<< Предыдущая

стр. 42
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

В случае ? = ?1, сложив (9.9) и (9.10) с учетом (9.5), можно по-
лучить следующее уравнение регрессии:
yt + yt?1 = 2?0 + ?1( xt + xt?1) + ?t
или (9.20)
y t + y t ?1 x + x t ?1
= в 0 + в1 t + хt .
2 2
Однако метод первых разностей предполагает уж слишком
сильное упрощение (? = ± 1). Поэтому более предпочтительными яв-
ляются приведенные выше итерационные методы.
Итак, подведем итог. В силу ряда причин (ошибок специфика-
ции, инерционности рассматриваемых зависимостей и др.) в регресси-
онных моделях может иметь место корреляционная зависимость меж-
ду соседними случайными отклонениями. Это нарушает одну из фун-
даментальных предпосылок МНК. Вследствие этого оценки, получен-
ные на основе МНК, перестают быть эффективными. Это делает не-
надежными выводы по значимости коэффициентов регрессии и по ка-
честву самого уравнения. Поэтому достаточно важным является уме-
ние определить наличие автокорреляции и устранить это нежелатель-
239
ное явление. Существует несколько методов определения автокорре-
ляции, среди которых были выделены графический, метод рядов,
критерий Дарбина–Уотсона.
При установлении автокорреляции необходимо в первую оче-
редь проанализировать правильность спецификации модели. Если по-
сле ряда возможных усовершенствований регрессии (уточнения со-
става объясняющих переменных либо изменения формы зависимости)
автокорреляция по-прежнему имеет место, то, возможно, это связано с
внутренними свойствами ряда отклонений {?t}. В этом случае воз-
можны определенные преобразования, устраняющие автокорреляцию.
Среди них выделяется авторегрессионная схема первого порядка
AR(1), которая, в принципе, может быть обобщена в AR(k), k = 2, 3, ...
Для применения указанных схем необходимо оценить коэффициент
корреляции между отклонениями. Это может быть сделано различны-
ми методами: на основе статистики Дарбина–Уотсона, Кохрана–Ор-
катта, Хилдрета–Лу и др. В случае наличия среди объясняющих пере-
менных лаговой зависимой переменной наличие автокорреляции ус-
танавливается с помощью h-статистики Дарбина. А для ее устранения
в этом случае предпочтителен метод Хилдрета–Лу.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое автокорреляция?
2. Назовите основные причины автокорреляции.
3. Что может вызвать отрицательную автокорреляцию?
4. Какая предпосылка МНК нарушается при автокорреляции?
5. Каковы последствия автокорреляции?
6. Перечислите основные методы обнаружения автокорреляции.
7. Опишите схему использования статистики DW Дарбина–Уотсона.
8. Перечислите ограничения использования статистики DW Дарбина–Уотсона.
9. Какая статистика используется для обнаружения автокорреляции в авторе-
грессионных моделях?
10. Опишите авторегрессионную схему первого порядка AR(1).
11. В чем смысл поправки Прайса–Винстена?
12. Опишите способы определения коэффициента автокорреляции ? в
авторегрессионной схеме первого порядка AR(1).
13. Будут ли верными или ложными следующие утверждения. Ответы поясните.
а) Автокорреляция характерна в основном для временных рядов.
б) При наличии автокорреляции оценки, полученные по МНК, являются сме-
щенными.


240
в) Статистика DW Дарбина–Уотсона не используется в авторегрессионных
моделях.
г) Статистика DW Дарбина–Уотсона лежит в пределах от 0 до 4.
д) Для использования статистики DW статистические данные должны иметь
одинаковую периодичность.
е) Авторегрессионная схема первого порядка AR(1) устраняет автокорреля-
цию только в случае, когда коэффициент автокорреляции ? = 1.
2
ж) При наличии автокорреляции значение коэффициента детерминации R
будет всегда существенно ниже единицы.
з) Автокорреляция всегда является следствием неправильной спецификации
модели.
Упражнения и задачи
1. Пусть при 50 наблюдениях и трех объясняющих переменных статистика DW
принимает следующие значения:
а) 0.91; б) 1.37; в) 2.34; г) 3.01; д) 3.72.
Не заглядывая в таблицу критических точек Дарбина–Уотсона, выскажите
мнение о наличии автокорреляции. Проверьте свои выводы по таблице.

По таблице критических точек Дарбина–Уотсона для ? = 0.05 и ? = 0.01 оп-
2.
ределите значения статистики DW, дающие основание отклонить гипотезу о
наличии автокорреляции при объеме выборки n и числе объясняющих пере-
менных m: а) n = 20, m = 1; б) n = 25, m = 2; в) n = 50, m = 1;
г) n = 50, m = 4; д) n = 100, m = 2.
Сравните полученные результаты, сделайте выводы.

3. Используя таблицу Сведа и Эйзенхарта (приложение 7), определите наличие
автокорреляции по методу рядов (n ? объем выборки, n1 ? общее количество
знаков “+”, n2 ? общее количество знаков “?”, k ? количество рядов).
n n1 n2 k
а) 20 12 8 3
б) 30 16 16 21
в) 25 16 9 4
г) 15 8 7 5

4. По статистическим данным за 20 лет построено уравнение регрессии между
ценой бензина и объемом продаж бензина, для которого DW = 0.71.
а) Будет ли в данном случае иметь место автокорреляция остатков? Если да,
то она положительная или отрицательная?
б) Что могло послужить причиной автокорреляции?
в) Какой критерий вы использовали для определения наличия автокорреля-
ции?
г) Какими будут ваши рекомендации по совершенствованию модели?

5. По квартальным данным за 9 лет анализируют зависимость между экспортом
(EX) и импортом (IM). Имеются следующие статистические данные:

241
EX 12.47 12.65 12.89 12.97 13.00 13.31 13.25 12.65 14.49 14.47 14.74 14.62
IM 11.07 11.50 12.01 12.28 13.16 13.43 13.28 13.50 15.32 15.62 17.44 16.14
EX 17.60 17.70 16.60 15.26 19.49 19.08 18.69 18.65 19.33 19.11 18.62 18.40
IM 16.13 16.08 16.55 15.00 18.72 17.80 16.64 17.39 18.70 18.02 17.46 16.96
EX 16.15 16.58 17.60 18.48 15.36 15.25 15.61 15.93 14.38 14.30 14.75 15.58
IM 15.06 16.01 16.63 17.86 14.56 15.64 16.45 17.42 14.30 14.59 14.66 14.95
а) Постройте уравнение регрессии текущего импорта на текущий экспорт.
б) Проверьте качество построенной модели на основе t-статистик и коэффи-
2
циента детерминации R .
в) Вычислите значение статистики DW Дарбина–Уотсона и на ее основе
проанализируйте наличие автокорреляции.
г) На основе полученных результатов будет ли отклоняться гипотеза о по-
ложительной зависимости между объемами экспорта и импорта.
д) По этим же статистическим данным постройте регрессию приращения
импорта (?IM = IMt ? IMt?1) на приращение экспорта (?EX = EXt ? EXt?1).
е) Каково значение статистики DW для построенного уравнения и какой вы-
вод из этого следует.
ж) Прокомментируйте полученные результаты.

6. По квартальным данным за 35 лет построено уравнение регрессии:
?
ln(DI) t = 6.32 + 0.0084 t;
2
(S) = (3.54) (0.017) R = 0.9931 DW = 0.173,
где DI ? располагаемый доход, t ? время. В скобках указаны стандартные
ошибки.
а) Сделайте выводы о качестве построенной модели.
б) Можно ли на основе построенной модели сделать заключение о возраста-
нии располагаемого дохода на рассматриваемом временном интервале.
в) Какими могут быть предложения по совершенствованию модели?
г) Будет ли в данном случае рациональным, с точки зрения смягчения про-
блемы автокорреляции, переход от абсолютных значений рассматриваемых
параметров к их приростам по аналогии с предыдущей задачей?

7. По тридцати годовым данным по МНК построено уравнение регрессии:
?
lny t = 5.12 + 0.31 lnxt1 + 0.52 lnxt2 ? 0.81 lnxt3
R 2 = 0.62 DW = 0.49,
(S) (2.1) (0.18) (0.21) (0.29)
где yt ? число банкротств; xt1 ? уровень безработицы; xt2 ? краткосрочная
процентная ставка; xt3 ? объем новых заказов в момент времени t.
а) Оцените качество построенной модели.
б) Проинтерпретируйте оцененный коэффициент для lnx3t.
в) Какая нулевая гипотеза проверяется на базе статистики DW? Проверьте
данную гипотезу при уровне значимости ? = 0.01.


242
г) Оказывает ли существенное влияние на число банкротств краткосрочная
процентная ставка?
д) Можно ли оценить коэффициент корреляции между случайными откло-
нениями?

Осуществляется анализ средних годовых расходов (Y) студентов на развле-
8.
чения. По статистическим данным за 32 года по МНК построено следующее
уравнение регрессии:
)
y t = 41.2 + 0.254 xt + 0.539yt?1
2
(S) (0.107) (0.133) R = 0.783 DW = 1.86,
Х ? располагаемый доход студента после уплаты за обучение и общежитие.
а) Оцените качество построенной модели.
б) Постройте 95%-ный доверительный интервал для коэффициента при Х.
в) Насколько вырастут расходы на развлечения при росте располагаемого
дохода на единицу.
г) Проверьте гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков при альтерна-
тивной гипотезе о положительной автокорреляции с уровнем значимости
? = 0.01.

Приведены статистические данные за 25 лет по темпам прироста заработной
9.
платы Y%, производительности труда Х1%, а также уровню инфляции Х2%.
Оцените по МНК уравнение регрессии Y = ?0 + ?1X1 + ?2X2 + ?.
Оцените качество построенного уравнения, проведя при этом проверку на-
личия гетероскедастичности и автокорреляции.
Год 1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12 13
X1 3.5 2.8 6.3 4.5 3.1 1.5 7.6 6.7 4.2 2.7 4.5 3.5 5.0
X2 4.5 3.0 3.1 3.8 3.8 1.1 2.3 3.6 7.5 8.0 3.9 4.7 6.1
Y 9.0 6.0 8.9 9.0 7.1 3.2 6.5 9.1 14.6 11.9 9.2 8.8 12.0
Год 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
X1 2.3 2.8 1.5 6.0 2.9 2.8 2.6 1.5 0.9 0.6 0.7 3.1
X2 6.9 3.5 7.1 3.1 3.7 3.9 4.0 4.8 4.8 4.2 4.9 3.2
Y 12.5 6.7 8.5 5.9 6.8 5.6 4.8 4.5 6.7 5.5 4.0 3.3
10. Анализируется зависимость между инфляцией (INF) и безработицей (U). Ис-
пользуются статистические данные за 25 лет:
INF 3.07 0.70 4.08 2.20 2.38 0.90 1.10 5.12 0.93 2.54 1.55 3.45 1.09
U 3.69 9.10 3.92 6.50 4.63 8.50 9.55 3.71 5.80 3.60 6.53 4.32 9.20
INF 2.15 5.14 1.72 0.74 4.16 0.93 1.79 1.24 1.12 1.28 7.36 5.30
U 5.75 3.65 7.30 9.65 3.65 9.80 6.28 7.80 8.75 7.22 3.60 3.65
В качестве модели рекомендуется воспользоваться следующим уравнением:


243
ln INFt = ?0 + ?1lnUt + ?t.
а) По МНК оцените коэффициенты ?0 и ?1.
б) Постройте 95 %-ный доверительный интервал для коэффициента ?1.
в) Оцените качество построенного уравнения.
г) Вычислите статистику DW Дарбина–Уотсона и на ее основе определите
наличие автокорреляции.
д) Проверьте наличие автокорреляции с помощью метода рядов.
е) Сделайте вывод о качестве интервальной оценки для коэффициента ?1.
ж) Переоцените модель, используя для этого авторегрессионную схему пер-
вого порядка AR(1).
з) Постройте новый 95 %-ный доверительный интервал для коэффициента
?1. Сравните его с предыдущим интервалом.
и) Прокомментируйте результаты.

11. По 30-годовым наблюдениям строится функция инвестиций:
it = ?0 + ?1yt + ?2rt + ?t,
где it ? объем инвестиций в году t; yt ? ВНП в году t; rt ? процентная ставка в
году t.
Y 8.58 10.45 8.35 10.65 9.7 12.0 13.45 14.2 14.45 13.85
R 18.12 11.05 9.0 17.0 16.25 13.8 19.95 18.74 13.8 9.55
I 11.55 13.25 10.9 10.45 15.1 17.5 17.77 16.1 10.59 10.65
Y 16.55 18.0 18.4 20.4 21.0 23.75 25.75 24.2 25.2 26.2
R 19.3 15.2 12.4 16.5 5.95 17.5 16.43 7.4 15.45 19.15
I 9.32 11.0 15.05 15.1 22.7 21.95 23.1 25.65 26.15 25.55

Y 28.6 30.6 31.32 26.0 26.85 32.1 32.95 33.3 33.85 35.6
R 5.45 9.52 7.95 7.45 19.9 8.65 21.35 11.11 15.82 21.67
I 28.1 24.2 32.3 21.5 22.95 30.45 24.6 32.5 31.2 29.5
а) Оцените по МНК коэффициенты искомого уравнения регрессии.
б) Оцените статистическую значимость коэффициентов и общее качество
уравнения регрессии.
в) Используя статистику DW Дарбина–Уотсона, оцените наличие автокор-
реляции остатков для построенного уравнения.
г) При наличии автокорреляции переоцените уравнение регрессии, исполь-
зуя для этого авторегрессионную схему первого порядка AR(1).
д) Спрогнозируйте объем инвестиций на следующий год, если прогнозируе-
мые значения ВНП и процентной ставки составят соответственно yt+1 = 37 и
rt+1 = 15.
е) Постройте 95 %-ный доверительный интервал для среднего значения про-
гноза.


244
10. МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТЬ
Еще одной серьезной проблемой при построении моделей мно-
жественной линейной регрессии по МНК является мультиколлинеар-
ность ? линейная взаимосвязь двух или нескольких объясняющих пе-
ременных. Причем, если объясняющие переменные связаны строгой
функциональной зависимостью, то говорят о совершенной мультикол-
линеарности. На практике можно столкнуться с очень высокой (или
близкой к ней) мультиколлинеарностью ? сильной корреляционной
зависимостью между объясняющими переменными. Причины мульти-
коллинеарности и способы ее устранения анализируются ниже.

10.1. Суть мультиколлинеарности
Мультиколлинеарность может быть проблемой лишь в случае
множественной регрессии. Ее суть можно представить на примере со-
вершенной мультиколлинеарности.
Пусть уравнение регрессии имеет вид
Y = ?0 + ?1X1 + ?2X2 + ?. (10.1)
Пусть также между объясняющими переменными существует
строгая линейная зависимость:
X2 = ?0 + ?1X1. (10.2)
Подставив (10.2) в (10.1), получим:
Y = ?0 + ?1X1 +?2(?0 + ?1X1) + ?

<< Предыдущая

стр. 42
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>