<< Предыдущая

стр. 49
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

y t ? (1 ? г)y t -1 = гб + гв x t + (е t ? (1 ? г)е t ?1 ) . ?
y t = гб + гв x t + (1 ? г)y t ?1 + х t , (12.18)
где ?t = ?t ? (1 ? ?)?t?1.
Из (12.13) очевидно, что коэффициент ? определяет величину
изменения в среднем текущего значения yt при изменении ожидаемого
значения xt? на единицу. По уравнению (12.18) при изменении теку-
щего значения xt на единицу значение yt меняется в среднем на ??.
Эти коэффициенты пропорциональности будут равны лишь при ? = 1,
т. е. когда текущее и ожидаемое в долгосрочном периоде значения СВ
Х совпадают (xt? = xt).
На практике при оценивании параметров авторегрессионного
уравнения (12.18) вначале оценивается параметр ? (коэффициент при

283
вг
лаговом значении y), а затем коэффициент при xt ( в = ) и свобод-
г
бг
ный член ( б = ).
г
Заметим, что уравнение (12.18) по форме аналогично уравнению
(12.10) из преобразования Койка.
Этот же вывод можно обосновать, если предположить, что зави-
симая переменная yt в текущий момент времени связана с ожидаемым
в следующий период времени значением x ?+1 объясняющей перемен-
t
ной соотношением
y t = б + вx ?+1 + е t . (12.19)
t

В этом случае желательно выразить yt через реальные текущие и
предыдущие значения объясняющей переменной Х. Для этого можно
воспользоваться соотношением, аналогичным (12.16), предположив,
что ожидаемое в следующий период времени значение переменной
определяется как взвешенное среднее ее реального и ожидаемого зна-
чений в текущий период времени:
x ?+1 = г x t + (1 ? г)x ? . (12.20)
t t

Воспользовавшись этим же соотношением для ожидаемого зна-
чения x ? , получим:
t

x ?+1 = г x t + (1 ? г)[гx t ?1 + (1 ? г)x ??1 ] =
t t

= г x t + г(1 ? г)x t ?1 + (1 ? г ) 2 x ??1 .
t

Продолжив процедуру использования соотношения (12.16) для
x ??1 , затем для x ??2 и так до бесконечности, получим:
t t

x ?+1 = г[ x t + (1 ? г)x t ?1 + (1 ? г) 2 x ?? 2 + ...] . (12.21)
t t

Подставив полученное x ?+1 в (12.19), имеем:
t


y t = б + вг [ x t + (1 ? г)x t ?1 + (1 ? г) 2 x ?? 2 + ...] + е t . (12.22)
t

Обозначив ?? через ?0 и (1 ? ?) через ?, получаем соотношение
(12.6):
yt = ? + ?0?xt + ?0?xt?1 + ?0?2xt?2 + ... + ?t,
к которому можно применить преобразование Койка.

284
Модель адаптивных ожиданий может использоваться при анализе
зависимости потребления от дохода, спроса на деньги либо инвести-
ций от процентной ставки и в других ситуациях, где экономические
показатели оказываются чувствительными к ожиданиям относительно
будущего.
12.3.2. Модель частичной корректировки
В модели частичной корректировки (модели акселератора) в
уравнение регрессии в качестве зависимой переменной входит не фак-
тическое значение yt, а желаемое (долгосрочное) значение yt?:
yt? = ? + ?xt + ?t. (12.23)
Так как гипотетическое значение yt? не является фактически су-
ществующим, то относительно его выдвигается предположение час-
тичной корректировки:
yt ? yt?1 = ?( yt? ? yt?1), (12.24)
по которому фактическое приращение зависимой переменной yt ? yt?1
пропорционально разнице между ее желаемым значением и значением
в предыдущий период yt?? yt?1. 0 ? ? ? 1 ? коэффициент корректи-
ровки. Уравнение (12.24) преобразуется к следующему виду:
yt = ?yt? + (1 ? ?)yt?1. (12.25)
Подставив (12.23) в (12.25), получим следующую модель
yt = ?? + ?? xt + (1 ? ?)yt?1 + ??t, (12.26)
которая называется моделью частичной корректировки. Из (12.25)
видно, что текущее значение yt является взвешенным средним желае-
мого уровня yt? и фактического значения данной переменной в преды-
дущий период. Чем больше ?, тем быстрее идет корректировка. При
? = 1 полная корректировка происходит за один период. При ? = 0
корректировка не происходит вовсе.
Таким образом, в уравнении (12.23) определяется долгосрочное
(желаемое) значение y? переменной Y (иногда под y? понимается рав-
новесное значение). Можно сказать, что в уравнении (12.26) опреде-
ляется краткосрочное значение yt переменной Y, которое далеко не
всегда совпадает с долгосрочным. Однако, определив коэффициенты
регрессии уравнения (12.26) (вначале ?, стоящее при yt?1, затем
лб
лв
в= и ?= ), мы тем самым оцениваем параметры уравнения
л л

285
(12.23). Модель частичной корректировки наглядно можно проинтер-
претировать следующим рисунком:

?
y


y3 -

y2 -



y1




0 1 2 3 4 5 t
Рис.12.1
В данном примере y1 ? начальное значение Y, y? ? желаемое зна-
чение Y, ? = 0.5. Следовательно, экономический агент предполагает в
каждом периоде сокращать разрыв между текущим и желаемым зна-
чениями наполовину.
Модель частичной корректировки (12.26) аналогична модели
Койка (12.10). Она также включает в себя случайную объясняющую
переменную yt?1. Но в данной модели эта переменная не коррелирует с
текущим значением случайного отклонения ?t (т. к. ?t рассчитывается
после того, как определилось значение yt?1). В этом случае МНК по-
зволяет получить асимптотически несмещенные и эффективные оцен-
ки.
В качестве примера использования данной модели можно при-
вести следующий: Y ? запас капитала, Х ? выпуск. Тогда по формуле
(12.24): It = yt ? yt?1 = ?(yt?? yt?1) ? инвестиции в период t пропорцио-
нальны отклонению желаемого запаса капитала от фактического запа-
са капитала в предыдущем периоде.
12.3.3. Смешанная модель
В данной модели в качестве объясняющей и зависимой перемен-
ных рассматриваются их желаемые (долгосрочные) значения:

286
yt? = ? + ??xt? + ?t. (12.27)
Например, yt? ? желаемый запас капитала в момент времени t; xt??
ожидаемый выпуск в момент времени t. Либо yt? ? долгосрочное по-
требление, xt? ? долгосрочный доход.
Так как yt? и xt? не являются фактически существующими, то для
расчета xt?может быть предложена модель адаптивных ожиданий, а
для расчета yt? ? модель частичной корректировки. Это позволяет по-
лучить следующее соотношение:
yt = ??? + ??? xt + [(1 ? ?) + (1 ? ?)] yt?1 ?
– (1 ? ?)(1 ? ?)yt?2 + [??t ? ?(1 ? ?)?t?1] ?

yt = ?0 + ?1xt + ?2yt?1 + ?3yt?2 + ?t , (12.28)

где ?0 = ???, ?1 = ???, ?2 = (1 ? ?) + (1 ? ?),
?3 = ? (1 ? ?)(1 ? ?), ?t = ??t ? ?(1 ? ?)?t?1.
Данная модель также относится к классу авторегрессионных мо-
делей, но в отличие от предыдущих в ней появилось дополнительное
слагаемое, связанное с yt?2.

12.4. Полиномиально распределенные лаги Алмон
При использовании преобразования Койка для уравнения (12.1)
на коэффициенты регрессии накладываются достаточно жесткие ог-
раничения. Предполагается, что “веса” коэффициентов при лаговых
переменных убывают в геометрической прогрессии. В ряде случаев
такое предположение весьма уместно, но в некоторых других оно не
выполняется. Встречаются случаи, когда значения лаговой объяс-
няющей переменной за 3?4 периода от момента наблюдения оказы-
вают на зависимую переменную большее влияние, чем текущее или
предшествующее ему значение объясняющей переменной (?3, ?4 > ?0,
?1). Распределенные лаги Алмон позволяют достаточно гибко модели-
ровать такие изменения.
В основе модели Алмон лежит предположение, что “веса” ко-
эффициентов ?i в модели (12.1) могут аппроксимироваться полинома-
ми определенной степени от величины лага i:
?i = a0 + a1i + a2i2 + … + amim. (12.29)
Это позволяет, например, отразить ситуации, изображенные на
рис. 12.2.

287
?i ?i
?i




0 t?1 t?3 … 0 t?1 t?3 … 0 t?1 t?3 …
t?2 t?4 …
t?2 t?4 … t?2 t?4 …

а б в

Рис. 12.2

Например, на рис. 12.2, а, б это может быть квадратичная зави-
симость:
?i = a0 + a1i + a2i2. (12.30)
На рис. 12.2, в это может быть полином третьей либо четвертой
степени.
?i = a0 + a1i + a2i2 + a3i3, (12.31)
?i = a0 + a1i + a2i2 + a3i3 + a4i4. (12.32)
Для простоты изложения схемы Алмон положим, что ?i подчиня-
ется зависимости (12.30). Тогда (12.1) может быть представлено в ви-
де:
k
yt = ? + ? (a 0 + a1i + a 2 i 2 )x t ? i + ?t =
i=0
k k k
= ? + a 0 ? x t ? i + a1 ? i ? x t ? i + a 2 ? i 2 ? x t ? i + ?t. (12.33)
i=0 i=0 i=0

k k k
Положив z t0 = a 0 ? x t ? i , z t1 = a1 ? i ? x t ? i , z t2 = a 2 ? i 2 ? x t ? i , име-
i=0 i=0 i=0
ем:
yt = ? + a0zt0 + a1zt1 + a2zt2 + ?t. (12.34)

Значения ?, a0, a1, a2 могут быть определены по МНК. При этом

288
случайные отклонения ?t удовлетворяют предпосылкам МНК. Коэф-
фициенты ?i определяются из соотношения (12.30).
Отметим, что для применения схемы Алмон необходимо вначале
определиться с количеством лагов k. Обычно это количество находит-
ся подбором, начиная с “разумного” максимального, постепенно его
уменьшая. После определения k необходимо подобрать степень m по-
линома (12.29). Обычно здесь используется следующее правило: сте-
пень полинома должна быть, по крайней мере, на единицу больше ко-
личества точек “экстремума” (точек, разделяющих интервалы возрас-
тания и убывания) в зависимости ?i = ?(t ? i). Однако с ростом степе-
ни полинома повышается риск наличия неучтенной мультиколлине-
арности в силу специфики построения zti. Это увеличивает стандарт-
ные ошибки коэффициентов ai в соотношениях, аналогичных (12.34).

12.5. Оценка авторегрессионных моделей
Вышеизложенные авторегрессионные модели фактически имеют
следующий вид:
yt = ?0 + ?1xt + ?yt?1 + ?t. (12.35)
Чаще всего (особенно на начальном этапе) такие модели оцени-
ваются с помощью МНК. Однако во многих случаях применение
классического МНК для (12.35) дает неудовлетворительные результа-
ты. Обычно это происходит по двум причинам, которые отмечались
ранее:
• существует возможность наличия автокорреляции между случай-
ными отклонениями ?t (М(?t??t?1) ? 0);
• существует корреляция между объясняющей переменной yt?1 и
случайным членом ?t.
В этом случае оценки коэффициентов, полученные при прямом
применении МНК, являются смещенными и несостоятельными.
Одним из наиболее распространенных методов оценивания авто-
регрессионных уравнений, позволяющих сгладить второй недостаток,
является метод инструментальных переменных. Основная идея этого
метода состоит в том, чтобы переменную yt?1 из первой части (12.35),
коррелирующую с ?t, заменить так называемой инструментальной пе-
ременной, близкую по своим свойствам к yt?1, но не коррелирующую с
отклонением ?t.


289
Подбор инструментальной переменной не всегда является про-
стой задачей и во многом зависит от практической ситуации. В част-
ности, в качестве инструментальной переменной можно предложить

<< Предыдущая

стр. 49
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>