<< Предыдущая

стр. 48
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

макроэкономике) зачастую используют ежегодные, ежеквартальные,
ежемесячные, ежедневные данные. Например, это могут быть годовые
данные по ВНП, ВВП, объему чистого экспорта, инфляции и т. д., ме-
сячные данные по объему продажи продукции, ежедневные объемы
выпуска какой-либо фирмы. Для рационального анализа необходимо
систематизировать моменты получения соответствующих статистиче-
ских данных.
В этом случае следует упорядочить данные по времени их полу-
чения и построить так называемые временные ряды.
Пусть исследуется показатель Y. Его значение в текущий момент
(период) времени t обозначают yt; значения Y в последующие момен-
ты обозначаются yt+1, yt+2, ... , yt+k, ...; значения Y в предыдущие мо-
менты обозначаются yt?1, yt?2, ..., yt?k, ... .
Нетрудно понять, что при изучении зависимостей между такими
показателями либо при анализе их развития во времени в качестве
объясняющих переменных используются не только текущие значения
переменных, но и некоторые предыдущие по времени значения, а
также само время Т. Модели данного типа называют динамическими.
В свою очередь переменные, влияние которых характеризуется
определенным запаздыванием, называются лаговыми переменными.
Обычно динамические модели подразделяют на два класса.
1. Модели с лагами (модели с распределенными лагами) ? это модели,
содержащие в качестве лаговых переменных лишь независимые
(объясняющие) переменные. Примером является модель (12.1):
yt = ? + ?0xt + ?1xt?1 + ... + ?kxt?k + ?t. (12.1)
2. Авторегрессионные модели ? это модели, уравнения которых в ка-
честве лаговых объясняющих переменных включают значения за-
висимых переменных. Примером является модель (12.2):
yt = ? + ??xt + ??yt?1 + ?t. (12.2)
В эконометрическом анализе динамические модели используются
достаточно широко. Это вполне естественно, так как во многих случа-
ях воздействия одних экономических факторов на другие осуществля-
ется не мгновенно, а с некоторым временным запаздыванием ? лагом.

277
Причин наличия лагов в экономике достаточно много, и среди них
можно выделить следующие.
Психологические причины, которые обычно выражаются через
инерцию в поведении людей. Например, люди тратят свой доход по-
степенно, а не мгновенно. Привычка к определенному образу жизни
приводит к тому, что люди приобретают те же блага в течение неко-
торого времени даже после падения их реального дохода.
Технологические причины. Например, изобретение персональных
компьютеров не привело к мгновенному вытеснению ими больших
ЭВМ в силу необходимости замены соответствующего программного
обеспечения, которое потребовало продолжительного времени.
Институциональные причины. Например, контракты между
фирмами, трудовые договоры требуют определенного постоянства в
течение времени контракта (договора).
Механизмы формирования экономических показателей. Напри-
мер, инфляция во многом является инерционным процессом; денеж-
ный мультипликатор (создание денег в банковской системе) также
проявляет себя на определенном временном интервале и т. д.

12.2. Оценка моделей с лагами в независимых переменных
Оценка модели с распределенными лагами во многом зависит от
того, конечное (12.1) или бесконечное число лагов она содержит.
yt = ? + ?0?xt + ?1?xt?1 + ... + ?k?xt?k + ?t,

yt = ? + ?0?xt + ?1?xt?1 + ?2?xt?2 + ... + ?t. (12.3)
Отметим, что в обеих этих моделях коэффициент ?0 называют
краткосрочным мультипликатором, так как он характеризует изме-
нение среднего значения Y под воздействием единичного изменения
переменной Х в тот же самый момент времени.
Сумму всех коэффициентов ? в j называют долгосрочным муль-
j
типликатором, так как она характеризует изменение Y под воздейст-
вием единичного изменения переменной Х в каждом из рассматри-
ваемых временных периодов.
h
Любую сумму коэффициентов ? в j (h < k) называют промежу-
j= 0
точным мультипликатором.



278
Модель с конечным числом лагов (12.1) оценивается достаточно
просто сведением ее к уравнению множественной регрессии. В этом
случае полагают X ? = xt, X1 = xt?1, ..., X ? = xt?k и получают уравнение:
?
0 k

yt = ? + ?0 X ? + ?1 X1 + ... + ?k X ? + ?t.
?
(12.4)
0 k

Для оценки моделей с бесконечным числом лагов разработано
несколько методов.
12.2.1. Метод последовательного увеличения количества лагов
По данному методу уравнения (12.3) рекомендуется оценивать с
последовательно увеличивающимся количеством лагов. Признаков
завершения процедуры увеличения количества лагов может быть не-
сколько.
• При добавлении нового лага какой-либо коэффициент регрессии ?k
при переменной xt?k меняет знак. Тогда в уравнении регрессии ос-
тавляют переменные xt, xt?1, …, xt?k+1, коэффициенты при которых
знак не поменяли.
• При добавлении нового лага коэффициент регрессии ?k при пере-
менной xt?k становится статистически незначимым. Очевидно, что в
уравнении будут использоваться только переменные xt, xt?1, …,
xt?k+1, коэффициенты при которых остаются статистически значи-
мыми.
Однако применение этого метода весьма ограничено в силу по-
стоянно уменьшающегося числа степеней свободы, сопровождающе-
гося увеличением стандартных ошибок и ухудшением качества оце-
нок, а также возможности мультиколлинеарности. Кроме этого, при
неправильном определении количества лагов возможны ошибки спе-
цификации.
12.2.2. Преобразование Койка (метод геометрической прогрессии)
В распределении Койка предполагается, что коэффициенты (из-
вестные как “веса”) ?k при лаговых значениях объясняющей перемен-
ной убывают в геометрической прогрессии:
?k = ?0??k , k = 0, 1, ... , (12.5)
где 0 < ? < 1 характеризует скорость убывания коэффициентов с уве-
личением лага (с удалением от момента анализа). Такое предположе-
ние достаточно логично, если считать, что влияние прошлых значений
объясняющих переменных на текущее значение зависимой перемен-

279
ной будет тем меньше, чем дальше по времени эти показатели имели
место.
В данном случае уравнение (12.3) преобразуется в уравнение
(12.6):
yt = ? + ?0xt + ?0?xt?1 + ?0?2xt?2 + ... + ?t. (12.6)
Параметры данного уравнения ?, ?0, ? можно определять различ-
ными способами. Например, достаточно популярен следующий метод.
Параметру ? присваиваются последовательно все значения из интер-
вала [0, 1] с произвольным фиксированным шагом (например, 0.01;
0.001; 0.0001). Для каждого ? рассчитывается
zt = xt + ?xt?1 + ?2xt?2 + ?3xt?3 + …+ ?pxt?p. (12.7)
Значение p определяется из условия, что при дальнейшем добав-
лении лаговых значений х величина zt изменяется менее любого ранее
заданного числа.
Далее оценивается уравнение регрессии
yt = ? + ?0zt + ?t. (12.8)
Из всех возможных значений ? выбирается то, при котором ко-
эффициент детерминации R2 для уравнения (12.8) будет наибольшим.
Найденные при этом параметры ?, ?0 и ? подставляются в (12.6). Воз-
можности современных компьютеров позволяют провести указанные
расчеты за приемлемое время.
Однако более распространенной является схема вычислений на
основе преобразования Койка.
Вычитая из уравнения (12.6) такое же уравнение, но умноженное
на ? и вычисленное для предыдущего периода времени (t ? 1)
? yt?1= ?? + ?0? xt?1 + ?0?2xt?1 + ... +??t?1, (12.9)
получим следующее уравнение:
yt ? ?yt?1 = (1 ? ?)? + ?0xt + (?t ? ??t?1) ?
yt = (1 ? ?)? + ?0xt + ?yt?1 + ?t, (12.10)
где ?t = ?t ? ??t?1 ? скользящая средняя между ?t и ?t?1.
Преобразование уравнения (12.3) по данному методу в уравнение
(12.10) называется преобразованием Койка.
Отметим, что с помощью указанного преобразования уравнение с
бесконечным числом лагов (с убывающими по степенному закону ко-

280
эффициентами) преобразовано в авторегрессионное уравнение (12.10),
для которого требуется оценить лишь три коэффициента: ?, ?, ?0. Это,
кроме всего прочего, снимает одну из острых проблем моделей с ла-
гами ? проблему мультиколлинеарности.
Модель (12.10) позволяют анализировать краткосрочные и долго-
срочные свойства переменных. В краткосрочном периоде значение yt-1
можно рассматривать как фиксированное и краткосрочный мульти-
пликатор считается равным ?0. Долгосрочный мультипликатор вычис-
ляется по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии. Если предположить, что в долгосрочном периоде хt стре-
мится к некоторому своему равновесному значению х*, то значения yt
и yt?1 также стремятся к своему равновесному значению y*. Тогда
(12.10) без учета случайного отклонения примет вид:
y* = (1 ? ?)? + ?0x? + ?y?. (12.11)
Следовательно,
в0
y* = ? + x*. (12.12)
(1 ? л)
Нетрудно заметить, что по формуле суммы бесконечно убываю-
в0
= ?0 + ?0? + ?0?2 + ?0?3 + ...
щей геометрической прогрессии
(1 ? л)
полученная дробь является долгосрочным мультипликатором, кото-
рый отражает долгосрочное воздействие X на Y. При 0 < ? < 1 долго-
в0
> ?0).
срочное воздействие будет сильнее краткосрочного (т. к.
(1 ? л)
При применении преобразования Койка возможны следующие
проблемы:
• Среди объясняющих переменных появляется переменная yt?1, ко-
торая, в принципе, носит случайный характер, что нарушает одну
из предпосылок МНК. Кроме того, данная объясняющая перемен-
ная, скорее всего, коррелирует со случайным отклонением ?t.
• Если для случайных отклонений ?t, ?t?1 исходной модели выполня-
ется предпосылка 30 МНК, то для случайных отклонений ?t, оче-
видно, имеет место автокорреляция. Для ее анализа вместо обыч-
ной статистики DW Дарбина–Уотсона необходимо использовать
h-статистику Дарбина (см. раздел 9.3.3).
• При указанных выше проблемах оценки, полученные по МНК, яв-
ляются смещенными и несостоятельными.
281
12.3. Авторегрессионные модели
Приведем два важных примера авторегрессионных моделей в
экономике: модель адаптивных ожиданий и модель частичной коррек-
тировки. Несложно будет заметить, что обе эти модели можно также
отнести к семейству моделей Койка.
12.3.1. Модель адаптивных ожиданий
Тот факт, что ожидания играют весьма существенную роль в эко-
номической активности, в известной мере затрудняет и моделирова-
ние соответствующих экономических процессов, и осуществление на
их базе точных прогнозов развития экономики. Особенно серьезно
данная проблема стоит на макроэкономическом уровне. Например,
прогнозирование объема инвестиций только на основе процентной
ставки не позволяет получить удовлетворительный прогноз. Для сти-
мулирования деловой активности весьма серьезную роль играет эко-
номическая политика государства, на основе которой потенциальные
инвесторы принимают свои решения. В частности, политика, направ-
ленная на обеспечение полной занятости, вполне обоснованно рас-
сматривается как стимулирование инфляции, что подрывает доверие
бизнесменов и снижает объемы инвестиций. В силу качественной
специфики фактора “ожидания” его измерение и моделирование явля-
ется весьма сложной и до сих пор не имеющей удовлетворительного
решения задачей.
Одним из направлений решения рассматриваемой задачи являет-
ся модель (процесс) адаптивных ожиданий. В данной модели проис-
ходит постоянная корректировка ожиданий на основе получаемой ин-
формации о реализации исследуемого показателя. Если реальное зна-
чение показателя оказалось больше ожидаемого, то ожидаемое в сле-
дующем периоде значение корректируется в сторону увеличения. В
противном случае ? наоборот. При этом величина корректировки
должна быть пропорциональна разности между реальным и ожидае-
мым значениями.
В данной модели в уравнение регрессии в качестве объясняющей
переменной вместо текущего значения хt входит ожидаемое (долго-
срочное) значение хt?:
yt = ? + ?xt? + ?t. (12.13)
Так как ожидаемые значения не являются фактически сущест-
вующими, выдвигается предположение, что эти значения связаны
следующим соотношением:

282
x ? ? x ??1 = г(x t ? x ??1 ) . (12.14)
t t t

Именно модель (12.14) известна как модель адаптивных ожида-
ний. Коэффициент 0 ? ? ? 1 называется коэффициентом ожидания.
Иногда модель (12.14) называют моделью обучения на ошибках, т. к.
ожидания экономических объектов в этом случае складываются из
прошлых ожиданий, скорректированных на величину ошибки в ожи-
даниях, допущенных в предыдущем периоде времени. Иногда в моде-
ли (12.14) вместо текущего значения xt используют предыдущее xt-1:
x ? ? x ??1 = г(x t ?1 ? x ??1 ) . (12.15)
t t t

Уравнение (12.14) можно переписать в виде
x ? = г x t + (1 ? г)x ??1 . (12.16)
t t

Из (12.16) видно, что ожидаемое значение xt? является взвешен-
ным средним между текущим значением xt и его ожидаемым значени-
ем в предыдущий период с весами ? и (1 ? ?) соответственно. Если ? =
= 0, то ожидания являются неизменными (статичными): xt? = x ??1 . Ес-
t
?
ли ? = 1, то xt = xt, что означает мгновенно реализуемые ожидания.
Подставив соотношение (12.16) в (12.13), получим:
y t = б + в( г х t + (1 ? г)x ??1 ) + е t . (12.17)
t

Вычитая из (12.17) аналогичное уравнение для yt?1, умноженное
на (1 ? ?), получим:

<< Предыдущая

стр. 48
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>