<< Предыдущая

стр. 40
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

1?4 9320 3320 740
4?9 8630 3640 850
10 ? 19 8050 3900 730
20 ? 49 8320 4120 820
50 ? 99 8600 4090 950
100 ? 199 9120 4200 1100
200 ? 499 9540 4380 1250
500 ? 999 9730 4500 1290
1000 ? 1999 10120 4610 1350
2000 ? 4999 10740 4800 1100
> 5000 11200 5000 1520

а) Постройте уравнение регрессии yi = b0 + b1xi + ei, используя обычный
МНК.
yi 1 xe
= b0 + b1 i + i .
б) Постройте уравнение регрессии
уi уi уi уi
в) Сравните полученные результаты. Какое из уравнений вы предпочтете и
почему?




226
9. АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ

9.1. Суть и причины автокорреляции
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной
модели по МНК является независимость значений случайных откло-
нений ?i от значений отклонений во всех других наблюдениях (см. па-
раграф 5.1). Отсутствие зависимости гарантирует отсутствие коррели-
рованности между любыми отклонениями (?(?i, ?j) = cov(?i, ?j) = 0 при
i ? j) и, в частности, между соседними отклонениями (?(?i?1, ?i) = 0),
i = 2, 3, …, n.
Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется
как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченны-
ми во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные
данные). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается
в регрессионном анализе при использовании данных временных ря-
дов. При использовании перекрестных данных наличие автокорреля-
ции (пространственной корреляции) крайне редко. В силу этого в
дальнейших выкладках вместо символа i порядкового номера наблю-
дения будем использовать символ t, отражающий момент наблюдения.
Объем выборки при этом будем обозначать символом T вместо n. В
экономических задачах значительно чаще встречается так называемая
положительная автокорреляция (?(?t?1, ?t) > 0), нежели отрицатель-
ная автокорреляция (?(?t?1, ?t) < 0).
Чаще всего положительная автокорреляция вызывается направ-
ленным постоянным воздействием некоторых не учтенных в модели
факторов. Суть автокорреляции поясним следующим примером.
Пусть исследуется спрос Y на прохладительные напитки от дохода Х
по ежемесячным данным. Трендовая зависимость, отражающая уве-
личение спроса с ростом дохода, может быть представлена линейной
функцией Y= ?0 + ?1X, изображенной на рис. 9.1.
Y
Лето

Лето

Зима


Зима
X
Рис. 9.1

227
Однако фактические точки наблюдений обычно будут превышать
трендовую линию в летние периоды и будут ниже ее в зимние.
Аналогичная картина может иметь место в макроэкономическом
анализе с учетом циклов деловой активности.
Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за по-
ложительным отклонением имеет место отрицательное и наоборот.
Возможная схема рассеивания точек в этом случае представлена на
рис. 9.2.
Y




X
Рис. 9.2
Такая ситуация может иметь место, например, если ту же зависи-
мость между спросом на прохладительные напитки и доходами рас-
сматривать по сезонным данным (зима ? лето).
Среди основных причин, вызывающих появление автокорреля-
ции, можно выделить ошибки спецификации, инерцию в изменении
экономических показателей, эффект паутины, сглаживание данных.
Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объ-
ясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости
обычно приводит к системным отклонениям точек наблюдений от ли-
нии регрессии, что может привести к автокорреляции.
Проиллюстрируем это следующим примером. Анализируется за-
висимость предельных издержек МС от объема выпуска Q. Если для
ее описания вместо реальной квадратичной модели MC = ?0 + ?1Q +
+ ?2Q2 + ? выбрать линейную модель MC = ?0 + ?1Q + ?, то совершает-
ся ошибка спецификации. Ее можно рассматривать как неправильный
выбор формы модели или как отбрасывание значимой переменной
при линеаризации указанных моделей. Последствия данной ошибки
выразятся в системном отклонении точек наблюдений от прямой рег-
рессии (рис. 9.3) и существенном преобладании последовательных от-
клонений одинакового знака над соседними отклонениями противо-
положных знаков. Налицо типичная картина, характерная для поло-
жительной автокорреляции.
228
МС
MC = ?0 + ?1Q + ?2Q2
MC = ?0 + ?1Q




Q
Рис. 9.3
Инерция. Многие экономические показатели (например, инфля-
ция, безработица, ВНП и т. п.) обладают определенной цикличностью,
связанной с волнообразностью деловой активности. Действительно,
экономический подъем приводит к росту занятости, сокращению ин-
фляции, увеличению ВНП и т. д. Этот рост продолжается до тех пор,
пока изменение конъюнктуры рынка и ряда экономических характе-
ристик не приведет к замедлению роста, затем остановке и движению
вспять рассматриваемых показателей. В любом случае эта трансфор-
мация происходит не мгновенно, а обладает определенной инертно-
стью.
Эффект паутины. Во многих сферах экономики экономические
показатели реагируют на изменение экономических условий с запаз-
дыванием (временным лагом). Например, предложение сельскохозяй-
ственной продукции реагирует на изменение цены с запаздыванием
(равным периоду созревания урожая). Большая цена сельскохозяйст-
венной продукции в прошлом году вызовет (скорее всего) ее перепро-
изводство в текущем году, а следовательно, цена на нее снизится и т. д.
В этой ситуации нельзя предполагать случайность отклонений друг от
друга.
Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продол-
жительному временному периоду получают усреднением данных по
составляющим его подынтервалам. Это может привести к определен-
ному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматри-
ваемого периода, что, в свою очередь, может послужить причиной ав-
токорреляции.


229
9.2. Последствия автокорреляции
Последствия автокорреляции в определенной степени сходны с
последствиями гетероскедастичности. Среди них при применении
МНК обычно выделяются следующие.
1. Оценки параметров, оставаясь линейными и несмещенными, пере-
стают быть эффективными. Следовательно, они перестают обла-
дать свойствами наилучших линейных несмещенных оценок
(BLUE-оценок).
2. Дисперсии оценок являются смещенными. Зачастую дисперсии,
вычисляемые по стандартным формулам, являются заниженными,
что приводит к увеличению t-статистик. Это может привести к
признанию статистически значимыми объясняющие переменные,
которые в действительности таковыми могут и не являться.
e2
2 t
3. Оценка дисперсии регрессии S = ? является смещенной
n ? m ?1
2
оценкой истинного значения ? , во многих случаях занижая его.
4. В силу вышесказанного выводы по t- и F-статистикам, опреде-
ляющим значимость коэффициентов регрессии и коэффициента
детерминации, возможно, будут неверными. Вследствие этого
ухудшаются прогнозные качества модели.

9.3. Обнаружение автокорреляции
В силу неизвестности значений параметров уравнения регрессии
неизвестными будут также и истинные значения отклонений ?t. По-
этому выводы об их независимости осуществляются на основе оце-
нок еt, полученных из эмпирического уравнения регрессии. Рассмот-
рим возможные методы определения автокорреляции.
9.3.1. Графический метод
Существует несколько вариантов графического определения ав-
токорреляции. Один из них, увязывающий отклонения еt с моментами
t их получения (их порядковыми номерами i), приведен на рис. 9.4.
Это так называемые последовательно-временные графики. В этом
случае по оси абсцисс обычно откладываются либо момент получения
статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси
ординат отклонения ?t (либо оценки отклонений еt).
Естественно предположить, что на рис. 9.4, а ? г имеются опре-
деленные связи между отклонениями, т. е. автокорреляция имеет ме-


230
сто. Отсутствие зависимости на рис. 9.4, д, скорее всего, свидетель-
ствует об отсутствии автокорреляции.
? t, e t ? t, e t ? t, e t




t(i) t(i)
t(i)


а б в
? t, e t ? t, e t




t(i) t(i)



г д
Рис. 9.4
Например, на рис. 9.4, б отклонения вначале в основном отрица-
тельные, затем положительные, потом снова отрицательные. Это сви-
детельствует о наличии между отклонениями определенной зависимо-
сти. Более того, можно утверждать, что в этом случае имеет место по-
ложительная автокорреляция остатков. Она становится весьма на-
глядной, если график 9.4, б дополнить графиком зависимости еt от
еt?1 , который в этом случае ориентировочно будет выглядеть так.
еt




еt?1




Рис. 9.5
231
Подавляющее большинство точек на этом графике расположено в
I и III четвертях декартовой системы координат, подтверждая поло-
жительную зависимость между соседними отклонениями.
Следует сказать, что в современных эконометрических пакетах
аналитическое выражение регрессии дополняется графическим пред-
ставлением результатов. На график реальных колебаний зависимой
переменной накладывается график колебаний переменной по уравне-
нию регрессии. Сопоставив эти два графика, можно выдвинуть гипо-
тезу о наличии автокорреляции остатков. Если эти графики пересека-
ются редко, то можно предположить наличие положительной авто-
корреляции остатков.
9.3.2. Метод рядов
Этот метод достаточно прост: последовательно определяются
знаки отклонений et. Например,
(? ? ? ? ?)(+ + + + + + +)(? ? ?)(+ + + +)(?),
т. е. 5 “?“, 7 “+”, 3 “?”, 4 “+”, 1 “?” при 20 наблюдениях.
Ряд определяется как непрерывная последовательность одинако-
вых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда.
Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучай-
ном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало
по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна поло-
жительная автокорреляция. Если же рядов слишком много, то вероят-
на отрицательная автокорреляция. Для более детального анализа
предлагается следующая процедура. Пусть
n ? объем выборки;
n1 ? общее количество знаков “+” при n наблюдениях (количест-
во положительных отклонений et);
n2 ? общее количество знаков “?” при n наблюдениях (количест-
во отрицательных отклонений et);
k ? количество рядов.
При достаточно большом количестве наблюдений (n1 > 10, n2 > 10)
и отсутствии автокорреляции СВ k имеет асимптотически нормальное
распределение с
2n n (2n n ? n1 ? n 2 )
2n1n 2
+ 1 ; D(k) = 1 2 1 2
M(k) = .
n1 + n 2 2
(n1 + n 2 ) (n1 + n 2 ? 1)
Тогда, если M(k) ? u?/2?D(k) < k < M(k) + u?/2?D(k), то гипотеза об от-
сутствии автокорреляции не отклоняется.

<< Предыдущая

стр. 40
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>