты ?0, ?1, ?2.
в) Дайте экономическую интерпретацию ?1, ?2, ?1 + ?2.
г) Спрогнозируйте объем выпуска, используя интервальную оценку для Q
при уровне значимости ? = 0.05 и затратах ресурсов K = 8 и L = 3.
д) проверьте при уровне значимости ? = 0.05 гипотезы:
1) ?1 = 0, ?2 = 0; 2) ?1 = ?2; 3) ?1 = ?2 = 0; 4) ?1 + ?2 =1.
Какими критериями вы пользовались и почему?
е) Будет ли построенная модель качественной с точки зрения основных кри-
териев качества регрессионной модели? Если нет, то какие направления ее
совершенствования вы могли бы предложить?




208
8. ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ
При проведении регрессионного анализа, основанного на методе
наименьших квадратов, на практике следует обратить серьезное вни-
мание на проблемы, связанные с выполнимостью свойств случайных
отклонений моделей. Как мы отмечали ранее, свойства оценок коэф-
фициентов регрессии напрямую зависят от свойств случайного члена
в уравнении регрессии. Для получения качественных оценок необхо-
димо следить за выполнимостью предпосылок МНК (условий Гаусса?
Маркова), т. к. при их нарушении МНК может давать оценки с плохи-
ми статистическими свойствами. При этом существуют другие мето-
ды определения более точных оценок. Одной из ключевых предпосы-
лок МНК является условие постоянства дисперсий случайных откло-
нений (см. параграф 5.1, предпосылка 20):
дисперсия случайных отклонений ?i постоянна. D(?i)=D(?j) = ?2
для любых наблюдений i и j.
Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастич-
ностью (постоянством дисперсии отклонений). Невыполнимость
данной предпосылки называется гетероскедастичностью (непосто-
янством дисперсий отклонений).
В данной главе мы подробно проанализируем суть гетероскеда-
стичности, ее причины и последствия, а также приведем несколько
способов смягчения этих последствий.

8.1. Суть гетероскедастичности
При рассмотрении выборочных данных требование постоянства
дисперсии случайных отклонений может вызвать определенное недо-
умение в силу того, что при каждом i-м наблюдении имеется единст-
венное значение ?i. Откуда же появляется разброс? Дело в том, что
при рассмотрении выборочных данных мы имеем дело с конкретными
реализациями зависимой переменной yi и соответственно c опреде-
ленными случайными отклонениями ?i, i = 1, 2, ..., n. Но до осущест-
вления выборки эти показатели априори могли принимать произволь-
ные значения на основе некоторых вероятностных распределений.
Одним из требований к этим распределениям является равенство дис-
персий. Данное условие подразумевает, что несмотря на то что при
каждом конкретном наблюдении случайное отклонение может быть
большим либо маленьким, положительным либо отрицательным, не
должно быть некой априорной причины, вызывающей большую

209
ошибку (отклонение) при одних наблюдениях и меньшую ? при дру-
гих.
Однако на практике гетероскедастичность не так уж и редка. За-
частую есть основания считать, что вероятностные распределения
случайных отклонений ?i при различных наблюдениях будут различ-
ными. Это не означает, что случайные отклонения обязательно будут
большими при определенных наблюдениях и малыми ? при других,
но это означает, что априорная вероятность этого велика. Поэтому
важно понимать суть этого явления и его последствия.
На рис. 8.1 приведены два примера линейной регрессии ? зави-
симости потребления С от дохода I: C = ?0 + ?1I + ?.

C C




I1 Ik In I I1 Ik In I
а б
Рис. 8.1

В обоих случаях с ростом дохода растет среднее значение по-
требления. Но если на рис. 8.1, а дисперсия потребления остается од-
ной и той же для различных уровней дохода, то на рис. 8.1, б при ана-
логичной зависимости среднего потребления от дохода дисперсия по-
требления не остается постоянной, а увеличивается с ростом дохода.
Фактически это означает, что во втором случае субъекты с большим
доходом в среднем потребляют больше, чем субъекты с меньшим до-
ходом, и, кроме того, разброс в их потреблении более существенен
для большего уровня дохода. Фактически люди с большими доходами
имеют больший простор для распределения своего дохода. Реали-
стичность данной ситуации не вызывает сомнений. Разброс значений
потребления вызывает разброс точек наблюдения относительно линии
регрессии, что и определяет дисперсию случайных отклонений. Ди-
намика изменения дисперсий (распределений) отклонений для данно-
го примера проиллюстрирована на рис. 8.2. При гомоскедастичности

210
(рис. 8.2, а) дисперсии ?i постоянны, а при гетероскедастичности
(рис. 8.2, б) дисперсии ?i изменяются (в нашем примере ? увеличива-
ются).




б ? гетероскедастичность
а ? гомоскедастичность
Рис. 8.2
Проблема гетероскедастичности в большей степени характерна
для перекрестных данных и довольно редко встречается при рассмот-
рении временных рядов. Это можно объяснить следующим образом.
При перекрестных данных учитываются экономические субъекты (по-
требители, домохозяйства, фирмы, отрасли, страны и т. п.), имеющие
различные доходы, размеры, потребности и т. д. Но в этом случае
возможны проблемы, связанные с эффектом масштаба. Во временных
рядах обычно рассматриваются одни и те же показатели в различные
моменты времени (например, ВНП, чистый экспорт, темпы инфляции

211
и т. д. в определенном регионе за определенный период времени). Од-
нако при увеличении (уменьшении) рассматриваемых показателей с
течением времени может возникнуть проблема гетероскедастичности.

8.2. Последствия гетероскедастичности
Как отмечалось в разделе 5.1, при рассмотрении классической
линейной регрессионной модели МНК дает наилучшие линейные не-
смещенные оценки (BLUE-оценки) лишь при выполнении ряда пред-
посылок, одной из которых является постоянство дисперсии отклоне-
ний (гомоскедастичность): ?2(?i) = ?2 для всех наблюдений i, i = 1,
2, …, n.
При невыполнимости данной предпосылки (при гетероскеда-
стичности) последствия применения МНК будут следующими.
1. Оценки коэффициентов по-прежнему остаются несмещенными и
линейными.
2. Оценки не будут эффективными (т. е. они не будут иметь наимень-
шую дисперсию по сравнению с другими оценками данного пара-
метра). Они не будут даже асимптотически эффективными. Увели-
чение дисперсии оценок снижает вероятность получения макси-
мально точных оценок.
3. Дисперсии оценок будут рассчитываться со смещением. Смещен-
ность появляется вследствие того, что необъясненная уравнением
2
? ei
2
(m ? число объясняющих пере-
регрессии дисперсия S =
n ? m ?1
менных), которая используется при вычислении оценок дисперсий
всех коэффициентов (см. параграф 6.2, (6.23)), не является более не-
смещенной.
4. Вследствие вышесказанного все выводы, получаемые на основе со-
ответствующих t- и F-статистик, а также интервальные оценки бу-
дут ненадежными. Следовательно, статистические выводы, полу-
чаемые при стандартных проверках качества оценок, могут быть
ошибочными и приводить к неверным заключениям по построен-
ной модели. Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффици-
ентов будут занижены, а следовательно, t-статистики будут завы-
шены. Это может привести к признанию статистически значимыми
коэффициентов, таковыми на самом деле не являющимися.
Причину неэффективности оценок МНК при гетероскедастич-
ности легко пояснить следующим примером парной регрессии.

212
y




y1
yn


x1 xn X
Рис. 8.3
Из рис. 8.3 видно, что для каждого конкретного значения хi СВ Х
переменная Y принимает значение уi из некоторого множества,
имеющего свое распределение, отличное одно от другого в силу непо-
стоянства дисперсий (сравните распределения для значений у1 и уn).
По МНК минимизируется сумма квадратов отклонений
2 2
? e i = ? ( y i ? b0 ? b1x i ) .
Но в этом случае каждое конкретное значение e i2 в данной сумме име-
ет одинаковый “вес” вне зависимости от того, получено оно из рас-
2
пределения с маленькой дисперсией (например, e1 ) или с большой
(например, e 2 ). Но это противоречит логике, т. к. точка, полученная
n
из распределения с меньшей дисперсией, более точно определяет на-
правление линии регрессии. Поэтому она должна иметь больший
“вес”, чем точка из распределения с большей дисперсией. Следова-
тельно, методы оценивания, учитывающие “веса” точек наблюдений,
позволяют получать более точные (эффективные) оценки. Учет “ве-
сов” точек характерен, например, для метода взвешенных наимень-
ших квадратов, рассмотренного ниже.

8.3. Обнаружение гетероскедастичности
В ряде случаев на базе знаний характера данных появление про-
блемы гетероскедастичности можно предвидеть и попытаться устра-
нить этот недостаток еще на этапе спецификации. Однако значительно
чаще эту проблему приходится решать после построения уравнения
регрессии.
213
Обнаружение гетероскедастичности в каждом конкретном случае
является довольно сложной задачей, т. к. для знания дисперсий откло-
нений ?2(еi) необходимо знать распределение СВ Y, соответствующее
выбранному значению хi СВ Х. На практике зачастую для каждого
конкретного значения хi определяется единственное значение уi , что
не позволяет оценить дисперсию СВ Y для данного хi .
Естественно, не существует какого-либо однозначного метода оп-
ределения гетероскедастичности. Однако к настоящему времени для
такой проверки разработано довольно большое число тестов и крите-
риев для них. Рассмотрим наиболее популярные и наглядные: графи-

<< Предыдущая

стр. 37
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>