<< Предыдущая

стр. 4
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

значения (математического ожидания). Такой характеристикой явля-
ется дисперсия.
Дисперсией D(X) СВ Х называется математическое ожидание
квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания. Она рас-
считывается по формулам:
D(X) = M(X ? M(X)) 2 = M(X 2 ) ? M 2 (X) . (1.7)
При этом для дискретных СВ
k k 2
D(X) = ? (x i ? M(X)) ? p i = ? x i ? p i ? M 2 (X) .
2
(1.8)
i =1 i =1

Для непрерывных СВ
+? +?
D(X) = ? (x ? M(X)) ? f(x)dx = ? x 2 ? f(x)dx ? M 2 (X).
2
(1.9)
?? ??

Для СВ из примера 1.1. имеем:
D(X) = (1 ? 4.05)2?0.25 + (2 ? 4.05)2?0.4 + (5 ? 4.05)2?0.2 +
+ (10 ? 4.05)2?0.1 + (20 ? 4.05)2?0.05 = 20.4475.
21
Свойства дисперсии
1. D(С) = 0, где С = const;
2. D(C ? X) = C 2 ? D(X) ;
3. D(X ± Y) = D(X) + D(Y), где X и Y – независимые СВ;
4. D(a?X + b) = a 2 ? D(X).
Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности СВ.
Для того чтобы представить разброс значений СВ в тех же единицах,
что и саму СВ, вводится другая числовая характеристика ? среднее
квадратическое отклонение.
Средним квадратическим отклонением ?(X) СВ Х называют
квадратный корень из дисперсии D(X):
у(X) = D(X) . (1.10)
Чтобы оценить разброс значений СВ в процентах относительно
ее среднего значения вводится коэффициент вариации V(X), рассчи-
тываемый по формуле:
у(X)
V(X) = ?100 % . (1.11)
M(X)
Для СВ из примера 1.1 имеем: ?(Х) = 20,4475 = 4.5219;
V(X) = 4.5219/4,05?100 % = 111.65 %.
Меры разброса (дисперсия, среднее квадратическое отклонение,
коэффициент вариации) кроме оценивания рассеивания значений СВ
обычно применяются при изучении риска различных действий со слу-
чайным исходом, в частности при анализе риска инвестирования в ту
или иную отрасль, при оценивании различных активов в портфеле и
портфеля активов в целом в финансовом анализе и т. д.
1.4. Законы распределений случайных величин
Большинство СВ подчиняется определенному закону распреде-
ления, на основании знания которого можно предвидеть вероятности
попадания исследуемой СВ в определенные интервалы. Такое пред-
сказание весьма желательно при анализе экономических показателей,
ведь в этом случае появляется возможность осуществлять продуман-
ную политику с учетом возможности возникновения той или иной си-
туации. Законов распределений достаточно много. Мы ограничимся
рассмотрением лишь тех, которые наиболее активно используются в
эконометрическом анализе. К их числу относятся нормальное распре-

22
деление, распределения ?2, Стьюдента, Фишера. Для удобства исполь-
зования данных законов были разработаны таблицы так называемых
критических точек, которые позволяют быстро и эффективно оцени-
вать соответствующие вероятности. Схема их использования будет
описана ниже.
1.4.1. Нормальное распределение
Нормальное распределение (распределение Гаусса) является пре-
дельным случаем почти всех реальных распределений вероятности.
Поэтому оно используется в очень большом числе реальных прило-
жений теории вероятностей. Говорят, что СВ Х имеет нормальное
распределение, если ее плотность вероятности имеет вид
(x ?m)2
?
1
?e
f(x) = 2у 2
. (1.12)
2р у
Это равносильно тому, что функция распределения будет
2
(t ? m)
?
1 x
2
?e
F(x) = 2у dt . (1.13)
2р у -?




f(x) F(x)

1 1
2ру

1/2



m?? m+?
0 m x 0 m x

а б
Рис. 1.4

Как видно из формул (1.12), (1.13), нормальное распределение за-
висит от параметров m и ? и полностью определяется ими. При этом
m = M(X), ? = ?(X), т. е. D(X) = ?2, ? = 3.14159… , е = 2.71828… .
Если СВ Х имеет нормальное распределение с параметрами M(X) = m
и ?(X) = ?, то символически это можно записать так: X ? N(m, ?) или
X ? N(m, ?2). Очень важным частным случаем нормального распреде-
ления является ситуация, когда m = 0 и ? = 1. В этом случае говорят о
стандартизированном (стандартном) нормальном распределении. В
23
дальнейшем стандартизированную нормальную СВ будем обозначать
через U (U ? N(0,1)), учитывая при этом, что
2
u 2
t
?

?e
?
u
1 1
2
?e
F(u) =
f(u) = 2у ; dt . (1.14)
2
2р 2р -?


Для практических расчетов специально разработаны таблицы
функций f(u), F(u) стандартизированного нормального распределения,
однако чаще используется так называемая таблица значений функции
Лапласа Ф(u) (Приложение 1). Функция Лапласа имеет вид:
2
t
?
u
1
?e
Ф(u) = dt = F(u) – 0.5. (1.15)
2
2р 0

Эти таблицы можно использовать для любой нормальной СВ
Х (Х ? N(m, ?)) при расчете соответствующих вероятностей:

?b?m? ?a ? m? ?b? m? ?a ? m?
P(a ? X ? b) = F? ? ? F? ? = Ф? ? ? Ф? ? . (1.16)
?у? ?у? ?у? ?у?
X?m
Заметим, что если Х ? N(m, ?), то U = ? N(0,1).
у
Как видно из рис. 1.4, нормально распределенная СВ Х ведет се-
бя достаточно предсказуемо. График ее плотности вероятности сим-
метричен относительно прямой Х = m. Площадь фигуры под графи-
ком плотности вероятности должна оставаться равной единице при
любых значениях m и ?. Следовательно, чем меньше значение ?, тем
более крутым является график. Кроме того, справедливы следующие
соотношения. P( ?X ? M(X) ?< ? ) = 0.68; P(?X ? M(X) ?< 2? ) = 0.95;
P( ?X ? M(X) ? < 3? ) = 0.9973. Другими словами, значения нормаль-
но распределенной СВ Х (Х ? N(m, ?)) на 99.73 % сосредоточены в
области [m ? 3? , m + 3?].
Важным является также тот факт, что линейная комбинация
произвольного количества нормальных СВ имеет нормальное распре-
деление. При этом, если Х ? N(mх, ?х) и Y ? N(my, ?y) ? независимые
СВ, то Z = aX + bY ? N(mz, ?z), где mz = a mх + b my; у 2 = a 2 у 2 + b 2 у 2 .
z x y
Пример 1.2. В результате длительных наблюдений установлено, что раз-
меры Х и Y дивидендов по акциям фирм А и B соответственно являются незави-
симыми нормально распределенными величинами: X? ? N(mx? = 5, ?х? = 5),


24
Y' ? N(my? = 10, ?y? = 15). Стоимость каждой акции составляет 100$. Инвестор хо-
чет приобрести акции на 1000$.
а) Какие законы распределения имеют доходы X и Y от вложений всей суммы
в акции только одной из фирм А или B?
б) Какой закон распределения имеет доход Z от покупки акций в пропорции
2 : 3?
в) Изобразите схематически графики плотностей вероятностей указанных СВ.
г) Какова вероятность, что получаемый доход Z от вложения будет лежать в
пределах от 110 до 150?
а) На 1000$ инвестор может приобрести 10 акций. Если он приобретает ак-
ции только фирмы А или только фирмы В, то его доход выражается через СВ Х
=10Х? или Y = 10Y? соответственно. Тогда СВ Х имеет нормальное распределение
с mx = 10mx? = 50 и у 2 = 102 у 2 = 100?25 =2500; а СВ Y имеет нормальное распре-
x x'
деление с my = 10my? = 150 и у 2 = 102 у 2 = 100?225 = 22500; т. е.
y y'
X ? N(mx = 50, ?х = 50), Y ? N(my = 150, ?y = 150).
б) Исходя из принятого решения, он приобретет четыре акции фирмы А и
шесть акций фирмы B. Тогда доход от указанного вложения составит
Z = 4X?+ 6Y?. Следовательно, Z является нормально распределенной СВ как ком-
позиция нормальных СВ. При этом mz = 4?mx? + 6?my? = 4?5 + 6?15 = 110;
у 2 = 4 2 у 2 + 6 2 у 2 = 16?25 + 36?225 = 8500; т. е. Z ? N(mz = 110, ?z ? 92.2).
x' y'
z

в)
1
2р 50
f(x)


1
2р 92.2
f(z)
1
2р 150
f(y)


0 50 110 150
Рис.1.5
? 150? 110? ? 110? 110?
г) P(110? X ? 150) = Ф? ? ? Ф? ? = Ф(0.4338) Ф(0) ?
?
? 92.2 ? ? 92.2 ?
? 0.1678 ? 0 = 0.1678.
Многие экономические показатели имеют нормальный или близ-
кий к нормальному закон распределения. Например, доход населения,
25
прибыль фирм в отрасли, объем потребления и т. д. имеют близкое к
нормальному распределение.
Нормальное распределение используется при проверке различ-
ных гипотез в статистике (о величине математического ожидания при
известной дисперсии, о равенстве математических ожиданий и т. д.).
Подробная схема работы с таблицей значений функции Лапласа Ф(u)
приведена в разделе 1.5.1.
Зачастую при моделировании экономических процессов прихо-
дится рассматривать СВ, которые представляют собой алгебраиче-
скую комбинацию нескольких СВ. При этом желательно иметь воз-
можность прогнозирования поведения таких СВ. Существенную роль
в этом играет ряд специально разработанных теоретических законов
распределений. К ним относятся ?2-распределение, распределения
Стьюдента и Фишера.
1.4.2. Распределение ?2(хи-квадрат)
Пусть Xi, i = 1, ... , n ? независимые нормально распределенные
СВ с математическими ожиданиями mi и средними квадратическими
отклонениями ?i соответственно, т. е. Xi ? N(mi, ?i).
Тогда СВ Ui = (Xi ? mi)/?i, i = 1,..., n являются независимыми
СВ, имеющими стандартизированное нормальное распределение,
Ui ? N(0, 1).
СВ ?2 имеет хи-квадрат распределение с n степенями свободы
( ?2 ? ч 2 ) , если
n

n
ч = ? U i2 = U12 + U 2 + ... + U 2 .
2
(1.17)
2 n
i =1


Отметим, что число степеней свободы (в дальнейшем это число
будем символически обозначать буквой ?) исследуемой СВ определя-
ется числом случайных величин, ее составляющих, уменьшенным на
число линейных связей между ними. Например, число степеней сво-
боды исследуемой СВ, являющейся композицией n случайных вели-
чин, которые в свою очередь связаны m линейными уравнениями,
определяется числом ? = n – m. Таким образом, U2 ? ч1 .
2

<< Предыдущая

стр. 4
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>